NA_07 - Pilares 2012

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ECA – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
Fernando de Moraes Mihalik 
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EESSTTRRUUTTUURRAASS 
 
 
DDEE CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO 
 
 
EECCAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NNOOTTAASS DDEE AAUULLAA -- 0077 
CCÁÁLLCCUULLOO EE DDEETTAALLHHAAMMEENNTTOO DDEE PPIILLAARREESS EEMM CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO 
 
 
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NA_07/2012 
EESSTTRRUUTTUURRAASS 
NNOOTTAASS DDEE AAUULLAA -- PPAARRTTEE 77 
CCÁÁLLCCUULLOO EE DDEETTAALLHHAAMMEENNTTOO DDEE PPIILLAARREESS EEMM CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO 
 
1. Introdução 
 
 
 
 
 
 
 
Pilares de canto: P1, P4, P13 e P16 
 
Pilares de borda ou de extremidade: P2, 
P3, P5, P8, P9, P12, P14 e P15 
 
Pilares centrais: P6, P7, P10 e P11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para uma estrutura como a esquematizada acima, sujeita apenas a cargas verticais, sem a consideração 
de vento na estrutura, as cargas nos pilares são obtidas através das reações de apoio consideradas no 
cálculo estático das vigas do pavimento. 
 
No caso mais comum, as vigas são calculadas como contínuas ou isostáticas, simplesmente apoiadas nos 
pilares, transmitindo assim, apenas cargas verticais a eles. Nesses casos os pilares teoricamente estão 
sujeitos a uma compressão centrada, onde o valor da carga de compressão N é obtido do diagrama de 
esforços cortantes das vigas que afluem ao pilar em estudo. 
 
Também é possível a consideração das vigas ligadas aos pilares , formando pórticos nas duas direções; 
nesse caso as cargas transferidas das vigas aos pilares não são apenas cargas verticais, mas também 
momentos, que podem ser chamados de momentos de engastamento parcial das vigas no pilar. Nesses 
casos, os pilares estão sujeitos a esforços de compressão e flexão, situação conhecida como flexo-
compressão ou flexão composta. No caso de momento apenas em uma direção, a flexão composta é dita 
reta, e no caso de momentos nas duas direções, acontece a flexão composta obliqua. 
 
 
Para a estrutura acima, de uma forma simplificada, pode-se considerar que os pilares de canto estão 
sujeitos a uma flexão composta obliqua, enquanto os pilares de borda (ou de extremidade) estão sujeitos 
a flexão composta reta. Quanto aos pilares centrais, eles podem ser considerados sujeitos a uma 
compressão centrada, uma vez que não são transferidos momentos a eles. 
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2. Geometria 
 
a) Seção Transversal 
 
Convenção adotada no curso: 
- Pilares Retangulares: h = lado menor do pilar 
- Pilares Circulares: h = diâmetro do pilar 
- Pilares de Seção Qualquer: h = menor dimensão da seção 
 
 
Conforme a NBR-6118, a menor dimensão recomendável da seção transversal é: h = 19 cm, 
permitindo-se em casos especiais ter valores de h entre 19 cm e 12 cm. Nesses casos, deve-se 
multiplicar as ações por um coeficiente adicional. 
 
Coeficiente adicional:  n , , 195 0 05h 
 
Tabela: Valores de n em função de h 
h (cm) 12 13 14 15 16 17 18 19
n 1,35 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00
 
Para valores de h superiores a 19 cm, o valor de n é 1,00 
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b) Comprimento Equivalente - le 
 
(Comprimento de flambagem, ou de Euler) 
 
O comprimento equivalente do pilar, vinculado nas duas extremidades, a ser considerado é: 
 
l
l
le
h 
0
 ou l
l
le
b 
0
 , sendo: 
 
l0 - distância entre as faces internas dos elementos 
estruturais 
 
h ou b - altura da seção transversal medida no plano 
da estrutura analisado 
 
l - distância entre os eixos dos elementos estruturais 
 
 
 Valor Usual: 
Em edifícios, de uma forma geral, é comum a utilização 
para o valor de le, a distância entre os pisos. 
(ou seja, o pé-direito de piso a piso) 
 
 
No caso de pilar engastado na base e livre no topo, 
adota-se le = 2 l . 
 
 
 
c) Índice de Esbeltez - l 
 
l  l e i , sendo i o raio de giração da seção transversal: i I A 
Pilar retangular: l  l eh 12 
Pilar circular: l  l eh 4 
 
 
 
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3. Excentricidades 
 
3.1. Excentricidade inicial – e1 
É a excentricidade devido à aplicação de uma carga de compressão não centrada (ex: devido a cargas 
verticais não centradas, momentos de engastamento de vigas no pilar, aplicação de esforços horizontais 
como , por exemplo, vento na edificação). 
Quando a carga é centrada: e1 = 0 
Quando a carga não é centrada: e1 = Md / Nd 
 
3.2. Excentricidade acidental - ea 
É a excentricidade devido a imperfeições globais e locais do eixo dos elementos da estrutura 
descarregada. 
 
As imperfeições geométricas globais consideram um desaprumo do edifício, e não precisa ser superposto 
ao carregamento de vento. 
 
As imperfeições locais consideram o desaprumo ou falta de linearidade do eixo do pilar. 
 
Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de linearidade ao longo do lance do pilar 
seja suficiente. 
 
O efeito das imperfeições locais pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração de um 
momento mínimo de 1a ordem, dado a seguir: 
 
)03,0015,0(min,1 hNM dd  , com h em metro. Ou 
 
)03,05,1(min,1 hNM dd  , para h em centímetro 
 
ou seja, como: M N ed d a1 ,min  , 
 
com hea 03,05,1  com h em centímetro 
 
3.3. Excentricidade de 2a ordem - e2 
A força normal aplicada em um pilar sob o efeito das excentricidades de 1a ordem (excentricidades inicial e 
acidental) provoca deformações que dão origem a uma excentricidade, denominada excentricidade de 2a 
ordem. 
 
Pelo método da curvatura aproximada o valor de e2 pode ser calculado pela fórmula abaixo: 
 
e r2
2 1 le10 , sendo 
1 0 005
0 5
0 005
r h h
  
,
,
,
( ) 
 
com   NdA fc cd 
 
o valor de h refere-se à dimensão do pilar na direção considerada da excentricidade dos esforços. 
 
Nos casos gerais, h refere-se à menor dimensão da seção transversal do pilar. 
 
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4. Classificação dos Pilares Segundo sua Esbeltez 
 
- Pilar curto: l  l1 e2 = 0 
- Pilar moderadamente esbelto: l1  l  90 e2  0 
- Pilar esbelto: 90  l  140 e2  0, e o cálculo deve considerar a fluência 
- Pilar muito esbelto: l  140 e2  0, e o cálculo deve considerar a não linearidade 
de 2a ordem, através da discretização adequada da barra que representa o pilar, consideração da relação 
momento-curvatura real para cada seção e consideração da não-linearidade geométrica real. 
 
Na prática, evita-se pilares esbeltos e muito esbeltos. (ou seja, utiliza-se l  90) 
 
 
5. Esbeltez Limite 
 
Os esforços locais devidos à excentricidade de 2a ordem podem desprezados quando o índice de esbeltez 
l for inferior ao valor limite l1, que pode ser calculado pelas expressões: 
 
 1
125 12 5 (e h), /
b
 
35 901 b
  
 
Para pilares de edifícios vinculados nas duas extremidades, por falta de um critério mais especifico, é 
razoável adotar-se e1 = 0. 
 
Valores de ab: 
 
 
 
 
 
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6. Método de Cálculo 
 
Nos casos de estruturas de vigas contínuas simplesmente apoiadas em pilares, os valores das cargas de 
compressão aplicadas nos pilares são obtidos pela interpretação dos diagramas de esforços cortantes nas 
vigas que se apóiam neles. As reações de apoio somadas são a força normal de compressão aplicada no 
topo de cada lance do pilar. 
 
Os valores das cargas verticais vêm se somando ao longo dos lances, além do peso próprio do pilar, 
desde o último piso até a fundação. 
 
Com o conhecimento da geometria do pilar, das características dos materiais e do carregamento aplicado 
ao pilar, o cálculo de cada lance é efetuado da mesma forma: calculam-se as excentricidades, e a situação 
de cálculo a ser considerada é o de uma seção sujeita a uma flexão composta. 
 
No caso geral a flexão composta é reta, ou seja, o momento é aplicado na direção do menor lado. Em 
alguns casos, pode haver momentos nas duas direções principais, e nesses casos a flexão composta será 
obliqua. 
 
O método comumente adotado para o cálculo dos pilares é o denominado pilar padrão, que consiste no 
estudo de um pilar em balanço com o comprimento le , e as excentricidades inicial, acidental e de segunda 
ordem aplicadas à carga vertical no seu topo. 
 
Aplicam-se às cargas e aos materiais os coeficiente de majoração de esforços e de minoração das 
resistências comuns aos cálculos das lajes e vigas. Caso a menor dimensão do pilar seja inferior a 19 cm, 
deverá se aplicado o coeficiente adicional comentado no item 2. 
 
SITUAÇÃO TEÓRICA SITUAÇÃO DE CÁLCULO SITUAÇÃO DE CÁLCULO 
 Pilar curto Pilar moderadamente esbelto 
 
Os esforços de cálculo referem-se portanto à seção da base do pilar. 
 
O cálculo das armaduras em seções sujeitas a flexão composta é feito com o auxílio de tabelas ou 
ábacos de flexão composta, aplicados a cada tipo de seção com uma determinada geometria e 
distribuição de armadura. Esses ábacos estão apresentados a seguir, e usam os coeficientes de 
majoração de esforços e de minoração de resistências comuns aos cálculos das lajes e vigas. Caso a 
menor dimensão do pilar seja inferior a 19 cm, deverá se aplicado o coeficiente adicionaln apresentado 
no item 2. 
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7. Sequência de Cálculo 
 
Com o valor da força normal, Nk, calcula-se Nd. 
Nd = n f Nk 
 
A seguir calcula-se as excentricidades. A excentricidade total resulta e = e1 + ea + e2 
 
No ábaco, verifca-se qual a taxa mecânica de armadura necessária  - ver a seguir o ábaco – 
Observação: existem também tabelas para esse fim. 
 
A taxa geométrica de armadura necessária será , e daí obtém-se a armadura necessária ( a ser 
comparada com a armadura mínima). 
 
Passa-se ao detalhamento da armadura do pilar. 
 
Para cada lance do pilar, entre dois pavimentos, a força N varia, portanto o cálculo (e respectivo 
detalhamento) é feito para todos os lances do mesmo pilar. 
 
 
Ábaco de Flexão Composta 
Observar que para cada tipo de distribuição de armadura há um ábaco específico. No detalhamento do 
pilar deverá ser observada essa distribuição correspondente ao ábaco utilizado. 







 
 
  Nd
A fc c 
e/h no ábaco, obtenho o valor de  O valor deresulta: 
  f
f
c
s
 
  2A
A
s1
c
 
 
IMPORTANTE: O VALOR DE  DO ÁBACO É LIGEIRAMENTE DIFERENTE DO  
UTILIZADO PARA O CÁLCULO DA EXCENTRICIDADE DE 2a ORDEM 
(nesse caso usa-se fc em vez de fcd) fc = 0,85 fcd 
 
O valor de fs é igual a fyd. 
 
 
 
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EXEMPLOS DE ÁBACOS DE FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
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8. Disposições Construtivas 
 
a) Área mínima da seção transversal: 
 
Ac = 360 cm² (área total da seção) 
 
 
b) Diâmetro das barras da armadura longitudinal (l) 
10mm  (l)  h/8 
 
c) Armadura longitudinal máxima: 
Asmáx = 8% Ac 
A armadura considerada deve levar em conta todas as barras da mesma seção para o caso mais 
desfavorável, inclusive a região das emendas. 
 
d) Armadura longitudinal mínima: 
As min = 0,15 Nd / fyd  0,4% Ac 
 
e) Espaçamento das barras da armadura longitudinal: 
 - distância mínima entre as barras: 
 
  l 
eh  2 cm 
 1,2 dmáx agregado 
 
 - distância máxima entre as barras: 
 
eh  2 h 
 40 cm 
 
f) Diâmetro das barras da armadura transversal (t) 
 
t  5 mm 
 1/4 l 
g) Espaçamento das barras da armadura transversal (st) 
 
 
 20 cm 
st  h 
 12 l para CA-50, e 25 l para CA-25 
 
 
 
 
h) Proteção contra a flambagem das barras da armadura 
longitudinal 
 
Os estribos protegem a flambagem das barras da quina e até mais 2 barras, desde que estas 
estejam situadas a uma distância máxima de 20t da quina. 
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No caso de não existirem. barras protegidas contra flambagem, deverão ser dispostos estribos 
suplementares. E aplicam-se as mesmas regras para as quinas desses estribos suplementares, 
que funcionam como pontos fixos, onde se inicia a nova contagem de 20t. 
 
 
O estribo suplementar pode ser substituído por uma barra reta com ganchos, que envolve duas 
barras protegidas localizadas uma em frente à outra. 
 
Essa barra também denominada “amarra” pode também envolver o estribo, e nesse caso o ponto 
fixo pode contar mais 20t para cada lado.Os seja: 
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Observações gerais sobre as amarras e estribos suplementares: 
 
1 – as amarras e os estribos suplementares devem ter o mesmo diâmetro e espaçamento dos estribos; 
2 – as amarras e estribos suplementares podem representar problemas na ocasião da concretagem; uma 
alternativa para diminuir esse problema é a disposição das barras mais concentradas nos cantos do pilar. 
 
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i) seção transversal de pilares – numero mínimo de barrasNo caso de pilares retangulares deve-se adotar sempre um número par de barras. 
 
j) emendas das barras, ou “arranques” – detalhes complementares 
 
 
 
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8. Exemplo - Cálculo e detalhamento de um pilar 
 
 
Dado o esquema geral da estrutura de um edifício, o esquema das formas do pavimento tipo, e os 
diagramas de cortantes nas vigas do tipo, pede-se calcular e detalhar o pilar P5 entre o térreo e o 
pavimento 1. Apresentar o detalhamento de sua seção transversal, os comprimentos dos ferros 
longitudinais, e detalhes e quantidade de estribos. Admitir que as cargas no piso da cobertura sejam 
idênticas às dos demais pisos. Considerar carga centrada. 
 
- concreto fck = 20 MPa - aço CA 50 - comprimento de ancoragem lb= 44 
- cobrimento da armadura = 1,5 cm - seção transversal do pilar = 17 cm x 50 cm 
- pé-direito – piso a piso = 2,90 m 
 
 
 
ESQUEMA DE FORMAS (Válido p/ todos os pavimentos)
Cobertura P1 V1 P2 P3
5
P4 V2 P5 (17x50) P6 c
4
V
4
V
5
V
6
3 V3
P7 P8 P9 a
2
Cortantes em V1, V2 e V3
1 c
a
Térreo d
b
a b c d
V1=V3 1,3 3,2 2,9 1,9
V2 2,5 3,8 3,2 2,1
V4=V6 0,9 1,8 1,7 1,1
V5 1,3 2,4 1,9 1,2
b
d
Tabela de forças cortantes (tf)
ESQUEMA GERAL DO EDIFÍCIO
C
or
ta
nt
es
 e
m
 V
4,
 V
5 
e 
V
6
2,
90
 m
 
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