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Cálculo II

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∀n ∈ N, teˆm inflexa˜o em x = 0, ja´ que
f ′′(x) = 2n · (2n+ 1) · x2n−1.
• a func¸a˜o y = 4x 13 −x 43 e´ cont´ınua em torno da origem, mas tem reta tangente
vertical na origem, ou seja na˜o existe f ′(0). Como
f ′′(x) = −4(2 + x)
x
5
3
isso diz que f ′′(x) > 0 para −2 < x < 0 e f ′′(x) < 0 para x > 0, ou seja,
x = 0 e´ ponto de inflexa˜o. Tambe´m f ′′(x) < 0 para x < −2 e portanto
x = −2 e´ outro ponto de inflexa˜o.
8. CRITE´RIO DA DERIVADA DE ORDEM N 152
• o gra´fico de y = f(x) (em vermelho) na Figura a seguir representa a pop-
ulac¸a˜o de bacte´rias colocada num meio favora´vel, no tempo x.
A taxa de crescimento f ′(x) (em verde) vai aumentando ate´ atingir um
valor ma´ximo (no ponto de inflexa˜o x ≈ 1.1.), a partir do qual fatores como
escassez de nutrientes, aumento de detritos, comec¸am a diminuir essa taxa
de crescimento.
No ponto de inflexa˜o a acelerac¸a˜o f ′′(x) do processo (em amarelo) e´ nula.
6
2
-6
4
0
x
32,521,51
-4
-2
0,50
A func¸a˜o f(x) sera´ dada explicitamente nas Sec¸o˜es 4 e 5 do Cap´ıtulo 38.
8. Crite´rio da derivada de ordem n
Uma func¸a˜o como y = f(x) = sin4(x) claramente tem um ponto de mı´nimo local
em x = 0, ja´ que se anula em zero e e´ positiva por perto. No entanto
f ′′(x) = 4 sin(x)2 · (4 cos(x)2 − 1) e f ′′(0) = 0,
por isso na˜o esta´ ao alcance do crite´rio da segunda derivada (Afirmac¸a˜o 2.1). Tambe´m
f ′′′(x) = 8 sin(x) cos(x) · (8 cos(x)2 − 5)
se anula em x = 0, pore´m:
f (iv)(x) = 256 cos(x)4 − 272 cos(x)2 + 40
tem valor f (iv)(0) = 24.
A Afirmac¸a˜o 2.1 se generaliza assim:
Afirmac¸a˜o 8.1. Suponha f : (a, b) → R com derivadas de todas as ordens7. Seja
n ∈ N.
7Na˜o confunda a derivada de ordem n, f (n), com a poteˆncia n-e´sima fn.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 153
i) se f ′(x) = f ′′(x) = . . . = f (2n−1)(x) = 0 mas f (2n)(x) > 0 enta˜o x e´ ponto de
mı´nimo local.
ii) se f ′(x) = f ′′(x) = . . . = f (2n−1)(x) = 0 mas f (2n)(x) < 0 enta˜o x e´ ponto de
ma´ximo local.
ii) se f ′(x) = . . . = f (2n)(x) = 0 mas f (2n+1)(x) 6= 0 enta˜o x e´ ponto de inflexa˜o.
Demonstrac¸a˜o.
Item i):
A prova completa seria ∀n ∈ N e a´ı enta˜o a induc¸a˜o matema´tica seria exigida.
Por isso, para simplificar mas mesmo assim dar uma ı´de´ia da prova, me atenho ao
primeiro caso relevante, ou seja quando
n = 2.
Temos por hipo´tese:
f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = 0 mas f (iv)(x) > 0.
Como ha´ derivadas de todas as ordens, a func¸a˜o f (iv)(x) e´ cont´ınua em x, pois e´ ate´
mesmo deriva´vel. Logo pelo princ´ıpio de ine´rcia das func¸o˜es cont´ınuas, existe um
intervalo Ix = (−δ + x, x++δ) centrado em x tal que
f (iv)(x) > 0, ∀x ∈ Ix.
Enta˜o no intervalo Ix a func¸a˜o f
′′′(x) e´ uma func¸a˜o estritamente crescente. Como por
hipo´tese f ′′′(x) = 0, concluimos que:
f ′′′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′′′(x) > 0 em (x, x+ δ).
Ou seja que a func¸a˜o f ′′(x) e´ estritamente decrescente em (−δ + x, x) e f ′′(x) e´
estritamente crescente em (x, x+ δ). Como f ′′(x) = 0 isso diz que:
f ′′(x) > 0 em (−δ + x, x) ∪ (x, x+ δ).
Agora enta˜o f ′(x) e´ estritamente crescente em (−δ+x, x)∪(x, x+δ). Como f ′(x) = 0
temos que
f ′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′(x) > 0 em (x, x+ δ).
Por u´ltimo isso diz que f e´ estritamente decrescente em (−δ+x, x) e f e´ estritamente
crescente em ((x, x+ δ). Logo x e´ ponto de mı´nimo.
Iem ii): Ana´logo, mutatis mutandis.
Item iii):
Temos por hipo´tese:
f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = f (iv)(x) = 0
mas f (v)(x) 6= 0. Por exemplo suponhamos
f (v)(x) > 0.
o caso negativo e´ ana´logo.
9. CONFECC¸A˜O DE GRA´FICOS DE POLINOˆMIOS 154
Como ha´ derivadas de todas as ordens, a func¸a˜o f (v)(x) e´ cont´ınua em x, pois e´
ate´ mesmo deriva´vel. Logo pelo princ´ıpio de ine´rcia das func¸o˜es cont´ınuas, existe um
intervalo Ix = (−δ + x, x++δ) centrado em x tal que
f (v)(x) > 0, ∀x ∈ Ix.
Enta˜o no intervalo Ix a func¸a˜o f
(iv)(x) e´ uma func¸a˜o estritamente crescente. Como
por hipo´tese f (iv)(x) = 0, concluimos que:
f (iv)(x) < 0 em (−δ + x, x) e f (iv)(x) > 0 em (x, x+ δ).
Ou seja que a func¸a˜o f ′′′(x) e´ estritamente decrescente em (−δ + x, x) e f ′′′(x) e´
estritamente crescente em (x, x+ δ). Como f ′′′(x) = 0 isso diz que:
f ′′′(x) > 0 em (−δ + x, x) ∪ (x, x+ δ).
Agora enta˜o f ′′(x) e´ estritamente crescente em (−δ+x, x)∪(x, x+δ). Como f ′′(x) = 0
temos que
f ′′(x) < 0 em (−δ + x, x) e f ′′(x) > 0 em (x, x+ δ).
Por definic¸a˜o, x e´ um ponto de inflexa˜o.
�
9. Confecc¸a˜o de gra´ficos de polinoˆmios
Considere a func¸a˜o polinomial y = f(x) = x3 − x.
O objetivo e´ fazer seu gra´fico, de modo qualitativamente correto, sem qualquer
calculadora.
Primeiro noto onde f = 0, onde f > 0 ou f < 0 (pois essas informac¸o˜es na˜o sera˜o
fornecidas pela f ′(x)).
Ora f(x) = x · (x2 − 1) e da´ı sai que
• f(x) = 0 exatamente para x = 0,−1, 1;
• f(x) > 0 para −1 < x < 0 ou x > 1;
• f(x) < 0 para x < −1 ou 0 < x < 1.
A derivada e´ f ′(x) = 3x2 − 1 e portanto
• f ′(x) = 0 em x =
√
1
3
,−
√
1
3
.
• f ′(x) > 0 se x >
√
1
3
ou x < −
√
1
3
.
• f ′(x) < 0 se −
√
1
3
< x <
√
1
3
.
• f ′(0) = −1
Essas informac¸o˜es sobre f ′(x) ja´ dizem que x =
√
1
3
e´ ponto de mı´nimo local de
f(x) e que x = −
√
1
3
e´ ponto de ma´ximo local de f(x). E tambe´m que f e´ crescente
se x >
√
1
3
ou x < −
√
1
3
e que f(x) e´ decrescente se −
√
1
3
< x <
√
1
3
. Por u´ltimo,
f ′(0) = −1 diz que o gra´fico perto da origem se parece com y = −x.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 155
Agora f ′′(x) = 6x, ou seja f ′′(0) = 0, e em x = 0 ha´ mudanc¸a de sinal da f ′′(x).
Logo x = 0 e´ ponto de inflexa˜o. Para x < 0 a concavidade de f e´ para baixo e para
x > 0 a concavidade de f e´ para cima.
A Figura a seguir recolhe essas informac¸o˜es, mas como as escalas sa˜o diferentes
nos dois eixos a informac¸a˜o f ′(0) = −1 na˜o e´ respeitada:
8
0
4
-4
-8
x
1-1 1,50,5-1,5 -0,5 0
Figura: y = f(x) = x3 − x (verm.), f ′(x) (verde), f ′′(x) (amar.)
Os Exerc´ıcios 10.5 e 10.6 desafiara˜o o leitor a fazer gra´ficos qualitativamente cor-
retos de polinoˆmios, sem usar nenhuma calculadora.
Para compreender mais unificadamente a variedade de gra´ficos de func¸o˜es cu´bicas
do tipo y = ax3 + bx2 + cx+ d, o leitor pode ler o Cap´ıtulo 32.
Na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 14 faremos gra´ficos de func¸o˜es racionais, quocientes de
polinoˆmios.
10. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 10.1. 3) Encontre o ponto do gra´fico de y = x
2
2
que minimiza a distaˆncia
ate´ P = (2, 1) pelos metodos i): de buscar pontos de ortogonalidade com o gra´fico e
ii): via mı´nimo da func¸a˜o quadrado da distaˆncia.
Exerc´ıcio 10.2. 4) As Figuras i) e ii) abaixo da˜o dois exemplos de func¸o˜es derivadas
f ′(x), apenas dadas qualitativamente. Encontre f(x) (qualitativamente) que sejam
compat´ıveis com cada f ′ dada.
2
0
-2
-6
4
-4
x
321-1-2-3
6
0
10. EXERCI´CIOS 156
Figura i): Gra´fico de uma func¸a˜o derivada f ′.
5
-15
-5
x
43210-1-2
15
10
0
-10
-20
Figura ii): Gra´fico de uma func¸a˜o derivada f ′.
Exerc´ıcio 10.3. A Figura mostra o gra´fico de uma func¸a˜o e o de sua derivada. Qual
e´ qual e por queˆ ? (Justifique analisando a relac¸a˜o entre zero/sinal da f ′ e a f ter
ma´ximo/mı´nimo ou ser crescente/decrescente).
80
0
40
4
-40
x
31 20
-80
-2 -1
Exerc´ıcio 10.4. Veja o gra´fico a seguir como o gra´fico de uma func¸a˜o derivada
y = f ′(x).
i) Sobreponha a ele o gra´fico de uma y = f(x) qualitativamente compat´ıvel
(Atenc¸a˜o a` relac¸a˜o entre zero/sinal de f ′(x) e ma´ximo, mı´nimo, crecimento, decresci-
mento da f).
ii) fac¸a com detalhe a regia˜o da f que corresponde ao ma´ximo da f ′(x).
2
1
0
-1
-3
-4