aula14_2007

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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral 1
Projeto Turmas Especiais 
RESUMO DA AULA TEÓRICA 14
ESBOÇO DE GRÁFICOS
Relembrar o Teste da Derivada Primeira: (aula teórica 12)
Se 
 para todo 
 num intervalo, então 
 é crescente neste intervalo;
Se 
 para todo 
 num intervalo, então 
 é decrescente neste intervalo;
Exibir gráficos de funções crescentes com diferentes concavidades e motivar a necessidade de distinguir esses dois casos. Aproveitar estes exemplos para definir gráfico côncavo para cima e gráfico côncavo para baixo: o gráfico de uma função 
 é côncavo para cima (resp. côncavo para baixo) em um intervalo 
 se ele estiver acima (resp. abaixo) de suas retas tangentes em todos os pontos desse intervalo. 
Derivadas sucessivas: introduzir esse conceito através de exemplos.
Apresentar o Teste da Derivada Segunda:
Se 
 para todo 
 num intervalo I, então o gráfico de 
 é côncavo para cima em I;
Se 
 para todo 
 num intervalo I, então o gráfico de 
 é côncavo para baixo em I;
Definição: um ponto 
 do gráfico de uma função 
 é um ponto de inflexão se 
 é contínua nesse ponto e se existe 
 tal que o gráfico de 
 tem uma concavidade no intervalo 
 e concavidade oposta no intervalo 
.
A partir de figuras, apresentar exemplos de gráficos côncavos para cima, gráficos côncavos para baixo e de pontos de inflexão. Observar que pontos de inflexão aparecem quando a derivada segunda muda de sinal. Para isso, em geral, num ponto de inflexão devemos ter 
 ou a não existência de 
.
Exemplo 1: Estudar intervalos de crescimento, decrescimento e a concavidade do gráfico de 
.
Na discussão desse exemplo chamar a atenção para a conveniência de se seguir o seguinte roteiro quando se deseja esboçar o gráfico de uma função 
.
Roteiro para esboço de gráficos:
Determinar o domínio da função.
Calcular a interseção do gráfico com o eixo y e, se possível, calcular a interseção do gráfico com o eixo x resolvendo a equação 
.
Fazer o estudo de sinal da função 
.
Verificar se o gráfico possui alguma simétrica: se a função é par o gráfico é simétrico em relação ao eixo y, e se a função é ímpar seu gráfico é simétrico em relação à origem. Também é conveniente analisar se a função é periódica.
Calcular as retas assíntotas verticais e horizontais do gráfico de 
. Para as assíntotas verticais, determinar limites infinitos de 
. Para as assíntotas horizontais, calcular os limites no infinito de 
 e verificar se o limite é finito. 
Calcular 
 e determinar todos os pontos críticos de 
.
Através do estudo do sinal de 
, determinar os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde ela é decrescente. 
Calcular 
 e determinar todos os intervalos onde o gráfico de 
 é côncavo para cima e côncavo para baixo.
Reunir todas essas informações e fazer o esboço do gráfico.
Exemplo 2: Fazer o esboço do gráfico de 
.
Exemplo 3: Fazer o esboço do gráfico de 
.
Exemplo 4: Fazer o esboço do gráfico de 
.
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