2aProva_1300_1_GAAL

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GAAL - PROVA 2 - 13h - 29/05/2001
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Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas
Questo˜es:
1. ( 9 pontos) Se v e´ o vetor que satisfaz as condic¸o˜es
(i) v × (1,−1, 0) = (1, 1,−2);
(ii) ‖v‖ = √5;
(iii) o aˆngulo entre v e (0,−1, 1) e´ maior que 90◦.
encontre as coordenadas do ponto final do representante de v que tem ponto
inicial (3,−1, 2).
2. (9 pontos)
(a) Determine uma equac¸a˜o geral para o plano pi, paralelo aos vetores v =
(1, 0, 1) e w = (1, 1, 2) e que passa pelo ponto (0, 1, 1).
(b) Verifique que a reta r , cuja equac¸a˜o e´ dada a seguir, e´ perpendicular ao
plano pi.  x− 2y − z − 7 = 0x+ z + 5 = 0
(c) Encontre os pontos da reta r que esta˜o a uma distaˆncia igual a
√
3 do
plano.
3. (9 pontos) Determine uma base para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema ho-
mogeˆneo 
x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 + x5 = 0
3x2 + 5x3 − x4 = 0
x5 = 0
Ele e´ subespac¸o de que espac¸o IRn? Qual e´ a dimensa˜o deste subespac¸o?
4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:
(a) O conjunto S = {x, y, z ∈ R3|x = z3} e´ um subespac¸o do R3
(b)O produto vetorial de vetores satisfaz a propriedade ‖~V × ~W‖ ≤ ‖~V ‖‖ ~W‖.