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1a Prova de Gaal – 14/09/13
(Gabarito)
Nome leg´ıvel / Turma:
1) (20 pts) Responda, com justificativa, qual item abaixo e´ falso ou verdadeiro.
a) Se A2 = A, enta˜o detA = 0 ou detA = 1;
b) Se AT = A−1, enta˜o detA = ±1
c) det(A + B) = detA + detB.
d) Se A e´ uma matriz 3× 3 e AT = −A, enta˜o detA = 1.
Soluc¸a˜o :
a) Acompanha e sequeˆncia de implicac¸o˜es:
A2 = A
detA2 = detA
(detA)2 = detA
detA = 0 ou 1
Item verdadeiro!
b) Acompanha e sequeˆncia de implicac¸o˜es:
AT = A−1
detAT = detA−1
detA =
1
detA
detA = ±1
Item verdadeiro!
Se AT = A−1, enta˜o detAT = detA−1. Mas detAT = detA e detA−1 = 1/ detA.
Portanto, detA =
1
detA
. E, a soluc¸o˜es desta u´ltima equac¸a˜o sa˜o 1 e −1. Logo, este
item e´ verdadeiro.
c) Este item e´ falso. Na˜o e´ dif´ıcil encontrar duas matrizes que sa˜o contra-exemplo.
Por exemplo:
A =
[
1 0
0 1
]
, B =
[
1 0
0 1
]
Observe que det(A + B) = 4, mas detA + detB = 2. Afirmac¸a˜o falsa
d) Se AT = −A, enta˜o detAT = det(−A). Como A e´ uma matriz 3 × 3, det(−A) =
− detA . Portanto, detA = − detA. E, a soluc¸a˜o desta u´ltima equac¸o˜es e´ 0.
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2) (10 pts) Verifique se a matriz abaixo possui inversa. Se sim, calcule-a. 1 1 22 3 4
1 −2 1

Soluc¸a˜o:
Observe que o determinante desta matriz e´ −1. Logo e´ invert´ıvel. Assim, vamos
determinar a sua inversa.  1 1 2 1 0 02 3 4 0 1 0
1 −2 1 0 0 1

 1 1 2 1 0 00 1 0 −2 1 0
0 −3 −1 −1 0 1

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2 1 0 2 3 −1 00 1 0 −2 1 0
0 0 −1 −7 3 1

L3 ← −L3  1 0 2 3 −1 00 1 0 −2 1 0
0 0 1 7 −3 −1

 1 0 2 3 −1 00 1 0 −2 1 0
0 0 1 7 −3 −1

L1 ← L1 − 2L3  1 0 0 −11 5 20 1 0 −2 1 0
0 0 1 7 −3 −1

Apo´s este escalonamento, como obtemos a matriz identidade do lado esquerdo, pode-
mos concluir que do lado direito esta´ escrita a matriz A−1. Portanto
A−1 =
 −11 5 2−2 1 0
7 −3 −1
 .
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3) (10 pts) Considere o sistema linear
x − y + z = 0
x + (a + 1)y + 2z = 0
x − y + (a− 1)z = a + 2
a) Para quais valores de a os sistema possui soluc¸a˜o u´nica?
Soluc¸a˜o:
Um sistema quadrado possui soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, o determinante de sua
matriz de coeficientes e´ diferente de zero. A matriz de coeficientes e´
A =
 1 −1 11 (a + 1) 2
1 −1 (a− 1)

cujo determinante e´ a2 − 4. Assim, o sistema possui soluc¸a˜o u´nica se, e somente se,
a 6= ±2
b) Para quais valores de a os sistema na˜o possui soluc¸a˜o?
Soluc¸a˜o:
O sistema na˜o possui soluc¸a˜o quando a = 2. Vejamos porque. Substituindo a = 2 em
sua matriz aumentada temos:  1 −1 1 01 3 2 0
1 −1 1 4

Note que a 1a e a 3a linhas sa˜o inconsistentes.
c) Para quais valores de a os sistema possui infinitas soluc¸o˜es? Determine o conjunto
soluc¸a˜o deste caso.
Soluc¸a˜o:
Para a = −2 os sitema possui infinitas soluc¸o˜es. Vejamos porque e calculemos o seu
conjuntos soluc¸a˜o. Pois, substituindo a = −2 em sua matriz aumentada, temos 1 −1 1 01 −1 2 0
1 −1 −3 0

Multiplicando a 1a linha por −1 e somando a`s linhas 2 e 3: 1 −1 1 00 0 1 0
0 0 −4 0

Agora, observe que essa matriz representa o seguinte sistema
x − y + z = 0
z = 0
−4z = 0
Donde z = 0 e x = y. Portanto, o conjunto soluc¸a˜o do sistema e´ {(t, t, 0) ∈ R3 | t ∈ R}