ATPS de Cálculo III

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 ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
4º SEMESTRE
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Introdução
O Cálculo III
Neste trabalho apresentamos a continuação do cálculo, esta parte voltada para o cálculo de áreas e volumes, bem como áreas sob curvas em gráficos, sendo este o cálculo integral. Desenvolvido por Newton e Leibniz em trabalhos separados, que logo mostrou-se ser uma das mais importantes ferramentas do cálculo para o estudo das áreas e volumes de maneira à facilitar a mesma. 
Neste ATPS trabalharemos com problemas de alguns setores econômicos que mostram-se de natureza profundamente matemática para determinação de decisões, como sendo, da área de exploração petrolífera, imaginando modelos matemáticos de valores irreais para o custo marginal do mesmo. Em outros problemas, temos a determinação de soluções puramente matemáticas.
Para a determinação do cálculo, iniciamos nosso trabalho com extensa pesquisa e desenvolvimento pessoal e adaptativo à ferramenta, onde apresentamos uma dissertação técnica sobre o cálculo integral e suas aplicações, bem como a breve história do mesmo. Dentre todos os materiais de desenvolvimento, deve-se notar o uso das diversas técnicas de integração, imprescindíveis para problemas complexos e que, de forma simples, ajudam-nos para a determinação de soluções, podendo-as ser como guias de soluções até para estudantes não-familiarizados com o cálculo integral.
Assim, damos início a apresentação geral de cálculo integral através deste trabalho, que de boa forma, demonstra vários dos problemas e adversidades que podem ser encontrados no mundo real e que somente descritos em fórmulas matemáticas e de entendimento científico, seja para o mundo físico, seja para o matemático, sempre ligados por leis das quis podemos interpretar do uso do cálculo, seja do cálculo diferencial, seja do cálculo integral.
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Etapa 1
Cálculo Integral – Passo 1
O desenvolvimento matemático da antiguidade levou-nos à pesquisa de novos meios de responder questões de interesse para o desenvolvimento humano, dentre elas, como primordial, tentar responder a área de planos para o desenvolvimento da agricultura, e até mesmo, da engenharia antiga, dados estes exemplos para o extenso estudo de maneiras de resolver problemas matemáticos de natureza específica. 
Assim, do desenvolvimento matemático continuo através dos séculos seguintes, em especial na idade moderna, e com o surgimento da matemática aplicada, foi com Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que problemas antes sem solução exata e de cálculos extensivos foram respondidos em trabalhos iguais, mas independentes, pelos dois matemáticos, que dissertaram à respeito do desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. 
Os conceitos apresentados pela nova ferramenta de fazer matemática mostraram-se uteis nos diversos campos de estudos, tanto para o estudo das matérias exatas, tanta para o desenvolvimento das matérias humanas e biológicas, sendo importante notar o impacto direto do desenvolvimentos destas duas últimas na sociedade.
No desenvolvimento da sociedade contemporânea o cálculo assumiu caráter rigoroso, tornando-se de grande importância para com o desenvolvimento técnico-científico atual. Neste período fomos capazes de expandir as ideias do cálculo integral para o espaço euclidiano, que é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno, e para o plano complexo.
Assim, da compreensão da capacidade de resolver problemas, a determinação de uma nova ferramenta mostrou-se o meio definitivo para o encontro de soluções, mostrando os meios e técnicas de cálculo para os vários problemas matemáticos das mais diversas áreas do conhecimento. 
Desafios de Integração – Passo 2 e 3
Agora, da proposta do Passo 2 e 3 deste trabalho, devemos solucionar alguns desafios que envolvem integrais e, após isso, associar números dados pelo desafio às respostas, onde obteremos uma sequência numérica específica. 
Desafio A
Neste desafio devemos encontrar a solução da integral , respondendo, após resolvida, qual das alternativas é a respostas. Sendo elas:
Então, resolvendo ,
Assim, encontramos que a solução da integral é , ou seja, a solução apresentada pela alternativa b, e assim, pelo proposto no Passo, deve-se ser associado o número 3 para a alternativa b.
Desafio B
Aqui compreendemos um cálculo de relação utilizado pela indústria do petróleo, supondo valores de perfuração por pés perfurados e o valor inicial para tal perfuração, sendo e , respectivamente, e assim, a representação do custo total para a perfuração de pés pode ser dada entre uma das soluções.
Tomando como o integrando, temos:
Agora, estabelecendo que a constante de integração seja o valor corresponde quando o valor para na atual função é , ou seja, , , por ser independente do valor de , e tomando o que foi dado no enunciado do desafio para , podemos atribuir o valor na equação.
Assim temos que a alternativa que mostra a solução correta para o problema é a alternativa a, então, associamos o número 0 à resposta. 
Desafio C
Neste desafio esclarecemos o crescimento exponencial do consumo de petróleo para a última década do século XX, onde é o número de anos contados após o início de 1990. Para tal taxa de consumo obtemos um modelo matemático aproximado, . Assim, devemos analisar a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994, comparando com uma das soluções alternativas abaixo. 
 bilhões de barris de petróleo
 bilhões de barris de petróleo
 bilhões de barris de petróleo
 bilhões de barris de petróleo
Nenhuma das alternativas
Para resolvermos, tomamos a quantidade de petróleo consumida entre os anos de 1992 e 1994 como o limite da integração do consumo , onde obtemos uma integral definida do tipo , e como o número de anos é contado a partir do início de 1990 temos . Resolvendo-a:
Assim, pelo método da substituição, tomamos como , e agora , então , onde utilizamos na equação.
Agora substituímos o valor de por .
Então, tomando o consumo total dado pela equação como e aplicando-o no cálculo, temos:
Deste modo, como o consumo de petróleo é dado em bilhões de barris, temos que o consumo total entre os anos de 1992 e 1994 foi de bilhões de barris de petróleo, condizente com a alternativa c, do que agora atribuímos o número 1 à alternativa.
Desafio D
Ao desafio nos é solicitada a solução para a área sob a curva no intervalo para a , dadas as alternativas com as soluções para comparação.
Então, fazendo-se a integral da curva no intervalo:
Assim, pelo método da substituição, temos, assim , então . Substituindo na equação:
Deste modo temos que o valor da área sob a curva é de , ou seja, o valor dado na alternativa a, e que agora associamos o número 9 a mesma.
Obtemos, deste modo, a seguinte sequência numérica: “3019”.
Etapa 2
Técnicas de Integração – Passo 1
O desenvolvimento do cálculo integral veio à ajudar no cálculo da área bem como de qualquer volume de um sólido ou a superfície do mesmo. No entanto, são as técnicas utilizadas para a solução de cálculo que demonstram a facilidade de se trabalhar os processos de integração, de modo a nos dar maneiras de se calcular, por exemplo, áreas sob curvas adversas, entre elas, do tipo de multiplicações de funções de curvas.
Assim, do que desenvolveremos nesta Etapa, consideramos alguns processos de integração de importação, entre eles o de integração por substituição, ou método da substituição, o qual consiste em transpor a função que será integrada em uma outra função, denominada, geralmente, de , que será então responsável pela integração de por ao contrário de uma função em termos de . Como exemplo, tomemos a integral indefinida . Para a resolvermos, substituímos o valor do qual está elevado por , assim e . Disso, substituímospor , obtendo a integral , que pode ser escrita como , e assim . Ao final disto obtemos a expressão . 
Entre outros métodos, podemos destacar a integração por partes e a integração de frações parciais. 
A integração por partes refere-se a integração de uma multiplicação de funções, utilizando-se, também, de suas derivadas para o cálculo, sendo esta o inverso da regra do produto em cálculo diferencial. Como a derivada de uma multiplicação de funções aparece quando fazemos o cálculo , no cálculo integral, para a multiplicação de funções a serem integradas, a regra do método vale como .
E agora, a integração de frações parciais se dá quando da integração de frações do tipo , sendo representada da forma .
Desafios de Integração – Passo 2 e 3
Aqui, consideramos o seguinte desafio relativo à igualdade das expressões I e II e devemos escolher uma das 4 alternativas que definam a veracidade das mesmas e associamos um número dado à resposta.
Para as alternativas em que pode-se afirmar:
(I) e (II) são verdadeiras
(I) é falsa e (II) é verdadeira
(I) é verdadeira e (II) é falsa
(I) e (II) são falsas
Da Igualdade I, tomamos a integração pelo método de substituição, onde compreendemos, para simplificação de cálculo, que e , e assim, substituímos nossa equação de maior complexidade, no caso o argumento , por , ou seja, . Ficando,
Então, como devemos integrar , tomamos também em termos de , tornando-a considerando que, se , então sua derivada em termos de é . Analisando, podemos simplificar , basta-nos divir por , onde fica . Assim, em termos de é. Então, substituindo na equação, temos:
Se observarmos o resultado obtido e compararmos com , notamos que este é o inverso de . Assim, como toda a integral é uma multiplicação dos termos, e que, como estamos integrando em , podemos simplificar nossos cálculos tomando a divisão , e, calculando-a, chegamos ao resultado de , visto que da divisão de por sua inversa obtêm-se um resultado negativo. Temos então:
Assim, como temos uma multiplicação do integrando por uma constante, apenas temos de passar tal constante para fora da integral.
Agora, da integração em , temos a solução em:
E assim, substituindo por seu valor original em , e agora calculando toda a expressão, temos então,
Deste modo, concluímos que a solução dada para a Igualdade I é verdadeira, bastando-nos confirmar a veracidade da Igualdade II para darmos continuidade ao Passo.
Para a Igualdade II utilizamos o método de substituição e o de integração de funções parciais, que foi visto de grande ajuda para a resolução desta.
Aqui, tomamos a equação , onde, pela substituição, tomamos como . Deste modo, devemos eliminar a raiz no valor, onde fazemos , então, . Assim, isolando-se , a variável cujo valor queremos substituir, temos que . Então, como também queremos substituir também o integrador pelo integrador em função de , fazemos a derivada de , assim temos . Agora, substituindo tudo na equação, temos:
Assim, dividindo por , e passando para fora a constante restante da divisão, temos a integral:
Agora, fazendo a integração em termos de , obtemos.
Substituindo assim por , e resolvendo, temos:
Assim, verifica-se a veracidade da Igualdade II, onde agora podemos ter a conclusão do Passo.
Destas, determinamos que a alternativa que demostra a veracidade das igualdades dadas é a alternativa a, pois as duas equações, cujas soluções são e , são verdadeiras. Assim, pelo Passo 3, representamos a afirmação com o número 4, que logo será associado à nossa sequência numérica, onde obteremos o seguinte: “30194”.
Etapa 3
Cálculo de Área pela Teoria de Integrais – Passo 1
Do Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona o uso de derivadas e integrais, encontramos o conceito geral para a aplicação de ambas no cálculo de área, mostrando-se sua importância na pesquisa e desenvolvimento científico. Tal conceito descreve a relação intrínseca entre a integração e derivação, sendo elas operações inversas entre as mesmas, sendo disto nossa compreensão das variadas técnicas de cálculo, seja de diferenciação, seja de integração. 
O cálculo de área se dá através da integração de uma função representativa (curva) da qual se quer descobrir a área sob a mesma em pontos quaisquer ou em toda a continuidade da função. Assim, seja uma função que representa uma curva no gráfico e se quer descobrir a área sob a mesma em dados pontos e , tomamos em cada ponto da representação como a altura em cada ponto de ao longo do campo de cálculo. Disto, utilizando-se do conceito de limite, e representando o cálculo conhecido da área de um retângulo cuja altura é e que cuja largura é compreendemos a área total sob uma curva como sendo a área desconhecida da mesma mais a área dada pelo erro na aproximação do cálculo pela área do retângulo. Assim, se aumentarmos o número de retângulos, consequentemente o valor de será tão próximo de que representará uma porcentagem mínima do erro de aproximação e como a área total é a soma de todas as áreas dos retângulos que compõe o cálculo, então basta-nos tender o número de retângulos ao infinito para que tomemos a exatidão do cálculo da área sob a curva da somatória de todas as áreas dos retângulos que a irão compor.
Do cálculo da área para intervalor definidos entre e , encontramos sua solução na diferença entre a área encontrado dos extremos da questão, isso significa que da obtenção de uma função primitiva , resultado da integração de em , nos extremos e , encontramos a diferença na continuidade e precedência dos extremos na função. 
Desafio de Cálculo de Áreas – Passo 2 e 3
Deste Passo consideramos a análise de duas situações de cálculo de área sob curvas, onde devemos determinar as soluções para tais áreas e comparar, segundo as afirmações, se os resultados já apresentados e os encontrados com a solução de nossas experiências são verdadeiros ou falsos, onde temos as afirmações de que a área da Figura 1 é e a área da Figura 2 é As situações são descritas pelas figuras 1 e 2, respectivamente.
 
 Figura 1 Figura 2
Para as alternativas em que pode-se afirmar:
(I) e (II) são verdadeiras
(I) é falsa e (II) é verdadeira
(I) é verdadeira e (II) é falsa
(I) e (II) são falsas
Da Figura 1, podemos calcular a área sob o gráfico calculando primeira a área definida entre dois pontos, sendo eles e na integral , onde obtemos não a área definida pela figura, mas parte dela, obtemos, no entanto, a área sob o gráfico nos pontos em que a . Trabalhando a integral,
Agora, devemos calcular a área formada pelo quadrado da figura de pontos , , e . Assim, determinamos a área pela multiplicação dos lados do quadrado, sendo assim Então, a área total sob o gráfico definida entre os pontos , e é de 
Disto, podemos tomar a área que está fora do nosso cálculo como a área de um triângulo-retângulo. Assim, temos duas áreas que estão fora de cálculo, sendo elas: Área 1, de pontos , e , e Área 2, de pontos , e . Então, para o cálculo da Área 1 e 2, fazemos , ou seja, a metade do resultado da multiplicação da base vs a altura do triângulo-retângulo descrito. 
Para a Área 1:
Para a Área 2:
Deste modo, desconsiderando as áreas 1 e 2 do cálculo da área total encontrada como , podemos encontrar a área descrita pela figura. Fazemos então:
Disto, determinamos que a área descrita pela Figura 1 é de , condizente com o que se afirma no Passo.
Para a Figura 2, consideramos a o cálculo das áreas sob as curvas e . Como se trata da representação de áreas com os mesmos limites de integração e que em números representam desigualdades, mas como trabalha-se com o conceito de área, não podemos dá-las como negativas, assim as somamos.
 Então concluímos que a afirmação dada pelo Passo é contrária a solução encontrada, assim, a áreadada pelo Passo na Figura 2 é falsa.
Pode-se ser demonstrado matematicamente através de processos de integração sucessivos para cada quadrante do gráfico apresentado.
Fazendo-o para o 1º Quadrante, no espaço delimitado, em a .
Como temos uma limitação para a área quando , devemos calcular a área a ser formada por um retângulo no ponto e . Assim, para o ponto , como devemos determinar o valor de quando , atribuímos este valor em na equação , ficando . Em consequência, a área dada por tal retângulo será , ou seja, Agora, basta-nos calcular a área sob a curva de . Para tal, a integramos.
Assim, a área total sob o gráfico é 
Para o 2º Quadrante, limitado em e , onde prevalece a lei , então a área sob a curva é no intervalo e .
Assim, a área sob a curva é dada em:
E a área total sob a curva é 
Agora, para o 3º Quadrante, limitado em e , temos a lei de formação .
Disto, a área sob a curva no intervalo e é.
Assim, a área total descrita é igual a área sob a curva mais a área do retângulo formado, cujo valor é de , deste modo 
Para o 4º quadrante, delimitado em e , temos:
A área sob a curva obedece a lei , onde aparenta todos os valores numericamente iguais, mas negativos, mas do cálculo de área, dá-se o valo positivo e igual à da área 1.
Assim sendo, o mesmo vale para o 2º e 3º quadrante, que descrevem a mesma situação para com a solução.
Ao fim disto, concluímos que a afirmação dada para a Figura 1 é verdadeira e para a Figura 2 é falsa, confirmando a veracidade alternativa c. Agora, associamos a essa alternativa o 8, que dará continuidade à sequência numérica do desafio deste ATPS.
Etapa 4
Cálculo de Áreas e Volumes de Sólidos de Revolução – Passo 1
O desenvolvimento matemático da antiguidade levou-nos à pesquisa de novos meios de responder questões de interesse para o desenvolvimento humano, dentre elas, como primordial, tentar responder a área de planos para o desenvolvimento da agricultura, e até mesmo, da engenharia antiga, dados estes exemplos para o extenso estudo de maneiras de resolver problemas matemáticos de natureza específica. 
Assim, do desenvolvimento matemático continuo através dos séculos seguintes, em especial na idade moderna, e com o surgimento da matemática aplicada, foi com Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que problemas antes sem solução exata e de cálculos extensivos foram respondidos em trabalhos iguais, mas independentes, pelos dois matemáticos, que dissertaram à respeito do desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. 
Os conceitos apresentados pela nova ferramenta de fazer matemática mostraram-se uteis nos diversos campos de estudos, tanto para o estudo das matérias exatas, tanta para o desenvolvimento das matérias humanas e biológicas, sendo importante notar o impacto direto do desenvolvimento destas duas últimas na sociedade.
No desenvolvimento da sociedade contemporânea o cálculo assumiu caráter rigoroso, tornando-se de grande importância para com o desenvolvimento técnico-científico atual. Neste período fomos capazes de expandir as ideias do cálculo integral para o espaço euclidiano, que é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno, e para o plano complexo.
Assim, da compreensão da capacidade de resolver problemas, a determinação de uma nova ferramenta mostrou-se o meio definitivo para o encontro de soluções, mostrando os meios e técnicas de cálculo para os vários problemas matemáticos das mais diversas áreas do conhecimento. 
Áreas e Volumes de Sólidos de Revolução – Passo 2 e 3
Do Passo 2, devemos encontrar as soluções para os Desafios A e B, dos quais, em A, envolve o cálculo da área de uma superfície de revolução em torno do eixo x e, em B, o cálculo do volume de um sólido de revolução em torno do eixo y, dadas as funções e limites em x que compõe tais curvas dos cálculos.
Desafio A
Neste desafio devemos encontrar a solução para a área de uma superfície de revolução em torno do eixo x dada a função que descreve a curva da superfície como , sendo que a mesma limita-se em valores correspondentes de em e . Deste, nos é questionada a veracidade da afirmação já dada pelo trabalho em questão como . E, do Passo 3, declarar um número à veracidade da informação.
Como visto, a equação que descreve a área de uma superfície de revolução é . Assim, tomando como , e dando os limites do extremo de integração na integral e , temos:
Assim, obtemos a seguinte superfície de revolução:
Imagens do sólido para o cálculo da área de superfície de revolução desenvolvidas em Maple 18.
Assim, do cálculo, fazemos , onde o substituímos e calculamos o valor de dentro da raiz, rearranjando-o, tornando-o . Assim, substituímos o valor de dentro da raiz por , e fazemos a integral em função de . Deste modo, a derivada de é , e , logicamente da substituição, é . Assim, substituímos na equação.
Resolvendo em termos de , temos:
E, resolvendo em termos de ,
Assim, tomando , ou ainda, , temos:
E, rearranjando os termos, obtemos a seguinte equação:
E, calculando a diferença entre os valores de integração dados em e , obtemos o resultado de Valor igual ao apresentado no trabalho, o que nos mostra a coerência da afirmação dada, isto é, a resposta apresentada é correta.
Disto, agora, associamos o número 4, de acordo com o Passo 3 desta Etapa.
Desafio B
Do desafio, compreendemos o cálculo do volume de um sólido da revolução do mesmo em torno da reta . Tal sólido é descrito pelas curvas e no período de e . Apresentamos abaixo o gráfico das funções para o intervalo de e .
Gráfico das funções sen(x) e sen³(x), desenvolvido em Matlab.
Do cálculo, utilizando-se do método do anel, onde dispomos das funções que descrevem o sólido na casca externa e interna, tomamos o volume do mesmo como sendo , onde é a área do anel formado da figura e , onde e são, respectivamente, a curva que descreve a casca externa do anel e a curva interna do mesmo. Assim, considerando que os mesmos terão revolução em volta da reta , apenas assumimos a imagem do gráfico no intervalo e sob a reta. Disto, considerando que o gráfico externo é e o interno é , assumimos que estes são respectivamente e , temos o volume definido em .
Resolvendo, temos que:
Imagem do sólido de revolução, desenvolvida em Maple 18.