Lista 3 - CDS 1º sem 2018

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lista de exerc´ıcios∗
limites e continuidade
Adilson E. Presoto
A lista contempla o Cap´ıtulo 9 da refereˆncia [1].
1. Nos exerc´ıcios abaixo fornece-se uma func¸a˜o f(x, y) e um nu´mero positivo �. Mostre que existe um δ > 0
tal que para, todo (x, y), √
x2 + y2 < δ ⇒ |f(x, y)− f(0, 0)| < �
(a) f(x, y) = x2 + y2, � = 0, 01
(b) f(x, y) = (x+ y)/(2 + cosx), � = 0, 02
Prove que as func¸o˜es acima sa˜o cont´ınuas em (0, 0) atrave´s da definic¸a˜o de δ − �.
2. Calcule, caso exista,
a) lim
(x,y)→(0,0)
x sen
1
x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
f) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
g) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3 h) lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2
3. Calcule, caso exista,
lim
(x,y)→(0,0)
f(h, k)
‖(h, k)‖ ,
onde
(a) f(x, y) =
x3
x2 + y2
,
(b) f(x, y) =
x2
x2 + y2
.
4. Prove a propriedade da conservac¸a˜o do sinal do limite: se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L, L > 0, enta˜o existe
δ > 0, tal que, para todo (x, y) ∈ Df ,
0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ f(x, y) > 0.
5. Prove que se f e´ cont´ınua em (x0, y0) e se f(x0, y0) > 0, enta´o existe r > 0 tal que f(x, y) > 0 para
‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r.
6. Seja f(x, y) =
2xy2
x2 + y4
.
∗Obs.: A lista acima e´ o mı´nimo exigido, realizando de outras bibliografias usadas a fim de complementa´-la.
1
(a) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a2 + b2 > 0. Mostre que, quaisquer que sejam a e b,
lim
t→0
f(γ(t)) = 0.
Tente visualizar este resultado atrave´s das curvas de n´ıvel de f .
(b) Calcule lim
t→0
f(γ(t)), onde γ(t) = (t2, t).
(c) lim
(x,y)→(0,0)
2xy2
x2 + y4
existe? Por queˆ?
7. Sejam γ1 e γ2 curvas satisfazendo as condic¸o˜es do Exemplo 4 de [1]. A afirmac¸a˜o:
′′ lim
t→t0
f(γ1(t)) = lim
t→t0
f(γ2(t)) = L⇒ lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L“
e´ falsa ou verdadeira? Se verdadeira, prove-a, caso contra´rio deˆ um contraexemplo.
8. Suponha que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = a e limu→a g(u) = L, com g na˜o definida em a e Imf ⊂ Dg. Prove
que
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(f(x, y)) = lim
u→a g(u) = L
Prove, ainda, que o resultado acima continua va´lido se supusermos g definida em a, com g cont´ınua em
a. (Sugestaˆo: O exerc´ıcio foi parte integrante da mate´ria vista em aula, Refac¸a-o!!! ).
9. Calcule
a) lim
(x,y)→(x0,y0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
b) lim
(x,y)→
(√
2
2 ,
√
2
2
) f(x, y), f(x, y) =
 e
(
1
x2+y2−1
)
, se x2 + y2 < 1
0, se x2 + y2 ≥ 1.
(Sugesta˜o: Use o exerc´ıcio anterior).
10. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
(a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6.
(b) f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2.
(c) f(x, y) =
x− y√
1− x2 − y2 .
(d) f(x, y) = ln
x− y
x2 + y2
.
(e) f(x, y) =

x− 3y
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
(f) f(x, y) =

sen (x2 + y2)
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
1, se (x, y) = (0, 0).
(g) f(x, y) =
{
e
(
1
r2−1
)
se r < 1, onde r = ‖(x, y)‖,
0, se r ≥ 1.
(h) f(x, y) =

xy2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
Refereˆncias
[1] Guidorizzi, L.H., Um curso de ca´lculo vol. 2, 5aedic¸a˜o, LTC, Rio de Janeiro, 2012.
[2] Stewart, J., Ca´lculo vol. 2, 5a edic¸a˜o, Cengage Learning, Sa˜o Paulo, 2009.
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