integral definida - Marlene 2008-2

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Integral Definida Notas de aula - profa. Marlene - 2008-2 1
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA)
Notas de aula - 2008-2
Profa. Marlene Dieguez Fernandez
Integral definida
Observac¸a˜o: esse texto conte´m apenas a parte teo´rica desse assunto, na˜o esta˜o aqui os exemplos e exerc´ıcios que sa˜o
parte integrantes desse assunto.
Comec¸aremos introduzindo alguns novos termos e nomenclaturas necessa´rios para o entendimento da integral
definida.
Partic¸a˜o de um intervalo fechado e limitado
Escolha nu´meros xi, i = 0, · · · , n no intervalo [a, b], da seguinte forma:
a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b
✲
a = x0 x1 x2 x3 x4 · · · xn−1 xn = b
Dessa forma o intervalo [a, b] ficou dividido em n sub-intervalos do tipo [xi−1, xi] , i = 1, · · · , n.
(Observe que os comprimentos desses intervalos na˜o sa˜o necessariamente iguais)
O conjunto desses n sub-intervalos e´ denominado partic¸a˜o do intervalo [a, b] e denotado por P .
Comprimento ou norma de uma partic¸a˜o.
Denotamos por:
∆xi = xi − xi−1 o comprimento de cada intervalo da partic¸a˜o.
‖∆‖ = max {∆xi, i = 1, · · · , n} a norma ou comprimento da partic¸a˜o
Verifica-se que ‖∆‖ → 0 ⇒ n→∞
A Soma de Riemann de uma func¸a˜o f com partic¸a˜o P do intervalo [a, b]
Considere uma func¸a˜o f : [a, b] −→ R
Escolha uma partic¸a˜o P de [a, b] com n sub-intervalos de compri-
mentos ∆xi.
Observe na Fig. 1 os valores xi no eixo horizontal.
Escolha em cada [xi−1, xi] um valor ci tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi.
Para cada ci podemos calcular f (ci).
Observe na Fig. 1 que as ordenadas f(ci) podem ser positivas ou
negativas.
n21 cc c
nn–1210 x =bxxa=x x
y=f(x)
Fig. 1
Define-se a Soma de Riemann de uma func¸a˜o f com partic¸a˜o P do intervalo [a, b] por:
S =
n∑
i=1
f (ci) ∆xi
A integral definida de uma func¸a˜o f no intervalo [a, b]
Considere uma func¸a˜o f : [a, b] −→ R com partic¸a˜o P e Soma de Riemann S.
Se existe o seguinte limite,
lim
‖∆‖→0
S = lim
‖∆‖→0
n∑
i=1
f (ci) ∆xi
diz-se que o limite e´ a integral definida de uma func¸a˜o f no intervalo [a, b] e denota-se por
∫ b
a
f(x)dx.
Integral Definida Notas de aula - profa. Marlene - 2008-2 2
Isto e´, se existe o limite, diz-se que f e´ integra´vel em [a, b] e podemos escrever:
∫ b
a
f(x)dx = lim
‖∆‖→0
S = lim
‖∆‖→0
n∑
i=1
f (ci) ∆xi
Observe qua a Soma de Riemann pode resultar em valor positivo, negativo ou nulo, portanto a integral definida
tambe´m pode ser um nu´mero positivo, negativo ou nulo.
Denomina-se a de limite de integrac¸a˜o inferior e b de limite de integrac¸a˜o superior.
Teorema
Considere uma func¸a˜o f : [a, b] −→ R.
Se f e´ cont´ınua em [a, b] enta˜o f e´ integra´vel em [a, b].
Justificativa: A teoria para a demonstrac¸a˜o desse teorema na˜o faz parte de Ca´lculo I-A.
Uma aplicac¸a˜o geome´trica da integral definida
Considere uma regia˜o plana acima do eixo horizontal, sob o gra´fico de uma func¸a˜o integra´vel y = f(x) ≥ 0,
definida no intervalo [a, b]. Na Fig. 2, o intervalo [a, b] = [−0.5, 3].
Como poder´ıamos calcular aproximadamente a a´rea dessa regia˜o? Podemos trac¸ar retaˆngulos adequadamente
e enta˜o somar as a´reas desses retaˆngulos. Na Fig. 3 trac¸amos 7 retaˆngulos.
y=f(x)
x0
10
20
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y=f(x)
x0
10
20
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Fig. 2 Fig. 3
Poder´ıamos tambe´m trac¸ar mais
retaˆngulos, como na Fig. 4, e enta˜o
somar as a´reas desses retaˆngulos.
Na Fig. 4 trac¸amos 14 retaˆngulos.
A soma das a´reas dos 14 retaˆngulos da
Fig. 4 e´ uma aproximac¸a˜o melhor do
que a soma das a´reas dos 7 retaˆngulos
da Fig. 3.
x
y=f(x)
0
10
20
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Fig. 4
Se continuarmos com esse processo de aumentar o nu´mero de retaˆngulos e somar as suas a´reas, estaremos
calculando nu´meros cada vez mais pro´ximos da a´rea da regia˜o.
Para um nu´mero n de retaˆngulos, observe: ∆xi = base de cada retaˆngulo; f(ci) = altura de cada retaˆngulo.
Portanto a Soma de Riemann =
n∑
i=1
f(ci)∆xi = soma das a´reas de todos os retaˆngulos.
Agora, basta fazer ‖∆‖ → 0 na Soma de Riemann e obtemos:
∫ b
a
f(x)dx = a´rea sob o gra´fico de f .
Integral Definida Notas de aula - profa. Marlene - 2008-2 3
A Integral Definida de duas func¸o˜es particulares:
1.
∫ b
a
(0)dx = 0
(justificativa: na Soma de Riemann todos os valores de f(ci) sa˜o nulos. Geometricamente, todos os retaˆngulos
teˆm altura e a´rea nula)
2.
∫ b
a
(1)dx =
∫ b
a
dx = b− a = comprimento do intervalo [a, b].
(justificativa: na Soma de Riemann todos os termos sa˜o os comprimentos dos sub-intervalos)
Interpretac¸o˜es geome´tricas:
Considere a func¸a˜o y = f(x) definida e integra´vel em [a, b].
Considere tambe´m A = a a´rea da regia˜o delimitada pelo gra´fico de f , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b.
1. Se f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] enta˜o A =
∫ b
a
f(x)dx e
∫ b
a
f(x)dx ≥ 0
Aqui diz-se que e´ a a´rea sob o gra´fico, ver Fig. 5
(justificativa: e´ a aplicac¸a˜o geome´tica vista anteriormente)
2. Se f(x) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b] enta˜o A = −
∫ b
a
f(x)dx e
∫ b
a
f(x)dx ≤ 0
Aqui diz-se que e´ a a´rea sobre o gra´fico, ver Fig. 6
(justificativa: as alturas dos retaˆngulos na Soma de Riemann sa˜o iguais a −f (ci) )
2–1–2
y=f(x)
x
30
y=f(x)
x
Fig. 5 Fig. 6
A´rea A =
∫ 2
−2
f(x)dx A´rea A = −
∫ 3
0
f(x)dx
A seguir, veremos propriedades, teoremas e novas definic¸o˜es que sera˜o bastante u´teis para as simplificac¸o˜es
do ca´lculo de integrais definidas.
Propriedades da Integral Definida
Considere as func¸o˜es y = f(x) e y = g(x) definidas e integra´veis em [a, b] e uma constante c real.
Valem as seguintes propiedades:
1.
∫ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f(x)dx +
∫ b
a
g(x)dx
(justificativa: usar as propriedades comutativa e associativa na Soma de Riemann)
2.
∫ b
a
c f(x)dx = c
∫ b
a
f(x)dx
(justificativa: usar a propriedade distributiva na Soma de Riemann)
3. Se f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] enta˜o
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx
(justificativa: f(x) ≤ g(x) ⇒ g(x)− f(x) ≥ 0 ⇒ g(x) + (−1)f(x) ≥ 0 ⇒
∫ b
a
(g(x) + (−1)f(x))dx ≥ 0
⇒
∫ b
a
g(x)dx + (−1)
∫ b
a
f(x)dx ≥ 0 ⇒
∫ b
a
g(x)dx ≥
∫ b
a
f(x)dx. c.q.d.
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Teorema da decomposic¸a˜o
Considere uma func¸a˜o f : [a, b] −→ R.
Se f e´ integra´vel em [a, b] enta˜o para todo c tal que
a < c < b temos que:
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
a bc
y=f(x)
x
Fig. 7
Interpretac¸a˜o: sempre podemos decompor uma integral definida como a soma de duas outras integrais definidas,
ver Fig. 7.
Justificativa: Para demonstrar, basta considerar c = xk, tal que 1 < k < n e separar a Soma de Riemann da
seguinte forma:
S =
n∑
i=1
f (ci) ∆xi =
k∑
i=1
f (ci) ∆xi +
n∑
i=k+1
f (ci) ∆xi
Os dois somato´rios do lado direito correspondem a`s partic¸o˜es dos intervalos [a, c] e [c, b]. Calculando os limites,
encontram-se as integrais definidas nestes intervalos.
Duas novas definic¸o˜es
Ate´ aqui, na integral
∫ b
a
f(x)dx foi considerado a < b.
Define-se:
1.
∫ a
a
f(x)dx = 0 , por exemplo,
∫ 4
4
f(x)dx = 0
2. Se a func¸a˜o f e´ integra´vel em [a, b].∫ a
b
f(x)dx = −
∫ b
a
f(x)dx
por exemplo, f e´ integra´vel em [2, 3], temos
∫ 2
3
f(x)dx = −
∫ 3
2
f(x)dx
Obs. : no caso da definic¸a˜o 2, dizemos que ao trocarmos os limites de integrac¸a˜o, a integral muda de sinal.
Novo Teorema da decomposic¸a˜o
Considere uma func¸a˜o f : I −→ R, onde I e´ um intervalo fechado e limitado
Se f e´ integra´vel em I enta˜o para quaisquer nu´meros a, b, c, todos pertencentes a I e a < b, temos que:
∫ b
a
f(x)dx =∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
Atenc¸a˜o: este teorema e´ diferente do teorema anterior porque aqui o nu´mero c pode estar em qualquer ordem
em relac¸a˜o a a e b.
Justificativa. Temos 5 casos a considerar:
(i) c < a < b, pelo teorema da decomposic¸a˜o,
∫ b
c
f(x)dx =
∫ a
c
f(x)dx +
∫ b
a
f(x)dx. Logo
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
c
f(x)dx −
∫ a
c
f(x)dx. Invertendo a ordem de integrac¸a˜o na integral mais a` direita, a
integral troca de sinal e obtemos
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
c
f(x)dx +
∫ c
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
(ii) c =< a < b, podemos escrever
∫ b
a
f(x)dx = 0 +
∫ b
a
f(x)dx. Logo, como
∫ a
a
f(x)dx = 0, temos
∫ b
a
f(x)dx =
∫ a
a
f(x)dx +
∫ b
a
f(x)dx. Agora como c = a, substituimos a por c nas integrais do lado direito
e obtemos
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
Integral Definida Notas de aula - profa. Marlene - 2008-2 5
(iii) a < c < b, essa e´ a hipo´tese do teorema da decomposic¸a˜o, logo
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
(iv) a < b = c, podemos escrever
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx + 0. Logo, como
∫ b
b
f(x)dx = 0, temos
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx +
∫ b
b
f(x)dx. Agora como b = c, substituimos b por c nas integrais do lado direito
e obtemos
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
(v) a < b < c, pelo teorema da decomposic¸a˜o,
∫ c
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx +
∫ c
b
f(x)dx. Logo
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx−
∫ c
b
f(x)dx. Invertendo a ordem de integrac¸a˜o na integral mais a` direita, a integral
troca de sinal e obtemos
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx.
Teorema do Valor Me´dio para Integrais
Considere uma func¸a˜o f : [a, b] −→ R.
Se f e´ cont´ınua em [a, b] enta˜o existe um valor x∗, com a < x∗ < x e tal que
∫ b
a
f(x)dx
b− a
= f(x∗)
Uma interpretac¸a˜o geome´trica desse teorema:
Se f(x) ≥ 0 em [a, b], a integral do numerador e´ a a´rea da regia˜o sob a curva e o denominador e´ a base dessa
figura. O quociente e´ igual a altura de um retaˆngulo cuja base e a´rea sa˜o as mesmas dessa regia˜o. O teorema
garante que existe um valor x∗ tal que f(x∗) e´ exatamente o valor da altura desse retaˆngulo.
O teorema acima e´ particularmente u´til na demonstrac¸a˜o do ı´mportant´ıssimo teorema a seguir.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Considere uma func¸a˜o f : I −→ R
t 7→ f(t)
onde I e´ um intervalo fechado e limitado e f e´ cont´ınua em I.
1a. parte:
Para um valor constante a dado e x varia´vel , a e x em I, definimos uma nova func¸a˜o
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt
Nestas condic¸o˜es, F e´ uma anti-derivada de f(x), isto e´, F ′(x) = f(x)
2a. parte:
Se G(x) e´ uma anti-derivada qualquer de f(x) enta˜o
∫ b
a
f(x)dx = G(b)−G(a).
Observac¸o˜es:
• Uma outra maneira de escrever a 1.a parte e´
Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado e limitado I enta˜o f admite uma func¸a˜o primitiva ou
anti-derivada. Uma primitiva de f e´ F (x) =
∫ x
a
f(t)dt, onde a e´ uma contrante, a ∈ I.
• Nas mesmas condic¸o˜es sobre f , pelo que ja´ foi visto de integral indefinida, podemos escrever∫
f(x) dx =
∫ x
a
f(t)dt+ C
Integral Definida Notas de aula - profa. Marlene - 2008-2 6
Demonstrac¸a˜o do Teorema do Valor Me´dio para Integrais
Como a hipo´tese e´ que f e´ cont´ınua no intervalo [a, b], podemos aplicar o Teorema dos Valores Extremos:
existem dois valores xmı´n e xma´x, tais que f (xmı´n) = mı´nimo de f e f (xma´x) = ma´ximo de f .
Logo, ∀x ∈ [a, b] temos que f (xmı´n) ≤ f(x) ≤ f (xma´x).
Como f e´ cont´ınua, e´ tambe´m integra´vel, pela propriedade de integral definida ”calculando-se a integral definida,
a desigualdade na˜o se altera”, obtemos∫ b
a
f (xmı´n) dx ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
f (xma´x) dx. Agora, como f (xmı´n) e f (xma´x) sa˜o constantes, por propriedade
de integral definida, temos f (xmı´n)
∫ b
a
dx ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤ f (xma´x)
∫ b
a
dx.
Lembrando que
∫ b
a
f(x)dx = b − a 6= 0 porque a 6= b, podemos dividir todos os termos das desigualdades por
b− a e obtemos f (xmı´n) ≤
∫ b
a
f(x)dx
b− a
≤ f (xma´x) dx. Mas
∫ b
a
f(x)dx
b− a
= constante = k.
Donde, f e´ cont´ınua em [a, b] e f (xmı´n) ≤ k ≤ f (xma´x).
Assim, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermedia´rio e concluir que ∃ x∗ entre xmı´n e xma´x tal que f (x
∗) = k.
Mas xmı´n ∈ [a, b], xma´x ∈ [a, b] e, finalmente conclu´ımos que ∃ x
∗, a < x∗ < b tal que f (x∗) = k =
∫ b
a
f(x)dx
b− a
.
Demonstrac¸a˜o do Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte I
Com a hipo´tese f cont´ınua no intervalo I, a constante e x varia´vel,
definimos F (x) =
∫ x
a
f(t)dt e queremos provar que F ′(x) = f(x).
Lembrando, a definic¸a˜o de derivada de F (x) e´ F ′(x) = lim
∆x→0
F (x+∆x)− F (x)
∆x
. Vamos determinar
primeiro F ′+(x) = lim
∆x→0+
F (x+∆x)− F (x)
∆x
. Fica como exerc´ıcio determinar F ′−(x) = lim
∆x→0−
F (x+∆x)− F (x)
∆x
Substituindo pela definic¸a˜o de F , F ′+(x) = lim
∆x→0+
∫ x+∆x
a
f(t)dt−
∫ x
a
f(t)dt
∆x
, aplicando a propriedade de de-
composic¸a˜o na primeira integral, F ′+(x) = lim
∆x→0+
∫ x
a
f(t)dt+
∫ x+∆x
x
f(t)dt−
∫ x
a
f(t)dt
∆x
= lim
∆x→0+
∫ x+∆x
x
f(t)dt
∆x
.
Observando que o denominador ∆x = (x+∆x) − (x) e como f e´ cont´ınua em [x, x+∆x], podemos aplicar o
TVM para integral, isto e´, ∃x∗, x < x∗ < x+∆x tal que
∫ x+∆x
x
f(t)dt
∆x
= f (x∗).
Mas, x < x∗ < x+∆x, pelo Teorema do Sandu´ıche, lim
∆x→0+
(x∗) = x.
Isto e´, F ′(x) = lim
∆x→0+
∫ x+∆x
x
f(t)dt
∆x
= lim
∆x→0+
f (x∗) = f(x). c.q.d.
Demonstrac¸a˜o do Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte II
Hipo´teses: f cont´ınua em I, a ∈ I e b ∈ I constantes e G(x) e´ anti-derivada de f , isto e´, G′(x) = f(x).
Na func¸a˜o F da parte I temos tambe´m F ′(x) = f(x). Logo G′(x) = F ′(x)⇒ G′(x)− F ′(x) = 0⇒
(G(x) − F (x))′ = 0⇒ G(x) − F (x) = C ⇒ G(x) = F (x) + C.
Logo G(b) = F (b) + C e G(a) = F (a) + C e portanto G(b)−G(a) = F (b)− F (a).
Usando a definic¸a˜o de F , G(b)−G(a) =
∫ b
a
f(t)dt−
∫ a
a
f(t)dt =
∫ b
a
f(t)dt c.q.d.
Integral Definida Notas de aula - profa. Marlene - 2008-2 7
Mudanc¸a de Varia´vel na Integral Definida
Observac¸a˜o: Este to´pico sera´ visto depois de estudarmos a te´cnica de integrac¸a˜o por substituic¸a˜o simples (ou
por mudanc¸a de varia´vel), para encontrar uma primitiva de f .
Considere u = g(x) definida em [a, b], invert´ıvel e diferencia´vel em (a, b).
Se f(u) e´ cont´ınua em [g(a), g(b)], enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´vel:
∫ b
a
f(g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f(u)du
Integral de func¸a˜o par em intervalo sime´trico.
Considere f(x) uma func¸a˜o definida e integra´vel no intervalo [−a, a].
Vale a seguinte simplificac¸a˜o: se f e´ par enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx
Justificativa. Queremos calcular
∫ a
−a
f(x)dx =
∫ 0
−a
f(x)dx +
∫ a
0
f(x)dx. (*)
Como f e´ par, temos que f(x) = f(−x), portanto
∫ 0
−a
f(x)dx =
∫ 0
−a
f(−x)dx.
Agora observe que se tomamos u = −x = g(x) podemos aplicar a fo´rmula de mudanc¸a de varia´vel na integral de-
finida. Precisamos substituir du = −dx; quando x = −a, u = g(−a) = −(−a) = a; quando x = 0, u = g(0) = 0.
Logo
∫ 0
−a
f(−x)dx =
∫ 0
a
f(u)(−1)du = −
∫ 0
a
f(u)du =
∫ a
0
f(u)du =
∫ a
0
f(x)dx.
Agora, substituindo a u´ltima integral em (*), obtemos
∫ a
−a
f(x)dx =
∫ a
0
f(x)dx +
∫ a
0
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx.
Integral de func¸a˜o ı´mpar em intervalo sime´trico.
Considere f(x) uma func¸a˜o definida eintegra´vel no intervalo [−a, a].
Vale a seguinte simplificac¸a˜o: se f e´ ı´mpar enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 0
Justificativa. Queremos calcular
∫ a
−a
f(x)dx =
∫ 0
−a
f(x)dx +
∫ a
0
f(x)dx. (*)
Como f e´ ı´mpar, temos que f(−x) = −f(x) ou f(x) = −f(−x) portanto,
∫ 0
−a
f(x)dx =
∫ 0
−a
−f(−x)dx.
Agora observe que se tomamos u = −x = g(x) podemos aplicar a fo´rmula de mudanc¸a de varia´vel na integral de-
finida. Precisamos substituir du = −dx; quando x = −a, u = g(−a) = −(−a) = a; quando x = 0, u = g(0) = 0.
Logo
∫ 0
−a
−f(−x)dx =
∫ 0
a
−f(u)(−1)du =
∫ 0
a
f(u)du = −
∫ a
0
f(u)du = −
∫ a
0
f(x)dx.
Agora, substituindo a u´ltima integral em (*), obtemos
∫ a
−a
f(x)dx = −
∫ a
0
f(x)dx +
∫ a
0
f(x)dx = 0 .
Integral Definida Notas de aula - profa. Marlene - 2008-2 8
Ca´lculo de a´rea de regio˜es planas
Caso 1
Seja R uma regia˜o compreendida entre o gra´fico de duas func¸o˜es
y = f(x) e g(x) definidas em [a, b], Ver Fig. 8.
Se f(x) ≤ g(x) enta˜o a fo´rmula da a´rea A da regia˜o R e´
A =
∫ b
a
(g(x)− f(x))dx
ba
f
g
g
f
y
x
Fig. 8
Justificativa. Temos treˆs casos a considerar para as posic¸o˜es dos gra´ficos de f e g em relac¸a˜o ao eixo x.
Considere A1 = a´rea entre o eixo x e o gra´fico de y = f(x),
A2 = a´rea entre o eixo x e o gra´fico de y = g(x).
1. 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para a ≤ x ≤ b . Ver Fig. 9. Neste caso A = A2 −A1,
A1 =
∫ b
a
f(x)dx e A2 =
∫ b
a
g(x)dx. Logo A =
∫ b
a
g(x)dx−
∫ b
a
f(x)dx.
2. f(x) ≤ 0 ≤ g(x) para a ≤ x ≤ b. Ver Fig. 10. Neste caso A = A1 +A2,
A1 = −
∫ b
a
f(x)dx e A2 =
∫ b
a
g(x)dx.
Logo A = −
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx =
∫ b
a
g(x)dx −
∫ b
a
f(x)dx.
3. f(x) ≤ g(x) ≤ 0 para a ≤ x ≤ b . Ver Fig. 11. Neste caso A = A1 −A2,
A1 = −
∫ b
a
f(x)dx e A2 = −
∫ b
a
g(x)dx.
Logo A = −
∫ b
a
f(x)dx− (−)
∫ b
a
g(x)dx =
∫ b
a
g(x)dx −
∫ b
a
f(x)dx.
ba
g
f
y
x
Fig. 9
ba
g
f
y
x
Fig. 10
ba g
f
y
x
Fig. 11
Caso 2
Seja R uma regia˜o compreendida entre os gra´ficos das func¸o˜es y = f(x) e g(x) definidas em [a, b].
Observe que aqui na˜o ha´ restric¸a˜o para a posic¸a˜o relativa entre os gra´ficos de y = f(x) e y = g(x).
Neste caso e´ preciso encontrar todos os valores de x correspondentes a`s intersec¸o˜es dos gra´ficos e deteminar os
intervalos em que f(x) ≤ g(x) e em que f(x) ≥ g(x).
Feito isso, a a´rea da regia˜o R sera´ a soma das integrais nesses intervalos, sempre da func¸a˜o de maior valor menos
a func¸a˜o de menor valor.
A Fig. 12 representa uma poss´ıvel regia˜o compreendida entre os
gra´ficos de duas func¸o˜es integra´veis em [a, b] que possuem treˆs
intersec¸o˜es: x = a2, x = a3, x = a4 = b. Aqui fizemos a = a1.
A1 = a´rea de R1 A2 = a´rea de R2 A3 = a´rea de R3
A = a´rea entre f e g A = A1 +A2 +A3
321 RRR
321 4aaa a
g
gg
ff
f
y
x
Fig. 12
Logo A =
∫ a2
a1
(f(x)− g(x)) dx+
∫ a3
a2
(g(x)− f(x)) dx+
∫ a4
a3
(f(x) − g(x)) dx