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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br AD 1 – MF - 2011/2 Gabarito 1) (0,8 pt.) Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em %. 20 Contudo, a procura por essa mercadoria continuou grande. Então ele fez um novo aumento de %. 20 O preço ficou caro, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. Finalmente fez um desconto para que o preço voltasse ao valor inicial. De quanto foi esse desconto? Solução: Seja x o preço inicial da mercadoria. O comerciante realizou dois aumentos sucessivos de %. 20 Como estes aumentos são cumulativos, então ao final dos dois aumentos, o preço da mercadoria será dado por x44,120,120,1 , ou seja, após os aumento, o preço da mercadoria será de x44,1 . Logo o preço original será 69,0 44,1 x x do preço corrigido, isto é, o preço original será então equivalente a %. 69 do preço reajustado. Logo o desconto a ser dado será de % 31% 69100 sobre o preço reajustado, para retornar ao preço original. Resposta: 31 % 2) (1,0 pt.) Um investidor aplicou 15.000,00 R$ pelo prazo de quinze meses à taxa de juros simples de 24 % ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por nove meses, à taxa linear de % 20 ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro? Solução: Ao aplicar 15.000,00 por quinze meses a uma taxa de juros simples de ano % 24 , ou mês ao % 2 12 24 , durante quinze meses, o investidor ganhou um rendimento (juro) J dado por 00,500.41502,000,000.15 J Seja C o capital necessário para se obter o mesmo rendimento numa aplicação a taxa de juros simples de % 20 ao ano durante nove meses, isto é, 75,0 4 3 12 9 do ano. 2 Temos então que 00,000.30 15,0 00,500.475,020,000,500.4 CCC Resposta: R$ 30.000,00 3) (1,5 pts.) Um investidor aplicou 4 3 de seu capital no regime de juro simples comercial a uma taxa de ano ao % 12 pelo prazo de 6 meses, e o restante, pelo mesmo prazo, no regime de juro composto, a uma taxa de ano ao % 10,25 . Sabendo que essas aplicações juntas renderam um montante de R$ 52.875,00, determine o valor do capital desse investidor. Solução: Seja C o capital do investidor. 4 3C foi aplicado no regime de juro simples a uma taxa de ano ao % 12 por 6 meses, ou seja, ano 5,0 . Logo o montante 1M gerado por esta aplicação será dado por CMCM 795,015,012,014 3 1 . O restante do capital, isto é, 4 C foi aplicado a mo regime de juro composto por 6 meses, ou seja, ano 5,0 a uma taxa de 10,25 % ao ano. Logo o montante 2M gerado por esta aplicação será dado por 5,01025,01 42 CM CM 2625,02 . Como 00,875.5221 MM então 00,875.522625,0795,0 CC 00,875.520575,1 C 00,000.50 0575,1 00,875.52 CC Resposta: R$ 50.000,00 4) (1,5pts.) Um capital é aplicado no regime de juro composto, a uma taxa de ano ao % 24 durante três anos e nove meses. Determine o valor da perda porcentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear. Solução: Seja C o capital aplicado. O prazo de aplicação é de três anos e nove meses, isto é, ano 75,3 12 93 e a taxa é de ano ao % 40 , ou seja, no prazo, temos um período inteiro de capitalização, isto é, três anos e uma parte não inteira do período de capitalização, ano 75,0 . 3 Na convenção exponencial, será utilizado o regime de juro composto em todo o prazo de aplicação, portanto nesse caso o montante será dado por CMCM 240430,275,324,01 . Na convenção linear, determina-se um montante parcial utilizando o regime de juro composto considerando a parte inteira do prazo de aplicação e depois se determina o montante final considerando o montante parcial aplicado a mesma taxa de juro no regime de juro simples durante a parte não inteira do prazo de aplicação. Logo, denotando por 1M este montante parcial, temos que: CMCM 906624,11324,011 . Logo o montante final M gerado pela aplicação utilizando a convenção linear será dado por CMCM 249816,275,024,01906624,1 . A perda do montante final se utilizado a convenção exponencial será dada por: CCC 009386,0240430,2249816,2 e portanto o porcentual desta perda em relação ao montante se utilizado a convenção linear será dada por % 4,0100 249816,2 009386,0 C C Resposta: 0,4 % 5) (0,8 pt.) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de % 24,24 ao ano, capitalizada bimestralmente? Solução: A taxa de % 24,24 ao ano é nominal, pois seu período que é anual e diferente do período de capitalização que é bimestral, portanto, considerando a relação entre os períodos destas taxas, a taxa efetiva bimestral será proporcional à taxa dada. Como bimestres 6 ano 1 então, nesse caso a taxa efetiva bimestral, será dada por % 04,4 6 24,24 ao bimestre. A taxa mensal equivalente a esta taxa, é taxa que gera o mesmo montante se considerado o mesmo prazo e o mesmo capital. Como meses 2 bimestre 1 , então a taxa mensal equivalente i à taxa de 4,04 % a. b., será dada por 02,0102,10404,1110404,0121 iiii ao mês ou 2i % ao mês. Resposta: 2 % 4 6) (1,8 pts.) Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de % 8 ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a % 6 ao ano capitalizados trimestralmente. No fim de quatro anos, a soma dos montantes dessas aplicações foi de 28.913,52 R$ . Calcular os dois capitais, sabendo-se que o segundo é % 20 maior do que o primeiro. Solução: Sejam 1C e 2C os capitais aplicados. Sabe-se que 2C é % 20 maior do que 1C , portanto, 12,12 CC . O capital 1C foi aplicado durante quatro anos a uma taxa de % 8 ao ano capitalizado semestralmente. Esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de acumulação do capital que é semestral. Portanto, considerando a relação entre os períodos das taxas envolvidas, a taxa efetiva semestral é proporcional à taxa dada. Como semestres 2 ano 1 , então a taxa semestral efetiva i desta operação será dada por 4 2 8 i % ao semestre. Como semestres 8 anos 4 , temos então que o montante 1M gerado por esta aplicação será dado por 1368569,11804,0111 CMCM . O capital 2C foi aplicado durante quatro anos a uma taxa de % 6 ao ano, capitalizada trimestralmente. Esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de acumulação do capital que trimestral. Portanto, considerando a relação entre os períodos das taxas envolvidas, a taxa efetiva semestral é proporcional à taxa dada. Como s trimestre4 ano 1 , então a taxa trimestral efetiva i desta operação será dada por 5,1 4 6 i % ao trimestre. Como s trimestre16 anos 4 , temos então que o montante 2M desta aplicação será dado por 16015,0122 CM 2268986,12 CM . Como 12,12 CC então, 12,1268986,12 CM 1522783,12 CM . Sabe-se que 28.913,521522783,11368569,128.913,5221 CCMM 00,000.101891352,2 28.913,52 128.913,521891352,2 CCC . Portanto, 00,000.12200,000.102,12 CC . Resposta: R$ 10.000,00 e R$ 12.000,00 5 7) (1,6 pts.) Uma duplicata de 5.450,00 R$ vence em seis meses . Determine o desconto e o valor atual, empregando a taxa de % 5,1ao mês, considerando o critério do desconto: a) comercial simples; b) racional simples; c) comercial composto; d) racional composto. Solução: Temos que: ) 5,1 meses 6 min00450.5 desconto( taxa de % ao ano i ção)e antecipa ( prazo d n lo )al do títuo ( valor n,N a) Sabemos que no desconto comercial simples, o desconto cd pode ser obtido através da relação niNcd , logo nesse caso temos que 50,4906015,000,450.5 cdcd O valor atual A pode ser obtido através da relação cdNA . Nesse caso então temos que 50,959.450,49000,450.5 AA b) Sabemos que no desconto racional simples, a relação entre o valor nominal N e o valor atual A é dada através da equação ni NAniAN 11 . Nesse caso então, temos que 00,000.5 09,1 00,450.5 6015,01 00,450.5 AAA . O desconto racional simples rd pode ser obtido através da relação ANrd . Logo, nesse caso temos que: 00,45000,000.500,450.5 rdrd c) Sabemos que no desconto comercial composto a relação entre o valor atual e o valor nominal é dada por niNA 1 . Portanto, nesse caso temos que: 53,977.46 015,0100,450.5 AA . E como cdNA , temos então que 47,47253,977.400,450.5 cdcd . d) Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual A é dada através da equação ni NAniAN 1 1 . 6 Nesse caso então, temos que 25,984.46015,01 00,450.5 AA . O desconto racional simples rd pode ser obtido através da relação ANrd . Logo, nesse caso temos que: 75,46525,984.400,450.5 rdrd Resposta: 4.984,25 R$ e 465,75 R$ d) 4.977,53 R$ e 472,47 R$ c) 5.000,00 R$ e 450,00 R$ b) 4.959,50 R$ e 490,50 R$ a) . 8) (1,0 pt.) A diferença entre os valores atuais de um título considerando respectivamente o critério do desconto racional e comercial é igual a R$ 250,00. Calcular o valor nominal do título, sabendo- se que seu vencimento é para cinco meses e que a taxa de juros simples da operação é de 24 % ao ano. Solução: Temos que: ) 24 meses 5 ) ( 00,250 simplesjurosadesconto( taxa de % ao ano i ção)e antecipa ( prazo d n comercialatualvalorcAeracionalatualvalorrAcArA Sabemos que no regime de juros simples, duas taxas equivalentes também são proporcionais e como 1 ano = 12 meses, então a taxa mensal i equivalente à taxa de % 24 ao ano será dada por % 2 12 24 i ao mês. A relação entre o valor nominal de um título e os descontos comercial cd e racional rd e seus respectivos valores atuais é dada por cANcd e rANrd . Portanto, 00,25000,250 rANcANrAcA 00,250 rdcd . Sabe-se que considerando as mesmas condições, isto é, prazo de antecipação e taxa de desconto, a relação entre o desconto racional simples rd e o desconto comercial simples cd de um título é dada por nirdrdcdnirdcd 1 , onde n é o prazo de antecipação e i é taxa unitária da operação. Nesse caso então temos que 00,500.2 1,0 00,250250502,0 rdrdrd e, portanto 00,750.200,25000,500.2 cdcd . 7 O desconto comercial simples cd pode ser obtido através da equação niNcd , onde N é o valor nominal do título, n é o prazo de antecipação e i é taxa unitária da operação. Logo, nesse caso temos que 502,000,750.2 N 00,500.27 1,0 00,750.2 NN . Obs.: Este resultado também poderia ser obtido, lembrando que a relação entre os valor atual racional rA e o valor nominal do título é dado por ni N rA 1 e a relação entre o valor atual cA e o valor nominal é dado por niNcA 1 . Como 00,250 cArA , temos então que 00,250502,01502,01 N N 00,500.2700,27501,000,27599,0 NNNN Resposta: R$ 27.500,00
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