Exercícios de Cálculo 3

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GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
VE2 de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: F1 – 01/12/2011
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Calcule a a´rea do pedac¸o da esfera x2 + y2 + z2 = 1 compreendida no
interior do cilindro x2 + y2 = 1
4
.
2. (2,0 pts) Calcule
∫
C
ex sen(y)dx+(ex cos(y)+x)dy, onde C e´ o arco da circunfereˆncia
x2 + y2 = 1, no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-hora´rio.
3. (2,0 pts) Considere
−→
F (x, y, z) = (y cos(xy), x cos(xy) + 2yz3, 3y2z2) um campo de
vetores.
(a)
−→
F e´ conservativo?
(b) Calcule a integral
∫
C
−→
F d−→r , onde C e´ a curva parametrizada por φ(t) =
(t sen(t3 − 1), ln(1 + t) sen(tpi), t2 + t+ 1)) com t ∈ [0, 1].
4. (2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (y2 tan(z3 − 2), ln(x2 + z4), z3 − 2)
atrave´s do parabolo´ide z = 1− x2 − y2 com z ≥ 0 e com orientac¸a˜o exterior.
5. (2,0 pts)Calcule o trabalho realizado pelo campo de vetores
−→
F (x, y, z) = (z + y + ex
2
, x− z + ln(1 + y2), sen(2z))
sobre uma part´ıcula que se move ao longo da curva C, que e´ parametrizada por
φ(t) = (cos(t), sen(t), sen(2t)) com t ∈ [0, 2pi].