Apostila e Lista de exercicios - Maximos e Minimos de Funcoes Multivariaveis

Prévia do material em texto

Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
1 
 
Unidade Curricular: Cálculo B Data: ____/____/____ 
Professora: Melina Lima 
Assuntos: Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis 
Aluno (a): ....................................................................................... 
 
 
Máximos e Mínimos 
 
Seja 
 xfy 
. O ponto 
0x
 do domínio de 
f
 é dito ponto de mínimo (máximo) 
local de 
f
 se existe um intervalo aberto centrado nele e contido no domínio de 
f
tal 
que, 
0xx 
 do intervalo, tem-se 
   0xfxf 
 (
   0xfxf 
). 
 
Se 
0x
 é ponto de mínimo (máximo) local, ele é dito ponto extremante local. 
Se em vez de 
 e 
, tivermos > e <, então 
0x
é ponto de mínimo (máximo) 
local estrito. 
 
Figura 1: Representação de máximo e mínimo local 
 
 Um ponto de máximo (mínimo) local estrito é um ponto de máximo (mínimo) local. 
 
 
 Figura 2: Tangente horizontal 
 
Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
2 
 
 Figura 3: Máximos e mínimos 
 
 Um ponto 
0x
 interior do domínio de uma função 
f
 tal que 
  00  xf
 é 
chamado ponto crítico de 
f
. 
 Um extremante local (estrito ou não) de uma função diferenciável é um ponto 
crítico dela. 
 Um ponto crítico não necessariamente é um extremante local. O critério 
mostrado a seguir nos traz informações sobre pontos críticos de uma função. 
 
 Critério da Derivada Segunda para Funções de uma Variável 
 
Suponha que 
f
 é duas vezes derivável no ponto crítico 
0x
. Assim: 
 
  . de estrito local máximo de ponto é então ,0 Se
; de estrito local mínimo de ponto é então ,0 Se
00
00
fxxf
fxxf

 
 
Exemplo: Sendo 
  32 215363 xxxxf 
, use o critério da derivada segunda para 
determinar se cada ponto crítico é de máximo local estrito ou de mínimo local estrito de 
f
. 
 
Solução: Calculemos à priori a primeira e a segunda derivadas: 
  263036 xxxf 
 
e 
  xxf 1230 
. 
 
Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
3 
Determinando os pontos críticos: Para determinação dos pontos críticos devemos impor 
  0 xf
: 
  063036063036 22  xxxxxf
, ou seja, 
0652  xx
. As raízes desta equação são 1 e -6 (verifique). 
 
Analisando cada ponto crítico, teremos: 
  01.12301 f
. Assim, 1 é ponto de mínimo local estrito. 
    06.12306 f
. Logo, -6 é ponto de máximo local estrito. 
 
Observação: Se 
f 
se anula em um ponto crítico, é possível que ele seja um máximo 
(mínimo) local ou não. 
 
Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis 
D] Seja 
 yxfz ,
 uma função de duas variáveis. Dizemos que 
   fDyx 00 ,
 é 
ponto de máximo absoluto ou global de 
f
, se 
       00 ,,,, yxyxffDyx 
. 
 00 , yxf
 é o valor máximo de 
f
. 
 
Exemplo: A função 
  224, yxyxf 
 tem o ponto (0,0) como ponto de máximo 
absoluto ou global de 
f
, pois para 
        22222 , ,440,04 ,,  yxyxfyxfDyx
. O valor máximo de 
  224, yxyxf 
 é 
  40,0 f
 
 
 Figura 4: função e seu ponto de máximo 
 
Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
4 
D] Seja 
 yxfz ,
 uma função de duas variáveis. Dizemos que 
   fDyx 00 ,
 é 
ponto de mínimo absoluto ou global de 
f
, se 
       00 ,,,, yxfyxffDyx 
. 
 00 , yxf
 é o valor mínimo de 
f
. 
 
Ex: Para a função 
  221, yxyxf 
, qual seria seu ponto de mínimo absoluto? 
 
 Figura 5: função e seu ponto de mínimo 
 
É usual denominarmos os pontos de máximo ou de mínimo de uma função de pontos 
extremantes (locais ou globais). 
 
Ponto Crítico de uma Função de Duas Variáveis 
Seja 
 yxfz ,
 definida num conjunto aberto 
2U
. Um ponto 
  Uyx 00 ,
 
é ponto crítico de 
f
 se 
   0000 , e , yx
y
f
yx
x
f




 são iguais a zero ou se 
f
 não é 
diferenciável em 
 00 , yx
. 
 
 Os pontos extremantes (máximo e mínimo) de 
 yxfz ,
 estão entre seus 
pontos críticos, no entanto, um ponto crítico nem sempre é ponto extremante. 
 
Teorema de Schwarz 
Se 
yx
f

2
 existe e é contínua em um conjunto aberto, então 
xy
f

2
 existe e 
yx
f

2
=
xy
f

2
. 
Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
5 
Hessiano 
O hessiano verifica a hipótese do Teorema anterior e é usado na determinação de 
máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Ele é definido por: 























yx
f
y
f
x
f
y
f
yx
f
yx
f
x
f
H
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
. 
 
Critério das Derivadas Segundas para Extremantes Locais (funções de duas 
variáveis) 
O ponto 
0p
do domínio de 
f
 é dito ponto de mínimo (máximo) local de 
f
 se 
existe uma bola aberta centrada nele e contida no domínio de 
f
 tal que, 
0pp 
da 
bola, tem-se 
   0pfpf 
 (
   0pfpf 
). Se 
0p
 é ponto de mínimo (máximo) local, 
então ele é referido como ponto extremante local. 
Se em vez de 
 e 
, tivermos > e <, então 
0p
 é ponto de mínimo (máximo) 
local estrito. 
Um ponto de mínimo (máximo) local estrito é um ponto de mínimo (máximo) 
local. 
 
 
Proposição 
Seja 
 yxfz ,
 uma função cujas derivadas parciais de 1ª e 2ª ordens são contínuas 
num conjunto aberto que contém 
 00 , yx
 e suponhamos que 
 00 , yx
 seja um ponto 
crítico de 
f
. Seja o hessiano  
   
   002
2
00
2
00
2
002
2
00
,,
,,
,
yx
y
f
yx
yx
f
yx
yx
f
yx
x
f
yxH








 . Temos: 
Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
6 
a) Se 
  0, 00 yxH
 e 
  0, 002
2



yx
x
f
, então 
 00 , yx
 é ponto de mínimo local de 
f
. 
b) Se 
  0, 00 yxH
 e 
  0, 002
2



yx
x
f
, então 
 00 , yx
 é ponto de máximo local de 
f
. 
c) Se 
  0, 00 yxH
, então 
 00 , yx
 não é ponto extremante local. Nesse caso, 
 00 , yx
 é 
ponto de sela. 
d) Se 
  0, 00 yxH
, nada se pode afirmar. 
 
Exemplo 1: Sendo 
  44 2281, yxxyyxf 
, determine os pontos críticos de 
f
. 
Solução: 
388 xy
x
f



 e 
388 yx
y
f



 
Assim, os pontos críticos são os que verificam o sistema: 
 
 



















IIyx
Ixy
yx
xy
yx
xy
 
 
0
0
088
088
3
3
3
3
3
3 
Substituindo 
 I
 em 
 II
, temos: 
    1801ou 0010 889933  xxxxxxxxxxxx
 
1 e 1,0  xxx
 são as raízes. 
Para 
00  yx
 
Para 
11  yx
 
Para 
11  yx
 
Portanto, os pontos críticos são (0,0), (-1,-1) e (1,1). 
 
Exemplo 2: Usando o critério do hessiano, determine se cada ponto crítico de 
f
 é 
ponto de máximo local,mínimo local ou ponto de sela, sendo 
  yxyxyyxf 54
3
1
2, 23 
. 
Solução: 
42 


xy
x
f
, 
y
x
f
2
2
2



, 
522 


xy
y
f
, 
y
y
f
2
2
2



 e 
x
yx
f
2
2



 
 
Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
7 
 2222
2
22
2
2
2
444
22
22
xyxy
yx
xy
y
f
yx
f
yx
f
x
f
H 








 
Determinação dos pontos críticos: pontos críticos são os que anulam as derivadas 
parciais 
x
f


e 
y
f


, logo, são dadas por: 
 
 

















IIxy
I
x
y
xy
xy
xy
xy
 5
 
2
5
42
05
042
22
2222
, substituindo (I) em (II), temos: 
0455
4 242
2
 xxx
x
. 
Esta equação biquadrada tem discriminante 
  94.1.45 2 
. Assim: 
 
1 e 2 1ou 4
2
35
1.2
95 222 



 xxxxx
 
Para cada valor de 
x
, o valor de 
y
 correspondente é dado pela equação 
x
y
2

. 
Fazendo 
1,1,2,2 x
resulta 
2,2,1,1 y
 respectivamente. Os pontos críticos são (-
2,-1), (2,1), (-1, -2) e (1,2). 
 
Análise de cada ponto crítico: 
(i) 
         sela de ponto é 2,-1- Logo, .01221.41,2 22 H
 
(ii) 
      sela de ponto é 2,-1- Logo, .01221.41,2 22 H
 
(iii)           
  local. máximo de ponto é 1,-2-
então 0,-42-2.1,-2- Como .01212.42,1
2
2
22




x
f
H 
(iv) 
        local. mínimo de ponto é 1,2 então 0,42.21,2 Como .01212.42,1
2
2
22 



x
f
H
 
 
 
 
 
Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
8 
Exercícios: 
1) Use o critério da segunda derivada para determinar se cada ponto crítico de 
f
 é 
máximo ou de mínimo local estrito: 
a) 
  xxxf 210 2 
 
b) 
  23 310 xxxf 
 
c) 
  32 2312 xxxxf 
 
d) 
  32 781 xxxxf 
 
 
2) Calcule o hessiano de cada função 
f
que verifica o teorema de Schwarz. 
a) 
  yxyxf 2, 
 
b) 
  22, yxyxf 
 
c) 
  22 23, yxyxyxf 
 
d) 
  xyxyxyxf 322, 22 
 
e) 
   22ln, yxyxf 
 
 
3) Usando o critério das derivadas de 2ª ordem para os extremantes, diga se cada 
ponto crítico de 
f
 é ponto de máximo local estrito, mínimo local estrito ou 
ponto de sela. 
a) 
  3, 22  yxyxf
 
b) 
  xxyyxyxf 8232, 22 
 
c) 
  13, 22  yxyxxyxf
 
d) 
  22322, xyyxyxf 
 
e) 
  xyyxyxf 31, 33 
 
f) 
  yxxyyxyxf 9561, 32 