Operadores_Diferenciais_e_suas_Aplicações

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1 
 
SENAI - CIMATEC 
 
 
Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERADORES DIFERENCIAIS 
E SUAS APLICAÇÕES 
(GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Melina Silva de Lima 
Salvador, 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
“... nada é mais necessário ao investigador do que saber alguma coisa acerca da 
história (de uma disciplina) e acerca da lógica da pesquisa: ... a maneira de 
decobrir o erro, o uso de hipóteses, o uso da imaginação, o modo de efetuar testes” 
 Lord Acton. 
 
 
 
 
 
 
 
“ ... há uma uma coisa que eu gostaria de lhe perguntar. Quando um matemático, 
empenhado na investigação de fenômenos e resultados físicos, chega a conclusões, 
não podem elas serem expressas em linguagem comum, de forma tão completa, 
clara e categórica quanto em fórmulas matemáticas ? Em caso afirmativo, não 
seria uma grande vantagem expressá-las assim ? Tirar-lhes o aspecto de 
hieróglifos, de modo a ser possível com elas trabalhar experimentalmente ? Penso 
que assim deve ser, porque sempre achei que o senhor poderia dar-me uma idéia 
perfeitamente clara de suas conclusões, a qual, embora não me permitisse talvez, a 
compreensão integral de todas as passagens envolvidas no processo, haveria de 
proporcionar-me compreensão dos resultados sem desvio da verdade, e de forma 
tão clara que me habilitaria a pensar e trabalhar a partir delas. Sendo isso 
possível, não seria desejável que matemáticos empenhados no tratamento desses 
assuntos nos fornecessem os resultados nestes termos populares, utéis, 
manipuláveis, tanto quanto nos termos que são próprios e adequados a eles, 
matemáticos ? ...” 
Michael Faraday 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Os excessos do sistema de competição e de especialização prematura sob o 
falacioso pretexto de eficácia assassinam o espírito e impossibilitam qualquer vida 
cultural e chegam a suprimir os progressos nas ciências do futuro. É preciso, 
enfim, tendo em vista a realização de uma educação perfeita, desenvolver o 
espírito crítico na inteligência do jovem. Ora, a sobrecarga do espírito pelo sistema 
de notas entrava e necessariamente transforma a pesquisa em superficialidade e 
falta de cultura. 
 O ensino deveria ser assim: Quem o receba o recolha como um dom inestimável, 
mas nunca como uma obrigação penosa ...” 
Albert Einstein. 
 
 
 
 
 
 3 
Resumo 
 
 
 Este trabalho define, analisa e evidencia a importância do uso dos 
chamados operadores diferenciais (nabla: gradiente, divergente, 
rotacional e laplaciano) na matemática e nas ciências (engenharias, 
física, química, economia, etc). Para tal, definimos o operador Nabla 
e deduzimos as suas diversas formas (gradiente, divergente, rotacional 
e o laplaciano) em sistemas de coordenadas cartesiano e esférico. 
Demonstramos as suas propriedades básicas e algumas das suas 
possíveis áreas de aplicação assim como as diversas interpretações do 
seu uso tais como interpretações numéricas e gráficas. 
 Por fim apresentamos as deduções das transformações do 
operador Nabla e Laplaciano do sistema cartesiano para o sistema 
esférico. 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
SUMÁRIO 
 
1 – Apresentação e Abordagem Histórica .......................................................................................................... 9 
 
2 – Características e Propriedades dos Operadores Diferenciais ................................................. 12 
 2.1 – Operador Nabla. ............................................................................................................................................. 12 
 2.2 – Notações .............................................................................................................................................................. 13 
 
3 – Operador Nabla Aplicado a uma Função Escalar - Gradiente ............................................. 14 
 3.1 – Definição. ........................................................................................................................................................... 14 
 3.2 – Propriedades. ................................................................................................................................................... 17 
 3.3 – Interpretação Numérica. .......................................................................................................................... 19 
 
4 – Operador Nabla Aplicado Escalarmente a uma Função Vetorial – Divergente .... 21 
 4.1 – Definição. ........................................................................................................................................................... 21 
 4.2 – Propriedades. ................................................................................................................................................... 22 
 4.3 – Interpretação Numérica. .......................................................................................................................... 24 
 
5 – Operador Nabla Aplicado Vetorialmente a uma Função Vetorial – Rotacional. .. 25 
 5.1 – Definição. ........................................................................................................................................................... 25 
 5.2 – Propriedades. .................................................................................................................................................... 26 
 5.3 – Interpretação Numérica ........................................................................................................................... 38 
 
6 – Operador Laplaciano ..................................................................................................................................... 39 
 6.1 – Definição. ........................................................................................................................................................... 39 
 6.2 – Aplicações. ........................................................................................................................................................ 40 
 
7 – Algumas Aplicações dos Operadores Diferenciais ............................................................................ 43 
 7.1 – Na Matemática. .............................................................................................................................................. 43 
 7.2 – Na Física. ............................................................................................................................................................ 43 
 7.2.1 – Eletromagnetismo. ................................................................................................................. 43 
 7.2.2 – Mecânica dos Fluidos. ........................................................................................................ 49 
 7.3 – Na Química. ...................................................................................................................................................... 50 
 7.4 – Na Economia. .................................................................................................................................................. 51 
 7.5 – Na Meteorologia. .......................................................................................................................................... 53 
 
8 – Conclusões ............................................................................................................................................................................. 59 
 
 Referências Bibliográficas .......................................................................................................................................60 
 Consultada. ..................................................................................................................................................................... 60 
 Livros e Artigos. ......................................................................................................................................................... 60 
 Recomendada. .............................................................................................................................................................. 61 
 
Apêndices. ........................................................................................................................................................................................ 62 
 
 Apêndice I – Transformação do Nabla Cartesiano para Esférico. ............................................... 62 
 
 Apêndice II – Tabela de Expressões. ................................................................................................................ 80 
 
 5 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
 
 
Figura 1 - 
 
Interpretação Geométrica do Gradiente 14 
Figura 2 - Representação do gradiente 
 
 16 
Figura 3 - Ventos e Contornos do Nível de 200 mb (~ 12 km) 
 
 
 56 
Figura 4 - Circulação Anticiclônica (sentido anti-horário) sobre a América do 
Sul 
 57 
 
 
 6 
CAPÍTULO 1 
____________________________________________________ 
Apresentação e Abordagem Histórica 
 
"É impossível haver progresso sem mudança, e quem não consegue 
mudar a si mesmo não muda coisa alguma" 
 George Bernard Shaw 
 
 
 
 A criação e o desenvolvimento do Cálculo foram motivados por uma série de problemas que 
são divididos em três grandes temas: Cálculo Integral (cálculo de áreas e volumes – quadratura e 
curvatura), Cálculo Diferencial (cálculo de tangentes a curvas e máximos e mínimos de funções) e 
Cálculo Infinitesimal (que é um elo entre os outros dois) [14]. 
 Destes, o cálculo integral é o mais antigo de que conhecemos, no entanto, o cálculo 
diferencial, no século XVII, possibilitou a solução de problemas fundamentais na física e na 
matemática. Desta forma a utilização de forma recursiva do cálculo diferencial (para a solução de 
problemas da mecânica, da hidrodinâmica, da termodinâmica, etc) permitiu o aparecimento e a 
criação de notações e operadores associados às necessidades deste campo conceitual [2]. No 
conceito de derivação, a sua própria definição: 










 x
ff xxx
x
)()(
0
(x) Limf Função da Derivada
 
 
nos permite associar um operador: 
 
)(
'
)(
)()(
0
(x) Limf Função da Derivada xx
xxx
x
ff
dx
d
x
ff











 
 
Em meio às antigas discussões sobre a “paternidade” do Cálculo ( em defesa de Newton ou 
de Leibnitz) tornava-se cada vez mais necessário o trabalho com funções no R
3
 e a utilização dos 
 7 
operadores associados às mesmas (No final do século XVIII, Euler demonstrou a hoje ainda célebre 
Equação de Euler (na notação atual): 
vFp
  
1
, utilizada nos seus estudos sobre fluidos 
perfeitos, que apesar de não utilizar ainda o operador nabla na simplificação (escrita) das equações, 
mostra, por si só, a importância do estudo dos mesmos). A concomitância entre o Cálculo e a Física 
tornava crescente a necessidade de utilização dos operadores [2]. 
O estudo de alguns problemas físicos relacionados com os sistemas vibrantes, com o 
movimento dos fluidos, e com a atração gravitacional de corpos de diversas formas fez com que 
físicos e matemáticos lidassem com as primeiras equações em derivadas parciais. O esforço em 
conseguir resolver equações em derivadas parciais em alguns sistemas de coordenadas “fez surgir” 
algumas equações diferenciais ordinárias “especiais”, que não podiam ser solucionadas por meio 
das funções transcendentais elementares (circulares, exponenciais, logarítmicas, hiperbólicas e 
elípticas). Elas foram, então, tratadas com séries infinitas (que hoje recebem o nome de Funções 
Transcendentais Superiores ou Funções Especiais). Uma das primeiras Funções Especiais de que se 
tem notícia foi a Função de Bessel (Friederich Wilhelm Bessel – 1784/1846). A partir daí, muitas 
outras foram utilizadas e com elas os operadores respectivos. Por exemplo, em 1833, o matemático 
inglês Robert Murphy publicou um livro intitulado Elementary Principles of Theories of Eletricity, 
Heat and Molecular (Princípios Elementares das Teorias da Eletricidade, Calor e Ações 
Moleculares). Nesse livro, Murphy introduziu a notação  para representar o operador laplaciano 
2 . Este trabalho trata do estudo do operador diferencial nabla e suas diversas aplicações como 
gradiente, divergente, rotacional e laplaciano, na matemática, ciências físicas, economia, 
engenharias etc[2]. 
 O operador nabla é um operador diferencial multifacetado, pois para cada tipo de aplicação 
o mesmo assume características e interpretações diferentes. 
 Neste trabalho apresentamos as suas diversas “facetas”, assim como as respectivas 
interpretações e aplicações associadas. Para tanto, relataremos as suas propriedades algébricas e as 
 
1Em 
vFp
   temos que p é a pressão, 
1é a densidade, F é a força e v a velocidade de um fluido. 
 8 
possíveis operações que podemos fazer com o operador em funções escalares e/ou vetoriais e sobre 
ele mesmo. Além disso, trataremos da sua característica de invariância em relação ao sistema de 
coordenadas com o qual trabalha-se e apresentaremos as matrizes de transformação para os 
principais sistemas de coordenadas associadas (cartesiano, esférico e cilíndrico) quando nos for de 
interesse. 
 A utilização e aplicação do operador nabla, gradiente, divergente, rotacional e laplaciano é 
encontrada em diversas áreas: na própria Matemática, na Física (descrição de leis físicas como a lei 
de Gauss ou Equação da Continuidade e dos Fluidos, etc), na Química (na descrição de fenômenos 
de absorção, na descrição do comportamento de transporte de partículas em líquidos, etc), nas 
Engenharias: Elétrica (através das leis da eletricidade e do magnetismo), Civil (com a descrição dos 
fenômenos de propagação de sons em estruturas sólidas), Química (na descrição de composição e 
integração de moléculas através da Química Quântica), Mecânica (com a descrição dos fenômenos 
de torção e vigas em estruturas sob o efeito constante da tensão e/ou compressão), e até na 
economia, com os conceitos de taxa de oferta e demanda para funções econômicas de várias 
variáveis, além de muitas outras aplicações. 
 Além das aplicações descritas, a “invenção” do operador por Laplace (Pierre Simon de 
Laplace) foi providencial devido ao fato de o mesmo propiciar, de uma forma clara, eficiente e 
eficaz, todas as descrições associadas às derivações parciais, bem como a forma compacta de 
descrição dos fenômenos físicos também associados aos mesmos. 
 Devemos também evidenciar o conceito de operador (diferencial) como sendo o de uma 
“entidade” matemática com características tanto escalar quanto vetorial, dependendo, por exemplo, 
do tipo de função em que está sendo aplicado: linear ou vetorial. Entretanto, o mesmo não é um 
número nem tampouco um vetor. Há quem afirme que trata-se apenas de uma forma compacta de 
notação para descrição de taxas de variação de primeira e segunda ordem. 
 9 
 CAPÍTULO 2 
____________________________________________________ 
 
Características e Propriedades dos Operadores Diferenciais 
 
 
"Quanto mais eu sei, mais eu seique nada sei. " 
Sócrates 
 
 
2.1 – Operador Nabla. 
 
 
 Antes de começarmos a apresentar o operador diferencial NABLA gostaríamos de definir o 
conceito de operador. Operador é um símbolo de uma operação
2
 que se efetua sobre uma função ou 
uma variável. Uma grande classe de operadores comporta-se como se constituísse uma álgebra, isto 
é, seus membros podem ser manipulados como se fossem variáveis algébricas. A álgebra daí 
resultante é a chamada álgebra dos operadores[3]. 
Neste trabalho utilizaremos o operador nabla com as suas diversas aplicações. 
 O operador diferencial Nabla, que se escreve simbolicamente como  , é definido 
 
kji:

zyx 








 
 
Aplicado a uma função real 
 zyxff ,,
, obtém-se a seguinte expressão: 
 
           
kji:
,,,,
0
,,,,
0
,,,,
0
),,(























































 z
ff
Lim
y
ff
Lim
x
ff
Limf
zyxzzyx
z
zyxzyyx
y
zyxzyxx
x
zyx
 
kji:
),,(),,(),,(
),,(

z
f
y
f
x
f
f
zyxzyxzyx
zyx









 
 
2 Aplicação de um operador sobre o operando[3]. 
 10 
 Em outras palavras,  é uma transformação de um subconjunto do espaço de funções reais 
no espaço de funções vetoriais 
ff
RURUD


 
);();(: 3 
 onde D é o conjunto das funções reais que possuem derivadas parciais em todos os 
pontos de um aberto 3RU  e 
 zyxff ,,
 é contínua e deve possuir derivadas parciais em todos os 
pontos de seu domínio [12]. 
 
 
2.2 - Notações. 
 
A notação de representação do operador é 
kji

zyx 








, onde 
 
kji
),,(),,(),,(
),,(

z
f
y
f
x
f
f
zyxzyxzyx
zyx









 
 
 
     
     
     

































z
ff
z
f
y
ff
y
f
x
ff
x
f
zyxzzyx
z
zyx
zyxzyyx
y
zyx
zyxzyxx
x
zyx
,,,,
0
,,
,,,,
0
,,
,,,,
0
,,
lim
lim
lim






 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
CAPÍTULO 3 
____________________________________________________ 
 
Operador Nabla Aplicado a uma Função Escalar - Gradiente 
 
 
“Educação é o que resta depois de ter esquecido tudo que se aprendeu na escola” 
Albert Einstein 
 
 
 
 3.1 – Definição 
 
 
 Considerando o caráter multifacetado do operador nabla, podemos aplicá-lo a uma 
função escalar 
f U R R:  3
, com derivadas parciais em todos os pontos de U , e obteremos: 
 
     
k
z
f
j
y
f
i
x
f
f
zyxzyxzyx
zyx



















 




 ,,,,,,
,,
, 
que é denominado de Gradiente da função escalar 
 zyxf ,,
 e, apesar da função de origem ser escalar, 
o gradiente da mesma tem um caráter vetorial, pois é um vetor cujas coordenadas são as derivadas 
parciais da mesma no ponto considerado[17]. 

 
Figura 1 – Fonte: Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis. Pinto, Diomara 
 
 12 
 Considerando a superfície de nível: 
  zyxf ,,
, 
temos que o gradiente da mesma é o vetor normal ao plano tangente desta superfície nos 
pontos 
 ooo zyx ,,
 de derivação. 
 Podemos também calcular o módulo do vetor gradiente: 
 
 
     
2
,,
2
,,
2
,,
,, 


















z
f
y
f
x
f
f
zyxzyxzyx
zyx 




 
 pois 
 zyxf ,,
 é um campo de vetores em U, isto é: 
RRUf  3:
 
     







z
f
y
f
x
f
fzyx
zyxzyxzyx
zyx 




 ,,,,,,
),,( ,,),,(
 
 
Desta forma, ao contrário do operador nabla, o gradiente é um vetor com todos os seus 
adjetivos: módulo, direção e sentido, pois  é o operador e 
f
 é o campo de vetores. 
O gradiente, assim definido, representa um conceito muito importante para a análise do 
comportamento de funções e superfícies no R3 , pois o mesmo está diretamente associado à taxa de 
variação dessas funções e a análise das suas tendências de crescimento ou decrescimento. Calcular 
o gradiente representa calcular a tendência da taxa de variação total da função no ponto, juntamente 
com a sua intensidade total no mesmo [17]. 
Entretanto, não devemos confundir o conceito de gradiente com o conceito de derivada total 
da função. No caso do gradiente, como já frisamos, trata-se de um vetor gerado a partir de uma 
função escalar e que aponta para a região de maior tendência de crescimento da função. A questão 
principal é: qual a correlação entre a função geratriz e a função (vetor) gerada? Além disso, qual é a 
interpretação e aplicação disto na matemática e nas ciências físicas? [20] 
No caso da derivada total da função, calculamos a taxa de variação da mesma em relação às 
variáveis. O gradiente torna explícito o conceito de intensidade e o sentido da variação. 
 13 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Representação do gradiente 
Se 3Rv é um vetor unitário, definimos a derivada direcional 
)( p
v
f

 pelo limite 
t
pftvpf
Limp
v
f
t
)()(
)(
0





 
 Dessa forma, 
)( p
v
f

 mede a taxa de variação de f na direção e sentido do vetor v 
(segue da expressão acima). 
 Quando f é diferenciavel, chamando
),,( oooo zyxp
, 
),,( lkhv 
 temos 
),,()( tlztkythxftvpf oooo 
 
),,()( oooo zyxfpf 
 
 Daí 
t
zyxftlztkythxf
Limp
v
f oooooo
t
o
),,(),,(
)(
0





, o que nos dá 
vzyxfv
tv
zyxftlztkythxf
Limp
v
f
ooo
oooooo
t
o ).,,(.
),,(),,(
)(
0






 
 
 Como 
)cos()cos(.  fvfvf  , temos que )( p
v
f

 é máximo se v estiver 
na mesma direção e sentido de 
)( pf
. Analogamente 
)( p
v
f

 será mínimo se v tiver sentido 
contrário de 
)( pf
. 
Pelo visto acima, no cálculo do gradiente, qual seria o significado da sua direção e do seu 
módulo? 
 
 
 z R 
 v 
 
f
 
f
 
 
 
 y 
 
 
 x 
 14 
Como visto, direção indica uma tendência natural de crescimento ou decrescimento da 
grandeza apresentada pela função, e o módulo indica a intensidade dessa taxa de variação. 
A análise do gradiente de uma função nos permite então afirmar sobre o comportamento da 
evolução da função frente aos seus eixos coordenados em caráter vetorial (módulo, direção e 
sentido), isto é de extrema importância, pois grandezas escalares no R3 geram, quase sempre, 
grandezas de caráter vetorial também no R3 e que a princípio, não teriam nenhuma correlação[24].3.2 – Propriedades 
 
 Para trabalharmos com as propriedades do Gradiente vamos considerar as seguintes 
funções escalares:  3:UG onde: 
 ),,( zyxGG 
 e 
  3:UH ; 
 ),,( zyxHH 
 
1)   ),,(),,(),,(),,( zyxzyxzyxzyx HGHG  
Demonstração: 
     
 kHG
z
jHG
y
iHG
x
HG
zyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx


),,(),,(
),,(),,(),,(),,(),,(),,(










 
 
         
   kH
z
kG
z
jH
y
jG
y
iH
x
iG
x
HG
zyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx


),,(),,(
),,(),,(),,(),,(),,(),,(


















 
 
 15 
       
      ),,(),,(),,(),,(),,(
),,(),,(),,(),,(),,(
zyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyx
HGkH
z
jH
y
iH
x
kG
z
jG
y
iG
x
HG

































 
 
  ),,(),,(),,(),,( zyxzyxzyxzyx HGHG 
 
 C.Q.D 
 
2)   ),,(),,(),,(),,(),,(),,( . zyxzyxzyxzyxzyxzyx GHHGHG  
Demonstração: 
     
  









kHG
z
jHG
y
iHG
x
HG
zyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx


),,(),,(
),,(),,(),,(),,(),,(),,(
.
...
 
 
 
kG
z
H
H
z
G
jG
y
H
H
y
G
iG
x
H
H
x
G
HG
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx




































),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(),,( .
 
 
 
kG
z
H
kH
z
G
jG
y
H
jH
y
G
iG
x
H
iH
x
G
HG
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx



















































),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(),,( .
 
 
 16 
 






























































k
z
H
j
y
H
i
x
H
G
k
z
G
j
y
G
i
x
G
HHG
zyxzyxzyx
zyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx


),,(),,(),,(
),,(
),,(),,(),,(
),,(),,(),,( .
 
  ),,(),,(),,(),,(),,(),,( . zyxzyxzyxzyxzyxzyx GHHGHG 
 
 C.Q.D 
 
3.2 – Interpretação Numérica. 
 
 O módulo do gradiente, como já vimos, é dado por: 
 
     
2
,,
2
,,
2
,,
,, 


















z
f
y
f
x
f
f
zyxzyxzyx
zyx 




 
e representa a medida da tendência da grandeza (a qual representa a função) em pender para 
aquele ponto em questão. 
Para finalizar poderíamos apresentar um exemplo numérico. Para tal vamos considerar a 
função escalar do tipo:  3:UG onde: 
 ),,( zyxGG 
 e vamos calcular o gradiente da 
mesma no ponto (1,-3,2) e o módulo deste vetor. Assim: 
232
),,( 3 zyyxG zyx 
 
 
     
k
z
G
j
y
G
i
x
G
G
zyxzyxzyx
zyx

























 




 ,,,,,,
,,
 
 
     
k
z
zyyx
j
y
zyyx
i
x
zyyx
G zyx






 





 





 
 
232232232
,,
333 
       kzyjzyxixyG zyx

3222
,, 2336 
 
       kjiG

2)3(2)2.()3.(31.1.3)3.(1.6 3222,3,1  
 
  kjiG

108111182,3,1  
 
 17 
 e o módulo: 
     222)2,3,1( 10811118 G
 
     222)2,3,1( 10811118 G
 
91,155)2,3,1( G
 
 18 
CAPÍTULO 4 
____________________________________________________ 
 
Operador Nabla Aplicado Escalarmente a uma Função 
Vetorial – Divergente 
 
“Por que cometer erros antigos se há tantos erros novos a escolher?” 
Bertrand Russel 
 
 4.1 – Definição 
 
 
Considerando uma função vetorial
kFjFiFFRRUF
zyxzyxzyxzyx

),,(3),,(2),,(1),,(
33 ,: 
, 
com derivadas parciais em todo seu domínio, podemos aplicar escalarmente o operador diferencial 
nabla da seguinte forma: 
 
 kFjFiFk
z
j
y
i
x
F zyxzyxzyxzyx

),,(3),,(2),,(1),,( 





 
 
 
 
 ),,(),,(3),,(2),,(1),,( zyxzyxzyxzyxzyx FDiv
z
F
y
F
x
F
F

 




 
que será um escalar e representará a taxa de tendência a divergência do campo representado 
por F(x,y,z) nos pontos escolhidos 
 x y z, ,
 para a aplicação da derivação. 
 Nota-se que a divergência é uma operação realizada em um campo vetorial, mas tem como 
resultado um escalar. Este escalar nos diz quanto do “fluxo” do campo vetorial ou da função 
vetorial está deixando ou entrando em um volume infinitesimal hipotético ao redor do ponto em 
análise por unidade de volume. Podemos afirmar que, desta forma, nenhuma direção é associada ao 
conceito de divergência[24]. 
 
 
 
 
 
 19 
4.2 - Propriedades. 
 
 Para trabalharmos com as propriedades do operador Nabla vamos considerar as seguintes 
funções escalares: 
 3:UG 
assim: 
 ),,( zyxGG 
 
 e 
 3:UH 
assim: 
 ),,( zyxHH 
 
e funções vetoriais: 
33: UA
 
onde: 
       kAjAiAAAAAA zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx

),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1),,( ,, 
 
e também: 
33: UB
 
onde:        kBjBiBBBBBB zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx  ),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1),,( ,,  
 
 e as seguintes propriedades: 
 
3)   BABA  ...  
Demonstração: 
              kBjBiBkAjAiABA zyxzyxzyxzyxzyxzyx

),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1.. 
       kBAjBAiBA zyxzyxzyxzyxzyxzyx  ),,(2),,(3),,(2),,(2),,(1),,(1.  = 
      kBAjBAiBA
zx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx

),,(3),,(3),,(2),,(2),,(1),,(1.kj
y
i 



























 efetuando o produto escalar: 
 20 
         
         
     























































































),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(3
),,(2),,(2),,(1),,(1
x
x
.
zyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
B
z
B
y
B
A
z
A
y
A
x
B
z
A
z
B
y
A
y
BA
x
BA
























 
   BABA  ...  
 
 C.Q.D 
 
4)   AGAGAG  ...  
 
Demonstração: 
        kAGjAGiAGAG zyxzyxzyxzyxzyxzyx
),,(3),,(),,(2),,(),,(1),,(.. 
 
 
        kAGjAGiAGk
z
j
y
i
x
AG zyxzyxzyxzyxzyxzyx

),,(3),,(),,(2),,(),,(1),,(.. 































 
          ),,(3),,(),,(2),,(),,(1),,(. zyxzyxzyxzyxzyxzyx AG
z
AG
y
AG
x
AG 
























 
 
 
),,(
),,(3
),,(3
),,(
),,(
),,(2
),,(2
),,(
),,(
),,(1
),,(1
),,(
.
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
G
z
A
A
z
G
G
y
A
A
y
G
G
x
A
A
x
G
AG


















































 
 
        
      kAjAiAG
kAjAiAGAG
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx


),,(3),,(2),,(1),,(
),,(3),,(2),,(1),,(
.
..

 
 C.Q.D 
 21 
4.3 – Interpretação Numérica. 
 
 A interpretação numérica pode ser feita considerando que a divergência pode ser medida 
experimentalmente coletando-se a chegada, saída ou permanência de elementos da grandeza 
considerada por unidade de tempo e área. Por exemplo, quando analisamos o campo magnético de 
um imã natural verificamos que todas as linhas de força magnética que saem do imã são as mesmas 
que chegam, de sorte que a taxa de saída/chegada é nula. Neste caso podemos afirmar que a 
divergência é nula[9]. Esta observação referente ao campo magnético foi feita inicialmente de 
forma empírica e posteriormente de forma numérica até que no final do século passado foi 
demonstrado matematicamente considerando a seguinte relação: 
0.  B
 
onde B é o campo magnético. 
 Uma aplicação numérica que é muito usual das propriedades do campo magnético e da sua 
divergência é a determinação de constantes de proporcionalidade nas funções de campo magnético. 
Assim considerando que a função: 
kFjFiFFRRUF
zyxzyxzyxzyx

),,(3),,(2),,(1),,(
33 ,: 
 
     kzajyaiyF zyx

2
),,( 232 
 
como representante do campo magnético em uma região do espaço qual deveria ser o 
valor da constante a . 
       ),,(
2
),,(
232
zyxzyx FDiv
z
za
y
ya
x
y
F

 




 
2
),,( 23 aaF zyx 
 
 como trata-se de um campo magnético: 
0. ),,(  zyxF
 
023 2),,(  aaF zyx
 
0)23(  aa
; logo: 0a ou 
2
3a
 
 22 
CAPÍTULO 5 
____________________________________________________ 
 
Operador Nabla Aplicado Vetorialmente a uma Função 
Vetorial – Rotacional 
 
“São fúteis e cheias de erros as ciências que não nasceram 
da experimentação, mãe de todo conhecimento” 
Leonardo da Vinci 
 
 
5.1 – Definição 
 
 
Considerando uma função vetorial diferenciável na forma: 33: UA 
onde:        kAjAiAAAAAA zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx  ),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1),,( ,,  , define-se 
como rotacional de 
f
ao capo de vetores dado por: 
      kAjAiAk
z
j
y
i
x
A zyxzyxzyx

),,(3),,(2),,(1 






























 
Esta expressão pode ser escrita na forma de um determinante simbólico: 
),,(3),,(2),,(1 zyxzyxzyx AAA
zyx
kji
A



























 
 
que pode ser calculado usando a regra: 
),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1 zyxzyxzyxzyxzyx A
y
j
A
x
i
AAA
zyx
kji
A















































 
 23 


































































y
A
k
z
A
i
x
A
j
x
A
k
z
A
j
y
A
iA
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
),,(1),,(2),,(3
),,(2),,(1),,(3












 
 logo, podemos escrever: 
k
y
A
x
A
j
x
A
z
A
i
z
A
y
A
A
zyxzyxzyxzyxzyxzyx

















































),,(1),,(2),,(3),,(1),,(2),,(3 
 
 
 5.2 – Propriedades: 
 
 
5)       AGAGAG   
 
Demonstração: 
 
 
     ),,(3),,(),,(2),,(),,(1),,( zyxzyxzyxzyxzyxzyx AGAGAG
zyx
kji
AG 


 
 
       
        
  iAG
z
jAG
x
kAG
y
kAG
x
jAG
z
iAG
y
AG
zyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx



),,(2),,(
),,(3),,(),,(1),,(),,(2),,(
),,(1),,(),,(3),,(


















 
 
 24 
         
         
           
     ),,(2),,(),,(),,(2
),,(3),,(),,(),,(3),,(1),,(),,(),,(1
),,(2),,(),,(),,(2),,(1),,(
),,(),,(1),,(3),,(),,(),,(3
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
AiG
z
GiA
z
AjG
x
GjA
x
AkG
y
GkA
y
AkG
x
GkA
x
AjG
z
GjA
z
AiG
y
GiA
y
AG








































 
 
 
 que nos permite escrever: 
 
 
     
     
 AGAG
AGAGAG
zyx
kji
AAA
zGyGxG
kji
AG
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx






),,(3),,(),,(2),,(),,(1),,(
),,(3),,(2),,(1
),,(),,(),,(
 
 
 C.Q.D 
 
6)      BAABBA   ... 
 
Demonstração: 
 
 
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1..
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
BBB
AAA
kji
BA


 
 
     
  kBABA
jBABAiBABABA
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx


),,(1),,(2),,(2),,(1
),,(3),,(1),,(1),,(3),,(2),,(3),,(3),,(2..

 
 
 
 25 
 
   
    kBABAjBABA
iBABAk
z
j
y
i
x
BA
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx


),,(1),,(2),,(2),,(1),,(3),,(1),,(1),,(3
),,(2),,(3),,(3),,(2..
































 
 
     
 



























),,(1),,(2),,(2),,(1
),,(3),,(1),,(1),,(3),,(2),,(3),,(3),,(2.
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
BABA
z
BABA
y
BABA
x
BA

 
 
 
),,(2
),,(1
),,(1
),,(2
),,(1
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(1
),,(3
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(3
),,(2
),,(3
),,(3
),,(2
.
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
A
x
B
B
x
A
A
x
B
B
x
A
A
x
B
B
y
A
A
y
B
B
y
A
A
x
B
B
x
A
A
x
B
B
x
A
BA





































 
 
 



































































x
B
y
B
A
x
B
x
B
A
x
B
x
B
A
y
A
x
A
B
x
A
x
A
B
x
A
y
A
BBA
zyxzyx
zyx
zyxzyx
zyx
zyxzyx
zyx
zyxzyx
zyx
zyxzyx
zyx
zyxzyx
zyx
),,(2),,(1
),,(3
),,(1),,(3
),,(2
),,(3),,(2
),,(1
),,(1),,(2
),,(3
),,(3),,(1
),,(2
),,(2),,(3
),,(1.

 
 
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
...
zyxzyxzyxzyxzyxzyx BBB
zyx
kji
A
AAA
zyx
kji
BBA


















 
 
 
     BAABBA

 ... 
 C.Q.D 
 
 26 
7)          BABAABABBA  ....  
 
Demonstração: 
 
 











),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
BBB
AAA
kji
BA


 
 
 
   
  










),,(1),,(2),,(2),,(1
),,(3),,(1),,(1),,(3),,(2),,(3),,(3),,(2
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
BABAk
BABAjBABAi
BA 

 
 
 
 
     ),,(1),,(2),,(2),,(1),,(3),,(1),,(1),(3),,(2),,(3),,(3),,(2 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxyzxzyxzyxzyxzyx BABABABABABA
zyx
kji
BA




 
 
 
     
   
   kBABA
y
iBABA
z
jBABA
x
kBABA
x
jBABA
z
iBABA
y
BA
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxyzx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx



),,(2),,(3),,(3),,(2),,(3),,(1),,(1),(3
),,(1),,(2),,(2),,(1),,(3),,(1),,(1),,(3
),,(2),,(3),,(3),,(2),,(1),,(2),,(2),,(1



















 
 
     
   
   
),,(2),,(3),,(3),,(2),,(3),,(1),,(1),,(3
),,(1),,(2),,(2),,(1),,(3),,(1),,(1),,(3
),,(2),,(3),,(3),,(2),,(1),,(2),,(2),,(1
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
BABA
y
kBABA
z
i
BABA
x
jBABA
x
k
BABA
z
jBABA
y
iBA






















 27 
 
kA
z
B
B
z
A
A
z
B
B
z
A
iA
z
B
B
z
A
A
z
B
B
z
A
jA
x
B
B
x
A
A
x
B
B
x
A
kA
x
B
B
x
A
A
x
B
B
x
A
jA
z
B
B
z
A
A
z
B
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z
A
iA
y
B
B
y
A
A
y
B
B
y
A
BA
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx













































































































),,(3
),,(2
),,(2
),,(3
),,(2
),,(3
),,(3
),,(2
),,(1
),,(3
),,(3
),,(1
),,(3
),,(1
),,(1
),,(3
),,(2
),,(1
),,(1
),,(2
),,(1
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(1
),,(3
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(3
),,(2
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(2
),,(1
),,(2
),,(2
),,(1
 
 
 
kA
z
B
kB
z
A
kA
z
B
kB
z
A
iA
z
B
iB
z
A
iA
z
B
iB
z
A
jA
x
B
jB
x
A
jA
x
B
jB
x
A
kA
x
B
kB
x
A
kA
x
B
kB
x
A
jA
z
B
jB
z
A
jA
z
B
jB
z
A
iA
y
B
iB
y
A
iA
y
B
iB
y
A
BA
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx






),,(3
),,(2
),,(2
),,(3
),,(2
),,(3
),,(3
),,(2
),,(1
),,(3
),,(3
),,(1
),,(3
),,(1
),,(1
),,(3
),,(2
),,(1
),,(1
),,(2
),,(1
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(1
),,(3
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(3
),,(2
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(2
),,(1
),,(2
),,(2
),,(1








































































 
 
 
 28 
 









































































































































































k
z
B
Aj
z
B
Ai
z
B
A
k
y
B
Aj
y
B
Ai
y
B
A
k
x
B
Aj
x
B
Ai
x
B
A
k
z
B
Ak
y
B
Ak
x
B
A
j
z
B
Aj
y
B
Aj
x
B
A
i
z
B
Ai
y
B
Ai
x
B
A
k
z
A
Bj
z
A
Bi
z
A
B
k
y
A
Bj
y
A
Bi
y
A
B
k
x
A
Bj
x
A
Bi
x
A
B
k
z
A
Bk
y
A
Bk
x
A
B
j
z
A
Bj
y
A
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x
A
B
i
z
A
Bi
y
A
Bi
x
A
BBA
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx












),,(3
),,(3),,(3
),,(2
),,(3
),,(1
),,(2
),,(3
),,(2
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(1
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(3
),,(2
),,(3
),,(1
),,(2
),,(3
),,(2
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(1
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(3
),,(2
),,(3
),,(1
),,(2
),,(3
),,(2
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(1
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(3
),,(2
),,(3
),,(1
),,(2
),,(3
),,(2
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(3
),,(1
),,(2
),,(1
),,(1
 
 
 
 
 29 
   
   
   
   
   
   
  








































































































































z
B
kAjAiA
y
B
kAjAiA
x
B
kAjAiA
kB
z
A
y
A
x
AjB
z
A
y
A
x
A
iB
z
A
y
A
x
A
z
A
kBjBiB
y
A
kBjBiB
x
A
kBjBiB
kA
z
B
y
B
x
BjA
z
B
y
B
x
B
iA
z
B
y
B
x
BBA
zyx
zyxzyxzyx
zyx
zyxzyxzyx
zyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
zyx
zyxzyxzyx
zyx
zyxzyxzyx
zyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
),,(3
),,(3),,(2),,(1
),,(2
),,(3),,(2),,(1
),,(1
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(3),,(2),,(1),,(2),,(3),,(2),,(1
),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3
),,(3),,(2),,(1
),,(2
),,(3),,(2),,(1
),,(1
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(3),,(2),,(1),,(2),,(3),,(2),,(1
),,(1),,(3),,(2),,(1







 
 
   
 
 
  


























































z
B
y
B
x
B
kAjAiA
kBjBiB
z
A
y
A
x
A
z
A
y
A
x
A
kBjBiB
kAjAiA
z
B
y
B
x
BBA
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1




 
 
     
   
   
   kBjBiBk
z
j
y
i
x
kAjAiA
kBjBiBk
z
j
y
i
x
kAjAiA
kAjAiAk
z
j
y
i
x
kBjBiB
kAjAiAk
z
j
y
i
x
kBjBiBBA
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx




),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
.
.
.
.




























































 
 30 
 
         BABAABABBA

....  
 C.Q.D 
 
8)          BAABBAABBA   ... 
 
Demonstração: 
 
        k
z
BA
j
y
BA
i
x
BA
BA
































...
.
 
 
    
 
 
k
z
BABABA
j
y
BABABA
i
x
BABABA
BA
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx




























),,(3),,(3),,(2),,(2),,(1),,(1
),,(3),,(3),,(2),,(2),,(1),,(1
),,(3),,(3),,(2),,(2),,(1),,(1
.
 
 
 
kA
z
B
B
z
A
A
z
B
B
z
A
A
z
B
B
z
A
jA
y
B
B
y
A
A
y
B
B
y
A
A
y
B
B
y
A
iA
x
B
B
x
A
A
x
B
B
x
A
A
x
B
B
x
A
BA
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx









































































































































































),,(3
),,(3
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(1
),,(1
.
 
 31 
 
kA
z
B
B
z
A
A
z
B
B
z
A
A
z
B
B
z
A
jA
y
B
B
y
A
A
y
B
B
y
A
A
y
B
B
y
A
iA
x
B
B
x
A
A
x
B
B
x
A
A
x
B
B
x
A
BA
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx









































































































































































),,(3
),,(3
),,(3
),,(3
),,(2
),,(2
),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(1
),,(1
),,(3
),,(3
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),,(2
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),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(1
),,(1
),,(3
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),,(2
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),,(2
),,(2
),,(1
),,(1
),,(1
),,(1
.
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 



































































































































































k
y
B
k
x
B
j
x
B
j
z
B
i
z
B
i
y
B
kAjAiAk
y
A
k
x
A
j
x
A
j
z
A
i
z
A
i
y
A
kBjBiB
kB
z
A
y
A
x
A
jB
z
A
y
A
x
A
iB
z
A
y
A
x
A
kA
z
B
y
B
x
B
jA
z
B
y
B
x
B
iA
z
B
y
B
x
BBA
zyxzyx
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyx
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx










),,(1),,(2
),,(3),,(1),,(2),,(3
),,(3),,(2),,(1
),,(1),,(2
),,(3),,(1),,(2),,(3
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(3),,(2),,(1
),,(2),,(3),,(2),,(1
),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(3),,(2),,(1
),,(2),,(3),,(2),,(1
),,(1),,(3),,(2),,(1.
 
 
 
 32 
   
 
 
 




































































),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1.
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
BBB
zyx
kji
kAjAiA
AAA
zyx
kji
kBjBiB
kBjBiB
z
A
y
A
x
A
kAjAiA
z
B
y
B
x
BBA






 
 
     
   
   
   







































































kBjBiBk
z
j
y
i
x
kAjAiA
kAjAiAk
z
j
y
i
x
kBjBiB
kBjBiBk
z
j
y
i
x
kAjAiA
kAjAiAk
z
j
y
i
x
kBjBiBBA
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx




),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1
..
..
 
         BAABBAABBA

 ... 
 
 C.Q.D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
9)   0 G 
 
Demonstração: 
 
 
z
G
y
G
x
G
zyx
kji
G








 
 
x
G
y
k
z
G
x
j
y
G
z
i
y
G
x
k
x
G
z
j
z
G
y
iG






























 
 
 considerando que: 
xy
G
yx
G zyxzyx




 ),,(
2
),,(
2 , 
xz
G
zx
G zyxzyx




 ),,(
2
),,(
2 e 
yz
G
zy
G zyxzyx




 ),,(
2
),,(
2 
 
 temos que: 
 
  0 G 
 
 C.Q.D 
 
10)   0.  A 
 
Demonstração: 
 
y
A
k
x
A
j
z
A
i
x
A
k
z
A
j
y
A
i
AAA
zyx
kji
A

















 132213
321



 


































y
A
x
A
k
x
A
z
A
j
z
A
y
A
iA 123123
 
 34 
  












































 k
y
A
x
A
j
x
A
z
A
i
z
A
y
A
k
z
j
y
i
x
A

123123.  
  

































y
A
x
A
zx
A
z
A
yz
A
y
A
x
A 123123. 




 
 
y
A
zx
A
zx
A
yz
A
yz
A
xy
A
x
A

















 123123. 
 
 
 pelas mesmas razões acima, temos que: 
 
  0.  A
 
 C.Q.D 
 
11)     AAA  2.  
 
Demonstração: 
 
y
A
k
x
A
j
z
A
i
x
A
k
z
A
j
y
A
i
AAA
zyx
kji
A

















 132213
321



 
 


































y
A
x
A
k
x
A
z
A
j
z
A
y
A
iA 123123
 
 
 
 

































































































z
A
y
A
yx
A
z
A
x
k
y
A
x
A
xz
A
y
A
z
j
x
A
z
A
zy
A
x
A
y
iA
2331
12233112


 
 
    AAA

2.  
 
 C.Q.D 
 35 
 5.3 – Interpretação Numérica 
 
 
 A interpretação numérica pode ser feita considerando uma das equações de Maxwell que 
como veremos a seguir, indica que o rotacional do campo elétrico pode fornecer a reação da taxa de 
variação do campo magnético com o tempo da forma: 
t
B
E





 
 
Sendo assim podemos supor que o campo elétrico em uma região do espaço seja definido 
como sendo: 
     kxyzjzyixyE

 32
 
 
e com isto calcular a reação da taxa de variação do campo magnético com o tempo como 
sendo: 
 
           
t
B
y
xy
k
x
xyz
j
z
zy
i
x
zy
k
z
xy
j
y
xyz
i
xyzzyxy
zyx
kji
E
























 2332
32
 
 
t
B
kxjyziyixzE





23
 
 
  kxjyzixzy
t
B 

23 

 
 
 
 
 
 
 
 36 
CAPÍTULO 6 
____________________________________________________ 
 
Operador Laplaciano 
 
 
 
“Não exijas dos outros qualidades que ainda não possui” 
Francisco Cândido Xavier 
 
 6.1 – Definição. 
 
 O operador “Laplaciano” ou “Nabla Dois” (Trata-se de uma gíria com a qual alguns 
matemáticos, físicos e engenheiros fazem referência ao Operador Laplaceano) é o operador nabla 
aplicado a ele mesmo, ou seja: 
 



























 kji.kji:2

zyxzyx
 
 
que pode ser explicitado na forma: 
 
2
2
2
2
2
2
2 :
zyx 








 
 
e é utilizado para simplificar a representação do operador nabla em equações (equações 
diferenciais parciais) onde o mesmo é utilizado e é aplicado em funções escalares reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
 6.2 – Aplicações. 
 
 Uma das aplicações do uso do laplaciano é a demonstração da coerência das equações de 
Maxwell no eletromagnetismo com a equação de propagação da onda eletromagnética. Para tal 
vamos considerar as equações de Maxwell para o campo eletromagnético como sendo
3
: 
 
 .

E
o


 
 .

B 0 
  


B i
E
to o o
    .
 
  


E
B
t


 
 
Para o caso do espaço vazio a densidade de carga é nula e ficamos com: 
 
0.  E
 
 .

B 0 
.
t
E
B oo 





 
  


E
B
t


 
 
Para integrarmos estas equações podemos fazer: 
 
  







t
B
E



 
 
que pode ser escrito como: 
 
   B
t
E

 
 
pois: 
 
 
3
 No “Capítulo 7 – Aplicações dos Operadores Difenciais” entraremos em mais detalhes sobre estas equações. 
 38 
 































 k
t
B
j
t
B
i
t
B
kBjBiB
tt
B 







 321321
 
 
t
B
t
B
t
B
zyx
kji
k
t
B
j
t
B
i
t
B











321
321



















 
 
321
321
BBB
zyx
kji
t
k
t
B
j
t
B
i
t
B

















 







 
assim: 
 B
tt
B 













 
 
lembrando que: 
 
.
t
E
B oo 





 
 
ficamos com: 
 
 
2
2
t
E
t
E
tt
E
t
E oooooo 





 

















 
 
 
2
2
t
E
E oo 




 
 
Também, da propriedade 
    AAA

2.  , temos 
 
 
2
2
2.
t
E
EE oo 




 
 39 
 como 0.  E 
 
 ficamos com: 
 
2
2
2
t
E
E oo 





 
 
que é denominada equação da onda eletromagnética e a sua função incógnita poderá ser o 
campo elétrico ou o campo magnético[20]. 
 
 
 
 40 
CAPÍTULO 7 
____________________________________________________ 
 
Aplicações dos Operadores Diferenciais 
 
 
 
“Educação é o que resta depois de ter esquecido tudo que se aprendeu na escola” 
Albert Einstein 
 
 
 7.1 – Na Matemática. 
 
 O uso dos operadores diferenciais na Matemática é importante não só pela providencialidade 
da notação como também pela generalidade da mesma. Todo o escopo do nosso trabalho já 
evidencia sobremaneira estas afirmações. Além disto podemos notar a forma compacta ao 
comparar: 
 
 
           
kji
,,,,
0
,,,,
0
,,,,
0
,,























































 z
ff
Lim
y
ff
Lim
x
ff
Limf
zyxzzyx
z
zyxzyyx
y
zyxzyxx
x
zyx
 
com 
 
 e desta forma atestar a importância da notação desde as suas aplicações básicas na matemática 
ainda com Newton sem a notação atual e Maxwell já com a notação utilizando o Nabla, como 
veremos adiante. 
 
 7.2 - Na Física. 
 
 7.2.1 - Eletromagnetismo. 
 
 O uso dos operadores para descrever fenômenos físicos com o uso de equações diferenciais 
é muito importante para a simplificação da descrição dos fenômenos, além de ser uma notação 
kji:
),,(),,(),,(
),,(

z
f
y
f
x
f
f
zyxzyxzyx
zyx









 41 
poderosa. Vamos apresentar um resumo da descrição das leis da eletricidade e do magnetismo e de 
forma reduzida, eficaz e eficiente relatar estas leis utilizando os operadores[2]. 
 Até as duas primeiras décadas do século passado (XIX), alguns cientistas desconfiavam da 
existência de uma relação íntima entre a eletricidade e o magnetismo. Entre 1864 e 1873, J. C. 
Maxwell trabalhou na formulação matemática das leis experimentais do eletromagnetismo e deu 
interpretações físicas para as componentes do quaternion de Hamilton que é uma entidade 
matemática composta de quatro componentes, um componente escalar e os três restantes 
constituindo a parte vetorial. Porém, foi Oliver Heaviside (físico e engenheiro eletricista inglês, 
1850-1925) quem escreveu as equações de Maxwell na forma conhecida hoje com os operadores 
diferenciais[20]. 
Para começar vamos definir o conceito de “campo” como sendo um conjunto de valores de 
uma grandeza física que, em uma determinada região do espaço, dependem de uma maneira 
unívoca e definida das coordenadas dos pontos do espaço e possivelmente do tempo; esta definição 
de campo não é o que se pode chamar de uma “definição completa” mas é suficiente para ser 
utilizada em um estudo superficial do campo elétrico e magnético, ou melhor: campo 
eletromagnético[9]. 
 O campo gravitacional de uma massa  m pode ser definido pela equação: 
 

F G
m m
r

1 2
2
 
 
 que é a lei da gravitação universal, onde F é a força gravitacional existente entre as 
massas 1 e 2 e o campo é dado por: 
 
g F mo

/ 
 
 Por analogia, com a relação anteriormente apresentada, podemos definir o campo 
elétrico E (com caráter vetorial) de uma carga pontual mediante a relação[19]: 
 
 
E F q
k
q q
r
qo
o
o
 /
1
10
2
 
 
 42 
 onde F é a força elétrica entre a carga puntual 
oq
 e de uma outra carga pontual 
1q
, 
responsável pela produção do campo elétrico no ponto onde se encontrava a carga 
oq
. Para 
determinar o campo elétrico produzido pela ação de diversas cargas puntuais devemos usar o 
princípio da superposição (entre vetores, pois o campo, tanto o elétrico como o já citado 
gravitacional, tem caráter vetorial). O vetor campo elétrico da distribuição de cargas discretas e 
pontuais em um dado ponto no espaço pode ser determinado mediante a seguinte soma vetorial[19]: 
 



n
i o
io
oi
n
i
i
q
r
qq
k
EE
1
2
1

 
 
 que é a soma vetorial de cada uma das componentes das n cargas consideradas. Para uma 
distribuição contínua de cargas ficamos com: 
 










































Ed
n
i o
q
o
r
o
qq
k
n
Lim
n
i
i
E
n
LimE

1
2
1
1
1
 
 
 Já o campo magnético pode ser definido considerando uma carga elétrica (q) movendo-se 
com velocidade (v), em um ponto onde existe um campo magnético (B) caracterizado pelovetor 
indução magnética (B). A força que atua sobre a partícula é dada por: 
 
  
    

F qv B q
i j k
v v v
B B B
q
i j k
dS
dt
dS
dt
dS
dt
B B B
x y z
x y z
x y z
x y z
    
 
 onde S é a função posição e F é conhecida como força de Lorentz. 
 Se uma carga (q) se encontra em uma região em que existe só uma componente do campo 
elétrico e uma do campo magnético a força total que atua sobre esta carga será a superposição da 
força elétrica (qE) coma força magnética dada pela equação anteriormente apresentada[9]: 
 
   
F qE qv B   
 
 43 
 que, como já evidenciamos, é conhecida como força de Lorentz. 
 Agora que já temos um certo conhecimento do que seja (ou pelo menos como se comporta) 
o campo elétrico e magnético, apresentaremos um resumo das principais leis do eletromagnetismo e 
a aplicação dos operadores diferenciais nas mesmas: 
 
a ) Lei de Coulomb – Lei que dá a força (F) qua age entre duas cargas elétricas puntiformes 
(q1 e q2) separadas por uma distância (r) no vácuo. Exprime-se analiticamente pela 
igualdade[19]: 

F k
q q
r

1 2
12
2
 
 
b ) Lei de Gauss – É também uma das leis fundamentais do eletromagnetismo, e expressada 
mediante a equação[9]: 
o
q
E



.
 
 onde E é a intensidade do campo elétrico que a carga (q) provoca sobre a superfície 
(A) que a envolve. De uma forma análoga exprime-se a lei de Gauss para o magnetismo: 
0.  B
 
 onde B é a indução magnética de um campo sobre a superfície fechada (A). 
 
c ) Lei de Ohm – Lei que se exprime pela proposição: 
”... a queda de tensão elétrica (V) em um condutor percorrido por uma corrente de 
intensidade (i) é proporcional a esta corrente.” 
 ou seja: V=Ri 
onde a constante de proporcionalidade é a resistência do condutor. Vale salientar que esta lei 
é satisfeita entre limites bastante grandes de intensidade de corrente, pelos condutores 
metálicos[2][9]. 
 
d ) Lei de Joule – Podemos enunciá-la afirmando que: ”... a energia dissipada por unidade 
de tempo em um condutor de resistência elétrica R, atravessado por uma corrente elétrica 
de intensidade (i), é dada pela expressão: W Ri 2 ”[9] 
 
e ) Lei de Ampére – Expressão que relaciona a indução magnética de um campo magnético 
devido a um sistema de correntes elétricas. Analiticamente exprime-se pela igualdade: 
 
 44 
 
Bds io  
 
 
 onde B é o vetor indução magnética e ds é o elemento de arco do circuito 
fechado ao longo do que se estende a integral e que é atravessado pela corrente i[15]. 
 
f ) Lei de Biot-Savart – Lei de Biot-Savart é a lei que ”permite” calcular o vetor indução 
magnética (dB) de um campo magnético devido a um elemento infinitessimal dE de corrente 
(Ids), a uma distância conhecida (R) deste elemento, ou seja[15]: 
 
dB
ids r
r
  














4 3
 
 
g ) Lei de Faraday – Os resultados de um grande número de experiências podem ser 
resumidas por meio da associação de uma força eletromotriz[15]: 


 
d
dt
 
 a uma variação de fluxo magnético em um circuito. 
 
h ) Lei de Lenz – Lei que fixa o sentido da corrente induzida em um circuito por uma 
variação de fluxo magnético que o atravessa, e que pode enunciar-se da seguinte maneira: 
 
”... a corrente induzida tem um sentido tal que induz um fluxo magnético que 
contraria a variação do fluxo indutor: se esta for positiva, o fluxo induzido 
opõe-se ao inicial; se for negativa, fluxo soma-se ao inicial” 
 
 Pode ser também enunciado de uma outra forma (análoga) : 
 
“... o campo magnético associado a uma corrente induzida tende a restaurar o 
campo magnético indutor: se este cresce, o campo induzido tende a diminui-
lo; se ele decresce o campo induzido tende a aumenta-lo”[15] 
 
 
i ) Leis de Kirchhoff – Duas leis que permitem calcular as correntes em circuitos formados 
por varias malhas e que contem diversas fontes de força eletromotriz. Enuncia-se: 
 
 45 
Lei dos Nós: “... a soma algébrica das correntes que saem e que chegam 
a um nó em um circuito é igual a zero” 
Lei das Malhas: “... a soma das quedas de potencial elétrico ao longo de 
uma malha de um circuito é igual a zero”[19] 
 
 
Maxwell depois de mergulhar nos relatórios das pesquisas empíricas elétricas de Faraday e 
colaboradores, procurou formular matematicamente uma teoria de eletricidade e de magnetismo que 
explicasse estas leis e que as descrevesse de forma quantitativa. 
 Podemos então apresentar as equações de Maxwell na sua forma diferencial como sendo: 
 
 .

E
o


 
 .

B 0 
  


B i
E
to o o
    .
 
  


E
B
t


 
 
 As equações de Maxwell descrevem a estrutura dos campos eletromagnéticos (elétrico e 
magnético). Todo o espaço é cenário destas leis e não, como no caso das leis mecânicas, apenas 
pontos em que estão presentes matéria ou cargas. Na mecânica, conhecendo-se a posição e a 
velocidade de uma partícula em um único instante e conhecendo-se as forças atuantes, toda a 
trajetória futura da partícula poderia ser prevista. Na “teoria de Maxwell” se conhecermos apenas o 
campo em um instante, podemos deduzir (através das suas equações), como o campo inteiro se 
alterará no espaço e no tempo. Em suma, as equações de Maxwell nos permitem seguir a “história 
do campo” assim como as equações da mecânica nos permite seguir a ”história das partículas 
materiais”. A evolução de qualquer sistema elétrico e/ou magnético ocorre seguindo os preceitos 
dos operadores diferenciais associados nas equações de Maxwell. Na primeira equação descrita 
acima nota-se claramente que a divergência do campo elétrico está associada à densidade de carga 
na região de estudo do mesmo e de forma análoga, o campo magnético não diverge, ou seja, todas 
as linhas de campo do campo elétrico saem e voltam para o mesmo ponto indicando claramente o 
que percebemos desde há muito de forma empírica, ou seja, que não existem monopolos 
magnéticos. A terceira e quarta equação mostram a associação existente entre a variação do campo 
elétrico e do campo magnético, ou seja, quando ambos variam com a posição e/ou tempo gera o 
aparecimento do outro. 
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 Sendo assim podemos atribuir a Maxwell a forma de descrever matematicamente, com a 
linguagem dos operadores, a descrição do acoplamento do campo elétrico e magnético bem como o 
comportamento dos mesmos[2]. 
 
 
 7.2.2 – Mecânica dos Fluidos – 
 
O fluido real é composto de moléculas com espaço vazio entre elas. Entretanto quando 
estabelecem-se os modelos matemáticos, é conveniente admitir que o fluido seja um meio continuo 
para que o conceito de campo seja aplicado e a continuidade das funções também possa ser 
administrada com sucesso nas soluções das equações que descreveram o comportamento do fluido 
em questão. O fluido é assim, considerado como um meio contínuo. Assim, um elemento 
infinitesimal de volume de fluido contém uma infinidade de átomos . Este elemento infinitesimal é 
muito pequeno se comparado com o volume do fluido mas muito grande comparado às distâncias 
interatômicas. Podemos então considerar a região de escoamento como sendo uma região de bom 
comportamento das funções velocidade, posição, etc[11]. 
Com isto, para um fluido incompressível ficamos com: 
0. v
 
 
Da equação acima pode-se deduzir a equação da conservação em um fluido: Seja 

 uma 
grandeza física qualquer em um fluido (carga, massa, energia, momento, etc). Consideremos uma 
superfície