Ajuste de curvas

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Ajuste de curvas	
Objetivo: Ajustar curvas pelo método dos mínimos quadrados 
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I. Ajuste de curvas
1 Introdução. 
2 Método dos mínimos quadrados. 
2.1 Caso Discreto.
2.1.1 Ajuste Linear.
2.1.2 Ajuste polinomial.
2.2 Caso Contínuo 
3. Caso Não-Linear
3.1 Função Exponencial
3.2 Função Logarítmica
3.3 Função Potencial
3.4 Função Hiperbólica 
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II. Pré-requisitos: Computação 1; Cálculo Diferencial e Integral 1 .
III. Objetivos:
Geral: Compreender  a teoria da aproximação e sua implementação como  ferramenta para obtenção de modelos matemáticos. 
Específicos:
- Conhecer e usar o método dos mínimos quadrados para o problema de aproximação de dados tabelados;
- Conhecer e usar o método dos mínimos quadrados para o problema de aproximação de funções;
- Aplicar a teoria da aproximação na obtenção e simplificação de modelos matemáticos na área de Ciências e das Engenharias;
- Elaborar algoritmos correspondentes as técnicas abordadas e implementá-los.
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1 - INTRODUÇÃO
 Em geral, experimentos geram uma gama de dados que devem ser analisados para a criação de um modelo. Obter uma função matemática que represente (ou que ajuste) os dados permite fazer simulações do processo de forma confiável, reduzindo assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto.
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1- INTRODUÇÃO
Em geral, usa-se aproximação de funções nas seguintes situações:
• Quando se desejar extrapolar ou fazer previsões em regiões fora do intervalo considerado;
• Quando os dados tabelados são resultados de experimentos, onde erros na obtenção destes resultados podem influenciar a sua qualidade;
• Quando deseja-se substituir um função conhecida f(x) por outra função g(x) que facilite cálculos como derivadas e integrais;
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1 - INTRODUÇÃO
 O objetivo é obter uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança.
 A escolha das funções pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados, baseando-se em fundamentos teóricos dos experimentos que forneceu a tabela ou através de uma função já conhecida
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1 - INTRODUÇÃO 
Os métodos utilizados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos trabalhar com a aproximação, levando-se em consideração os erros e os desvios.
O Método dos Mínimos Quadrados é um método bastante utilizado para ajustar uma determinada quantidade de pontos e aproximar funções. 
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2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
 
O Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os ai de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.
(1)
Onde fornece os pontos exatos da e os pontos estimados.
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2.1 Caso discreto 
 Dado um conjunto de pontos (xk; f(xk)), 
 k = 0; 1; 2; ...;m. 
 O problema de ajuste de curvas consiste em encontrar uma função g(x) tal que o desvio em cada ponto k, definido por (1) seja mínimo.
 
 Considerando 
 g(x)=a1xi+a0 (2) 
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2.1 Caso discreto
Neste caso o ajuste é linear. A escolha da função g(x) depende do gráfico dos pontos, chamado de diagrama de dispersão, através do qual pode-se visualizar o tipo de curva que melhor se ajusta aos dados.
Considerando os dados da Tabela 1, e através do gráfico gerado pela Tabela 1, pode-se definir que tipo de curva melhor se ajusta aos dados.
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2.1 Caso discreto 
Tabela 1 
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2.1 Caso discreto
Figura 1. Diagrama de Dispersão para os dados da Tabela 1
Gráf2
		1.3
		3.5
		4.2
		5
		7
		8.8
		10.1
		12.5
		13
		15.6
y
x
y
Plan1
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
												x		y		x2		xiyi
												1		1.3		1		1.3		1.178
												2		3.5		4		7		2.716
												3		4.2		9		12.6		4.254
												4		5		16		20		5.792
												5		7		25		35		7.33
												6		8.8		36		52.8		8.868
												7		10.1		49		70.7		10.406
												8		12.5		64		100		11.944
												9		13		81		117		13.482
												10		15.6		100		156		15.02
												55		81		385		572.4
Plan1
		
y
x
y
Plan2
		
Plan3
		
MBD001979E0.unknown
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2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear)
 Como pode ser observado na Figura 1, uma possível aproximação seria através de uma função linear do tipo: g(x)=a1xi+a0.
 Assim o objetivo é determinar o valor de a0 e a1, que minimize: 
(3)
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2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear)
Para que E seja mínimo é necessário que: 
(4)
(5)
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2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear)
 As equações (4) e (5) simplificam-se nas equações normais: 
(6)
 (7)
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2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear)
A solução para o sistema de equações é: 
(8)
(9)
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2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear)
 Considerando a Tabela 1, e os dados necessários para as equações (8) e (9) a seguinte Tabela pode ser calculada:
Tabela 2
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2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear)
 Considerando os dados da Tabela 2, os parâmetros a1 e a0 podem ser calculados como:
Assim a reta de ajuste linear é determinada por:
(10)
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2.1.1 Caso discreto 
(Ajuste Linear)
 Na Figura 2, pode-se observar o ajuste através da reta (10)
Figura 2. Ajuste linear
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2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial)
 O processo usado para o ajuste linear pode ser estendido para ajuste polinomial. 
 Assim, uma função polinomial de grau (n-1) é dada por:
(11)
O objetivo é minimizar o erro:
(12)
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2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial)
 Como no caso linear, para que E seja minimizado é necessário que 
 
 para cada j=0,1,...,n. Deste modo para cada j.
 Isto fornece as n+1 equações normais nas n+1 incógnitas aj:
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2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial)
(13)
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2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial)
 Exemplo: Ajustar os dados da Tabela 3 com um o polinômio de grau dois utilizando os mínimos quadrados.
 Tabela 3
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2.1.2 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial)
 Para este problema, n=2, m=5 e as três equações normais são:
(14)
Resolvendo o sistema (14), obtêm-se: 
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2.1 Caso discreto 
(Ajuste Polinomial)
 Figura 3. Ajuste polinomial 
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2.2 Caso Contínuo
 Outro problema de aproximação é a aproximação de funções. Para o caso discreto utiliza-se um conjunto de dados para o caso contínuo utiliza-se funções.
 O objetivo é determinar um polinômio de grau máximo n: 
 
 (15)
 que minimize o erro:
(16)
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2.2 Caso Contínuo
 O problema é encontrar os coeficientes aj que minimizem E. Uma condição necessária para que os números aj minimizem E é que:
para cada j=0, 1, . . .,n
Como:
(17)
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2.2 Caso Contínuo
As derivadas ficam na seguinte forma:
 (18)
Para encontrar Pn(x), as (n+1) equações normais:
 (19)
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2.2 Caso Contínuo
 Devem ser resolvidas para se determinar as (n+1) incógnitas aj.
Exemplo. Encontrar o polinômio de aproximação por mínimos quadrados de segundo grau para a função no intervalo [0,1].
As equações normais são:
Para cada j=0, 1, . . .,n
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2.2 Caso Contínuo
Calculando as integrais obtêm-se: 
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2.2 Caso Contínuo
Resolvendo do sistema obtêm-se o seguinte polinômio:
 Figura 4. Aproximação de f(x) pelo polinômio P2(x)
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3 Caso não-linear
Existem casos, onde o diagrama de dispersão de uma função indica que os dados devemser ajustado por uma função não linear. Para estes caso um processo de linearização deve ser empregado, para que seja possível aplicar o Método dos Mínimos Quadrados. Neste caso podemos proceder da seguinte forma:
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3 Caso não-linear
Caso I: Função Exponencial
Aplicando logaritmo em ambos os lados, obtêm-se:
Realizando as seguintes substituições:
Obtêm-se:
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2.3 Caso não-linear
Caso II: Função Logarítmica 
Expandindo:
Realizando as seguintes substituições:
Obtêm-se:
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2.3 Caso não-linear
Caso III: Função Potencial:
Aplicando logaritmo em ambos os lados:
Realizando as seguintes substituições:
Obtêm-se:
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2.3 Caso não-linear
Caso IV: Função Hiperbólica:
Realizando as seguintes substituições:
Obtêm-se:
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2.3 Caso não-linear
Exemplo: Encontrar uma função exponencial que ajusta os valores da tabela abaixo:
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2.3 Caso não-linear
Como o ajuste será realizado por uma função exponencial é necessário calcular:
A tabela para os cálculos fica da seguinte forma:
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2.3 Caso não-linear
Então a função exponencial fica:
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Bibliografia 
BURDEN, R. L., FAIRES, J. D. Análise numérica, Editora: Pioneira Thomson Learning – 2003. São Paulo.
CLÁUDIO, D.M., MARINS, J.M. Cálculo Numérico computacional. 2.ed. São Paulo: Atlas, 1994.
FRANCO, N. B.; Cálculo Numérico, p. 505, Prentice Hall, São Paulo, 2007.
RUGIERO, M. A. G., LOPES, V. L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2 ed. Makron Books, 1996.