APOSTILA resolucao hp

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Prof.:Paulo Roberto Pereira 
Cursos HP12C, Consultoria, Fomento Mercantil e 
Informações Mercadológicas para Inteligência Competitiva 
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Índice: 
 
1. Conhecendo a HP12C 3 
2. A Pilha Operacional 5 
3. Função Calendário 7 
4. Memória 9 
5. Porcentagem 11 
6. Regra de três 13 
7. Juros e Capitalização Simples 15 
a. Conceito 
b. Juros Pró rata – pagamento de compromissos em atraso 
c. Desconto de Duplicatas 
d. Taxa Nominal e taxa Efetiva 
e. Taxas Equivalentes 
f. Método Hamburguês 
8. Juros e Capitalização Composta 22 
9. Utilização de Fatores Financeiros 23 
a. Fator de Acumulação de Capital 
b. Fator de Recuperação de Capital 
c. Fator de Formação de Capital 
d. Fator de Valor Atual 
10. Séries de Pagamentos 28 
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11. Sistemas de Amortização 30 
a. Sistema Francês - Tabela Price 
b. Sistema de Amortização Constante – SAC 
12. Análise de Investimentos 32 
a. Taxa Interna de Retorno 
b. Valor Presente Líquido 
c. Payback 
13. Fluxo de Caixa 37 
14. Taxa Over 38 
15. Conjunto de Fórmulas 40 
16. Bibliografia 41 
 
 
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1) Conhecendo a HP12C 
 
A HP 12C possui 40 teclas dispostas em 4 linhas e 10 colunas. 
Várias de suas teclas possuem 2 ou 3 funções e essas funções estão diferenciadas da seguinte 
forma: 
 
Parte plana superior da tecla, escrito em branco é a função principal da tecla, por exemplo: 
A tecla de número 4 (2ª linha, 7ª coluna) além de acionar o numeral 4 é também uma tecla de 
função (vê-se na parte chanfrada em azul) calendário D.MY cujo acionamento se dá através da 
tecla (também azul) “g”. 
 
Já a primeira tecla da HP12C “n” (1ª linha, 1ª coluna) apresenta 3 funções: 
“n” é a função principal ( inclui número de períodos de capitalização em um cálculo financeiro); 
AMORT (em amarelo) é acionado pressionando-se a tecla (também amarela) “f” e é utilizada para 
obtenção de parcelas de amortização em uma tabela price; 
“12x” (em azul) é acionada pressionando-se previamente a tecla de função “g”. Quando acionada, 
multiplica o número do visor (x) por 12 e inclui esse produto na memória da tecla “n”, de número 
de períodos para os cálculos financeiros; 
 
Qualquer operação na HP12C é feita da seguinte forma: Exemplo: 2 x 3 
Primeiro inserimos o o número 2 e teclamos enter 
Em seguida inserimos o número 3 e, então, acionamos a operação matemática, no caso a 
multiplicação: x e no visor aparecerá o resultado da multiplicação 6 
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Note que o número de casas decimais pode variar de uma calculadora para outra e isso nós 
configuramos através da tecla de função “f” da seguinte forma: 
Para apresentar o resultado com 2 casas decimais pressione f e o número 2, resultado 6,00 
Para 4 casas decimais, f 4, resultado 6,0000 
Para todas as casas possíveis, f 9 , resultado 6,000000000 
Para 0 casas decimais, f 0, resultado 6, 
 
Verifique se o resultado foi 6, ou 6. , ou seja, se a calculadora está utilizando a notação norte 
americana ( pontos separando os decimais e vírgula separando os milhares US$ 1,000.00) ou no 
formato brasileiro, onde o separador de milhar é o ponto e o decimal é separado por vírgula (R$ 
1.000,00). 
 Para alterar esse padrão, basta desligar a HP12C e, 
Mantendo pressionada a tecla “. “ ligar a calculadora. Isso pode ser feito a qualquer tempo sem 
alterar qualquer resultado, apenas a forma de apresentação. 
 
Corrigindo erros: 
A HP12C possui algumas teclas para correção ou limpeza de dados, são elas: 
CLX – Clear X (3ªlinha, 5ª coluna) – limpa o visor, utilizado para corrigir a entrada de dados, ou 
zerar o visor. 
Observe logo acima da 3ª linha, cobrindo as teclas da 2ª até a 6ª coluna a palavra CLEAR. Todas 
essas tecla funcionam como limpeza, sendo acionadas pela tecla de função “f”, assim: 
f ∑ - limpa todos os registros estatísticos 
f PRGM – limpa os programas gravados na memória; para isso temos que entrar no modo de 
programação, o que é feito acionando-se as teclas f P/R 
f FIN – limpa todos os registros financeiros ( teclas n i PV PMT FV ) 
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f REG – limpa todos os registradores de memória, estatísticos e financeiros, só não apaga os 
programas gravados. Portanto essa é a tecla que limpa tudo e que deve ser usada antes de 
qualquer cálculo: f REG. 
 
2) A Pilha Operacional 
 
O visor da HP12C , ou seja, aquele número que estamos vendo, corresponde na HP12C a variável X. 
No entanto, a HP12C trabalha com mais 3 variáveis, Y, Z e T para facilitar os cálculos em cadeia, 
por exemplo: 
 
Faça o seguinte teste: 
Inclua na HP12C os seguintes números: 
1 enter 
2enter 
3enter 
4 ( não dê enter) esse número permanecerá no visor X 
Agora utilize a tecla (3ª linha;3ª coluna) R(seta para baixo): 
R visor 3 memória Y 
R visor 2 memória Z 
R visor 1 memória T 
R visor 4 – voltou a situação original. Esses valores compõem a memória de cálculo da HP 12C 
e serão utilizados na sequencia: Então, mantido o 4 no visor, vamos somar todos eles, apenas 
pressionando a tecla de adição: 
+ visor 7 ( somou X+Y, ou seja 4 + 3): nesse momento cada número sobe uma posição na 
memória , ou seja o T vai para Z (mantendo uma cópia em T) , o Z vai para Y e o Y desaparece. 
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+ visor 9 (somou o resultado anterior 7 com o 2, pois esse estava agora em Y; 
+ visor 10 ( somou o resultado anterior 9 com o conteúdo de Y que agora é 1, pois subiu de T 
para Z e para Y). 
 
 
 
Calcular: ( 3 x 4 ) + ( 5 x 6 ) = 
 
A sequencia de teclas na HP12C será a seguinte: 
3 enter 4 x 5 enter 6 x + resultado = 42 
 
Assim podemos incluir 3 enter nos cálculos seqüenciais: 
 
3 [ 4 + 5 ( 6 + 7 ) ] 
 
Nesse caso temos que começar por dentro:
6 enter 7 + 5 x 4 + 3 x resultado 207 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Função Calendário 
Primeiramente é preciso configurar a HP12C para o formato de data utilizado no Brasil pois, de 
fábrica, ela vem preparada para o sistema norte americano. 
 
Utilize a tecla “g” para acionar a função D.MY na tecla (2ª linha7ª coluna) 
Irá aparecer no visor essas letras, indicando o sistema escolhido. Essa configuração deve ficar 
permanentemente na HP12C pois não altera qualquer cálculo e será utilizada sempre que usarmos 
data. 
 
Duas são as funções relativas ao calendário: 
Cálculo de dias decorridos entre duas datas: 
Para melhor visualização utilize 6 casas decimais após a vírgula, pressionando a função “f” e o 
número 6 
Agora insira primeira data, por exemplo: 31/12/2010, para isso faça 31.122010 enter 
Agora insira a segunda data, por exemplo: 28/05/2011, assim: 28.052011 
Para sabermos o número de dias decorridos entre as datas acima acionamos a tecla de função “g” 
e, em seguida a função ∆ Dys (tecla 2ª linha 6ª coluna), no visor aparecerá o resultado 148 dias. 
 
Experimente saber quantos dias você já viveu. 
 
A segunda função calendário é a data. Para isso colocamos uma data e o número de dias que 
queremos saber para a frente (+) ou para traz (-). 
Assim, Coloquemos a data de 31/12/2010 e vamos calcular que data teremos após 219 dias> 
Inserir a data 31.12.2010 enter 
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Inserir o número de dias para o qual queremos calcular a nova data: 148 
Acionemos a tecla de função “g” e em seguida a função DATE ( tecla 1ª linha 6ª coluna) . No visor 
aparecerá a data de 28.02.2011 ( 6 ) o número 6 indica que é um sábado: 
Segunda-feira (1); terça-feira (2) ......Domingo (7) 
 
E então qual o dia da semana que você nasceu: 
Para saber isso, basta colocar a data de seu nascimento e somar 0 (zero) dias, pedindo a função 
“g” DATE. 
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4) Memória 
 
A Calculadora HP12C, modelo Gold possui 20 posições de memória: 
 
Para se colocar um valor em uma memória procedemos da seguinte forma: 
 
Vamos colocar na memória o número 1, para isso, com o número no visor (x) acionamos as teclas de 
memória STO que vem da palavra Store = armazenar 
E para recuperar um valor da memória usamos a tecla RCL que vem da palavra Recall – recuperar. 
Assim, fazemos: 
1 STO 0 ( armazenamos o valor 1 na memória 0 -zero) 
2 STO 1 ( armazenamos o valor 2 na memória 1 ) 
3 STO 2 ( armazenamos o valor 3 na memória 2 ) 
4 STO 3 ( armazenamos o valor 4 na memória 3 ) 
5 STO 4 ( armazenamos o valor 5 na memória 4 ) 
 
Caso precisemos adicionar ( ou subtrair,) valores a um valor lançado na memória, fazemos da 
seguinte forma: 
Somar 6 na memória zero: 6 STO + 0 
Subtrair 5 na memória 2: 5 STO – 2 
 
Isso é possível fazer nos registradores de memória 0, 1,2,3, e 4, apenas. 
 
Outros registradores de memória: 
STO 5; STO 6; STO 7; STO 8; STO 9; 
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STO .0; STO .1; STO .2; STO .3; STO .4; STO .5; STO .6; STO .7; STO .8; STO .9; 
 
Pare recuperarmos os dados armazenados, basta utilizarmos a tecla RCL e o endereço da 
memória: 
Exemplo: RCL 0 = 7 
RCL 2 = (-2) 
Podemos utilizar esses registradores nas operações da HP12C, por exemplo: 
Tecla Visor 
RCL 0 7 
RCL 2 -2 
+ 5 
 
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5) PORCENTAGEM 
 
Em uma fração quando o denominador for igual a 100, estamos diante de uma porcentagem, por 
exemplo: 
 
Em uma bateria de testes de 100 questões, foram registrados os seguintes resultados: 
 
70 respostas certas 
18 respostas erradas 
12 questões sem respostas 
Desse modo, teremos: 
 
Respostas certas: 70 /100 ou 0,7 ou 70% setenta por cento certas. 
Respostas erradas : 18 /100 ou 0,18 ou 18% dezoito por cento erradas. 
Sem respostas: 12 /100 ou 0,12 ou 12% setenta por cento certas. 
 
Questões 
 
Quantos alunos representam 30% de 40 alunos ? 
 
30 X 40 x 30 
---------- = ------  X = -----------  X = 12 
100 40 100 
 
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Calcule: 
 
1) Quanto é 25% de R$ 60,00 
2) Quantos “por cento” R$ 15,00 é de R$ 60,00 ? 
3) 18 kg é 20% de quantos quilos? 
4) 54 é 200% de quanto ? 
 
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6) REGRA DE TRES 
 
Os exemplos que vimos acima, com porcentagens, correspondem ao processo de Regra de três, 
onde há duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. 
Chamamos de regra de três ao processo utilizado para se determinar o quarto elemento da 
proporção. 
 
 
Por exemplo: 
Se 6 bolinhas de pingue-pongue custam R$ 10,80, quanto pagarei por 10 bolinhas? 
 
Dizemos que 6 está para 10,80, assim como 10 está para X e representamos: 
 
Bolinhas preço 
6  10,80 
10  X 
 
Estamos diante de uma igualdade de frações, qual seja: 
 
6 10,80 
10 = X 
 
Nessas condições, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, logo: 
 
6 X = 10 x 10,80  6 X = 108,00  X = 108,00 / 6  X = 18,00 
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Quando as grandezas são inversamente proporcionais, invertemos uma das frações. 
A regra de três será inversa quando, ao ser aumentada uma grandeza, a outra grandeza diminuir. 
Exemplo: Um trabalho é realizado por 8 máquinas em 6 dias, se aumentarmos o número de 
máquinas para 12 máquinas em quanto tempo será realizado este trabalho? 
 
Exercícios: 
 
1. Um veículo percorre uma distância de 180km em 2 horas. Quanto tempo levará para 
percorrer a distância de 630 km, mantendo a mesma média de velocidade? 
 
2. Uma mapa utiliza a seguinte escala: 1cm corresponde a 5 km. Nesse mapa a distância entre 
duas cidades é de 19 cm. Qual a distância real, em km, entre essas duas cidades ? 
 
3. Uma cidade possui 250.000 habitantes.
Sabendo-se que 30% da população é estudante, 
qual o número de pessoas que não estuda nessa cidade? 
 
4. A companhia telefônica cobra multa de 2% sobre o total da fatura, para contas pagas com 
atraso. Sabendo que paguei uma multa de R$ 4,50, qual foi o valor da conta telefônica? 
 
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7) JUROS SIMPLES 
 
 
a. Conceitos 
Aluguel 
•É a remuneração que o imóvel proporciona ao seu proprietário. 
•O proprietário abre mão de utilizá-lo para cedê-lo a alguém que esteja disposto a pagar-lhe por 
isso. 
 
Salário 
•É a remuneração que o trabalho proporciona ao empregado. 
•O empregado está disposto a abrir mão do ócio para produzir algo para alguém, em troca de 
salário. 
 
Juros 
•É a remuneração do Capital. 
•O Capitalista deixa de utilizá-lo e empresta-o a quem estiver disposto a pagar-lhe os juros 
arbitrados. 
 
 
b.JUROS SIMPLES: 
Juros J = C x i x n 
 
 Capital C = J / i x n 
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 Prazo n = J / C x i 
 
 Taxa i = J / C x n 
 
Montante: M = C + J 
 M = C + C x i x n 
 M = C ( 1 + i n ) 
 
OBSERVAÇÕES: 
Juros e prazo devem estar na mesma unidade, ou seja, se o prazo é em meses a taxa deve ser 
mensal. 
Juros devem ser impostados na forma unitária, ex: 10% = 0,10 
 
Aplicações de Juros Simples 
•ATRASO NO PAGAMENTO DE DUPLICATAS (BOLETO BANCÁRIO) 
•Expressões comuns: 
–PRO RATA 
–PRO RATA DIE 
–PRO RATA TEMPORIS 
- PRO RATA TEMPORIS DIE 
As expressões acima correspondem ao pagamento de juros proporcionais ao prazo. 
•Ex.: Cobrar juros pro rata de 6% a m. Título de R$ 1.000,00 pago com atraso de 20 dias: 
•J = 1.000 x 0,06 x 20/30 J = R$ 40,00 
 
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d.OPERAÇÃO DE DESCONTO : 
•Antecipação de recebíveis 
•Ex.: Duplicata de R$ 1.000,00 com vencimento daqui a 28 dias, descontada à taxa de 3,0% a m . 
•J = 1.000,00 x 0,03 x 28/30 J = 28,00 
•Valor recebido: 1000 - 28 = R$ 972,00 
 
e.Taxas: Nominal e Efetiva 
 
 
•NOMINAL 
•R$ 1.000,00 
•Taxa 10% a m 
•Prazo 2 meses 
•Juros pagos 
•J= 1000 x 0.10 x 2 
•Líquido recebido 
•R$ 800,00 
 
 
•EFETIVA 
•Valor Recebido 
•R$ 800,00 
•Juros pagos R$ 200,00 
•Taxa efetiva: 
•i = 200,00 
• 800 x 2 
•i = 12,50 % a m 
 
 
 
f.Equalização de Taxas – Taxas Equivalentes 
 
Dadas as taxas abaixo, calcular as taxas equivalentes aos períodos solicitados no regime de 
capitalização simples. 
Taxa dada Taxa ( período ) solicitado 
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 1% a.m. 12% ao ano 
 2% a m. 12% ao semestre 
 5% a.t.(trimestre) 20% ao ano 
 54% a. a 4,5% ao mês 
 12% a a 1% ao mês 
 18% a a 1,5% ao mês 
 
Lista de Exercícios 
1) Calcule o valor dos juros obtidos por uma aplicação no valor de R$ 2.500,00, pelo prazo de 
8 meses, à taxa de juros simples mensal de 2,3%. 
2500 CHS PV 2.3 ENTER 12 X i 8 ENTER 30 X n f INT R$ 460,00 
 
2) Calcule o valor dos juros cobrados pelo atraso no pagamento de um título, com 12 dias de 
atraso, à taxa de 150% ao ano, sabendo que o título tinha o valor original de R$ 1.000,00. 
1000 CHS PV 150 i 12 n f INT R$ 50,00 
3) Qual o valor do Capital que devo investir para obter o Montante de R$ 10.112,00 em um 
ano de aplicação à taxa de juros simples de 2,2% a m. M=C(1+In)  10.112 = C (1 
+0,022.12)  C = 10.112/(1 +0,022.12)  10.112 ENTER 1 ENTER .022 ENTER 12 X + :  
R$ 8.000,00. 
4) Recebi, ao final de uma aplicação de 3 meses à taxa de juros simples de 1,8% a m, o valor 
de R$ 216,00 de juros. Qual foi o valor aplicado? J=C.I.T  C= J / IT  216 ENTER 
0,018 ENTER 3 X :  R$ 4.000,00 
5) Paguei, com atraso de 15 dias, uma duplicata cujo valor original era de R$ 850,00. Sabendo 
que o caixa do banco cobrou-me o montante de R$ 892,50, qual foi a taxa mensal de juros 
praticada? M=C(1+In)  892,50=850(1+i. 15/30)  892,50/850= (1+i. 0,5)  
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(892,50/850)-1 = i. 0,5  ((892,50/850)-1)/0,5 = i  892,50 ENTER 850 : 1 - .5 :  
0,10 = R: 10% 
6) Apliquei um determinado valor em um banco e depois de dois anos obtive como 
rendimento, metade do valor aplicado.Qual a taxa de juros anual paga por esse Banco, no 
regime de capitalização simples? J=C;.I.T  1=2.I.2  1 = 4 I  I = ¼  R: 25% 
7) Uma aplicação de R$ 1.000.00 rendeu a importância de R$ 100,00 de juros. Considerando 
que a taxa pactuada foi de 2% ao mês, qual o prazo dessa aplicação? J=C.I.T  100 = 
1000X0,02.T  T = 100/1000X0,02  100 ENTER 1000 ENTER 0,02 X :  R: 5 meses 
8) Pagando uma duplicata, no valor nominal de R$ 750,00, com atraso, à uma taxa de 9% a m, 
o caixa do banco cobrou-me o montante de R$ 804,00. Quantos foram os dias de atraso 
de pagamento? M=C(1+In)  804=750(1+0,09.n)  ((804/750)-1)/0,09  804 ENTERN 
750 ENTER 1- 0,09:  30 X  R: 24 d 
9) Quantos meses de aplicação financeira, à taxa de juros simples de 2% a m , são 
necessários para triplicar um capital? R: 100 meses = 8 anos e 4 meses 
10) Calcule o fator diário de juros, com 6 casas decimais, para as taxas de juros abaixo: 
TAXA DE JUROS INFORMADA FATOR DIÁRIO DE JUROS 
3% A M 0,001000 
10% A M 
1% A M 
12% A A 
16,5% A A 
14% A M 
 
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11) Considerando uma operação de desconto bancário à taxa de 2,25% a m., calcular o prazo 
médio ponderado dos títulos , os juros cobrados e o valor líquido creditado referente ao 
borderô abaixo, no valor total de R$ 7.000,00: 
 R: pmp = 45,08 d jrs cbr = 236,67 vlr.liq. = 6.763,33 
Valor da Duplicata R$ Vencimento ( em número de dias ) 
 870,70 25 
 1.081,20 30 
 1.223,95 42 
 1.298,90 45 
 2.525,25 60 
12) Considerando uma operação de desconto bancário à taxa de 2,5% ªm., calcular o valor 
líquido creditado referente ao borderô abaixo, no valor total de R$ 5.000,00: 
Valor da Duplicata R$ Vencimento ( em número de dias ) 
 500,00 15 
 600,00 17 
 1.000,00 20 
 1.200,00 28 
 1.700,00 30 
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g.MÉTODO HAMBURGUÊS 
O Método Hamburguês é uma utilização dos juros simples para facilitar o calculo de juros em 
contratos de empréstimos rotativos, onde o tomador do empréstimo pode fazer amortizações 
durante a operação. São exemplos : Conta Garantida – Cheque Especial. 
Consiste em registrar os saldos devedores diários e somá-los ao final do período de 
capitalização (em geral no final do mês). 
Sobre a soma dos saldos devedores, aplica-se o fator diário de juros, ou seja, a taxa de juros 
mensal (ou anual) pactuada dividida pelo número de dias do mês (ou do ano), assim, caso a taxa 
seja de 6% ao mês em um mês de 30 dias,teremos 0,06 / 30 = 0,002 como fator diário. 
Observação: para efeito dos cálculos, quando um saldo devedor se repete por dias seguidos 
ele deve ser considerado em cada um dos dias. 
Segue um modelo do método na apuração dos juros devidos pela utilização de valores durante 
um período. 
PLANILHA DO MÉTODO HAMBURGUÊS 
 saldo lançamentos saldo números Soma nrs Juros 
dia anterior débito crédito final devedores devedores diários 
1 100,00 120,00 - (20,00) (20,00) (20,00) (0,03) 
2 (20,00) 50,00 10,00 (60,00) (60,00) (80,00) (0,10) 
3 (60,00) 40,00 - (100,00) (100,00) (180,00) (0,17) 
4 (100,00) 60,00 - (160,00) (160,00) (340,00) (0,27) 
5 (160,00) 100,00 20,00 (240,00) (240,00) (580,00) (0,40) 
6 (240,00) - 120,00 (120,00) (120,00) (700,00) (0,20) 
7 (120,00) 20,00 - (140,00) (140,00) (840,00) (0,23) 
8 (140,00) 40,00 50,00 (130,00) (130,00) (970,00) (0,22) 
9 (130,00) 50,00 - (180,00) (180,00) (1.150,00) (0,30) 
10 (180,00) 100,00 - (280,00) (280,00) (1.430,00) (0,47) 
 
Juros Devidos 5,00% a m 
Fator diário de juros 0,001667 Juros (2,38) (2,38) 
 
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8) JUROS COMPOSTOS 
O conceito de juros compostos é bastante simples. Inicialmente vamos considerar algumas 
práticas em nosso dia-a-dia, de modo a caracterizar o conceito em questão. 
Consideremos que o preço da passagem de ônibus em São Paulo seja de R$ 2,00. Quando o 
preço da passagem de ônibus sobe, digamos 10%, esse aumento incide sobre a base atual, ou 
seja, sobre R$ 2,00 e o novo valor da tarifa será de R$ 2,20. Suponha que daqui a seis meses 
seja aplicado novo reajuste de 10%. O preço da passagem de ônibus passará então para R$ 
2,42, ou seja, o índice de reajuste será aplicado sobre o novo valor e não sobre o antigo. 
Da mesma forma, quando reivindicamos um aumento salarial, o fazemos sobre o nosso salário 
atual. 
Considere que o salário base da categoria bancária há 2 anos atrás era de R$ 500,00. Após 
alguns movimentos reivindicatórios conseguiu reajustes que levaram o piso da categoria para 
R$ 600,00. Hoje a categoria reivindica um aumento de 20%. Seria justo que esse aumento 
fosse sobre o valor de R$ 500,00 de dois anos atrás???? 
Ou seja, da mesma forma que a cultura de formação de preços no Brasil e no mundo; da 
mesma forma que a trajetória dos salários na economia em geral, os juros seguem os mesmos 
princípios, ou seja, ao final de um período de capitalização, os juros se agregam ao capital 
investido, formando um novo montante e, sobre esse novo montante é que serão calculados 
juros no período seguinte. A esse mecanismo chamamos de regime de capitalização composta. 
 
Vejamos o exemplo das cadernetas de poupança a principal e mais simples aplicação financeira 
do Brasil e uma das que proporcionam as piores remunerações ao aplicador. 
 
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PLANILHA DA CADERNETA DE POUPANÇA 
 saldo lançamentos saldo p/ Juros Saldo Juros 
MÊS anterior débito crédito cálculo Creditados Final Efetivos 
1 10.000,00 - - 10.000,00 50,00 10.050,00 0,50 
2 10.050,00 - - 10.050,00 50,25 10.100,25 1,00 
3 10.100,25 - - 10.100,25 50,50 10.150,75 1,51 
4 10.150,75 - - 10.150,75 50,75 10.201,51 2,02 
5 10.201,51 - - 10.201,51 51,01 10.252,51 2,53 
6 10.252,51 - - 10.252,51 51,26 10.303,78 3,04 
7 10.303,78 - - 10.303,78 51,52 10.355,29 3,55 
8 10.355,29 - - 10.355,29 51,78 10.407,07 4,07 
9 10.407,07 - - 10.407,07 52,04 10.459,11 4,59 
10 10.459,11 - - 10.459,11 52,30 10.511,40 5,11 
 
Juros Pagos 0,50% a m 
 
 
Fórmula dos Juros Compostos – Quando falamos em juros compostos, normalmente o principal 
valor que queremos obter é o montante (Capital mais juros), cuja fórmula é a seguinte: 
Montante M = C ( 1 + i ) n 
 
Observe que a formula do montante nos juros compostos, pouco muda em relação ao montante 
dos juros simples. A única alteração é que o valor de n, que corresponde ao número de 
períodos que se deseja capitalizar passa do fator multiplicativo para o exponencial, que 
garante o mecanismo de se juntar os juros de um período para acumulação ao capital anterior 
para o novo período de capitalização. 
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9) UTILIZAÇÃO DE FATORES FINANCEIROS 
Freqüentemente observamos a utilização de tabelas de índices (fatores) que aplicados ao 
valor principal nos remete, diretamente, para o valor da prestação ou equivalente que se 
está buscando. 
 
•Esses fatores dispensam calculadoras sofisticadas e conhecimento de fórmulas financeiras. 
a. Fator de Acumulação de Capital 
Pagamento Único 
 
 
•Representa o montante obtido daqui a n períodos, aplicado à taxa i 
•Já vimos que o montante M = C ( 1 + i ) n 
•O FAC ( i, n ) será representado pelo resultado da expressão : ( 1 + i ) n 
• FAC ( 2, 4 ) = ( 1 + 0,02) 4 , ou seja 1,082432 
•Portanto, o Montante obtido por um Capital de R$ 100 aplicado à taxa de 2% am, por 4 meses 
será 
•R$ 100,00 x 1,082432 = R$ 108,24 
•(*) Não prevê aportes adicionais como do Fator de Acumulação de Capital (Séries de 
pagamentos) 
 
 
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Fator de Acumulação de Capital 
Série de Pagamentos Iguais 
 
•Representa o montante obtido daqui a n períodos, aplicado à taxa i, com prestações mensais 
(CALCULA
O VALOR DO MONTANTE) 
•O FAC ( i, n ), neste caso,será representado pelo resultado da expressão : 
 ( 1 + i ) n -1 / i 
»• FAC ( 2, 4 ) = ( 1 + 0,02) 4 - 1 / 0,02 , ou seja 4,121608 
•Portanto, o Montante obtido por 4 aplicações mensais de R$ 100 à taxa de 2% am, será 
•M= R$ 100,00 x 4,121608 = R$ 412,16 
 
b. Fator de Formação de Capital 
 
•Representa o valor que deverá ser depositado periodicamente para a obtenção de um 
determinado montante. (CALCULA O VALOR DO DEPÓSITO) 
•O FFC ( i, n ), será representado pelo resultado da expressão : i / ( 1 + i ) n -1 
»• FFC ( 2, 4 ) = 0,02 / ( 1 + 0,02) 4 - 1, ou seja 0,24262 
•Assim, a prestação necessária para se obter R$ 600,00 ao final de 4 meses à taxa de 2% a m, 
será 
•P= R$ 600,00 x 0.24262 = R$ 145,57 
 
c. Fator de Valor Atual 
 
•Representa o valor presente de uma série de pagamentos. 
•O FVA ( i, n ), será representado pelo resultado da expressão : 
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 ( 1 + i ) n -1 / ( 1 + i ) n x i 
»• FVA ( 2, 4 ) = ( 1 + 0,02) 4 - 1 / ( 1 + 0,02) 4 x 0,02, ou seja 3,807729 
•Assim, o valor presente de uma série de pagamentos iguais (prestações) de R$ 100,00 em 4 
meses à taxa de 2% a m, será 
•P= R$ 100,00 x 3,807729 = R$ 380,77 
 
 
 
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10) PROBLEMAS ENVOLVENDO SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
Considerando uma taxa de juros de 3,5% a. m . calcular o valor das prestações de um aparelho 
de televisão, cujo preço à vista é de R$ 900,00, nas seguintes opções: 
 A 4 parcelas, sem entrada 
 B 4 parcelas, sendo 1 no ato + 3 
 C 10 parcelas, sem entrada 
 D 10 parcelas, sendo 1 no ato + 9 
 
4 - Calcular o montante obtido por aplicações únicas de capital, nos casos abaixo: 
CAPITAL PRAZO TAXA 
A - 1.000,00 10 MESES 2% A M 
B - 10.000,00 5 ANOS 18,5% A A 
C - 100.000,00 10 ANOS 0,5% A M 
 
5- Calcular o valor atual dos montantes abaixo, nas condições apresentadas: 
MONTANTE PRAZO TAXA 
 A - 1.000,00 10 MESES 2,0 % A M 
B - 10.000,00 5 ANOS 18,5 % A A 
C - 100.000,00 10 ANOS 0,5 % A M 
 
6 - Calcular o valor que deverá ser aplicado mensalmente para a obtenção dos montantes 
abaixo, nas condições apresentadas: 
 MONTANTE PRAZO TAXA ( BEGIN ) 
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A - 1.000,00 10 MESES 2% A M 
B - 10.000,00 5 ANOS 18,5% A A 
C - 100.000,00 10 ANOS 0,5% A M 
 
7 - Calcular o montante que será acumulado através de depósitos periódicos conforme abaixo 
 DEPÓSITO/PRESTAÇÕES PRAZO TAXA ( BEGIN ) 
 A- 100,00 24 MESES 2 % A M 
 B- 200,00 36 MESES 2% A M 
 C- 400,00 5 ANOS 1% A M 
 D 50,00 10 ANOS 0,5 % A M 
 E 1.000,00 2 ANOS 1% A M 
 
13) Determine o valor da prestação de um automóvel, cujo valor total à vista é de R$ 
23.990,00 , financiado à taxa de juros de 1,25 % a m , em 36 meses, com entrada de 40%. 
14) Uma tradicional loja de eletrodomésticos e utilidades para o lar utiliza-se de um 
marketing peculiar para a venda de seus produtos, ou seja, ela se propõe a perder dinheiro 
para deixar o cliente feliz. Ela promete devolver todo o dinheiro pago (mensalmente 
através de carnê) ao final do período de um ano, em mercadorias de suas lojas. Porque 
essa loja ainda não faliu? Esse modelo levará a loja à falência? Qual o índice de 
inadimplência dessa loja em relação a suas vendas de mercadorias ? Considerando que a 
loja utilize o mesmo mark-up em relação a sua concorrência, ou seja, ela coloque 20% de 
margem nos produtos que vende, qual sua margem real ? ( Considere sua captação 
remunerada a 18,5 % a a e prestações de R$20,00) R : 31,71 % ( beg ) (FV) 263,43. 
 
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15) Uma loja anuncia um produto por R$ 90,00 a vista e garante que vende em 3 vezes sem 
juros, sendo uma no ato mais 30 e 60 dias, de R$ 30,00 cada prestação. 
Solicitado um desconto para pagamento total a vista, a vendedora informa que não é possível, 
pois a loja não embute juros em seu preço de venda. Ao insistir com a vendedora ela vai ao 
gerente da loja que informa poder conceder no máximo 5% de desconto para pagamento total 
no ato. 
Considerando uma taxa de atratividade (juros de mercado) de 18,5% a a , qual a melhor opção 
de compra : à vista com 5% de desconto ou em três parcelas ( 1 + 2 ) ? Porque ? 
 
16) A loja concorrente da anterior anuncia o mesmo produto pelo mesmo preço à vista, ou seja 
R$ 90,00, porém admite a venda parcelada em 3 prestações, a primeira de R$ 33,34 no 
ato e as 2 restantes de R$ 33,33. Seus vendedores afirmam que nessa loja não tem 
enganação, o cliente sabe que está pagando juros pelo parcelamento, afinal a loja é 
honesta e cobra apenas 3,70% de juros ao mês (demonstrado pelo vendedor que o cliente 
está pagando R$ 3,33 por mês de juros dividido por R$ 90,00 = 3,70 ). 
A explicação do vendedor é correta? Qual a taxa efetiva dessa operação ? Onde está a falha 
do modelo apresentado pelo vendedor ? R 11,54% 
 
17) Considerando que um curso de informática, com duração de um ano tenha uma mensalidade 
de R$ 150,00 e que um aluno disponha de valor mais que suficiente em uma aplicação que 
lhe garanta o rendimento de 100% do CDI, portanto 18,5% ao ano, com capitalizações 
mensais. Qual deverá ser o valor percentual de desconto solicitado para pagamento do 
curso integral à vista, sabendo-se que os pagamentos ocorrem antecipadamente aos 
períodos letivos? R 7,37% 
 
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18) Considerando uma taxa de juros de 8% ao ano. Em quantos anos se é possivel dobrar o 
capital investido? 
 
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11) SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
•Quando tomamos emprestado um determinado valor, devemos devolvê-lo integralmente e, em 
geral, acrescido dos juros pactuados. 
•Assim temos dois pagamentos: o pagamento do empréstimo (ou do capital) e o pagamento dos 
juros. 
 
•Assim, tomemos como exemplo um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 para pagamento em 5 
parcelas com juros de 2% a m . 
•5000 PV 5 n 2 i PMT = 1.060,79 
•Essa é uma das opções de pagamento .... 
 
•O modo pelo qual vamos devolver o Capital e efetuar o pagamento de juros é determinado pelo 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO que estaremos utilizando: 
 
•SISTEMA PRICE 
•SISTEMA
SAC 
 
a. A TABELA PRICE 
•Também chamado de Sistema de Amortização Francês, caracteriza-se pela fixação do valor das 
prestações. 
•Largamente utilizado no mercado financeiro nas operações de CDC, Leasing e no comércio. 
•Antigamente utilizado no financiamento de imóveis (extinto BNH ) 
 
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•Na HP12C é possível verificar o valor dos juros e da amortização, acumulados até determinada 
parcela. 
•5000 [PV] 2[i] 1060,79 [CHS][PMT] 
•1 f [AMORT] = -100,00 (juros) 
•x><y = -960,79 (amortização) 
•(referente ao primeiro período) 
 
•Para os demais períodos: 
•5000 [PV] 2[i] 1060,79 [CHS][PMT] 
•2 f [AMORT] = 180,78 valor acumulado de pagamento de juros 
•x><y = -1.940,80 – Valor acumulado de amortização de capital 
•5000 [PV] 2[i] 1060,79 [CHS][PMT] 
•5 f [AMORT] = -303,95 
•x><y = -5000,00 
 
 
b. O SISTEMA SAC 
•O Sistema de Amortizações Constantes caracteriza-se pela fixação dos valores de amortização. 
•Note-se que suas prestações são decrescentes. 
•Utilizado em operações de FINAME e BNDES, dentre outras. 
 
 
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12) ANÁLISE DE INVESTIMENTO 
 
a. Taxa Interna de Retorno 
 
•HP12C VISOR Obs.: 
•ON 0,00 liga a calculadora 
•f CLx ( REG) 0,00 ( limpa registros) 
•500 CHS g PV (CF0) -500,00 (inclui fluxo inicial – negativo pois é saída) 
•100 g PMT (CFj) 100,00 (inclui fluxo qualquer) 
•6 g FV ( Nj) 6,00 ( nr. Parc.iguais) 
•f FV ( IRR) 5,47 ( Taxa Interna de retorno ) 
 
 
Seja agora um novo fluxo: 
 
 
 20 10 25 10 
 
 0 2 4 
 
 1 3 5 6 
 15 20 
 
 
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b. Valor Presente Líquido 
 
•HP12C VISOR Obs.: 
•ON 0,00 liga a calculadora 
•f CLx ( REG) 0,00 limpa registros 
•3 i 3,00 insere a taxa de atratividade 
•0 CHS g PV (CF0) 0,00 inclui fluxo inicial 
•20 g PMT (CFj) 20,00 inclui flx Período 1 
•15 CHS g ( CFj) -15,00 inclui flx.Período 2... 
•10 g(CFj) ...20 CHS g(CFj)...25 g(CFj)...10 g(CFj) 
•f PV ( NPV) 26,60 Valor atual do Fluxo de Caixa = Valor Presente Líquido) 
O Valor do fluxo de caixa ( NPV) apresentou-se positivo, representando que o fluxo analisado, 
sob a taxa estipulada de 3% ao período, foi atingida e houve sobra de recursos indicando 
viabilidade do projeto. 
 
Quando os períodos de fluxo não são constantes, não podemos utilizar esse mecanismo, devendo, 
portanto, calcular o valor presente de cada fluxo, para compará-lo ao montante do investimento 
inicial. 
 
Por exemplo: 
 
Seja o fluxo, irregular, conforme abaixo, dado em dias: 
 
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0 - Disponibilidade em caixa de R$ 3.000,00 
1 - Saída de pagamento a fornecedores de R$ 5.500,00 em 10 dias 
2 - Entrada de clientes de R$ 3.000,00 em 12 dias 
3 - Entrada de clientes de R$ 5.000,00 em 18 dias 
4 - Saída de pagamento a fornecedores de R$ 4.000,00 em 18 dias 
5 - Saída de pagamento a fornecedores de R$ 3.500,00 em 35 dias 
6 - Entrada de clientes de R$ 9.000,00 em 60 dias 
 
Vamos considerar uma taxa de atratividade de 1,5% ao mês e calcular o valor presente líquido 
desse fluxo de caixa. 
 
Para atualizar cada uma das parcelas acima, vamos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 VN 
VP = 
 ( 1 + i ) n/30 
 
Desenhando o fluxo de caixa (opcional): 
 3.000 3.000 5.000 9.000 
 
 
 10 18 35 
 0 12 60 
 
 4.000 3.500 
Onde: 
VP = Valor Presente da parcela 
VN = Valor nominal da parcela 
 
i = taxa de atratividade, no formato decimal 
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5.500 
 
 
Note que aos 18 dias temos uma entrada e uma saída. Podemos calcular separadamente cada um 
dos valores ou trabalhar com o saldo do dia ( 5.000 – 4.000), ou seja entrada de 1.000. 
 
Como iremos trazer todos os valores a Valor Presente, significa que o fluxo inicial de saldo de 
caixa não se altera, sendo os demais somados a ele no final. 
 
Fluxo 1 = 5.500 / (1+ 0,015) 10/30 = - 4.975,25 
Fluxo 2 = 3.000 / (1+ 0,015) 12/30 = 2.982,19 
Fluxo 3 = 1.000 / (1+ 0,015) 18/30 = 991,11 
Fluxo 4 = 3.500 / (1+ 0,015) 35/30 = - 3.439,73 
Fluxo 5 = 9.000 / (1+ 0,015) 60/30 = 8.735,96 
Soma dos fluxos de 1 a 5 4.294,28 
(+) Saldo de caixa 3.000,00 
Total de valor presente 7.294,28 
 
c. PAYBACK 
 
Este conceito é largamente utilizado no mercado e representa o tempo em que o investidor terá o 
retorno do capital investido em determinado negócio. 
É freqüente observarmos sua utilização na avaliação de negócios do tipo: Bar, Padaria, 
Restaurante, Posto de Gasolina, Lava-rápido, etc. 
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Consiste em analisar o fluxo de caixa futuro de um negócio, considerando a margem de lucro e, 
portanto o que efetivamente é seu retorno. 
Considera, portanto, retornado o seu capital quando a soma dos lucros obtidos se igualar ao 
investimento. 
OBS.: Sua concepção não leva em conta o valor do dinheiro no tempo, embora, para efeito de 
análise de investimentos de forma mais técnica, esse modelo inclui a atualização dos valores 
através da fórmula dos juros compostos. 
 
Anuncio: 
CAFÉ/SALGADOS - MOVIMENTO R$ 10.000 LUCRO 30 % 
PREÇO R$ 30.000 
ENTRADA 50% SALDO 12 MESES 
 
 
 
19) Determine o período de Payback dos seguintes investimentos : 
A - ESTACIONAMENTO – Vendo R$ 25.000,00 Garanto lucro de R$ 1.000,00. 
B – ESTACIONAMENTO CENTRO – 800 m2 coberto, retirada líquida R$ 3.200 Preço R$ 
60.000 
C – CHURRASCARIA – Luxo Z.Sul amplo estac. 50 anos no local p/movto. R$ 400 mil. Pç. R$ 
1.800.000 (Considerar lucro de 20%) 
 
 
 
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13. Fluxo de Caixa (HP12C) 
 
Usualmente temos que analisar a rentabilidade de um projeto, pelo fluxo financeiro que ele 
apresentará em seu prazo de maturação, dessa forma, é comum
que isso seja representado por 
um gráfico (simples) onde são apresentadas movimentações de entrada ou saída de dinheiro, em 
cada período apresentado (pode ser mensal, anual, ou outro qualquer) para fins de nosso estudo 
vamos considerar períodos regulares, ou seja, iguais. 
 
Seja, portanto, o fluxo abaixo, onde temos um investimento inicial (saída de caixa) de R$ 500,00 
e 6 retornos (entradas de caixa) no valor de R$ 100,00. 
Vamos representa-lo, graficamente e calcular sua taxa interna de retorno, ou seja, qual a taxa 
que esse empreendimento está dando de retorno para o investimento inicial. 
 
 
 100 100 100 100 100 100 
 
 0 
 
 1 2 3 4 5 6 
 
 
 
 
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 500 
 
14. TAXA OVER 
A chamada Taxa Over representa a taxa diária multiplicada por 30 dias. 
Porém, os cálculos que a envolvem são efetuados considerando-se os dias úteis do período 
Por Exemplo: 
TAXA OVER = 2,25 % a m 
TAXA OVER DIVIDIDA POR 30 DIAS = 0,07833 % a d 
DIAS ÚTEIS DO MÊS = 20 D U 
TAXA EFETIVA = ((1 + 0,07833/100)20 –1 ) X 100 
TAXA EFETIVA = 1, 58 % A M 
Exemplo: 
Uma sobra de caixa de uma empresa, no valor de 500.000,00 seria aplicada à uma taxa over de 
2,20 % am por uma semana (dias úteis). 
Qual seria o valor dos juros ? 
Qual a taxa efetiva, considerando que o mês possui 22 dias úteis? 
Qual a taxa do período? 
Qual o valor do resgate, sabendo-se que a aplicação é tributada em 20% de Imposto de renda 
sobre os rendimentos? 
É viável aplicar esses recursos, sabendo-se que está em vigor a CPMF pela alíquota de 0,38% 
2,20 % / 30 = 0,07333% ad 
5 dias = 0,3672 % no período 
22 dias úteis - 1,6258 % a m 
 Juros R$ 1.836,00 
IR 367,20 
Rendimento Líquido R$ 1.468,80 
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R$ 501.468,80 
CPMF R$ 500.000,00 x 0,38% = 1.900,00 
Não vale a pena aplicar 
 
20) Sua empresa terá uma sobra de caixa no valor de R$ 800.000,00 durante um período de 
duas semanas. 
Você, como administrador financeiro dessa empresa deve decidir sobre uma aplicação 
financeira de curto prazo ( 14 dias corridos ) . Os bancos cotados, lhe ofereceram as 
seguintes opções: 
Banco A – Taxa de 2,50% a.m (Taxa Over) 
Banco B – Taxa de 1,17% (Taxa Over ) para 14 dias 
Banco C – Taxa de 2,60% a m (Taxa Over) , se a empresa ajudar a agência em uma campanha e 
contribuir com R$ 300,00 em reciprocidade. 
OBS.: Para todos os caso considere 10 dias úteis de aplicação e CPMF de 0,38% 
Se viável a aplicação, em qual banco será aplicado? 
 
 
 
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15 . CONJUNTO DE FÓRMULAS FINANCEIRAS UTILIZADAS NO CURSO 
 
 
Juros Simples: Juros J = C x i x n 
 
 Capital C = J / i x n 
 
 Prazo n = J / C x i 
 
 Taxa i = J / C x n 
 
Juros Compostos : Montante M = C ( 1 + i ) n 
 
Determina o valor do Montante ( Capital + Juros ) após n períodos (1 + i ) n também 
chamado de Fator de Acumulação de Capital para pagamento único. 
 
FAC ( i, n ) = ( 1 + i ) n -1 / i 
O Fator de Acumulação de Capital para uma série de pagamentos é usado para obter o montante 
após uma série de prestações (depósitos) de um financiamento 
 
Caso a prestação ou o depósito inicial seja feito no ato da operação, basta multiplicar o fator 
anterior por ( 1 + i ) ( Begin ) 
 
M = PMT x ( 1+ i ) x [ (( 1 + i )n -1) / i ] 
 
FFC ( i, n ) = i / ( 1 + i ) n -1 
O Fator de Formação de Capital determina o valor da prestação ( ou depósito ) necessário para a 
obtenção de um determinado Montante, após n períodos 
 
Para os casos em que esses depósitos ocorrem no início do período (begin ), basta multiplicar o 
anterior por ( 1 / (1 +i ) ) 
 
PMT = M x (1 /(1 + i) ) x [ i / (( 1 + i )n -1) ] 
 
 
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FVA ( i, n ) = ( 1 + i ) n -1 / ( 1 + i ) n x i 
O Fator de Valor Atual representa o Valor Presente de uma série de pagamentos 
Para os casos em que as prestações são pagas no início de cada período (begin) basta multiplicar o 
fator acima por ( 1 + i ) 
 
VP = PMT x (1+ i) x [((1 + i)n -1) / (1 + i)n x i] 
 
FRC = [((1+ i)n x i) /(1+ i)n - 1] 
O Fator de Recuperação de Capital determina o valor da prestação de um financiamento 
Caso a prestação seja paga no início de cada período (begin), basta multiplicar o anterior por ( 1 + 
i ) 
 
PMT = VP/ (1+ i) x [((1+ i)n x i) /(1+ i)n - 1] 
 
PERPETUIDADE 
 
Valor presente de uma série infinita de pagamentos : PV = PMT / i 
 
Valor de uma renda (prestação infinita) : PMT = PV x i 
 
 
 
16 . Bibliografia 
 
 
Matemática financeira 
Securato, José Roberto – Ed. Atlas 
 
Matemática Financeira 
Vieira Sobrinho, José Dutra – Ed. Atlas