Cap4.5 rev AUTOVALORES E AUTOVETORES Copia

Prévia do material em texto

1
Professora Luciana Marinho
Capítulo 4.5 
Autovalores e Autovetores
2
Professora Luciana Marinho
4.5.1 –
 
Introdução
Neste capítulo, veremos uma aplicação muito importante da álgebra linear: os 
autovalores
 
e os autovetores, que são usados desde a estatística e a dinâmica 
econômica até
 
a mecânica quântica.
Como já
 
foi visto nos últimos quatro capítulos, transformações lineares podem 
ser visualizadas como a aplicação de uma matriz (a chamada matriz da 
transformação linear) sobre um vetor (um elemento de uma espaço vetorial). 
A aplicação de uma transformação linear sobre um vetor pode ter diversos 
efeitos. Entre eles, ela pode girar o vetor ou mudar seu módulo. Um tipo 
especial de transformação linear tem o único efeito de mudar o módulo e 
talvez o sentido de um determinado conjunto de vetores.
É
 
esse tipo de situação que analizaremos
 
neste capítulo.
3
Professora Luciana Marinho
4.5.1 –
 
Introdução
Podemos falar sobre o produto de uma matriz por um vetor sem a 
necessidade de considerá-la o efeito da matriz de transformação linear 
sobre um vetor.
Por isso, este capítulo não exige o conhecimento dos capítulos 
anteriores deste módulo 4 e podem ser vistos de forma independente.
Consideremos o efeito de multiplicar uma matriz (pela esquerda) por 
um vetor.
4
Professora Luciana Marinho
4.5.1 –
 
Introdução
Autovetor
Autovalor
Autovetor
 
= Vetor próprio ou vetor característico (eigenvector)
Autovalor = Valor próprio ou valor característico (eigenvalue)
Vetor
Número
5
Professora Luciana Marinho
4.5.1 –
 
Introdução
Neste exemplo, o efeito da matriz sobre o vetor 
v
 
foi alterar tanto sua direção quanto seu 
módulo. É
 
como se a matriz, ao mesmo tempo, 
girasse o vetor e o fizesse mais longo.
6
Professora Luciana Marinho
4.5.1 –
 
Introdução
Neste exemplo, o único efeito da matriz sobre o 
vetor v
 
foi mudar seu módulo. A direção do vetor 
permaneceu inalterada. Observe que Av
 
= 3v.
7
Professora Luciana Marinho
4.5.1 –
 
Introdução
A matriz muda a direção, o sentido e o 
módulo do vetor v. 
O vetor v
 
não é
 
um autovetor
 
da matriz A.
8
Professora Luciana Marinho
4.5.1 –
 
Introdução
O vetor v
 
é
 
um autovetor
 
da matriz A.
A matriz A muda o sentido, mas não 
a direção do vetor v.
9
Professora Luciana Marinho
4.5.1 –
 
Introdução
10
Professora Luciana Marinho
4.5.2 –
 
Cálculo de autovalores
Recordando:
11
Professora Luciana Marinho
4.5.2 –
 
Cálculo de autovalores
A solução é
 
sempre um 
vetor nulo?!
12
Professora Luciana Marinho
4.5.2 –
 
Cálculo de autovalores
A única forma da solução não ser nula é
 
a matriz 
não ter inversa.
Isto só
 
ocorre se
13
Professora Luciana Marinho
4.5.2 –
 
Cálculo de autovalores
14
Professora Luciana Marinho
4.5.2 –
 
Cálculo de autovalores
15
Professora Luciana Marinho
4.5.2 –
 
Cálculo de autovalores
16
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
Já
 
calculamos os autovalores dessa matriz: e 
17
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
Este é
 
um sistema possível e indeterminado, onde temos infinitas soluções, 
com a condição . Sendo assim, qualquer vetor que atenda
 
esta 
condição é
 
um autovetor
 
de A
 
com autovalor . Escolhendo α1
 
= 1, 
temos que 
18
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
Este é
 
um sistema possível e 
indeterminado, onde temos 
infinitas soluções. 
Escolhemos α2
 
= 2.
19
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
20
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
Notaram que um sistema de equações para o cálculo 
de autovetores
 
é
 
sempre possível e indeterminado, isto 
é, tem infinitas soluções?
Este é
 
sempre o caso, pois
Isto significa que, se v
 
é
 
um autovetor
 
de uma matriz A, 
então qualquer múltiplo dele (k ϵ
 
R)
 
também é
 
um 
autovetor
 
de A.
Na prática, escolhe-se um dos autovetores
 
possíveis.
21
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
22
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
23
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
Escolhendo α1
 
= α2
 
= 1.
24
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
25
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
26
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
27
Professora Luciana Marinho
4.5.3 –
 
Cálculo de autovetores
Escolhendo α1
 
= 2; β2
 
= 3 e γ3
 
= 1.
28
Professora Luciana Marinho
Resumo
	Slide Number 1
	Slide Number 2
	Slide Number 3
	Slide Number 4
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Slide Number 7
	Slide Number 8
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Slide Number 11
	Slide Number 12
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Slide Number 16
	Slide Number 17
	Slide Number 18
	Slide Number 19
	Slide Number 20
	Slide Number 21
	Slide Number 22
	Slide Number 23
	Slide Number 24
	Slide Number 25
	Slide Number 26
	Slide Number 27
	Slide Number 28