Cap1.2 rev TÓPICOS ADICIONAIS DE MATRIZES

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Capítulo 1.2 – 
Tópicos adicionais 
de matrizes
2
Professora Luciana Marinho
Matriz transposta
Consideremos a tabela que mostra o percentual de desempregados no Brasil de acordo 
com o ano (fonte:IBGE). Essa tabela pode ser representada de duas formas distintas:
As duas tabelas mostram a mesma informação, mas organizada de formas diferentes. 
Extraindo o conteúdo numérico de cada uma, teremos:
3
Professora Luciana Marinho
As duas matrizes podem ser transformadas uma na outra transpondo suas linhas pelas 
colunas. Dizemos que uma matriz é a transposta
 
da outra.
A matriz transposta, At, de uma matriz A
 
é conseguida trocando as linhas de A, em 
ordem, por suas colunas:
Matriz transposta
4
Professora Luciana Marinho
Matriz transposta
:Exemplo






02814
34614
A













03
24
86
11
44
tA
Exemplos 1, 2, 3, 4, 5, 6 do Livro – página 26
Troca linhas por colunas em uma matriz.
5
Professora Luciana Marinho
Propriedades de matrizes transpostas
Dada uma matriz A = (ai j
 
)
 
do tipo m x n, temos a seguinte propriedade:
P1) (At)t = A
Matriz transposta
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Professora Luciana Marinho
Propriedades de matrizes transpostas
Matriz transposta
Dada duas matrizes A = (ai j
 
) e B = (bi j ), ambas do tipo m x n, temos a seguinte 
propriedade:
P2) (A + B)t
 
= At
 
+ Bt
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Professora Luciana Marinho
Propriedades de matrizes transpostas
Dada uma matriz A = (ai j
 
)
 
do tipo m x n, temos a seguinte propriedade:
P1) (kA)t = kAt.
Matriz transposta
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Professora Luciana Marinho
Propriedades de matrizes transpostas
Matriz transposta
Dada uma matriz A = (ai j
 
), do tipo m x n
 
outra matriz B = (bj k ), do tipo n x p, temos 
a seguinte propriedade:
P2) (AB)t
 
= Bt
 
At
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Professora Luciana Marinho
Traço de uma matriz
Algumas vezes, é interessante classificar uma matriz utilizando um número para 
ela. Para matrizes quadradas, uma das formas mais simples de se obter um 
número a partir de uma matriz é calculando seu traço, que é a soma dos elementos 
da diagonal principal
 
dessa matriz. 
O traço
 
de uma matriz M
 
é representado por tr M.
Exemplo 1. Calcule o traço da matriz .
SOLUÇÃO: tr A
 
= -1 + 2 + 4 = 5
10
Professora Luciana Marinho
Traço de uma matriz
:Exemplos
532 
30
12
 


 Tr 4 
163
816
904
 










Tr
Soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz 
quadrada.
Exemplos 2, 3, 4, 5, 6 do Livro – página 28
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Professora Luciana Marinho
Propriedades do traço de matrizes
Dada duas matrizes quadradas A = (ai j
 
) e B = (bi j )
 
do tipo n x n, temos as 
seguintes propriedades:
P1) tr (A+B) = tr A
 
+ tr B
Traço de uma matriz
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Professora Luciana Marinho
Propriedades do traço de matrizes
P2) tr (kA) = k tr A
Traço de uma matriz
P3) tr At
 
= tr A
13
Professora Luciana Marinho
Propriedades do traço de matrizes
P4) tr (AB) = tr (BA), se A e B
 
forem n x n.
Traço de uma matriz
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Professora Luciana Marinho
Matriz inversa
Vimos que o produto entre matrizes, além de não ter a propriedade comutativa 
(AB ≠
 
BA), também não tem a da existência do elemento inverso. 
Para que tal elemento exista, devemos ter que, dada uma matriz A, exista uma 
matriz A-1
 
tal que
A A-1
 
= A-1 A = In
Sendo In
 
alguma matriz identidade. Como In
 
é do tipo n x n, de acordo com as leis 
de matrizes, A
 
deve ser do tipo n x m
 
e A-1
 
do tipo m x n
 
se A A-1
 
= In
 
. 
Se A-1
 
A = In
 
, devemos ter A-1
 
do tipo n x m
 
e A
 
do tipo m x n.
Isto só é possível se ambas as matrizes forem do tipo n x n, ou seja, quadradas.
Portanto, uma matriz só pode ter inversa se ela for quadrada. Esta é uma condição 
necessária, mas não suficiente, para se ter inversa.
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Professora Luciana Marinho
Matriz inversa
:Exemplo






 




10
01
2/10
2/31
 . 
20
31
Uma matriz A-1
 
é a matriz inversa de uma matriz quadrada A
 
se A-1 A = I. 
1. Caso tenhamos A-1 A = In
 
, dizemos que A-1
 
é a inversa de A
 
pela esquerda; quando A A-1
 
= I, 
então A-1
 
é a inversa pela direita. Somente quando A-1
 
for inversa de A
 
pela direita e pela 
esquerda é que ela será a sua matriz inversa e somente nesse último caso ela terá que ser 
quadrada.
Exemplos 1, 2, 3 do Livro – páginas 29 e 30
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Professora Luciana Marinho
Matriz inversa
Propriedades da inversão de matrizes
Dada uma matriz quadrada A = (ai j
 
)
 
do tipo n x n, temos a seguinte propriedade:
P1) (A-1)-1
 
= A
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Professora Luciana Marinho
Matriz inversa
Propriedades da inversão de matrizes
Dada uma matriz quadrada A = (ai j
 
)
 
do tipo m x n, e outra B = (bj k
 
), do tipo n x p, 
temos a seguinte propriedade:
P2) (AB)-1
 
= B-1
 
A-1
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Professora Luciana Marinho
Matriz inversa
Propriedades da inversão de matrizes
Dada uma matriz quadrada A = (ai j
 
)
 
do tipo m x n, e outra B = (bj k
 
), do tipo n x p, 
temos a seguinte propriedade:
P2) (AB)-1
 
= B-1
 
A-1
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Professora Luciana Marinho
Matriz inversa
Propriedades da inversão de matrizes
Dada uma matriz quadrada A = (ai j
 
)
 
do tipo n x n, temos a seguinte propriedade:
P3) (At)-1
 
= (A-1)t
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Professora Luciana Marinho
Matriz simétrica
:Exemplos
jiij aa 









045
412
523
A



24
41
B 3C
Definição 4: Uma matriz
 
A = (aij) n x n é simétrica se aij = aji para todo 
i,j = 1,...,n.
Uma matriz é simétrica
 
se todos os elementos ( ai j )
 
forem iguais aos 
elementos ( aj i ), ou seja:
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Professora Luciana Marinho
Matriz antissimétrica
:Exemplos
jiij aa 











034
301
410
A


 
05
50
B 0C
Definição 5: Uma matriz
 
A = (aij) n x n é antisimétrica
 
se aij = - aji para todo 
i,j = 1,...,n.
Uma matriz é antissimétrica
 
se
Uma matriz tem que ser quadrada para poder ser simétrica ou antisimétrica.
22
Professora Luciana Marinho
Matriz triangular inferior
:Exemplo
23
Professora Luciana Marinho
Matriz triangular superior
:Exemplo
24
Professora Luciana Marinho
Matriz idempotente
:Exemplo












455
343
112
A
AA 2












455
343
112
2A = 
2. O prefixo idem
 
significa “o mesmo” em latim.
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Professora Luciana Marinho
Matriz periódica
:Exemplo
3. Toda matriz idempotente é periódica de ordem 2.
26
Professora Luciana Marinho
Matriz nilpotente
:Exemplo
4. O prefixo nihil
 
significa “nada”
 
em latim.
A2
 
= 0
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Professora Luciana Marinho
Matriz ortogonal
:Exemplo 



 2/12/3
2/32/1A
1 AAt
A matriz é ortogonal, pois
Portanto, At
 
é a inversa de A, isto é, At
 
= A-1.
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Professora Luciana Marinho
Resumo
29
Professora Luciana Marinho
Resumo
	Slide Number 1
	Matriz transposta
	Matriz transposta
	Matriz transposta
	Matriz transposta
	Matriz transposta
	Matriz transposta
	Matriz transposta
	Traço de uma matriz
	Traço de uma matriz
	Traço de uma matrizTraço de uma matriz
	Traço de uma matriz
	Matriz inversa
	Matriz inversa
	Matriz inversa
	Matriz inversa
	Matriz inversa
	Matriz inversa
	Matriz simétrica
	Matriz antissimétrica
	Matriz triangular inferior
	Matriz triangular superior
	Matriz idempotente
	Matriz periódica
	Matriz nilpotente
	Matriz ortogonal
	Resumo
	Resumo