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Cap3.3 rev ESPAÇOS VETORIAIS GERADOS

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Professora Luciana Marinho
Capítulo 3.3 
Espaços Vetoriais Gerados
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Professora Luciana Marinho
Continuaremos nosso estudo de espaços vetoriais.
Analizaremos como construir de modo eficiente um 
espaço vetorial a partir de elementos desse 
espaço.
Para isso, usaremos os conceitos de combinações 
lineares e de espaços vetoriais gerados.
3.3.1 – Combinações lineares
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Professora Luciana Marinho
É muito útil sob diversos aspectos que possamos construir um elemento de 
determinado conjunto a partir de outros. Um exemplo são os vetores, em 
que, a partir dos versores , podemos construir qualquer 
vetor no plano escrevendo , onde vx e vy ϵ R. 
Por exemplo, na primeira figura a seguir construímos o vetor a partir 
da combinação . 
3.3.1 – Combinações lineares
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Professora Luciana Marinho
Também podemos escrever o mesmo vetor como uma combinação
dos vetores
3.3.1 – Combinações lineares
Dizemos que é uma 
combinação linear dos 
versores e , ou dos 
vetores e , pois foi 
construído a partir da 
soma desses versores e 
vetores multiplicados por 
números reais. Esse tipo 
de construção é 
generalizado a seguir 
para qualquer espaço 
vetorial.
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
Resolvendo pelo método de Gauss-Jordan:
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Professora Luciana Marinho
Na verdade, para mostrar que um vetor é uma combinação
linear de outros vetores, não é necessário especificar qual é a
combinação linear de outros vetores.
Precisamos somente provar que existe uma combinação linear
possível.
Voltemos ao problema do exemplo 3.
3.3.1 – Combinações lineares
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
Em vez de resolver esse sistema, basta mostrar que ele tem solução única. 
Para isso, basta mostrar que o determinante é diferente de zero.
Portanto, existe uma combinação linear de u1, u2, u3 que resulta no vetor v.
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
Podemos escrever v = a1u1 + a2u2 + a3u3 para a1, a2, a3 ϵ R.
De modo que existe uma combinação linear dos polinômios u1, u2 e u3, 
que resulta no polinômio v.
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
Temos que provar que existem a1, a2, a3 e a4 de modo que 
A = a1B1 + a2B2 + a3B3 + a4B4, o que implica que devemos ter
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3.3.1 – Combinações lineares
A=
det A=(-1)(-1)7(-118/7)=-118
Para calcular o determinante da matriz dos coeficientes, usaremos o método 
de Gauss para o escalonamento e depois faremos o produto dos elementos 
da diagonal principal de sua forma escalonada:
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3.3.1 – Combinações lineares
Portanto a matriz A é uma combinação linear das matrizes B1, B2, B3 e B4.
Neste exemplo, com um pouco mais de contas, teríamos chegado aos 
valores dos coeficientes a1, a2, a3 e a4. 
Mesmo assim, calculando somente o determinante, fizemos um pouco 
menos de contas. Porém, isto pode ser crucial quando se lida com 
sistemas de equações lineares com um número muito grande de 
equações e variáveis.
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3.3.1 – Combinações lineares
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
Portanto, não existe solução única para esse sistema de equações. Isso não
significa que v não seja uma combinação linear de u1, u2, e u3.
Ainda há a possibilidade de soluções múltiplas (sistema possível e
indeterminado), o que só pode ser verificado resolvendo o sistema.
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
Como 0 ≠ 3 , esse sistema é um Sistema impossível 
(não há solução).
Portanto, v não é uma combinação linear de u1, u2 e u3.
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
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Professora Luciana Marinho
3.3.1 – Combinações lineares
Sistema possível e indeterminado (infinitas soluções), de modo que v agora 
é uma combinação linear de u1, u2, e u3.
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3.3.1 – Combinações lineares
O importante nas combinações lineares é que elas tornam possível 
construir muito elementos de um espaço vetorial usando somente 
alguns poucos vetores.
Podemos, inclusive, construir, todos os elementos de um espaço 
vetorial utilizando combinações lineares de alguns de seus 
elementos.
Veremos isso a seguir.
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3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais 
–PAREI AQUI
Já sabemos que qualquer vetor no espaço pode ser montado 
utilizando os versores abaixo:
Os vetores , e geram o espaço 
v3 de todos os vetores no espaço.
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O mesmo pode ser dito de vetores em duas dimensões:
Dizemos que os 
versores dados 
geram os espaços 
dos vetores no plano 
e no espaço.
3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
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3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
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Professora Luciana Marinho
3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
Temos que mostrar que qualquer vetor v = (x, y, z) ϵ pode ser 
escrito como uma combinação linear de u1, u2 e u3.
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Por exemplo, para (x,y,z)=(2,-6,6), então a expressão a1u1 + a2u2 + a3u3 com 
coeficientes
3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
Portanto, todo vetor (x, y, z) ϵ pode ser gerado por uma combinação 
linear dos vetores u1, u2 e u3. 
é uma combinação linear desse vetor:
-15(1,0,3) + 4(-1,2,4) + 7(3,-2,5) = (-15,0,-45) + (-4,8,16) + (21,-14,35) = (2,-6,6) 
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Na verdade, bastaria mostrar que existe alguma combinação linear dos 
três vetores que gera qualquer elemento do espaço tridimensional.
3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
Então, para qualquer vetor v ϵ , existe sempre uma combinação linear dos 
vetores u1, u2 e u3 dados que resulta nesse vetor. Sendo assim, esses vetores 
geram o espaço 
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Professora Luciana Marinho
3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
Precisamos mostrar que qualquer polinômio v = ax2 + bx + c pode 
ser escrito como v = a1u1 + a2u2 + a3u3, isto é,
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3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
de modo que existe uma combinação linear dos polinômios u1, u2 e u3 que 
resulta em qualquer v ϵ p2(x). Portanto, esses vetores geram p2(x).
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A=
det A=(-1)(-1)7(-118/7)=
=-118
3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
Temos que provar que qualquer matriz 2 x 2 pode ser escrita como uma 
combinação linear das matrizes B1, B2, B3 e B4.
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Não há solução única 
(pode haver infinitas 
soluções ou nenhuma).
3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
Temos que mostrar que qualquer vetor u = (x, y, z) ϵ pode ser 
escrito como uma combinação linear dos vetores u1, u2 e u3.
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3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
Resolvendo o sistema de equações lineares usando a forma da matriz 
expandida, temos
O sistema só tem solução se x + 2y + z = 0, impondo uma condição sobre a forma
do vetor u. Isso não é possível, pois a combinação linear deve existir para
quaisquer valores de x, y e z. Portanto, os vetores u1, u2 e u3 não geram
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3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
Isto estabelece uma relação entre a e b que não pode existir se a e b forem
números quaisquer. Portanto, os vetores u1 e u2 não geram o espaço vetorial v2.
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Pudemos ver que, para que um determinado número de
vetores (elementos de um espaço vetorial) gerem um
espaço vetorial, é necessário que eles sejam
independentes uns dos outros (determinante diferente
zero).Nos exemplos 5 e 6, isso não foi possível porque
conseguimos escrever u3 = -2u1 (ex 5) e u2 = -2u1 (ex 6),
isto é os vetores u1 e u3 (ex 5) e os vetores u1 e u2 (ex 6)
dependem um do outro.
Isto leva ao assunto da próxima aula: dependência e
independência linear.
3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais
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Resumo
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