Cap3.1 rev ESPAÇOS VETORIAIS

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Professora Luciana Marinho
Capítulo 3.1 
Espaços Vetoriais
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Professora Luciana Marinho
Muitos conjuntos têm comportamento bastante semelhante aos 
vetores. Estudar todos esses conjuntos ao mesmo tempo se faz 
possível se agruparmos todos em uma mesma classe: a dos espaços 
vetoriais.
Alguns conjuntos munidos de uma operação de soma e de uma 
operação de produto por um escalar comportam-se de forma bastante 
semelhante a vetores. 
A esses conjuntos, munidos das operações apropriadas, chamamos 
espaços vetoriais.
Veja então os exemplos a seguir.
3.1.1 –
 
Introdução
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Professora Luciana Marinho
3.1.1 –
 
Introdução
a) Matrizes coluna
Estudaremos diversos conjuntos que serão postos em analogia aos vetores. 
Alguns desses conjuntos são bem conhecidos e outros serão apresentados 
agora.
A notação matricial pode ser utilizada para representar vetores como matrizes 
coluna. Na verdade, matrizes coluna não são vetores, mas podem 
representá-los. Para vetores em duas dimensões e para vetores no espaço, 
podemos escrever
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Professora Luciana Marinho
3.1.1 –
 
Introdução
a) Matrizes coluna
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Professora Luciana Marinho
3.1.1 –
 
Introdução
a) Matrizes coluna
Essa notação de matriz coluna é
 
muito útil se 
quisermos generalizar nossa noção de vetor. Por 
exemplo, um vetor em um espaço de quatro 
dimensões poderia ser representado como uma 
matriz 4 x 1 e um vetor em n
 
dimensões poderia ser 
representado por uma matriz n
 
x 1. Ela pode ser 
usada quando se tem um número muito grande de 
dados que se quer colocar sob a forma de um vetor 
e é
 
amplamente utilizada em econometria
 
e 
computação.
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Este vetor só
 
poderia ser representado em quatro 
dimensões, o que não nos é
 
possível. Podemos 
fazer uma analogia entre tal vetor e um vetor 
bidimensional ou tridimensional. A representação 
de dados numéricos em vetores é
 
bastante 
econômica e fácil de ser utilizada quando se faz 
necessário efetuar operações com esses dados.
Omitimos a notação , com a seta sobre a letra. 
Para vetores representados na forma matricial, 
essa notação costuma ser abolida. 
3.1.1 –
 
Introdução
a) Matrizes coluna
Exemplo 3: Represente as cotações da venda do dólar comercial nos quatro 
primeiros meses de 2007 em termos de vetor. O vetor é
 
dado por
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Professora Luciana Marinho
3.1.1 –
 
Introdução
a) Matrizes coluna
Se tomarmos agora a totalidade das matrizes n x 1, podemos definir um conjunto 
Estudaremos diversos conjuntos que serão postos em analogia aos vetores. 
Alguns Vn
 
das matrizes
 
coluna de ordem n da seguinte forma:
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3.1.1 –
 
Introdução
a) Matrizes coluna
Do mesmo modo que com vetores, os elementos de um espaço de matrizes 
coluna têm a operação de soma (soma matricial):
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3.1.1 –
 
Introdução
a) Matrizes coluna
E matrizes coluna também têm a operação de produto por um escalar 
(número):
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3.1.1 –
 
Introdução
a) Matrizes coluna
Também existem, para matrizes coluna, conceitos análogos ao vetor nulo e 
ao vetor inverso (de mesma intensidade, mesma direção e sentido inverso). 
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Professora Luciana Marinho
Quando estudamos funções de uma variável real, a base dos domínios dessas 
funções era o conjunto dos números reais. Esse conjunto pode ser associado a 
uma reta, sendo cada número real associado a um ponto dessa reta. Funções 
mais gerais dependem não apenas de uma, mas de diversas variáveis reais. As 
bases dos domínios desse tipo de função são os espaços mais gerais que , 
chamados .
O espaço é
 
definido como conjunto formado por todos os pares ordenados 
(x,y), onde x ϵ
 
e y ϵ
 
. Em notação de conjunto,
3.1.1 –
 
Introdução
O espaço é
 
o resultado do produto cartesiano x , o que significa que 
tomamos todas as combinações possíveis de um número real com outro número 
real. Ele descreve todos os pontos em um plano.
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De forma semelhante, podemos definir o espaço como o conjunto de 
todas as ternas ordenadas (x,y,z): 
3.1.1 –
 
Introdução
Esse conjunto representa todos os pontos do espaço tridimensional.
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3.1.1 –
 
Introdução
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Professora Luciana Marinho
3.1.1 –
 
Introdução
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Professora Luciana Marinho
3.1.1 –
 
Introdução
Também podemos citar uma analogia entre os elementos dos conjuntos 
e
 
e
 
vetores no plano e no espaço, como nas figuras desenhadas a 
seguir. 
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3.1.1 –
 
Introdução
A Soma de polinômios de graus menores ou iguais a 3 é
 
um polinômio de grau 
menor ou igual a 3:
A soma de dois polinômios de grau n resulta em um outro polinômio de 
grau n.
Outro conjunto que tem comportamento vetorial é
 
o dos polinômios de graus 
menores ou iguais a n, definido como 
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3.1.1 –
 
Introdução
O Produto por um escalar de um polinômio de grau menor ou igual a 3 é, também, 
um polinômio de grau menor ou igual a 3:
O produto de um polinômio de grau n por um escalar é
 
um polinômio de 
grau n.
Outro conjunto que tem comportamento vetorial é
 
o dos polinômios de graus 
menores ou iguais a n, definido como 
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3.1.1 –
 
Introdução
Podemos fazer uma representação vetorial de um polinômio. Para um polinômio de 
grau 1, p1
 
(x) = a0
 
+ a1
 
x, podemos representar a parte constante em um dos eixos 
coordenados e o coeficiente do termo em x
 
em outro eixo coordenado. Para um 
polinômio de grau 2, p2
 
(x) = a0 + a1
 
x + a2
 
x2, podemos representar o termo 
constante e os coeficientes de x
 
e x2
 
em três eixos cartesianos.
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3.1.1 –
 
Introdução
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Professora Luciana Marinho
3.1.1 –
 
Introdução
Para representar polinômios com graus maiores ou iguais a 3 seriam 
necessárias quatro ou mais dimensões, o que não nos é
 
possível.
Todos os conjuntos vistos até
 
aqui podem ser postos em analogia ao 
conjunto de vetores em duas ou mais dimensões. Esses conjuntos possuem uma 
operação de soma e uma de operação de produto por um escalar. 
A soma é
 
sempre entre dois elementos do mesmo conjunto e o produto 
por um escalar necessita também de um conjunto numérico (o conjunto dos
 
 
escalares). 
Vamos agora generalizar esses dois tipos de conjuntos, escalares
 
e
 
 
vetores. Conjuntos de escalares serão chamados corpos, que se comportam como 
números, e conjuntos parecidos com vetores serão chamados espaços vetoriais. 
Começaremos pelos corpos
 
e depois passaremos ao assunto principal: 
espaços vetoriais.
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3.1.2 –
 
Corpos
Um corpo
 
é
 
basicamente um conjunto cujos elementos se comportam 
aproximadamente como os números reais. Para definir um corpo, precisamos de 
uma operação de soma e uma operação de multiplicação, de modo que um corpo
 é
 
um conjunto munido dessas duas operações. Por isso, frequentemente 
designamos um corpo
 
pelo símbolo (K, + , *). No entanto, é
 
comum designarmos o 
corpo dos reais
 
como (R, +, *), no entanto é
 
mais frequente chamá-lo
 
 
simplesmente R.
As operações de soma e produto são definidas de modo que, se a
 
e b
 
pertencem 
ao conjunto K, então a + b
 
e a
 
* b
 
também têm que pertencer ao conjunto K. 
A definição completa é
 
feita a seguir.
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Professora Luciana Marinho3.1.2 –
 
Corpos
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Professora Luciana Marinho
3.1.2 –
 
Corpos
Como montar um corpo com o menor número 
de elementos possível?
Como esse conjunto tem que ter os números 0 
(elemento neutro da soma) e 1 (elemento neutro do 
produto), então podemos começar com o conjunto 
{0,1}.
Esse conjunto forma um corpo, junto com a soma e a 
multiplicação convencionais?
Não, pois o elemento 1 desse conjuntos não tem um 
inverso com relação à
 
soma, que seria o número -1.
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3.1.2 –
 
Corpos
Vamos adicionar -1 ao conjunto, ficando com {-1,0,1} .
Esse conjunto, junto com a soma e a subtração 
convencionais, forma um corpo?
Não, pois 1+1=2, que não pertence ao conjunto (ele não 
é
 
fechado quanto à
 
soma).
Portanto, nenhum grupo finito pode ser um corpo.
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3.1.2 –
 
Corpos
Vamos tentar o conjunto dos números naturais:
Esse conjunto não é
 
um corpo, pois não tem inversa 
quanto à
 
soma: o inverso de 2 quanto à
 
soma é
 
-2, que 
não pertence ao conjunto.
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3.1.2 –
 
Corpos
Tentamos, então, o conjunto dos números inteiros:
Esse conjunto não forma um corpo, pois não tem 
inversa quanto à
 
multiplicação: a inversa de 2 quanto 
à
 
multiplicação é
 
½, que não faz parte do conjunto.
O conjunto dos números racionais, munido da soma e 
da multiplicação usuais, é
 
um corpo, como é
 
mostrado 
a seguir.
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3.1.2 –
 
Corpos
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3.1.2 –
 
Corpos
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3.1.2 –
 
Corpos
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3.1.2 –
 
Corpos
Elementos de um corpo também são chamados de escalares.
Outros exemplos de corpos.
O conjunto dos números reais, munidos das operações usuais de soma e produto, 
é
 
um corpo.
O conjunto dos números complexos, munido das operações de soma e produto 
usuais, é
 
um corpo.
O conjunto dos números irracionais não forma um corpo, pois 
O conjunto dos números imaginários (não confundir com os números complexos) 
não forma um corpo, pois 
mas 2 não pertence aos irracionais.
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3.1.3 –
 
Espaços vetoriais
Os escalares mais utilizados por nós serão os números reais. Utilizaremos o 
conceito de corpo, na definição do que é
 
um espaço vetorial.
O conjunto dos vetores pode ser utilizado para definir as operações soma e 
produto por um escalar, o produto escalar e o produto vetorial. Não são muitos 
os conjuntos que apresentam essas quatro operações. No entanto, se 
considerarmos somente a soma
 
e o produto por um escalar, conjuntos como o 
das matrizes e o dos polinômios admitem essas operações. Portanto, 
consideraremos somente essas duas operações.
O espaço vetorial
 
é
 
um conjunto
 
V munido de uma operação de soma e de 
uma operação de produto por um escalar, onde o escalar é
 
um elemento 
pertencente a um determinado corpo K. Por isso, dizemos que o espaço 
vetorial é
 
um conjunto V
 
sobre o um corpo K. Para que V
 
seja um espaço 
vetorial, é
 
preciso que, se u
 
e v, pertencerem a V, então u+v
 
e αu
 
também 
pertençam a V, onde α ϵ K. Uma definição mais completa de espaço vetorial é
 dada a seguir.
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3.1.3 –
 
Espaços vetoriais
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3.1.3 –
 
Espaços vetoriais
As propriedades da soma
 
são internas ao conjunto V.
Já
 
as operações envolvendo o produto por um 
escalar
 
são externas a V, pois envolvem também o 
corpo K
 
dos escalares.
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Professora Luciana Marinho
Resumo
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Professora Luciana Marinho
Resumo
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3.1.3 –
 
Espaços vetoriais
Já
 
chega por hoje, não?
Voltamos a essa definição na próxima aula, então!
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