Cap 24 - Potencial Eletrico

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Potencial elétrico | 1
Cap. 24
Potencial Elétrico
Prof. Oscar Rodrigues dos Santos
oscarsantos@utfpr.edu.br
Potencial Elétrico 2
Energia Potencial Elétrica
Na Mecânica, nós definimos que a mudança na
energia potencial ΔU está associada a um
trabalho realizado (Força gravitacional) sobre a
partícula que desloca de xi a xf.
Considere uma carga q0 se movendo de uma
posição inicial i para uma posição final f sobre a
influência de um campo elétrico E. O trabalho
da força elétrica sobre q0 é:

f
i
sdFW .
O
x. . .
xi x xf
F(x)
( )
f
i
x
x
U F x dx   
WUUU if 
ds: deslocamento infinitesimal ao longo 
do deslocamento.
Potencial Elétrico 3
Energia Potencial Elétrica

f
i
sdFW .
( )
f
i
x
x
U F x dx   
ds: deslocamento infinitesimal ao longo 
do deslocamento.
O trabalho realizado pela força
eletrostática:
O trabalho realizado sobre a carga teste q0
pelo campo elétrico:

f
i
sd.EqW 0
Potencial Elétrico 4
Energia Potencial Elétrica
Potencial Elétrico em Campo Elétrico uniforme
Carga teste se movendo em um campo
elétrico uniforme, independente da
posição, criado entre duas placas
paralelas carregadas:
dFW fi .
O trabalho realizado pela força
eletrostática é independente da trajetória.
EdqW fi 0
Potencial Elétrico 5
Potencial Elétrico
Potencial elétrico: Energia potencial elétrica por unidade de carga 
associada a uma carga teste q0 neste ponto. É uma propriedade do espaço 
onde existe campo elétrico e não depende da presença de carga teste q0. 
0q
W
V 
Diferença de potencial (voltagem ou ddp): capacidade do campo elétrico 
realizar trabalho sobre uma carga teste q0 entre dois pontos do espaço.
Elétron-volt: energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga 
de prova q0 e através de uma diferença de potencial de um volt.
1 eV (eletron-volt) = e (1V) = 1,6 x 10-19 J.
0q
U
V 
V é uma grandeza ESCALAR.
Unidade de Potencial Elétrico no
SI é Volt (1V = 1J/1C)
Potencial Elétrico
Diferença Potencial 
Elétrico
Campo Elétrico 6
Potencial Elétrico
A
B
Cálculo do potencial a partir do campo Elétrico.

f
i
if sdEVV .
Se Vi = 0, i está no infinito, temos o potencial V em qualquer ponto f em 
relação ao potencial no infinito, tomado como sendo zero:

f
i
sdEV .
Como calcular o 
potencial elétrico em 
um ponto apenas?
Nova unidade de campo elétrico:
volt por metro (V/m)
Potencial Elétrico 7
Superfícies Equipontenciais
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma 
SUPERFÍCIE EQUIPOTENCIAL (prefixo “equi” exprime ideia de “igualdade”)
Superfícies quipotenciais esféricas para 
carga pontual.
Linhas de campo elétrico e superfícies equipotenciais são mutuamente
perpendiculares.
O trabalho realizado quando uma 
partícula se desloca em uma mesma 
superfície equipotencial é zero.
Potencial Elétrico 8
Superfícies Equipontenciais
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma 
superfície potencial. 
Linhas de campo elétrico e seções retas de superfícies equipotenciais para (a) 
campo elétrico uniforme; (b) carga pontual; (c) para dipolo elétrico.
Potencial Elétrico 9
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por uma Carga Pontual.
r
q
V
04
1


Partícula de carga positiva → potencial elétrico positivo. 
Partícula de carga negativa → potencial elétrico negativo.
Gráfico gerado em computador do potencial 
elétrico V(r) produzido por uma carga positiva 
situada na origem do plano xy.
Calculamos o potencial criado por q, a uma distância r (ponto P), 
deslocando uma carga de prova q0 do ponto P ao infinito.
Potencial Elétrico 10
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por uma Carga Pontual.
r
q
V
04
1


n cargas pontuais
Também pode ser usada pra calcular o potencial 
elétrico fora ou na superfície de uma distribuição de 
cargas com simetria esférica.
Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais.



n
i i
i
n
i
i
r
q
VV
101 4
1

Potencial Elétrico
Potencial Elétrico| 11
Exemplo
1. Qual o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do
quadrado de cargas pontuais que aparece na figura abaixo? A
distância d = 1,3 m e as cargas são:
q1 = +12 nC
q2 = -24 nC
q3 = +31 nC
q4 = +17 nC
Potencial Elétrico
Potencial Elétrico| 12
Exercício:
1. Um próton (carga positiva do elétron) se move ao longo de uma linha reta de
um ponto a até um ponto b no interior de um acelerador linear, sendo d = 0,50
m a distância percorrida. O campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e
possui módulo E = 1,5 x107 V/m no sentido de a para b. Determine (a) a força
sobre o próton; (b) o trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico; (c) a
diferença de potencia Va – Vb. (2,4 x 10
-12 N; 1,2 x 10 -12J; 7,5 MV)
2. Duas cargas puntiformes q1 = +12 nC e q2 = -12 nC separadas por uma
distância de 10 cm. Com V=0 no infinito, calcule os potenciais nos pontos a, b
e c. (-900V; 1930V; 0)
Potencial Elétrico
Potencial Elétrico| 13
Exercício:
3. A figura abaixo mostra um arranjo de partículas carregadas mantidas fixas,
com a = 39 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,4 pC
e q2 = 6 pC. Com V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do
retângulo? (2,21 V)
Potencial Elétrico 14
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico.
2
0
cos
4
1
r
p
V



Dipolo Elétrico
V produzido por um dipolo elétrico a uma distância r do seu centro.
Potencial Elétrico 15
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por distribuição contínua de cargas.
 r
dq
V
04
1

Distribuição contínua de 
cargas
Potencial Produzido por Linha de cargas.
 







 

d
dLL
V
2122
0
ln
4

Linha de cargas
Potencial Elétrico 16
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por um Disco carregado.
 zRzV  22
02

Disco carregado
Potencial Elétrico
Potencial Elétrico| 17
Exercício:
4. Na figura abaixo, uma barra de plástico com uma carga
uniformemente distribuída Q = -25,6 pC tem a forma de um
arco de circunferência R = 3,71 cm e um ângulo centra de
120º. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no
ponto P, o centro da curvatura da barra? (-6.20 V)
5. O rosto sorridente da figura abaixo é formada por três
elementos:
i. Uma barra fina com uma carga de -3 µC e a forma de uma
circunferência completa de 6 cm de raio;
ii. Uma segunda barra fina com uma carga de 2 µC e a forma
de um arco de circunferência com 4 cm de raio, concêntrico
com o primeiro elemento;
iii. Um dipolo com um momento dipolar na direção perpendicular
ao diâmetro do primeiro elemento que passa pelo centro do
segundo elemento, cujo módulo é 1,28 x 10-21 C.m.
Determine o potencial elétrico no centro da circunferência. (0)
Potencial Elétrico 18
Potencial de um condutor carregado.
Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na
superfície do condutor de tal forma que o potencial é o mesmo em todos
os pontos do condutor (tanto na superfície como no interior). Isso
acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e mesmo
que essa cavidade interna contenha um carga elétrica.
i. Interior:
R
q
VV fi
04
1


0E
ii. Exterior (casca esférica condutora):
2
04
1
r
q
E


r
q
V
04
1


Potencial Elétrico 19
Potencial de um condutor carregado.
Condutores não-esféricospossuem em seus vértices e arestas uma densidade
de carga superficial mais alta que nas demais regiões do condutor, podendo
ionizar o ar ao seu redor, vencendo a regidez dielétrica do ar.
Poder das Pontas: o excesso de cargas tende a se acumular nas regioões
mais pontiagudas.
Nos caminhões tanque, extremidades
são arredondadas para que as cargas
não se acumulem em uma ponta, e
assim não haja uma descarga elétrica?
Potencial Elétrico 20
Potencial de um condutor carregado.
Durantes tempestades, o excesso de cargas nas
nuvens provoca o acúmulo de cargas de sinal
oposto no condutores. Por conseguinte, as
descargas produzidas por raios tendem a ser
direcionadas para a extremidade de um pára-raio,
e não para outras estruturas vizinhas.
Ionizando o ar: Sendo o campo 
aplicado suficientemente intenso, os 
elétrons do ar serão arrancados e 
tornar-se-ão elétrons livres. Criando-se 
assim um grande número de íons no ar 
(alguns positivos e outros negativos) o 
ar se torna condutor de eletricidade.
Potencial Elétrico 21
Potencial de um condutor carregado.
Lugar mais segura para se proteger dos raios
durante uma tempestade?
Em tempestades, por exemplo, o melhor
lugar pra se abrigar de uma descarga
elétrica é dentro de um carro (E = 0, V =
constante)
Potencial Elétrico 22
Gradiente de Potencial
Es é a componente do campo elétrico na direção de ds.
Quando o campo elétrico é uniforme:
s
V
Es



x
V
Ex



y
V
Ey



z
V
Ez



s
V
E



Onde s é perpendicular às superfícies equipotenciais
A componente do campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo 
da taxa de variação do potencial elétrico com a distância nesta direção.
Se tomarmos o eixo s como sendo sucessivamente, os 
eixos x, y e z, as componentes do campo elétrico são:
Potencial Elétrico 23
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Exercício:
6. O potencial elétrico é dado por V = 2x2 – 3y2. Qual é o módulo do 
campo elétrico no ponto (3m; 2m; 0)? (16,97 V/m)
7. Qual o módulo do campo elétrico no ponto (3î - 2j + 4k) m se o 
potencial é dado por V = 2xyz2? (150,1 V/m)
Potencial Elétrico 24
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Se duas cargas de mesmo sinal são aproximadas, o trabalho para 
realizar esta aproximação fica armazenado na forma de energia 
potencial (K = constante). Se mais tarde as cargas são liberadas, essa 
energia é recuperada como energia cinética.
W = trabalho realizado contra o campo e não pelo campo (força externa).
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é
igual ao trabalho que deve ser executado por um agente externo para
montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita
umas das outras.
r
qq
WU 21
04
1


Energia potencial elétrica de 
um par de cargas
W > 0 se as cargas tiverem o mesmo sinal;
W < 0 se as cargas tiverem sinais opostos.
Potencial Elétrico 25
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Exemplo 2.
A figura mostra três carga pontuais mantidas fixas no lugar por forças 
não especificadas. Qual é a energia potencial elétrica U desse sistema 
de cargas? Suponha d = 12 cm e que q1 = +q, q2 = -4q e q3 = +2q, onde 
q = 150 nC. (-17 mJ)
Potencial Elétrico 26
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Exercício:
8. Determine o trabalho necessário para deslocar uma partícula de
carga Q = +16e, inicialmente em repouso, ao longo da reta tracejada, do
infinito até o ponto indicado, nas proximidades de duas partículas fixas
de cargas q1 = +4e e q2 = -q1/2. Suponha d = 1,4 cm, θ1 = 43º e θ2 =
60º. (0)
9. Na figura, sete partículas carregadas são mantidas fixas no lugar
para formar um quadrado com 4 cm de lado. Qual é o trabalho
necessário para deslocar para o centro do quadrado uma partícula de
carga +6e inicialmente em repouso a uma distância infinita? (2,1 x 10-25
J)
Potencial Elétrico 27
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
Exercício:
10. Uma partícula de carga +7,5 µC é liberada a partir do repouso sobre
o eixo x, no ponto x = 60 cm. A partícula começa a se mover devido à
presença de uma carga Q que é mantida fixa na origem. Qual é a
energia cinética da partícula após deslocar 40 cm (a) se Q = + 20 µC e
(b) se Q = - 20 µC? (0,899J; 4,5 J)
11. Uma carga de -9 nC está distribuída uniformemente em um anel fino
de plástico situado no plano yz, com o centro do anel na origem. Uma
carga pontual de -6pC está situada sobre o eixo x, no ponto x = 3m. Se
o raio do anel é 1,5 m, qual deve ser o trabalho executado por uma
força externa sobre a carga pontual para deslocá-la até a origem? (1,8
x 10-10J