Álgebra - Questionario IV - unip

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nta 3
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Considerando o grupo cíclico Z4 com o produto, (Z4, *), podemos afirmar que é gerado por:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
1 e 3
	
	
	
Pergunta 4
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Dadas as afirmações a seguir, podemos afirmar que:
I. Em um homomorfismo de grupos, a operação deve ser conservada.
II. Em um homomorfismo de anéis, as operações devem ser conservadas.
III. Só temos um homomorfismo de anéis se ƒ (α +b) = ƒ (α) * ƒ (b)
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
Apenas a II é verdadeira.
	
	
	
Comentário:
Lembrando a definição de homomorfismo de grupos e anéis, vemos que, para haver um homomorfismo em um grupo, basta termosƒ (α 0 b) = ƒ (α)•ƒ(b) , qualquer que sejam as operações 0 e • . No caso de anéis, as operações devem ser conservadas. Logo, apenas a afirmação II é correta
Pergunta 5
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Das alternativas a seguir a única que é endomorfismo é:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
f: IR → IR, f(x) = 5x, com a adição.
	
	
	
Pergunta 6
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	O conjunto Zp das classes de congruência módulo p, em que p é primo, é classificado como um corpo, e já o conjunto Zm , para m não primo, não é um corpo. Isso se deve pelo fato de que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
Em Zm podemos ter α•b = 0 para a e b diferentes de zero
	
	
	
Comentário:
Todos possuem a mesmas propriedades, exceto uma, que desqualifica Zm de se classificar como um corpo, indicando o fato de que pode haver  α•b = 0 com a e b diferentes de zero.
Pergunta 8
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Sobre automorfismos é correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
É um homomorfismo bijetor.
	
	
	
Pergunta 9
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Sobre homomorfismo de anéis é correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
Leva soma em soma e produto em produto
	
	
	
Comentário:
Segundo a definição de homomorfismo de anéis a função deve preservar as operações, isto é, leva soma em soma e produto em produto
Pergunta 10
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Sobre isomorfismos é correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
Para ser isomorfismo o homomorfismo deve ser injetor e sobrejetor
	
	
	
Comentário:
Pela definição um isomorfismo é um homomorfismo bijetor, isto é, injetor e sobrejetor
Pergunta 1
0 em 0 pontos
	
	
	
	A afirmação correta sobre isomorfismos é:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
Homomorfismo bijetor é isomorfism
	
	
	
Pergunta 2
Pergunta 3
Pergunta 4
Pergunta 5
Pergunta 6
Pergunta 7
Resolução: observando as flechas, temos os pares ordenados: (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2,1), (2, 3), (3,1).
Daí, temos:
R não é reflexiva, pois 3 ∈ A, mas (3,3) ∉ R.
R não é simétrica, pois (2, 3) ∈ R, mas (3, 2) ∉ R.
R é transitiva.
R não antissimétrica, pois (3,1) ∈ R e (1, 3) ∈ R, mas 3 ≠ 1.
R não é relação de ordem.
Pergunta 8
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Considerando A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a aplicação f: A → B dada pelos pares ordenados  {(1, 1), (3, 2), (1, 2), (2, 3)}, é correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. D(f) = A.
	Feedback da resposta:
	Alternativa: D
Resolução: observando os pares ordenados, notamos que:
f não é injetora, pois temos 1 e 3 com a mesma imagem, isto é (1, 2) ∈ R e (3, 2) ∈ R
f não é sobrejetora, pois Im f = {1, 2, 3} ≠ B
f não pode ser bijetora, pois deveria ser injetora e sobrejetora.
D(f) = {1, 2, 3} = A
Im f = {1, 2, 3}  ≠  B
	
	
	
Pergunta 9
	
	
	
	Considerando A = {a, b, c} e a relação R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)}, é correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. R é relação de ordem.
	Respostas:
	a. R não é reflexiva.  
	
	b. R é transitiva.
	
	c. R não é simétrica.
	
	d. R é simétrica.
	
	e. R é relação de ordem.
R é reflexiva.
R não é transitiva, pois temos (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R, mas (a, c) ∉ R.
R não é simétrica, pois (a, b) ∈ R, mas (b, a) ∉ R.
R não pode ser relação de ordem, pois deveriam valer as propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva e não vale a propriedade transitiva.
	
	
	
	
	
Pergunta 10
0 em 0,25 pontos
	
	
	
	Sendo A = {0, 1, 2} e R uma relação de A, dada por R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (2,1), (1,2)}, é correto afirmar que:
	
	
	
	
		
	
	Respostas:
	a. R é simétrica.
	
	b. R não relação de equivalência.
	
	c. R é relação de ordem parcial.
	
	d. R é relação de ordem total.
	
	e. Im (R) = {0, 1}
R é simétrica, pois (2, 1) ∈ R  e  (1, 2) ∈ R
R é relação de equivalência.
R não é relação de ordem, pois não vale a propriedade antissimétrica, temos:
(2, 1) ∈ R e  (1, 2) ∈ R mas 1 ≠ 2.
R não é relação de ordem total, pois não é relação de ordem.
Im (R) = {0,1, 2}