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Problema Proposto  Integral de Superfície de Campo Vetorial

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE GEOCIENCIAS E ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
Componente Curricular: Cálculo Vetorial – Integrais de Superfície. 
Dupla: Eva Raiane Silva Castilho, Breno Tavares Baia. Professor: Isaias de Oliveira 
 
Resolução para o problema 2 proposto em sala de aula, referente a integrais de superfície de campos 
vetoriais. 
 
 
Dado o comando, 
 
Calcular: 
 
.
D
F dS
 (1) 
 
 
para o campo Vetorial F e superfície orientada S, onde, 
 o Campo dado é 
 
 
 , ,F x y z xi zj yk  
, (2) 
 
 e a superfície S é parte da esfera 
2 2 2 4x y z  
 no primeiro octante com orientação para a 
origem. 
 
 Dada a fórmula da integral no enunciado, basta substituir o campo vetorial juntamente com 
sua orientação que é dada pelo vetor unitário n, não se esquecendo da Área (dS) onde sabemos 
que o vetor unitário é definido pelo produto vetorial das derivadas parciais da equação que rege 
a superfície, assim, fazendo as considerações para a equação da superfície, teremos que: 
 
 x = x, y = y e 
 
1
2 2 24z x y  
, ou 
 ,z g x y
. Portanto, teremos a representação vetorial da 
equação que rege a superfície em dois parâmetros: 
 
 
   
1
2 2 2, 4 Equação da Superfícier x y xi yi x y k
 
      
 
. (3) 
 
E as derivadas parciais serão: 
 
     ,,
1 0
g x yr x y
i j k
x x

  
 
, (4) 
 
 
 
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE GEOCIENCIAS E ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
     ,,
0 1
g x yr x y
i j k
y y

  
 
, (5) 
 
e para a determinação do vetor unitário, tem-se a matriz jacobiana: 
 
      
  
,, ,
1 0
,
0 1
i j k
g x yr x y r x y
n
x y x
g x y
y
 
  
  


, 
 
o determinante da Matriz, que equivalerá ao vetor normal, será 
 
      , ,
1
g x y g x y
n i j k
x y
 
   
 
 , (6) 
 
onde para 
 
1
2 2 2( , ) 4g x y x y  
 : 
 
 
   
   
  
   
1 1
2 2 2 22 2
, ,1 1
4 2 , e 4 2
2 2
g x y g x y
x y x x y y
x y
  
         
 
 . (7) 
 
 
Substituindo agora (7) em (6) e (6) juntamente com (2) em (1), teremos: 
 
         
1 1
2 2 2 22 2
área definida através
Vetordo Campo doplano tangente
Vetor Unitário Normal=Vetordireção
1 1
. 4 2 4 2 1 .
2 2
D D
Fn dS xi zj yk x y x i x y y j k dA
  
            
 
 
 
 
 
Fazendo agora o produto escalar, teremos: 
 
         
1 1
2 2 2 22 2
1 1
. 4 2 4 2
2 2
D D
Fn dS x x y x z x y y y dA
  
           
 
 
 
 
 
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Como a superfície foi considerada fechada e com orientação para origem, a direção do fluxo se 
comporta de forma inversa ao convencional, que corroborará nos sentidos, sendo: 
 
 
 
2
2 2
2 2
. . 4
4D D
x
Fn dS Fn dS x y
x y
     
 
 
y

 2 24 x y 
y
D
dA
 
 
 
 
 

. 
 
Rearranjando a integral com as simplificações possíveis, temos que: 
 
 
2
2 2
.
4D D
x
Fn dS dA
x y
  
 
 
, 
 
analisando a função a ser integrada, percebe que tal se trata de uma circunferência de raio igual a 2, 
portanto, a fim de facilitar na definição dos limites de integração, torna-se viável a parametrização da 
função em coordenadas polares, tomando: 
 
Uma vezque a função delimita 
a superfície somente no primeiro 
quadrante.
cos sin , com 0 2 e 0
2
x r e y r r
        
 
Substituindo na Integral, torna-se: 
 
 
    
 
    
222
2 2
0 0
222
0 0
2 22
1
cos
.
4 cos sin
cos
.
4 cos sin
D
D
r
F dS rdrd
r r
r
F dS rdrd
r




 


 
 
 
 
 
  
  
 
  
  
 
 
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  
2 2
02 1
2
0 4
propriedade trigonométrica
0
3
2
2
0 4
1
Fazendo: 4 4
2
1 1 1
. cos 2 4
2 2 2
1 1 1 2
. sin 2 8
2 4 2 3
1 16
. 16
4 2 3
D
D u
D
u r r u e du rdr
F dS d u u du
F dS u u
F dS



 
 


 
      
 
 
     
 
 
    
       
     
 
     
 
  


4
.
3
D
F dS 



  