Problema Proposto  Integral de Superfície de Campo Vetorial
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Problema Proposto Integral de Superfície de Campo Vetorial

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE GEOCIENCIAS E ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
Componente Curricular: Cálculo Vetorial \u2013 Integrais de Superfície. 
Dupla: Eva Raiane Silva Castilho, Breno Tavares Baia. Professor: Isaias de Oliveira 
 
Resolução para o problema 2 proposto em sala de aula, referente a integrais de superfície de campos 
vetoriais. 
 
 
Dado o comando, 
 
Calcular: 
 
.
D
F dS\uf0f2\uf0f2
 (1) 
 
 
para o campo Vetorial F e superfície orientada S, onde, 
\uf0d8 o Campo dado é 
 
 
\uf028 \uf029, ,F x y z xi zj yk\uf03d \uf02d \uf02b
, (2) 
 
\uf0d8 e a superfície S é parte da esfera 
2 2 2 4x y z\uf02b \uf02b \uf03d
 no primeiro octante com orientação para a 
origem. 
 
\uf0d8 Dada a fórmula da integral no enunciado, basta substituir o campo vetorial juntamente com 
sua orientação que é dada pelo vetor unitário n, não se esquecendo da Área (dS) onde sabemos 
que o vetor unitário é definido pelo produto vetorial das derivadas parciais da equação que rege 
a superfície, assim, fazendo as considerações para a equação da superfície, teremos que: 
 
 x = x, y = y e 
\uf028 \uf029
1
2 2 24z x y\uf03d \uf02d \uf02d
, ou 
\uf028 \uf029,z g x y\uf03d
. Portanto, teremos a representação vetorial da 
equação que rege a superfície em dois parâmetros: 
 
 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029
1
2 2 2, 4 Equação da Superfícier x y xi yi x y k
\uf0e6 \uf0f6
\uf03d \uf02b \uf02b \uf02d \uf02d \uf0ae\uf0e7 \uf0f7
\uf0e8 \uf0f8
. (3) 
 
E as derivadas parciais serão: 
 
 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029,,
1 0
g x yr x y
i j k
x x
\uf0b6\uf0b6
\uf03d \uf02b \uf02b
\uf0b6 \uf0b6
, (4) 
 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE GEOCIENCIAS E ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029,,
0 1
g x yr x y
i j k
y y
\uf0b6\uf0b6
\uf03d \uf02b \uf02b
\uf0b6 \uf0b6
, (5) 
 
e para a determinação do vetor unitário, tem-se a matriz jacobiana: 
 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
,, ,
1 0
,
0 1
i j k
g x yr x y r x y
n
x y x
g x y
y
\uf0b6\uf0b6 \uf0b6
\uf03d \uf0b4 \uf03d
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0b6
\uf0b6
, 
 
o determinante da Matriz, que equivalerá ao vetor normal, será 
 
 \uf028 \uf029\uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029, ,
1
g x y g x y
n i j k
x y
\uf0b6 \uf0b6
\uf03d \uf02d \uf02d \uf02b
\uf0b6 \uf0b6
 , (6) 
 
onde para 
\uf028 \uf029
1
2 2 2( , ) 4g x y x y\uf03d \uf02d \uf02d
 : 
 
 
 \uf028 \uf029\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029
1 1
2 2 2 22 2
, ,1 1
4 2 , e 4 2
2 2
g x y g x y
x y x x y y
x y
\uf02d \uf02d\uf0b6 \uf0b6
\uf03d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf03d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d
\uf0b6 \uf0b6
 . (7) 
 
 
Substituindo agora (7) em (6) e (6) juntamente com (2) em (1), teremos: 
 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
1 1
2 2 2 22 2
área definida através
Vetordo Campo doplano tangente
Vetor Unitário Normal=Vetordireção
1 1
. 4 2 4 2 1 .
2 2
D D
Fn dS xi zj yk x y x i x y y j k dA
\uf02d \uf02d\uf0e6 \uf0f6
\uf03d \uf02d \uf02b \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d\uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02b\uf0e7 \uf0f7
\uf0e8 \uf0f8
\uf0f2\uf0f2 \uf0f2\uf0f2
 
 
 
Fazendo agora o produto escalar, teremos: 
 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
1 1
2 2 2 22 2
1 1
. 4 2 4 2
2 2
D D
Fn dS x x y x z x y y y dA
\uf02d \uf02d\uf0e6 \uf0f6
\uf03d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02b\uf0e7 \uf0f7
\uf0e8 \uf0f8
\uf0f2\uf0f2 \uf0f2\uf0f2
 
 
 
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Como a superfície foi considerada fechada e com orientação para origem, a direção do fluxo se 
comporta de forma inversa ao convencional, que corroborará nos sentidos, sendo: 
 
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029
2
2 2
2 2
. . 4
4D D
x
Fn dS Fn dS x y
x y
\uf0ae\uf02d \uf03d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02d
\uf02d \uf02d
\uf0f2\uf0f2 \uf0f2\uf0f2
y
\uf0d7
\uf028 \uf0292 24 x y\uf02d \uf02d
y\uf02b
D
dA
\uf0e6 \uf0f6
\uf0e7 \uf0f7
\uf0e7 \uf0f7
\uf0e7 \uf0f7
\uf0e8 \uf0f8
\uf0f2\uf0f2
. 
 
Rearranjando a integral com as simplificações possíveis, temos que: 
 
\uf028 \uf029
2
2 2
.
4D D
x
Fn dS dA
x y
\uf03d \uf02d \uf0d7
\uf02d \uf02d
\uf0f2\uf0f2 \uf0f2\uf0f2
, 
 
analisando a função a ser integrada, percebe que tal se trata de uma circunferência de raio igual a 2, 
portanto, a fim de facilitar na definição dos limites de integração, torna-se viável a parametrização da 
função em coordenadas polares, tomando: 
 
Uma vezque a função delimita 
a superfície somente no primeiro 
quadrante.
cos sin , com 0 2 e 0
2
x r e y r r
\uf070\uf071 \uf071 \uf071\uf03d \uf03d \uf0a3 \uf0a3 \uf0a3 \uf0a3 
 
Substituindo na Integral, torna-se: 
 
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029
222
2 2
0 0
222
0 0
2 22
1
cos
.
4 cos sin
cos
.
4 cos sin
D
D
r
F dS rdrd
r r
r
F dS rdrd
r
\uf070
\uf070
\uf071
\uf071
\uf071 \uf071
\uf071
\uf071
\uf071 \uf071
\uf03d \uf02d
\uf02d \uf02d
\uf03d \uf02d
\uf0e6 \uf0f6
\uf0e7 \uf0f7\uf02d \uf02b
\uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7
\uf0e8 \uf0f8
\uf0f2\uf0f2 \uf0f2 \uf0f2
\uf0f2\uf0f2 \uf0f2 \uf0f2
 
 
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE GEOCIENCIAS E ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
2 2
02 1
2
0 4
propriedade trigonométrica
0
3
2
2
0 4
1
Fazendo: 4 4
2
1 1 1
. cos 2 4
2 2 2
1 1 1 2
. sin 2 8
2 4 2 3
1 16
. 16
4 2 3
D
D u
D
u r r u e du rdr
F dS d u u du
F dS u u
F dS
\uf070
\uf070
\uf071
\uf071 \uf071
\uf071 \uf071
\uf070
\uf02d
\uf03d \uf03d
\uf03d \uf02d \uf0ae \uf03d \uf02d \uf02d \uf03d
\uf0e6 \uf0f6
\uf0e7 \uf0f7
\uf03d \uf02d \uf02b \uf02d \uf02d\uf0e7 \uf0f7
\uf0e7 \uf0f7
\uf0e8 \uf0f8
\uf0e9 \uf0f9\uf0e9 \uf0f9 \uf0e6 \uf0f6
\uf03d \uf02d \uf02b \uf02d \uf02d\uf0ea \uf0fa\uf0e7 \uf0f7\uf0ea \uf0fa
\uf0eb \uf0fb \uf0e8 \uf0f8 \uf0eb \uf0fb
\uf0e6 \uf0f6\uf0e6
\uf03d \uf02d \uf02d \uf02d \uf02b\uf0e7 \uf0f7\uf0e7
\uf0e8 \uf0f8\uf0e8
\uf0f2\uf0f2 \uf0f2 \uf0f2
\uf0f2\uf0f2
\uf0f2\uf0f2
4
.
3
D
F dS \uf070
\uf0f6
\uf0f7
\uf0f8
\uf05c \uf03d \uf02d\uf0f2\uf0f2