Aplicações da Integral Definida (Com Exercícios)

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Cap´ıtulo 24
Aplicac¸o˜es da Integral Definida
24.1 Introduc¸a˜o
As integrais surgiram no estudo das a´reas, mas, assim como as derivadas, revelaram possuir muitas outras aplicac¸o˜es.
Mostraremos neste e nos pro´ximos cap´ıtulos como as integrais aparecem no ca´lculo de posic¸o˜es, a´reas, volumes,
comprimento de arco, massa, probabilidade, momentos, centros de gravidade e trabalho.
O racioc´ınio empregado em cada um dos casos e´ sempre o mesmo e segue os seguintes passos:
1. A quantidade em estudo e´ aproximada por uma soma, que e´ identificada como sendo a soma de Riemann de
uma func¸a˜o;
2. A soluc¸a˜o exata para o problema e´ obtida pela passagem ao limite;
3. O limite das somas de Riemann e´ identificado a` integral de uma func¸a˜o.
24.2 Distaˆncia
O problema e´ deduzir a mudanc¸a de posic¸a˜o de uma part´ıcula que se desloca ao longo de uma linha reta com
velocidade v(t) conhecida para todos os instantes t de um certo intervalo de tempo [a, b]. Se conseguirmos, de algum
modo, determinar a posic¸a˜o s(t) da part´ıcula para qualquer instante de tempo t do intervalo [a, b], a mudanc¸a de
posic¸a˜o da part´ıcula em relac¸a˜o ao instante inicial t = a, sera´ dada por s(b)-s(a).
Existem duas maneiras de abordarmos este problema. A primeira delas foi utilizada na motivac¸a˜o do teorema
fundamental do ca´lculo e consiste em considerar a velocidade da part´ıcula constante em cada subintervalo de uma
partic¸a˜o do intervalo [a, b]. Assim, seja τi um ponto qualquer de cada subintervalo [ti−1, ti] da partic¸a˜o considerada.
Em cada um desses subintervalos, considerando a velocidade da part´ıcula igual a v(τi), podemos aproximar a mudanc¸a
de posic¸a˜o da part´ıcula por
v(τi) (ti − ti−1) = v(τi)∆ ti .
Dessa maneira, a mudanc¸a total de posic¸a˜o sera´ aproximadamente igual a
n∑
i=1
v(τi)∆ ti .
A` medida que o comprimento ∆ ti de cada subintervalo se torna menor, esta soma se aproxima, cada vez mais, do
valor exato da mudanc¸a de posic¸a˜o da part´ıcula. Como
lim
∆ ti→0
n∑
i=1
v(τi)∆ ti =
∫ b
a
v(t) dt ,
temos que a mudanc¸a de posic¸a˜o da part´ıcula de t = a ate´ t = b e´ dada pela integral∫ b
a
v(t) dt .
Podemos obter este mesmo resultado aplicando, diretamente, o teorema fundamental do ca´lculo a` func¸a˜o v(t) =
s′(t). Desse modo,
s(b)− s(a) =
∫ b
a
s′(t) dt =
∫ b
a
v(t) dt,
como antes.
321
322 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
E´ importante observar que quando v < 0, a part´ıcula se move para a esquerda e a func¸a˜o posic¸a˜o, s(t), decresce.
A integral
∫ b
a
v(t) dt fornece, portanto, a variac¸a˜o l´ıquida de posic¸a˜o da part´ıcula. A distaˆncia total percorrida pela
part´ıcula neste intervalo de tempo sera´ dada por
∫ b
a
| v(t) | dt.
Da mesma maneira, conhecendo-se a acelerac¸a˜o da part´ıcula para todos os instantes t do intervalo [a, b], podemos
determinar a sua velocidade. Como a acelerac¸a˜o da part´ıcula e´ a taxa de variac¸a˜o da sua velocidade em relac¸a˜o ao
tempo, isto e´, a(t) = v′(t), aplicando, novamente, o teorema fundamental do ca´lculo, a velocidade da part´ıcula em
qualquer instante de tempo t sera´ dada por
v(t)− v(a) =
∫ t
a
v′(u) du =
∫ t
a
a(u) du
ou, equivalentemente,
v(t) = v0 +
∫ t
a
a(u) du,
onde v0 e´ a velocidade da part´ıcula no instante inicial t = a. Repare que, como no caso anterior, a integral
∫ b
a
| a(t) | dt
fornece a variac¸a˜o total de velocidade da part´ıcula no intervalo [a, b].
Exemplo
1. Sabendo que uma part´ıcula, com velocidade inicial v0 e posic¸a˜o inicial s0, se desloca com acelerac¸a˜o a constante,
determine a sua velocidade e posic¸a˜o em qualquer instante de tempo.
Soluc¸a˜o A velocidade da part´ıcula, em qualquer instante de tempo t, sera´ dada por
v(t) = v(0) +
∫ t
0
a dt .
Assim, v(t) = v0 + a t em qualquer instante de tempo t. Do mesmo modo, a sua posic¸a˜o e´ dada por
s(T )− s(0) =
∫ T
0
v0 + a t dt = v0 T +
aT 2
2
,
para qualquer instante de tempo T , ou equivalentemente,
s(T ) = s0 + v0 T +
a T 2
2
.
2. Uma part´ıcula se desloca em linha reta com velocidade dada por v(t) = t2. Qual o deslocamento total da
part´ıcula entre t = 1 e t = 2?
Soluc¸a˜o Como a velocidade e´ positiva, o deslocamento total da part´ıcula sera´ dado por
s(2)− s(1) =
∫ 2
1
t2 dt .
Como a func¸a˜o F (t) = t
3
3 e´ uma primitiva de f(t) = t
2, o teorema fundamental do ca´lculo garante que∫ 2
1
t2 dt =
t3
3
∣∣∣∣2
1
=
23
3
− 1
3
3
=
7
3
.
24.3 A´rea de regio˜es planas
Na introduc¸a˜o do estudo de integral, vimos como e´ poss´ıvel calcular a a´rea sob o gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua e
positiva f , definida em um intervalo [a, b]. A soluc¸a˜o deste problema motivou a definic¸a˜o de integral como limite de
somas de Riemann.
Vamos abordar agora o problema da determinac¸a˜o de a´reas de regio˜es planas mais gerais, limitadas lateralmente
pelas retas verticais x = a e x = b, superiormente por uma func¸a˜o cont´ınua f e inferiormente por outra func¸a˜o cont´ınua
g, definidas em um intervalo [a, b] e tais que g(x) ≤ f(x), em [a, b] . As ilustrac¸o˜es mostram regio˜es deste tipo.
W.Bianchini, A.R.Santos 323
0
x
0
x
Como g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], enta˜o, f(x)− g(x) ≥ 0 em [a, b]. Assim,∫ b
a
(f(x)− g(x)) dx ≥ 0.
Vamos provar que a integral acima fornece a a´rea A, da regia˜o hachurada. Para isso vamos construir somas de
Riemann para a func¸a˜o h(x) = f(x)− g(x).
Considere uma partic¸a˜o a = x0 < x1< ... < xi−1< xi < ... < xn = b do intervalo [a, b], em n subintervalos iguais
de comprimento ∆x. Seja ci um ponto qualquer de cada subintervalo [ xi−1, xi]. Denotando-se por ∆Ai a a´rea da
regia˜o entre os gra´ficos de f e g, sobre o i-e´simo intervalo [xi−1, xi], enta˜o ∆Ai e´ aproximadamente igual a a´rea de
um retaˆngulo de altura f(ci)− g(ci) e base ∆x, ou seja,
∆Ai = (f(ci)− g(ci))∆x,
como mostra a figura:
iC
–3
–2
–1
0
1
2
3
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x
Somando as a´reas dos n retaˆngulos assim constru´ıdos sobre o intervalo [a, b], temos uma aproximac¸a˜o para a a´rea
A dada por:
n∑
i=1
∆Ai =
n∑
i=1
(f(ci)− g(ci))∆x
A` medida que se aumenta o nu´mero de pontos considerados na partic¸a˜o do intervalo [a, b], esta aproximac¸a˜o se torna
cada vez melhor. Veja esta afirmac¸a˜o ilustrada no diagrama:
x
x x
xx
x
Desse modo,
A = lim
n→∞
n∑
i=1
∆Ai = lim
n→∞
n∑
i=1
(f(ci)− g(ci))∆x.
Note que a soma
n∑
i=1
(f(ci)− g(ci))∆x e´ uma soma de Riemann para a func¸a˜o h(x) = f(x)− g(x), de modo que:
lim
n→∞
n∑
i=1
(f(ci)− g(ci))∆x = lim
n→∞
n∑
i=1
h(ci)∆x =
∫ b
a
h(x) dx =
∫ b
a
f(x)− g(x) dx,
324 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
como quer´ıamos mostrar.
Exemplo 1 Nos exemplos a seguir, calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas dadas
(a) y = x
2
4 , x = 0 e y = 4 (situada no primeiro quadrante). Esta
regia˜o e´ mostrada na primeira figura ao lado.
Soluc¸a˜o A a´rea da regia˜o hachurada e´ dada pela integral∫ 4
0
4− x
2
4
dx = 4x− x
3
12
∣∣∣∣4
0
=
32
3
.
Note que a integral acima pode ser escrita como:∫ 4
0
4− x
2
4
dx =
∫ 4
0
4 dx−
∫ 4
0
x2
4
dx.
0
2
4
2 4x
Geometricamente, a primeira integral calcula a a´rea do quadrado
de lado igual a 4 e a segunda integral calcula a a´rea da regia˜o
sob gra´fico da func¸a˜o x
2
4 , no intervalo [0, 4], ou seja, a a´rea da
regia˜o hachurada e´ a a´rea do quadrado de lado 4 menos a a´rea
hachurada da figura ao lado.
0
2
4
2 4x
(b) y = x2 e y = 2x.
Esta regia˜o corresponde a` parte hachurada da figura ao lado.
A a´rea desta regia˜o e´ dada pela integral
∫ 2
0
2x− x2 dx, pois os
pontos de intersec¸a˜o das curvas y = x2 e y = 2x sa˜o x = 0 e
x = 2. Ale´m disso,como a func¸a˜o F (x) = x2 − x33 e´ uma primi-
tiva da func¸a˜o f(x) = 2x− x2, o teorema fundamental do ca´lculo
garante que∫ 2
0
2x− x2 dx = x2 − x
3
3
∣∣∣∣2
0
= 22 − 2
3
3
=
4
3
.
0
2
4
1 2x
(c) y = x2 − 1 e y = x+ 5. Veja esta regia˜o no gra´fico ao lado.
Para calcular a a´rea da regia˜o hachurada e´ necessa´rio determinar
os pontos de intersec¸a˜o das curvas y = x2 + 1 e y = x+ 5. Para
isto basta resolver a equac¸a˜o x2 + 1 = x+ 5. Usando o comando
solve do Maple, obtemos
> f:=x->x+5:g:=x->x^2-1:
> solve({f(x)=g(x)},x);
{x = −2}, {x = 3}
0
2
4
6
8
–2 –1 1 2 3x
A a´rea da regia˜o hachurada e´ dada, portanto, pela integral:∫ 3
−2
x+ 6− x2 dx = x
2
2
+ 6x− x
3
3
∣∣∣∣3
−2
=
125
6
.
Exemplo 2 Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y2 = 2x e x− y = 4.
Esta regia˜o e´ esboc¸ada na figura ao lado.
Observe que a curva dada pela equac¸a˜o y2 = 2x define, implicita-
mente, duas func¸o˜es de x, a saber: f1(x) =
√
2x e f2(x) = −
√
2x.
Na ilustrac¸a˜o, o gra´fico da func¸a˜o f1 e´ a parte da para´bola y
2 = x,
situada acima do eixo x, e f2 e´ a parte situada abaixo. O ponto
de intersec¸a˜o da func¸a˜o f2 com a reta y = x− 4 e´ o ponto (2,−2),
e o ponto de intersec¸a˜o da func¸a˜o f1 com a mesma reta e´ o ponto
(8, 4). –3
–2
–1
0
1
2
3
4
2 4 6 8x
Assim, a a´rea da regia˜o hachurada e´ dada por:
W.Bianchini, A.R.Santos 325
∫ 2
0
√
2x− (−√2x) dx+
∫ 8
2
√
2x− (x− 4) dx = (2√2x 32 )
∣∣∣2
0
+ (
√
2x
3
2 − x22 + 4x)
∣∣∣8
2
= 18
Outro modo de calcular esta a´rea e´ integrar em
relac¸a˜o a` varia´vel y, isto e´, pensar em y como a
varia´vel independente, como e´ ilustrado no gra´fico ao
lado.
Neste caso a a´rea da regia˜o hachurada pode ser cal-
culada por meio de uma u´nica integral, a saber:∫ 4
−2
y + 4− y
2
2
dy = y
2
2 + 4 y +
y3
6
∣∣∣4
−2
= 18 –2
2
4
6
8
–2 –1 1 2 3 4y
Em resumo Para achar a a´rea de uma regia˜o por integrac¸a˜o, devemos:
1. Esboc¸ar a regia˜o cuja a´rea se quer determinar.
2. Achar os pontos de intersec¸a˜o das curvas que delimitam a regia˜o.
3. Decidir se, para integrar, e´ mais fa´cil considerar faixas verticais ou horizontais, isto e´, se e´ mais fa´cil considerar
a regia˜o limitada por curvas do tipo y = f(x) ou do tipo x = g(y).
4. Expressar a a´rea da regia˜o como uma integral definida, onde os limites de integrac¸a˜o e o integrando sa˜o encon-
trados examinando-se o esboc¸o feito.
5. Resolver a integral resultante.
24.4 A´reas e ca´lculo de probabilidades (opcional)
Em matema´tica, a palavra probabilidade significa uma medida
nume´rica da possibilidade de um certo evento acontecer. Con-
sidere, por exemplo, o alvo desenhado ao lado. Um ponto deste
alvo e´ escolhido ao acaso quando algue´m, com os olhos vendados,
lanc¸a um dardo contra ele. Admitindo-se que e´ ta˜o prova´vel que
o dardo atinja um determinado ponto como um outro qualquer,
a probabilidade de que o ponto escolhido esteja na mosca (regia˜o
central mais escura) deve expressar a raza˜o entre o nu´mero de
pontos existentes na a´rea central e o nu´mero total dos pontos do
alvo.
E´ intuitivamente claro que esta probabilidade e´ igual a` raza˜o entre a a´rea da regia˜o central e a a´rea total do alvo.
Dessa maneira, se os discos acima teˆm raios 1/2, 2 e 4, respectivamente, a probabilidade de que um ponto, escolhido
ao acaso, esteja na regia˜o central e´ de 115 . Do mesmo modo, a probabilidade de que o dardo, lanc¸ado por algue´m de
olhos vendados, atinja a coroa externa mais escura e´ de 14 .
Esta probabilidade, em termos estat´ısticos, significa que, se for feito um grande nu´mero de lanc¸amentos ao acaso, a
raza˜o entre o nu´mero de lanc¸amentos que atingem o aro externo e o nu´mero de lanc¸amentos totais e´ de 1 para 4 e esta
raza˜o teo´rica se aproxima cada vez mais da raza˜o experimental a` medida que aumentamos o nu´mero de lanc¸amentos.
Uma aplicac¸a˜o da integral definida no ca´lculo de probabilidades aparece no ce´lebre problema da agulha de Buffon,
inventado pelo cientista franceˆs Buffon, no in´ıcio do se´culo XVIII. Este problema consiste em calcular a probabilidade
de que uma agulha de L cm de comprimento, lanc¸ada ao acaso num assoalho feito de ta´buas corridas de L cm de
largura, caia atravessando uma das junc¸o˜es.
A posic¸a˜o em que a agulha cai no cha˜o pode ser descrita por duas
varia´veis x e θ, onde x e´ a distaˆncia do ponto me´dio O da agulha
a` junc¸a˜o mais pro´xima e θ e´ o menor aˆngulo que a reta horizontal
que passa pelo ponto me´dio da agulha faz com ela pro´pria. Veja
a figura ao lado, onde a agulha esta´ representada pelo segmento
de reta inclinado e m = L cos(θ)2 .
θ
m
xO
326 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
Repare que um lanc¸amento da agulha corresponde a uma escolha aleato´ria das varia´veis x e θ nos intervalos
[0, L2 ] e [0,
pi
2 ], respectivamente, que, por sua vez, corresponde a uma escolha ao acaso de um ponto no retaˆngulo
[0, L2 ]× [0, pi2 ].
Ale´m disso, a queda da agulha atravessando uma junc¸a˜o das
ta´buas corresponde a` desigualdade x < L cos(θ)2 . Esta desigual-
dade e´ descrita pela regia˜o hachurada sob o gra´fico da func¸a˜o
x = L cos(θ)2 , como mostrado na figura ao lado, no caso particular
em que L = 4. Portanto, a probabilidade de a agulha cair atrav-
essando uma junc¸a˜o das ta´buas e´ igual a raza˜o entre a a´rea da
regia˜o hachurada e a a´rea do retaˆngulo.
0
1
2
1 2
theta
Usando integral definida para calcular a a´rea sob o gra´fico da curva, temos que a probabilidade que queremos
calcular e´ dada por
pi
2
∫ pi
2
0
cos(θ) dθ =
2
pi
.
Essa expressa˜o pode ser usada para estimar, empiricamente, o valor do nu´mero pi. Se realizarmos, de fato, o
experimento de lanc¸ar um nu´mero grande de vezes uma agulha sobre um piso de ta´buas cuja largura e´ igual ao
comprimento da agulha e contarmos, cuidadosamente, o nu´mero k de vezes em que a agulha cai atravessando uma
junc¸a˜o, a probabilidade acima devera´ ser, aproximadamente, igual a` raza˜o kn , onde n e´ o nu´mero de lanc¸amentos
efetuados. Esta aproximac¸a˜o melhora a` medida que o nu´mero de lanc¸amentos cresce. Assim, lim
n→∞
k
n
=
2
pi
. Este limite
significa que o nu´mero pi pode ser aproximado pela raza˜o 2nk , para grandes valores de n. Este me´todo, ale´m de tedioso,
na˜o permite grande precisa˜o pelos erros inerentes em todas as medic¸o˜es.
Outro exemplo do uso de integrais para o ca´lculo de probabilidades pode ser encontrado no Projeto Calculando a
probabilidade de que uma equac¸a˜o quadra´tica tenha ra´ızes reais.
24.5 Volume de um so´lido de revoluc¸a˜o: Me´todo do disco
Um so´lido de revoluc¸a˜o e´ obtido fazendo-se girar uma superf´ıcie plana em torno de um eixo. Esferas, cones, bolas
de futebol e pneus sa˜o so´lidos de revoluc¸a˜o. O volume da esfera ja´ era conhecido desde o se´culo III A.C., quando
Arquimedes empregou uma forma primitiva, bonita e engenhosa de integrac¸a˜o para calcula´-lo. (Veja a sec¸a˜o Um pouco
de Histo´ria.)
Vamos considerar so´lidos de revoluc¸a˜o obtidos girando-se, em torno do eixo x, a regia˜o limitada por uma func¸a˜o
f cont´ınua, positiva e definida em um intervalo fechado [a, b]. Por exemplo, vamos considerar a regia˜o limitada pela
curva y = f(x) = (2− x)3 + 2, pelo eixo x e pelas retas x = a = 1 e x = b = 3, como e´ mostrado na figura a seguir a`
esquerda. Girando-se esta regia˜o em torno do eixo x, obtemos o so´lido mostrado a` direita.
0
1
2
3
4
1 2 3 4
x
–3
–2
–1
1
2
3
1.5 2 2.5 3
–3
–2
0
1
2
3
Neste caso, o eixo x e´ dito eixo de revoluc¸a˜o. O problema que se coloca e´ como calcular o volume de um so´lido
deste tipo?
Se a curva y = f(x) fosse uma reta, o so´lido resultante seriaum cilindro do qual conhecemos o volume. Veja a
figura a seguir, onde a geratriz do cilindro e´ a reta y = 3.
W.Bianchini, A.R.Santos 327
–3
–2
–1
1
2
3
1.5 2 2.5 3
–3
–2
0
1
2
3
Para calcular o volume de um so´lido de revoluc¸a˜o mais geral, isto e´, de um so´lido obtido pela rotac¸a˜o de uma curva
y = f(x) em torno do eixo x, como descrevemos anteriormente, a ide´ia e´ dividir este so´lido por planos perpendiculares
ao eixo x, em fatias muito finas, como e´ mostrado na figura a seguir a` esquerda, e, depois, aproximar o volume de
cada pequena fatia pelo volume de um cilindro. Veja a figura a` direita, onde aproximamos uma dessas fatias por um
cilindro.
–3
–2
0
1
2
3
1.5 2 2.5 3
–2
2
–3
–2
1
2
3
1.5 2 2.5 3
–2
0
2
Para “fatiar” o so´lido de revoluc¸a˜o, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais, isto e´, consideramos a seguinte
partic¸a˜o do intervalo [a, b]:
a = xo ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xi ≤ xi+1 ≤ . . . xn = b ,
onde |xi+1 − xi| = b−an = ∆x. Assim, cada ponto xi desta partic¸a˜o e´ da forma xi = a + i∆x. Logo, a i-e´sima fatia
pode ser aproximada por um cilindro de altura ∆x e raio f(ci), onde ci e´ um ponto qualquer no intervalo [xi−1, xi].
(Repare que, para esta aproximac¸a˜o, estamos considerando a func¸a˜o f constante e igual a f(ci), em cada subintervalo
da partic¸a˜o.) O volume do i-e´simo cilindro e´, portanto, pi f(ci)
2∆x. Enta˜o, uma aproximac¸a˜o para o volume total do
so´lido, denotado por V , pode ser obtida pela soma dos volumes dos n cilindros considerados, isto e´,
V ≈
n∑
i=1
pi f(ci)
2∆x.
Execute, na versa˜o eletroˆnica, a animac¸a˜o que mostra que, a` me-
dida que aumentamos o nu´mero n de cilindros considerados neste
processo, a soma dos volumes dos n cilindros se aproxima, cada
vez mais, do volume que queremos calcular. Execute-a passo a
passo para melhor visualizar esta afirmac¸a˜o! A seguir mostramos
a aproximac¸a˜o obtida quando consideramos cinco subintervalos
na partic¸a˜o, o que corresponde a` construc¸a˜o de cinco cilindros da
maneira descrita anteriormente.
–3
–2
0
1
2
3
1.5 2 2.5 3
–2
2
A soma acima fornece, portanto, o volume de uma sequ¨eˆncia de n cilindros. A` medida que a espessura desses
cilindros tende para zero, a soma se aproxima cada vez mais do volume do so´lido em questa˜o. Podemos concluir,
portanto, que o volume do so´lido e´ dado por
lim
n→∞
n∑
i=1
pi f(ci)
2∆x = lim
∆ x→0
∑
i
pi f(ci)
2∆x .
Como ja´ vimos em outros exemplos, tentar calcular somas deste tipo “no brac¸o” na˜o e´ uma tarefa nem muito
fa´cil, nem muito eficiente, mesmo fazendo uso de um programa de computador do tipo do Maple. Podemos fazer algo
melhor que isso! Se estudarmos com afinco os cap´ıtulos anteriores, podemos observar, sem dificuldade, que a soma∑n
i=1 pi f(ci)
2∆x e´ uma soma de Riemann para a func¸a˜o y = pi f(x)2, portanto, o limite acima nada mais e´ do que a
integral desta func¸a˜o, isto e´,
V = lim
n→∞
n−1∑
i=0
pi f(ci)
2∆x =
∫ 3
1
pi f(x)2 dx
328 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
e, grac¸as ao teorema fundamental do ca´lculo, podemos calcular esta integral sem necessidade de usar limites de
nenhuma espe´cie. Podemos, agora, com a ajuda do Maple e usando a igualdade acima, verificar, facilmente, que o
volume do so´lido obtido no caso que estamos estudando e´ dado por
V =
∫ 3
1
pi ((2− x)3 + 2)2 dx = 26, 03033913
Resolva voceˆ esta integral e comprove o resultado acima por seus pro´prios meios!
Conclusa˜o Para uma func¸a˜o qualquer f , cont´ınua e positiva em [a, b], o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido
ao girarmos a regia˜o limitada pelo gra´fico de f , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b em torno do eixo x e´ dado por
lim
n→∞
n∑
i=1
pi f(ci)
2∆x =
∫ b
a
pi f(x)2 dx.
Um resultado semelhante poderia ser obtido considerando-se uma func¸a˜o x = g(y) cont´ınua, definida em um inter-
valo [c, d]: girando-se a regia˜o limitada por g, pelo eixo y e pelas retas y = c e y = d em torno do eixo y, o volume V,
do so´lido de revoluc¸a˜o obtido, e´ dado por
V =
∫ d
c
pi g(y)2 dy
Exemplo 1
Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do so´lido gerado pela revoluc¸a˜o, em torno do eixo x, da regia˜o sob o gra´fico
de f , de −1 a 1.
Soluc¸a˜o A figura a seguir ilustra o so´lido obtido e uma fatia cil´ındrica t´ıpica.
–2
–1
1
2
–1
–0.5
0.5 1
–2
1
2
Como o raio de cada fatia cil´ındrica e´ dado por f(xi) = xi
2 + 1 para algum ponto do subintervalo considerado,
temos que seu volume sera´ dado por pi (xi
2 + 1)2∆x. Assim, o volume do so´lido sera´
V =
∫ 1
−1
pi (x2 + 1)2 dx = pi
∫ 1
−1
x4 + 2x2 + 1 dx = pi
[
x5
5
+
2x3
3
+ x
]1
−1
=
56pi
15
Exemplo 2 Calcule o volume do so´lido gerado pela revoluc¸a˜o da regia˜o limitada por y = x3, y = 1, y = 8 e o eixo
y, em torno deste eixo.
Soluc¸a˜o A figura a seguir ilustra o so´lido e uma fatia cil´ındrica t´ıpica.
–2
2
3
4
5
6
7
8
–2–112
Como o raio da fatia cil´ındrica t´ıpica, neste caso, e´ dado por f(yi) = yi
1
3 para algum ponto do subintervalo con-
siderado, temos que seu volume sera´ dado por pi (yi
1
3 )2∆ y. Assim, o volume do so´lido sera´
∫ 8
1
pi (y
1
3 )
2
dy. Resolvendo
esta integral temos que
V = pi
∫ 8
1
y2/3 dy = pi 35 y
5
3
∣∣∣8
1
= pi (
24
5
82/3 − 3
5
).
W.Bianchini, A.R.Santos 329
24.6 Volume de um anel de revoluc¸a˜o
Considere uma regia˜o do plano limitada acima pela curva y = f(x) e abaixo pela curva y = g(x), onde f e g sa˜o duas
func¸o˜es cont´ınuas e positivas (veja figura a seguir a` esquerda). Ao girarmos esta regia˜o em torno do eixo x, obtemos
um so´lido de revoluc¸a˜o, chamado anel de revoluc¸a˜o (figura a` direita).
0
1
2
3
4
1 2 3 4
x
–3
–2
–1
1
2
3
1
2
3
O volume do anel sera´ dado, enta˜o, pela diferenc¸a entre o volume do so´lido obtido ao girarmos a regia˜o limitada
pela curva y = f(x), definida no intervalo [a, b], pelas retas x = a e x = b, e pelo eixo x (figura a seguir a` esquerda), e
o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido ao girarmos, em torno do mesmo eixo, a regia˜o limitada pela curva y = g(x),
pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b (figura a` direita).
–3
–2
–1
1
2
3
1
2
3
–3
–2
–1
1
2
3
1
2
3
Assim, o volume do anel de revoluc¸a˜o e´ dado por∫ b
a
pi f(x)2 dx−
∫ b
a
pi g(x)2 dx =
∫ b
a
pi (f(x)2 − g(x)2) dx.
Exemplo 1 Determine o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela revoluc¸a˜o, em torno do eixo x, da regia˜o
limitada pelos gra´ficos de x2 = y − 2, 2 y − x− 2 = 0, x = 0 e x = 1.
Soluc¸a˜o Como a rotac¸a˜o e´ feita em torno do eixo x, e´ necessa´rio exprimir y como uma func¸a˜o de x. Assim, a
primeira equac¸a˜o dada e´ equivalente a y = x2 + 2 e a segunda, a y = x2 + 1. Um esboc¸o da regia˜o limitada pelo gra´fico
dessas func¸o˜es e pelas retas dadas e´ mostrado na figura a seguir a` esquerda. O so´lido obtido pela revoluc¸a˜o desta
regia˜o em torno do eixo x e´ mostrado na figura a` esquerda.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x
–3
–2
0
1
2
3
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
2
O volume deste so´lido sera´ dado por
V =
∫ 1
0
pi [(x2 + 2)2 − (x
2
+ 1)2] dx = pi
∫ 1
0
[x4 +
15x2
4
− x+ 3] dx.
Como F (x) = x
5
5 +
5 x3
4 − x
2
2 + 3x e´ uma primitiva da func¸a˜o f(x) = x
4 + 15 x
2
4 − x+ 3, a integral acima e´ igual a
F (1)− F (0) = 79pi20 .
Exemplo 2 Determine o volume do so´lido gerado pela revoluc¸a˜o da mesma regia˜o descrita no Exemplo 1 em
torno da reta y = 3.
Soluc¸a˜o Girar a regia˜o dada em torno da reta y = 3, e´ equivalente a girar a regia˜o limitada pelasfunc¸o˜es
y = x2 + 2− 3 = x2 − 1 e y = x2 + 1− 3= x2 − 2 em torno do eixo x, isto e´, a transladar verticalmente toda a regia˜o,
treˆs unidades para baixo, de modo que a reta y = 3 passe a coincidir com o eixo x. Veja os gra´ficos:
330 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x
–3
–2.8
–2.6
–2.4
–2.2
–2
–1.8
–1.6
–1.4
–1.2
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
y
x
Raciocinando como no item anterior, temos que o volume do so´lido gerado pela revoluc¸a˜o desta nova regia˜o em
torno do eixo x e´ dado por
V = pi
∫ 1
0
[(
x
2
− 2)2 − (x2 − 1)2] dx = pi
∫ 10
0
[3− 2x+ 9x
2
4
− x4] dx = 51pi
20
Exemplo 3 Determine o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o do primeiro quadrante,
limitada pelos gra´ficos de y = x
3
8 e y = 2x, em torno do eixo y.
Soluc¸a˜o : A figura seguinte, a` esquerda, mostra a regia˜o a ser girada em torno do eixo y e a figura a` direita, o
so´lido de revoluc¸a˜o obtido.
0
2
4
6
8
y
1 2 3 4 5x
–5
5 1
2
3
4
5
–8–6–4–2246
8
Como devemos integrar em relac¸a˜o a y, expressamos as equac¸o˜es dadas como func¸o˜es do tipo x = g(y). Assim
temos, respectivamente, que x = 2 y
1
3 e x = y2 .
Os pontos de intersec¸a˜o destas duas curvas sa˜o y = 0 e y = 8. Da´ı, o volume do so´lido resultante da rotac¸a˜o desta
regia˜o em torno do eixo y sera´ dado por
V = pi
∫ 8
0
[4 y
2
3 − y
2
4
] dy =
512pi
15
24.7 Comprimento de arco
O problema da retificac¸a˜o de arcos
Um arco e´ a parte de uma curva que esta´ entre dois pontos, A e B, especificados. Fisicamente, e´ fa´cil calcular o
comprimento de um arco de uma determinada curva. Esticamos um pedac¸o de barbante, ajustando-o a` curva de A
ate´ B; “endireitamos”, isto e´, retificamos o fio, e medimos o seu comprimento com uma re´gua (da´ı o termo retificar
um arco).
Matematicamente, o problema e´ um pouco mais complicado: na realidade, e´ poss´ıvel dar exemplo de uma curva
cont´ınua, que na˜o tem comprimento definido! Esse fato, bastante surpreendente, sugere que a teoria necessa´ria ao
ca´lculo de comprimentos de arcos e´ mais complicada do que parece.
Embora, desde a Antiguidade ja´ fosse conhecido o comprimento de um arco de circunfereˆncia, ate´ meados do
se´culo XVII pensava-se que o problema de retificac¸a˜o de curvas alge´bricas era imposs´ıvel de ser resolvido. Em 1650,
William Neil, usando te´cnicas do ca´lculo diferencial e integral, calculou pela primeira vez o comprimento de um arco
da para´bola semicu´bica y2 = x3.
O me´todo empregado no ca´lculo de comprimentos de arcos consiste em um procedimento de aproximac¸a˜o e passagem
ao limite, que se presta a um tratamento matema´tico, como e´ descrito na pro´xima sec¸a˜o.
Calculando comprimentos de arcos
Dizemos que uma curva no plano xy, descrita pelo gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x), e´ suave ou lisa quando f tem
derivada cont´ınua em todos os pontos. De um modo intuitivo, isto significa que uma pequena variac¸a˜o em x produz
W.Bianchini, A.R.Santos 331
uma pequena variac¸a˜o no coeficiente angular f ′(x), da tangente ao gra´fico de f . Assim, na˜o ha´ bicos no gra´fico de
uma func¸a˜o suave.
O problema que se coloca e´ como calcular o comprimento de arco entre dois pontos A e B de uma curva lisa.
Obviamente, se a curva dada fosse um segmento de reta, o comprimento seria dado pela distaˆncia entre as suas
extremidades. (Se f e´ suave em um intervalo fechado [a,b], os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) sa˜o chamados
extremidades do arco AB.)
A ide´ia, enta˜o, e´ dividir a curva em pequenos segmentos de reta e aproximar o comprimento do arco em questa˜o
pela soma do comprimento de cada um destes pequenos segmentos de reta. Isto e´, aproximamos o comprimento do
arco pelo comprimento de uma poligonal de n lados, cujos ve´rtices esta˜o sobre o arco dado.
Para diminuir o erro cometido nesta aproximac¸a˜o, basta dividir o arco em um nu´mero maior de segmentos. Ou
seja, a` medida que n cresce, o comprimento da poligonal se aproxima cada vez mais do comprimento do arco em
questa˜o.
Para precisar matematicamente esta ide´ia, vamos considerar uma
partic¸a˜o regular do intervalo [a, b], ou seja, vamos dividir o intervalo
[a, b] em n partes iguais, a saber, a = xo < x1 < ... < xn−1 < xn = b,
onde cada subintervalo [xi−1, xi] tem o mesmo comprimento, dado por
∆x = xi − xi−1.
A cada ponto da subdivisa˜o do intervalo [a, b] corresponde um ponto
[xi, f(xi)] sobre a curva y = f(x). Estes pontos sera˜o os ve´rtices da
poligonal. Observe o gra´fico ao lado, onde dividimos o intervalo [a, b]
em cinco partes iguais e constru´ımos a poligonal correspondente. 0
2
4
6
8
10
12
y
1 2 3 4 5x
Veja agora, no diagrama a seguir, como a` medida que n cresce, a poligonal de n lados se aproxima da curva e como
o comprimento desta poligonal se aproxima de um limite. Este limite e´ o comprimento do arco em questa˜o.
 
 
 
 
22.47158240
 
 
 
 
24.51856939
 
 
 
 
11.62591907
 
 
 
 
24.38854155
10.
5.0
10.
5.0
10.
5.0
10.
5.0
10.
5.0
10.
5.0
10.
5.0
10.
5.0
10.
5.0
 
 
 
 
23.91378736
 
 
 
 
23.49181175
 
 
 
 
24.62364094
 
 
 
 
24.25799919
 
 
 
 
24.11035914
A partir desta ide´ia geome´trica, e´ fa´cil obter, analiticamente, uma fo´rmula que fornec¸a o comprimento da poligonal
considerada. O comprimento de cada segmento de reta desta poligonal e´ dado por
distaˆncia(Pi−1, Pi) =
√
(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2 (∗)
Como, por hipo´tese, f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, pelo teorema do valor me´dio aplicado ao subintervalo [xi−1, xi],
existe um ponto ci neste intervalo, tal que,
f(xi)− f(xi−1) = f ′(ci)(xi − xi−1) = f ′(ci)∆x .
Substituindo este valor em (*), temos
distaˆncia(Pi−1Pi) =
√
(∆x)
2
+ [(f ′(ci))∆x]
2
=
√
1 + (f ′(ci))2∆x.
A soma do comprimento de todos os segmentos de reta que compo˜em a poligonal nos dara´ o comprimento total
dela. Assim, o comprimento da poligonal sera´ dado por
n∑
i=1
√
1 + (f ′(ci))
2
∆x
Se, a` medida que aumentarmos o nu´mero n de lados da poligonal, esta soma se aproximar de um limite, o arco sera´
dito retifica´vel e o comprimento L do arco da curva considerada sera´ dado por
lim
n→∞
n∑
i=1
√
1 + (f ′(ci))
2
∆x .
332 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
Lembrando a definic¸a˜o da integral definida, conclu´ımos que:
L = lim
n→∞
n∑
i=1
√
1 + (f ′(ci))
2
∆x =
∫ b
a
√
1 + (f ′(x))2 dx .
Assim, se f e´ uma func¸a˜o suave no intervalo [a, b], a fo´rmula acima fornece o comprimento do arco do gra´fico de
f do ponto A = (a, f(a)) ate´ o ponto B = (b, f(b)).
No caso de um arco de curva suave dado como gra´fico de x = g(y), para y variando no intervalo [c, d], comec¸ando
com uma partic¸a˜o do intervalo [c, d] e usando argumentos ana´logos aos empregados no caso anterior, podemos deduzir
a fo´rmula
L =
∫ d
c
√
1 + (g′(y))2 dy.
A maioria dos matema´ticos lembra das fo´rmulas sem necessidade de memoriza´-las, mas raciocinando de tal forma
que seja ra´pido e fa´cil deduzi-las, sem perigo de errar.
No caso de comprimentos de arcos, se usarmos a notac¸a˜o de Leibniz para derivadas, existe uma abordagem intuitiva
que torna estas fo´rmulas muito mais fa´cil de entender e de memorizar.
Vamos denotar por s o comprimento de arco varia´vel de A ate´
um ponto qualquer na curva. Se denotarmos por ds um pequeno
acre´scimo no comprimento s, isto e´, se entendermos esta grandeza
como a diferencial da func¸a˜o comprimento de arco, ds pode ser
tomado ta˜o pequeno que esta parte da curva se confunde com a
hipotenusade um pequeno triaˆngulo retaˆngulo de catetos dx e
dy, que correspondem a`s mudanc¸as ocorridas nas varia´veis x e y,
quando o comprimento do arco cresce de s para s + ds (veja a
figura ao lado).
dy
ds
dx
Aplicando o teorema de Pita´goras a este pequeno triaˆngulo, temos que ds2 = dx 2 + dy2 e, desta equac¸a˜o simples,
podemos deduzir todas as fo´rmulas de comprimento de arco. Assim,
ds =
√
dx 2 + dy2 =
√
1 + (
dy
dx
)2 dx
Podemos entender, tambe´m, o comprimento total do arco AB como a soma (ou integral) de todos os elementos de
arco ds, quando ds percorre a curva desde A ate´ B. Desse modo, temos que
comprimento do arco AB =
∫ B
A
ds =
∫ b
a
√
1 + (
dy
dx
)2 dx.
Da mesma maneira, tratando x como func¸a˜o de y obtemos
ds =
√
dx 2 + dy2 =
√
(
dx
dy
)2 + 1 dy .
Nesse caso, a integral para o comprimento do arco AB e´ dada por:
∫ B
A
ds =
∫ d
c
√
(
dx
dy
)2 + 1 dy.
E´ muito fa´cil esquecer fo´rmulas, mas e´ quase imposs´ıvel esquecer um conjunto de ide´ias, quando verdadeiramente
compreendidas!
Exemplo Calcule o comprimento de arco da para´bola semi-cu´bica y = x
3
2 no intervalo [0,5].
Soluc¸a˜o: Como
√
1 + (dydx )
2 =
√
1 +
(
3 x
1
2
2
)2
=
√
4+9 x
2 , temos que o comprimento em questa˜o sera´ dado por
l =
∫ 5
0
√
4 + 9x
2
dx =
1
18
∫ 44
4
√
u du =
335
27
W.Bianchini, A.R.Santos 333
24.8 A´rea de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Vamos considerar uma curva suave que esteja acima do eixo x. A rotac¸a˜o desta curva ao redor do eixo x gera uma
superf´ıcie de revoluc¸a˜o. Veja o gra´fico a seguir que mostra a superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva y = 1x2 em torno
do eixo x, para x variando no intervalo [1, 3].
–1
–0.8
–0.6
–0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
–1
1
De um modo geral, uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o e´ a superf´ıcie obtida fazendo-se um arco de curva girar em torno
de uma reta situada no mesmo plano que ele. Nosso problema e´ o de calcular a a´rea de tal superf´ıcie.
Podemos obter uma aproximac¸a˜o para esta a´rea considerando a superf´ıcie gerada pela revoluc¸a˜o, em torno do eixo
x, de uma das poligonais usadas para aproximar o comprimento do arco, descrito pela curva geratriz da superf´ıcie
original. Em cada um dos subintervalos considerados esta rotac¸a˜o gerara´ um tronco de cone, como e´ ilustrado abaixo.
–1
–0.8
–0.6
–0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
–1
1
Desse modo, se conhecermos a a´rea lateral de um tronco de cone, poderemos calcular de um modo razoavelmente
simples a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o.
A a´rea lateral S de um tronco de cone com raio me´dio rm =
r1+r2
2 , onde r1 e r2 sa˜o, respectivamente, os raios
da base menor e da base maior do tronco, e geratriz (altura inclinada) L e´ dada pela fo´rmula S = 2pi rm L. (Veja
Problema 10 ).
Assim, podemos calcular uma aproximac¸a˜o para a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela rotac¸a˜o, em torno do
eixo x, do arco suave y = f(x), com x variando no intervalo [a, b], dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais
de comprimento ∆x e, tal como no estudo que fizemos para o comprimento do arco, aproximar o arco subtendido pelos
pontos Pi = (xi, f(xi)) e Pi−1 = (xi−1, f(xi−1)) pelo comprimento do segmento retil´ıneo que une estes dois pontos,
ou seja,
arco(Pi−1 Pi) ≈ |Pi−1 Pi | =
√
1 + (f ′ (ci))2∆x ,
para algum ponto ci, no i-e´simo subintervalo [xi−1, xi] da partic¸a˜o considerada.
Repare que o tronco de cone obtido pela revoluc¸a˜o deste segmento de reta em torno do eixo x tem geratriz
Li = |Pi−1 Pi| e raio me´dio rmi = f(xi−1)+f(xi)2 . Como a func¸a˜o f e´ cont´ınua e rmi esta´ entre dois valores desta func¸a˜o
(f(xi−1) e f(xi)), o teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas garante que existe um ponto di no intervalo
[xi−1, xi], tal que rmi = f(di). Pela fo´rmula estabelecida para a a´rea de troncos de cones, temos que a a´rea deste
tronco de cone e´ dada por
2pi rmi Li = 2pi f(di)
√
1 + (f ′ (ci))2∆x.
Somando-se as a´reas desses cones obtemos a a´rea da superf´ıcie aproximadora
A =
n∑
i=1
2pi f(di)
√
1 + (f ′ (ci))2∆x .
Se ci e di fossem o mesmo ponto do intervalo [xi−1, xi], enta˜o esta soma seria a soma de Riemann para a integral∫ b
a
2pi f(x)
√
1 + (f ′(x))2 dx .
334 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
Intuitivamente, e´ claro, que embora os nu´meros ci e di na˜o sejam iguais, quando ∆x tende a zero, a diferenc¸a entre
ci e di tambe´m tende a zero, portanto, a soma aproximadora tende para a integral acima, quando ∆x tende a zero.
(Veja Problema 11.)
Tendo em vista o exposto acima, define-se a a´rea A da superf´ıcie gerada pela revoluc¸a˜o em torno do eixo x, do
arco suave y = f(x), para x em [a,b], pela fo´rmula
A = lim
n→∞
n∑
i=1
2pi f(di)
√
1 + (f(ci))2∆x =
∫ b
a
2pi f(x)
√
1 + (f ′(x))2 dx,
desde que o limite acima exista.
Escrevendo-se y em vez de f(x) e ds em vez de
√
1 + ( dfdx )
2 d x podemos abreviar a fo´rmula acima por
A =
∫ b
a
2pi y ds.
Esta u´ltima fo´rmula e´ fa´cil de guardar, se pensarmos em 2pi y ds como a a´rea de um tronco de cone estreito, obtido
pela revoluc¸a˜o do pequeno arco ds em torno do eixo x. Nesse caso, y = f(x) e´ o raio me´dio desse tronco estreito.
Uma fo´rmula semelhante pode ser obtida se girarmos a curva y = f(x), em torno do eixo y. Neste caso, temos que
A =
∫ d
c
2pi y
√
1 + ((f−1)′(y))
2
dy
(Veja Problema 12.)
Exemplo: Um parabolo´ide de revoluc¸a˜o e´ a superf´ıcie obtida ao
girarmos um ramo de para´bola em torno de seu eixo. Ache a
a´rea do pabolo´ide de revoluc¸a˜o obtido pela rotac¸a˜o do arco da
para´bola y = x2, para x em [0,
√
2], em torno do eixo y. Veja ao
lado o gra´fico desta superf´ıcie.
0.5
1
1.5
2
–1
0.5 1
–1
0.51
Soluc¸a˜o Usando a u´ltima fo´rmula dada, tem-se
A = 2pi
∫ √2
0
x
√
1 + (2x)2 dx =
pi
4
∫ 8
0
√
1 + u du =
13pi
3
.
24.9 Trabalho
Quando a bateria do carro descarrega e voceˆ precisa empurra´-lo para que o motor “pegue no tranco”, voceˆ esta´
realizando um trabalho, e o efeito deste trabalho e´ fazer o carro funcionar e se movimentar. Nosso objetivo nesta sec¸a˜o
e´ mostrar o papel da integral no estudo do conceito de trabalho. Quando voceˆ empurra o carro para ele “pegar no
tranco”, o motor vai ser acionado dependendo da forc¸a F que voceˆ esta´ aplicando e da distaˆncia d, durante a qual a
forc¸a F e´ aplicada. Assim , forc¸a e distaˆncia sa˜o os ingredientes na definic¸a˜o de trabalho.
Definic¸a˜o
Quando uma forc¸a constante de mo´dulo F, move um objeto de uma distaˆncia d, enta˜o definimos o trabalho W
realizado pela forc¸a F sobre o objeto como sendo
W = F d
Exemplo 1 Se voceˆ aplica uma forc¸a constante F = 50 N (newtons) para empurrar um carro por uma distaˆncia
de 10 metros, o trabalho realizado sera´:
W = 50 N . 10 m = 500 (N.m) (newtons-metros).
Agora, se uma forc¸a varia´vel F (x) movimenta uma part´ıcula ao longo do eixo x de um ponto a ate´ outro ponto b,
qual o trabalho exercido pela forc¸a F (x)?
A ide´ia e´ fazer uma partic¸a˜o do intervalo [a, b] em n subintervalos suficientemente pequenos nos quais a forc¸a F na˜o
varie muito e possamos aproxima´-la por uma constante. Assim podemos usar a definic¸a˜o acima em cada subintervalo
W.Bianchini, A.R.Santos 335
para obter um valor aproximado do trabalho realizado em cada subintervalo. O trabalho realizado ao longo do intervalo
[a, b] sera´ aproximado pela soma de Riemann dos valores obtidos em cada subintervalo. Tomando-se o limite da soma
de Riemann iremos obter uma integral para o trabalho realizado ao longo de [a, b].
Para isto, considere uma partic¸a˜o x0 = a < x1 < ...< xi−1 < xi < ... < xn= b do intervalo [a, b]. Assim, o trabalho
Wi realizado no subintervalo [xi−1, xi] e´ aproximado por:
Wi ≈ F(ci)∆xi
onde ∆xi = xi − xi−1 e ci e´ um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Somando-se estas aproximac¸o˜es, obte´m-se
a seguinte soma de Riemann, que aproxima o trabalho W realizado ao longo de [a, b]:
W =
n∑
i=1
Wi ≈
n∑
i=1
F(ci)∆xi
Tomando-se o limite quando n→∞, com a condic¸a˜o de que ∆xi → 0, obte´m-se a integral:
W = lim
|∆ xi|→0
n∑
i=1
F(ci)∆xi =
∫ b
a
F(x) dx
Exemplo 2 Suponha que voceˆ deseja tirar a´gua de uma cisterna com 12 metros de profundidade. O balde pesa
2 kg, tem capacidade para 10 litros d’a´gua, e a corda pesa 0,10 kg/m. Acontece que o balde tem um furo no fundo
de modo que ele chega na boca da cisterna com apenas metade de sua capacidade. Suponha que voceˆ puxe o balde
com velocidade constante e que a a´gua saia pelo buraco tambe´m com raza˜o constante. Determine o trabalho realizado
para puxar o balde ate´ a boca da cisterna. Considere que a a´gua pesa 1 kg por litro.
Soluc¸a˜o Considere um sistema de coordenadas com x = 0 na boca da cisterna e x = 12 no n´ıvel d’a´gua. A forc¸a
total F(x) que e´ exigida para puxar o balde, Fb(x), a a´gua, Fa(x), e a corda, Fc(x), e´ dada por:
F(x) = Fa(x) + Fb(x) + Fc(x)
- A forc¸a produzida pelo balde e´ uma constante, uma vez que o peso em qualquer profundidade e´ constante e igual
a 2 kg. Assim, Fb(x) = 2.
- A forc¸a produzida pela corda varia com a profundidade. Quando a corda esta´ esticada x metros, o peso dela sera´
de 0,10 kg/m vezes xm = 0, 1x kg, isto e´, Fc(x) = .1x kg .
- Ja´ que o balde tem um furo vazando a´gua, o peso da a´gua varia com a profundidade x. Quando o balde comec¸a
a subir, ele conte´m 10 litros d’a´gua pesando 10 kg, e quando chega ao topo ele conte´m apenas 5 litros d’a´gua pesando
5 kg. Supondo que o balde sobe a uma velocidade constante v m/s e a a´gua vaza tambe´m a uma raza˜o constante z
kg/s, o tempo t que ele leva para chegar ate´ a boca da cisterna percorrendo 12 m e´ o mesmo tempo para ele ficar com
5 kg de a´gua, o que nos da´:
t =
5
z
=
12
v
i. e.,
z
v
=
12
5
.
Agora, o peso da a´gua restante apo´s um tempo t e´ p = 10− z t e o comprimento da corda e´ x = 12− v t . Resolvendo
esta equac¸a˜o para t, substituindo na equac¸a˜o do peso e usando o fato de que vz =
12
5 , obtemos
p = 10− z (12− x)
v
= 5 +
5x
12
Assim,
Fa(x) = 5 +
5x
12
.
Logo, a forc¸a exigida para puxar o balde, a corda e a a´gua a uma profundidade de x metros e´
F(x) = 5 +
5x
12
+ 2 + 0, 1x = 7 + 0, 52x
Assim, o trabalho realizado para puxar o balde e´
W =
∫ 12
0
7 + 0, 52x dx = 121, 44 m-kg
Exemplo 3 Um reservato´rio de a´lcool tem a forma de um cone circular reto invertido com 10 metros de altura e 8
metros de diaˆmetro no topo. Ele conte´m a´lcool ate´ a altura de 8 metros. Encontre o trabalho realizado para bombear
o a´lcool para o topo do tanque. (A densidade do a´lcool e´ aproximadamente de 1000 kg/ m3)
336 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
Soluc¸a˜o Veja a figura a seguir onde colocamos o eixo x apontando para baixo e a origem no topo. O a´lcool
vai de uma profundidade de 2 ate´ 10 metros. Considerando uma partic¸a˜o 2 = x0 < x1 < x2 < ... < xn = 10 do
intervalo [2, 10] em n partes iguais, tem-se uma divisa˜o do reservato´rio coˆnico em n partes na forma de um tronco de
cone com altura ∆x = 8n . Escolhendo em cada subintervalo [xi−1, xi] , um ponto ci, podemos aproximar o volume
do i-e´simo tronco de cone pelo volume de um cilindro de raio f(ci) e altura ∆x, onde f e´ a func¸a˜o geratriz do cone,
isto e´, f(x) = 2 (10−x)5 .
X
Y
z
2
4
6
8
10
X
Y
Assim,
Vi = pi f(ci)
2∆x =
pi 4 (10− ci)2
25
∆x
e sua massa e´
mi = densidade.volume ≈ 1000pi 4 (10− ci)
2
25
∆x = 160pi (10− ci)2∆x
Assim, o trabalho exigido para bombear este elemento ate´ o topo sera´ igual a Wi = Fi ci = mi g ci, que e´ aproximada-
mente igual a
Wi = [9, 8] 160pi (10− ci)2 ci∆x = 1570pi (10− ci)2 ci∆x.
Logo, o trabalho realizado e´ dado por
W = lim
|∆ x|→0
n∑
i=1
1570pi (10− ci)2 ci∆x =
∫ 10
2
1570pi (10− x)2 x dx = 1570pi 2048
3
.
24.10 Exerc´ıcios
1. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas:
(a) y = x2 e y = −x2 + 4x
(b) y2 = 2x− 2e y = x− 5
(c) y = sen(x) e y = cos(x) , para x em [−pi2 , pi2 ]
(d) y = 2 sen(x) e y = −3 sen(x), para x em [0, 2pi]
(e) y = 1√
1−x2 e y = 0, para x em [−1/2, 1/2]
(f) y = x4 − 2x2e y = 2x2
(g) y = f(x) = x3 − 3x + 3, y = 0, x = a e x = b, onde a e´ o ponto de ma´ximo local de f e b e´ o ponto de
mı´nimo local.
(h) x2 − y2 = a2e x = 2 a
(i) y = |x+ 1 |+ |x |, y = 0, x = −2 e x = 3
(j) y = x2e x2 = 18− y
(k) y = x3, y = 2x e y = x
2. A a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas x = y2 e x = 4 e´ dividida em duas partes iguais pela reta x = a.
Determine a.
3. Calcule c > 0, de modo que a a´rea limitada por y = x2 − c e y = c− x2 seja igual a 9.
4. Cada uma das integrais abaixo representa a a´rea de uma regia˜o R. Fac¸a um esboc¸o da regia˜o e calcule a sua
a´rea.
(a)
∫ 1
0
4x+ 1 dx
(b)
∫ 1
0
4− x2 dx
(c)
∫ 0
−4
x+ 6− (−x
2
) dx+
∫ 2
0
x+ 6− x3 dx
(d)
∫ 1
0
x− x3 dx
(e)
∫ 2
−2
y2 − (2 y2 − 4) dy
W.Bianchini, A.R.Santos 337
5. Nos itens abaixo, esboce a regia˜o limitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas e determine a a´rea dessa regia˜o por
dois processos: (i) integrando em relac¸a˜o a x e (ii) integrando em relac¸a˜o a y.
(a) y = −x2 e y = x2 − 8
(b) y2 = 4− x e x+ 2 y − 1 = 0
(c) 2 y2 = x+ 4 e x = y2
6. Prove que o volume de uma esfera de raio R e´ igual a 4pi R
3
3 .
7. Ao girarmos o segmento de reta y = ax, a > 0, com x no intervalo [h,H], em torno do eixo x, obtemos um
tronco de cone. Calcule seu volume.
8. Determine o volume do elipso´ide gerado pela rotaca˜o da elipse x
2
a2 +
y2
b2 = 1 em torno do eixo x.
9. Calcule o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da curva y =
√
x em torno do eixo y, para y entre 0 e 1.
10. Determine o volume do so´lido gerado pela revoluc¸a˜o da regia˜o limitada pelos gra´ficos de y = x2 e y = 4 em torno:
(a) da reta y = 4 (b) da reta y = 5 (c) da reta x = 2
Sugesta˜o: O volume na˜o se altera se as regio˜es sa˜o transladadas.
11. Cada uma das integrais abaixo representa o volume de uma so´lido de revoluc¸a˜o. Descreva o so´lido correspondente
em cada caso.
(a)
∫ 4
0
pi x2 dx
(b)
∫ 4
0
pi y dy
(c)
pi b2
a2
∫ a
−a
a2 − x2 dx
(d) pi
∫ 1
0
x4 − x6 dx
12. Calcule o volume do so´lido obtido ao girarmos a regia˜o plana limitada por y =
√
4− x2, y = 2√2x e y = −2√2x
em torno do eixo x.
13. Um torneiro vazou uma esfera so´lida de metal de raio 5 cm com uma broca de 6 cm de diaˆmetro, passando o
furo pelo centro da esfera. Determine o volume do so´lido que restou.
14. Num copo cil´ındrico de raio 2 e altura 8 cheio de a´gua, coloca-se um parabolo´ide de revoluc¸a˜o voltado pra cima
com o ve´rtice centrado no fundo do copo. Calcule o volume de a´gua que resta no copo. (O parabolo´ide de
revoluc¸a˜o e´ obtido ao girarmos uma para´bola em torno de seu eixo de simetria.)
15. (a) Para cada x pertencente ao intervalo [0, 1], seja Tx o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o (0, 0), (1, 0) e (x, 1). Que
valor (ou valores) de x fornece o so´lido de volume ma´ximo, quando Tx e´ girado em torno do eixo x?
(b) Suponha que o triaˆngulo Tx seja girado em torno do eixo y. Que valores de x fornecem o so´lido de volume
ma´ximo?
16. Considere as elipses de equac¸a˜o x
2
a2 +
y2
b2 = 1, que tem a soma dos dois semi-eixos igual a 2, isto e´, (a + b) = 2.
Qual dessas elipses giradas em torno do eixo x fornecera´ um elipso´ide de volume ma´ximo?
17. Mostre graficamente que a circunfereˆncia de raio 1 pode ser aproximada por uma poligonale calcule, desse modo,
uma aproximac¸a˜o para o valor de pi. Compare a aproximac¸a˜o que voceˆ achou com o resultado obtido usando a
fo´rmula do comprimento de arco.
18. Em cada caso, estabelec¸a a integral que fornece o comprimento do arco indicado. No esta´gio em que estamos,
voceˆ e´ capaz de calcula´-las?
(a) y =
√
x , para x no intervalo [1, 4]
(b) y = x2 , para x no intervalo [0, 1]
(c) y = x3 , para x no intervalo [0,1]
(d) a parte de y = −x2 + 4x− 3 acima do eixo
x.
19. Ache a a´rea da superf´ıcie gerada pela revoluc¸a˜o da curva dada em torno do eixo indicado:
(a) y =
√
x, para x em [0, 1], em torno do eixo x
(b) y = x3, para x em [1, 2], em torno do eixo x
(c) y = x
5
5 +
1
12 x3 , para x em [1, 2], em torno do eixo y.
20. Voceˆ pode obter uma esfera de raio r fazendo girar o gra´fico de f(x) =
√
r2 − x2, para x variando no intervalo
[−r, r], em torno do eixo x. Calcule a a´rea desta esfera.
21. (a) Calcule o comprimento de arco total da astro´ide x(
2
3 ) + y(
2
3 ) = 1.
(b) Determine a a´rea da superf´ıcie gerada pela revoluc¸a˜o da astro´ide do item anterior em torno do eixo y.
338 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
24.11 Problemas
1. Uma part´ıcula se move ao longo do eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo t
e´ dada por v(t) = sen(2 t). Em t = 0, a part´ıcula esta´ na origem.
(a) No intervalo de tempo [0, pi], ache todos os valores de t para os quais a part´ıcula esta´ se deslocando para a
esquerda.
(b) Determine a posic¸a˜o da part´ıcula em qualquer instante de tempo t.
(c) Determine o valor me´dio da func¸a˜o posic¸a˜o encontrada em (b), no intervalo [0, pi2 ].
2. Uma part´ıcula se desloca ao longo do eixo x com acelerac¸a˜o dada por a(t) = 2 t− 10 + 12t para t ≥ 1.
(a) Sabendo que v(1) = 9, determine a velocidade da part´ıcula para t ≥ 1.
(b) Para que valores de t, no intervalo [1, 3], a velocidade atinge seu valor ma´ximo? Justifique a sua resposta.
(c) Sabendo que s(1) = −16, determine a posic¸a˜o s(t) da part´ıcula para t ≥ 1.
3. Uma part´ıcula se move ao longo do eixo x de tal maneira que a sua acelerac¸a˜o em qualquer instante de tempo
t > 0 e´ dada por a(t) = 18 − 1t2 . Quando t = 1, sua velocidade e´ igual a 916 m/s e sua posic¸a˜o em relac¸a˜o a` origem
e´ 2548 m.
(a) Ache a velocidade da part´ıcula como func¸a˜o do tempo.
(b) Ache a distaˆncia da part´ıcula a` origem em t = 2.
4. Seja R a regia˜o limitada pelo gra´fico de (x− 4)2 + y2 = 9.
(a) Exprima a a´rea A de R como uma integral.
(b) Determine A sem integrar.
5. Se A e´ a a´rea da regia˜o limitada pelos gra´ficos de 2x+ 3 y = 6, x = 0 e y = 0, exprima o valor de A como uma
integral. Determine o valor de A sem integrar.
6. Calcule os valores de m para os quais a reta y = mx e a curva y = xx2+1 delimitam uma regia˜o fechada. Calcule
a a´rea de tal regia˜o.
7. Calcule a a´rea acima do eixo x, limitada pela curva y = 1x2 e pelas retas x = 1 e x = b, onde b e´ um nu´mero
qualquer maior que um. O que acontece com essa a´rea quando b→∞?
8. Resolva o problema anterior para a regia˜o limitada pelas mesmas retas e pela curva y = 1xp , onde p e´ um nu´mero
positivo maior que um. O que acontece quando p e´ um nu´mero positivo menor que um?
9. Se lim
∆ x→0
∑
i
pi xi
4∆x representa o limite de uma soma de Riemann para uma func¸a˜o f no intervalo [0, 1], resolva
os ı´tens abaixo:
(a) Determine o valor do limite.
(b) Interprete o limite como a a´rea de uma regia˜o do plano xy.
(c) Interprete o limite como o volume de um so´lido de revoluc¸a˜o.
10. Mostre por cada um dos me´todos a seguir que a a´rea de um cone circular reto cuja geratriz tem comprimento l
e cuja base tem raio r e´ pi r l.
(a) Corte o cone ao longo de uma das suas geratrizes e “desenrole-o”. Sua superf´ıcie forma, enta˜o, uma frac¸a˜o
de um c´ırculo de raio l, cuja a´rea voceˆ pode calcular facilmente.
(b) Imagine que o cone e´ constitu´ıdo por n triaˆngulos de altura l e base 2pi rn (esta hipo´tese se torna cada vez
melhor a` medida em que n cresce). Deduza a partir deste racioc´ınio a fo´rmula para a a´rea da superf´ıcie do
cone.
(c) Da fo´rmula obtida para a a´rea da superf´ıcie do cone, deduza uma fo´rmula para a a´rea de um tronco de
cone reto com raios r1(base menor) e r2(base maior) e geratriz (altura inclinada) L. (A a´rea de um tronco
de cone pode ser obtida como a diferenc¸a das a´reas de dois cones um com base r2 e geratriz L2, e o outro
com base r1 e geratriz L1 = L2 − L ).
W.Bianchini, A.R.Santos 339
11. Este problema se destina a formalizar as ide´ias intuitivas empregadas para estabelecer a fo´rmula para a a´rea de
uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o.
(a) Suponha que
∣∣∣ dfdx ∣∣∣ ≤M em [a, b]. Mostre a partir do teorema do valor me´dio que
|f(x1)− f(x2)| ≤M |x1 − x2| ,
se x1 e x2 esta˜o em [a, b].
(b) Suponha que xi−1 ≤ ci ≤ xi. Mostre que
| f(xi) + f(xi−1)− 2 f(ci)| ≤ 2M |xi − xi−1 | ,
isto e´, que f(xi) + f(xi−1) na˜o pode diferir de 2 f(ci) por mais do que 2M(xi − xi−1).
(c) Mostre que se todos os intervalos na partic¸a˜o a = x0 < ... < xn = b teˆm comprimentos menores ou iguais
a ∆x, enta˜o cada termo da soma
(∗)
∑
i
pi (f(xi) + f(xi−1))
√
1 + (f ′(ci))2∆xi
difere do termo correspondente da soma∑
i
2pi f(ci)
√
1 + (f ′(ci))2∆xi
por na˜o mais que 2piM ∆x
√
1 +M2∆xi.
(d) Mostre que a diferenc¸a entre as duas somas anteriores e´ menor ou igual a
2piM ∆x
√
1 +M2 (b− a)
e, portanto, e´ desprez´ıvel quando ∆x e´ pequeno. Assim, tanto (*) quanto (**) tendem para o mesmo limite
quando ∆x tende para zero.
12. Prove a fo´rmula A =
∫ d
c
2pi x
√
1 + ( dfdx )
2 dx para a a´rea de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o da
curva suave y = f(x), em torno do eixo y, para x em [a, b].
13. Resolva o exemplo 3 com o reservato´rio tendo a forma de uma esfera com 5 metros de raio e estando totalmente
cheio.
24.12 Um pouco de histo´ria
No se´culo III A.C., Arquimedes considerou a esfera como um so´lido de revoluc¸a˜o ao estabelecer a sua famosa fo´rmula
V = 4pi r
3
3 para o volume de uma esfera de raio r.
Para chegar a este resultado, Arquimedes utilizou troncos de cones, do modo como foi feito nesta sec¸a˜o para o
ca´lculo de a´reas de superf´ıcies de revoluc¸a˜o, e na˜o cilindros, como fizemos para o ca´lculo de volumes.
Ale´m de descobrir o volume de uma esfera, Arquimedes encontrou tambe´m a a´rea de sua superf´ıcie, relacionando
estas duas quantidades de uma forma brilhante. Sua ide´ia foi dividir a esfera so´lida em um grande nu´mero de pequenas
“piraˆmides” da maneira descrita a seguir.
Imagine a superf´ıcie da esfera dividida em muitos pequenos ”triaˆngulos”. Como na˜o ha´ linhas retas na superf´ıcie
esfe´rica, estas pequenas figuras na˜o sa˜o triaˆngulos de verdade, no entanto, se elas forem suficientemente pequenas cada
figura esta´ em um plano aproximador e pode ser considerada, aproximadamente, como triaˆngulos. Suponha que cada
“triaˆngulo” seja usado como base de uma piraˆmide de altura r (raio da esfera) e com ve´rtice no centro da esfera. Se
Ak e´ a a´rea da base de uma destas pequenas “piraˆmides” e Vk o seu volume, sabemos que Vk =
Ak r
3 , para todo k (este
fato foi descoberto por Demo´crito, em V A.C.). Assim,
n∑
k=1
Vk =
n∑
k=1
Ak r
3
= (
r
3
) (
n∑
k=1
Ak) .
Como todas as piraˆmides preenchem a esfera so´lida, esta fo´rmula nos diz que o volume da esfera e a sua a´rea esta˜o
relacionados pela equac¸a˜o
V =
Ar
3
.
340 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
Ao descobrir o volume da esfera, Arquimedes, usando esta fo´rmula, concluiu tambe´m, que
4pi r3
3
=
Ar
3
.
Logo, A = 4pi r2 e´ a a´rea da esfera de raio r.
24.13 Para voceˆ meditar
24.13.1 Regio˜es ilimitadas teˆm, necessariamente, a´reas infinitas?
O teorema fundamental do ca´lculona˜o se aplica ao ca´lculo de integrais definidas em intervalos onde o integrando na˜o
seja uma func¸a˜o cont´ınua. Em especial, na˜o e´ poss´ıvel aplicar este teorema para o ca´lculo de integrais em intervalos
onde o integrando se torna ilimitado. Um exemplo deste tipo de situac¸a˜o foi explorado no Problema 7 do Cap. 22.
Naquele problema, ao aplicar o teorema fundamental do ca´lculo para resolver a integral
∫ 1
−1
1
x2 dx, obtivemos para ela
um valor negativo, o que e´, evidentemente, um absurdo, visto ser o integrando sempre positivo. No entanto, usando
um processo de limite, e´ poss´ıvel calcular esta integral de uma maneira bastante fa´cil e intuitiva. Sua tarefa e´ descobrir
como isto e´ poss´ıvel. (O Problema 7, deste cap´ıtulo fornece uma pista de como isto pode ser feito.)
Use suas concluso˜es para calcular a integral acima. Interprete o resultado obtido como a a´rea de uma regia˜o do
plano. Voceˆ e´ capaz de achar um exemplo de uma regia˜o ilimitada cuja a´rea seja finita?
24.13.2 Volumes iguais?
Sejam T e T ′ triaˆngulos com um dos seus lados sobre o eixo x. Se T e T ′ teˆm a mesma a´rea, os so´lidos obtidos quando
estes triaˆngulos sa˜o girados em torno do eixo x tera˜o o mesmo volume?
24.13.3 A raiz quadrada de 2 e´ igual a 1?
Qualquer que seja o arco de curva definido pelo gra´fico de uma func¸a˜o suave y = f(x), desde o ponto A = (a, f(a))
ate´ o ponto B = (b, f(b)), existe uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es escada (veja no Cap. 22 na sec¸a˜o Para voceˆ meditar) que
converge para o arco em questa˜o. Execute a animac¸a˜o do texto eletroˆnico ou examine os gra´ficos a seguir que ilustram
passo a passo esta ide´ia para a func¸a˜o y = x.
1.
1.0
1.
1.0
1.
1.0
1.
1.0
1.
1.0
1.
1.0
Em cada passo, a soma dos comprimentos dos n segmentos de reta que compo˜em a func¸a˜o degrau e´ igual a 1,
pois esta soma e´ igual ao comprimento do intervalo [0, 1]. Como esta sequ¨eˆncia de func¸o˜es converge para a diagonal
do quadrado de lado 1, temos que
√
2 = 1, pois, no limite, a soma dos n segmentos de reta, que e´ sempre constante
e igual a 1, deve convergir para a diagonal do quadrado unita´rio. Se temos certeza que
√
2 6= 1, onde esta´ o erro do
racioc´ınio acima?
24.14 Projetos
24.14.1 Calculando a probabilidade de que uma equac¸a˜o
quadra´tica ter ra´ızes reais
O objetivo deste projeto e´ calcular a probabilidade P de que uma equac¸a˜o quadra´tica do tipo x2 + b x+ c = 0, onde
b e c sa˜o constantes aleato´rias reais, tenha ra´ızes reais.
Para isso siga os seguintes passos:
W.Bianchini, A.R.Santos 341
1. Determine a condic¸a˜o alge´brica sobre os coeficientes c e b para que a equac¸a˜o acima tenha ra´ızes reais.
2. Determine, graficamente, a regia˜o do plano bc que satisfaz a condic¸a˜o anterior, isto e´, marque no eixo das abscissas
os valores de b e, no das ordenadas, os valores de c e determine a regia˜o que satisfaz a condic¸a˜o imposta.
3. Reduza o problema dado ao problema mais simples de calcular a probabilidade P (N) de os valores de b e de c,
escolhidos aleatoriamente num retaˆngulo do tipo [−N,N ], ca´ırem na regia˜o que satisfaz a condic¸a˜o imposta no
primeiro item.
4. Resolver o problema proposto originalmente e´ equivalente a permitir que, no valor calculado no item anterior,
N aumente sem limite. Calcule P e interprete em termos estat´ısticos o resultado encontrado.
5. Os comandos a seguir calculam as ra´ızes da equac¸a˜o x2 + b x+ c = 0 , onde os coeficientes b e c sa˜o nu´meros
no intervalo [−1, 1], gerados aleatoriamente. Execute estes comandos um grande nu´mero de vezes, por exemplo
100 vezes, e verifique, experimentalmente, que a probabilidade P (N) (N = 1) que voceˆ encontrou esta´ correta.
Repita esta tarefa para valores sucessivamente maiores de N e verifique, tambe´m, que a` medida que o valor de
N aumenta, P (N) se aproxima cada vez mais de P .
> N:=1:
> n1:=rand():n2:=rand(1..2):n3:=rand():
> b:=N*evalf(n1()*(-1)^(n2())/10^12);
> c:=N*evalf(n3()*(-1)^(n2())/10^12)
> ;
> solve(x^2+b*x+c,x);
b := −.009104967988
c := .4668664455
.004552483994− .6832610924 I, .004552483994 + .6832610924 I
6. A equac¸a˜o quadra´tica mais geral a x2 + b x+ c = 0 pode ser reduzida ao caso anterior dividindo-se ambos os
membros por a 6= 0. No entanto, neste caso, a probabilidade das ra´ızes desta equac¸a˜o serem reais diminui
bastante. Comprove experimentalmente esta afirmac¸a˜o executando os comandos abaixo um grande nu´mero de
vezes e justifique este fato mesmo que intuitivamente.
> N:=1:
> n1:=rand():n2:=rand(-1..0):n3:=rand():n4:=rand():
> b:=N*evalf(n1()*(-1)^(n2())/10^12);c:=N*evalf(n3()*(-1)^(n2())/10^12)
> ;a:=N*evalf(n4()*(-1)^(n2())/10^12);
> solve(x^2+b/a*x+c/a,x);
b := .1079981641
c := .5820868907
a := −.2641263567
−1.294094224, 1.702982475
24.14.2 Volumes de so´lidos: sec¸o˜es retas
Suponha que um so´lido qualquer esteja situado entre dois planos perpendiculares ao eixo x, um em x = a e outro em
x = b. Se um plano perpendicular ao eixo x intercepta o so´lido, a regia˜o comum ao plano e ao so´lido e´ chamada sec¸a˜o
reta ou sec¸a˜o transversa do so´lido.
Todas as sec¸o˜es transversas de so´lidos de revoluc¸a˜o obtidas pela intersec¸a˜o de planos perpendiculares ao eixo de
revoluc¸a˜o com o so´lido sa˜o circunfereˆncias. A figura a` esquerda ilustra esta afirmac¸a˜o no caso do so´lido ser um cone
de revoluc¸a˜o. Esta propriedade foi usada neste cap´ıtulo ao obtermos uma fo´rmula para o ca´lculo do volume de so´lidos
de revoluc¸a˜o. Quando todas as sec¸o˜es retas de um so´lido forem iguais, o so´lido sera´ considerado um cilindro. A figura
a seguir a` direita mostra um cilindro onde todas as sec¸o˜es retas sa˜o para´bolas ideˆnticas.
342 Cap. 24. Aplicac¸o˜es da Integral Definida
–15
–10
–5
5
10
15
2 4 6 8 10 12 14
10
100
200
300
400
500
0.2 0.4 0.6 0.8 1
–10
510
Se estamos interessados apenas na parte do gra´fico limitada pelos planos que passam pelos pontos de coordenadas
x = a e x = b (na figura da direita, a = 0 e b = 1), enta˜o as sec¸o˜es transversas, limitadas por estes planos, sa˜o
chamadas bases do cilindro e a distaˆncia entre as bases e´ a sua altura.
O objetivo deste projeto e´ estabelecer uma fo´rmula para calcular volumes de cilindros e de so´lidos mais gerais, isto
e´, de so´lidos tais que a a´rea das sec¸o˜es retas seja dada por uma func¸a˜o A(x), onde A e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b].
1. Estabelec¸a uma fo´rmula para calcular volumes de cilindros sendo conhecidas a a´rea da sua base e a altura. Como
caso especial, mostre que o volume de um cilindro circular reto com raio da base r e altura h e´ pi r2 h.
2. Utilizando a ide´ia de dividir o so´lido em fatias finas e aproximar o seu volume somando os volumes de cada uma
dessas fatias, estabelec¸a uma fo´rmula para calcular o volume de um so´lido cuja a´rea de cada sec¸a˜o reta seja dada
por A(x), onde A e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b].
3. O cone mais geral e´ gerado por todas as retas que passam por um ponto dado V (o ve´rtice) e por uma regia˜o
plana dada (a base). Imagine um eixo vertical com origem em V e a base B de um cone contida no plano y = h.
Mostre que a a´rea da sec¸a˜o reta passando por y0 e´ (
yo
h )
2A, onde A e´ a a´rea da base dada B. Use este resultado
e a fo´rmula que voceˆ obteve no item anterior para mostrar que o volume de um cone e´ Ah3 .
4. Determine, por integrac¸a˜o, o volume de uma piraˆmide reta se a sua altura e´ h e a base um retaˆngulo de lados a
e 2a.
5. Mostre que a fo´rmula obtida para calcular volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o pelo me´todo do disco e´ um caso
particular do me´todo das sec¸o˜es retas, onde cada sec¸a˜o reta e´ um disco cujo raio e´ conhecido.
6. Demonstre o teorema de Cavalieri : “Se dois so´lidos teˆm alturas iguais e se todas as sec¸o˜es transversas por planos
paralelos a`s suasbases e a` mesma distaˆncia delas teˆm a´reas iguais, enta˜o os so´lidos teˆm o mesmo volume”.
24.14.3 Volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o: me´todo das cascas cil´ındricas
O me´todo das sec¸o˜es retas (projeto anterior) e´ geral e se aplica, teoricamente, a qualquer problema de ca´lculo de
volume de so´lidos, isto e´, e´ sempre verdade que V =
∫ b
a
A(x) dx. No entanto, na pra´tica, esta fo´rmula na˜o e´ muito u´til.
Considere, por exemplo, o so´lido gerado pela revoluc¸a˜o da regia˜o limitada pelo gra´fico da func¸a˜o y = cos(x) e pelas
retas x = 0 e x = pi2 , em torno do eixo y. O volume de tal so´lido sera´ dado por
∫ 1
0
A(y) dy =
∫ 1
0
pi [arccos(y)]2 dy. Esta
u´ltima integral e´ bastante dif´ıcil de calcular.
O objetivo deste projeto e´ ilustrar um outro me´todo, u´til em
muitas situac¸o˜es, para calcular volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o.
Em vez de aproximarmos o so´lido por discos finos, a ide´ia e´
aproxima´-lo por cascas cil´ındricas finas, por este motivo este
me´todo e´ chamado me´todo das cascas cil´ındricas.
Uma casca cil´ındrica e´ a regia˜o obtida ao girarmos em torno do
eixo y um retaˆngulo com base sobre o eixo x. Veja a figura ao
lado
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1
–0.5
0.5
1
–1
–0.5
0.5
1
Como dissemos acima, a ide´ia e´ aproximar o volume do so´lido que queremos calcular pela soma do volume de
cascas cil´ındricas muito finas. Assim, podemos aproximar o volume de um so´lido gerado pela revoluc¸a˜o em torno do
eixo y, de uma regia˜o limitada pelo gra´fico da func¸a˜o y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, pela soma
dos volumes de i cascas cil´ındricas conceˆntricas, cujas espessuras recobrem o intervalo [a, b], de tal modo que a altura
da i-e´sima casca seja dada por f(xi). A` medida que a espessura de cada casca se aproxima de zero, a soma de seus
volumes se aproxima cada vez mais do volume do so´lido, da mesma forma como as camadas conceˆntricas de uma
cebola preenchem o seu volume. Veja a figura a seguir, onde esta ide´ia e´ ilustrada.
W.Bianchini, A.R.Santos 343
1. Mostre que a a´rea de um anel circular de raios r1 e r2 e´ dada por
pi (r2
2 − r12) = pi (r2 − r1) (r2 + r1) = 2pi rm∆ r,
onde rm e´ o raio me´dio do anel e ∆ r a sua espessura.
2. Mostre que o volume de uma casca cil´ındrica de raios r1 e r2 e altura h e´ dada por
pi h (r2 − r1) (r2 + r1) = 2pi h rm∆ r
3. Seja A o conjunto {(x, y); a ≤ x ≤ b e g(x) ≤ y ≤ f(x)}, onde a ≥ 0 e g ≤ f no intervalo [a, b]. Um so´lido
de revoluc¸a˜o e´ gerado fazendo-se A girar em torno do eixo y. Mostre que o volume do so´lido e´ dado por∫ b
a
2pi x (f(x)− g(x)) dx.
4. Use a fo´rmula acima para determinar o volume do so´lido gerado pela revoluc¸a˜o da regia˜o limitada pelos gra´ficos
de y = 4− x2 e y = 0, em torno do eixo y.
5. Um anel esfe´rico e´ o so´lido que permanece apo´s a perfurac¸a˜o de um buraco atrave´s de uma esfera so´lida. Se a
esfera tem raio a e o anel altura h, prove o fato nota´vel de que o volume do anel depende de h, mas na˜o de a.
24.14.4 Usando matema´tica para modelar um objeto real
Muitos objetos com que lidamos na vida cotidiana sa˜o exemplos de so´lidos de revoluc¸a˜o. Uma forma de pudim e´
exemplo de um desses objetos. O objetivo deste projeto e´ descrever um objeto real, no caso uma foˆrma de pudim,
como um so´lido de revoluc¸a˜o e obter o seu volume pelos me´todos tratados neste cap´ıtulo. Para isso, siga os seguintes
passos:
1. Aproxime a sec¸a˜o reta da forma por uma func¸a˜o conhecida.
2. Seja f uma func¸a˜o positiva, definida num intervalo [a,b]. Sabemos que, no plano yz, onde z e´ o eixo vertical
e y o horizontal, a regia˜o limitada pelo gra´fico da func¸a˜o z = f(y) e pelo eixo y, ao ser girada em torno do
eixo z, gera um so´lido de revoluc¸a˜o. A superf´ıcie deste so´lido pode ser descrita em func¸a˜o dos paraˆmetros y e
do aˆngulo de giro t. Mostre que as coordenadas de um ponto gene´rico desta superf´ıcie podem ser dadas por
(y sen(t), y cos(t), f(y)).
3. Use a func¸a˜o obtida no primeiro item e o comando plot3d do Maple para visualizar a sua forma de pudim. Para
isso, no comando abaixo substitua f(y) pela func¸a˜o que voceˆ definiu no primeiro item e as constantes a e b pelo
correto intervalo de variac¸a˜o de y.
> plot3d([y*sin(t),y*cos(t),f(y)],t=0..2*Pi,y=a..b);
4. Calcule o volume da sua foˆrma pelos me´todos estudados nesta sec¸a˜o.
5. Mec¸a o diaˆmetro, o diaˆmetro do canudo central e a profundidade de uma forma de pudim. Ajuste o seu modelo
teo´rico a`s dimenso˜es verdadeiras (fac¸a uma reduc¸a˜o em escala, se necessa´rio) e calcule o volume da sua foˆrma
teo´rica depois do ajuste feito. Verifique a validade do modelo teo´rico: descubra qual a capacidade da foˆrma real
(em litros, por exemplo) e compare o resultado teo´rico com o volume real.