ResmatI CargaAxial

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Profa. Tereza Denyse de Araújo
Abril / 2018
Roteiro de aula
▪ Princípio de Saint-Venant
▪ Deformação elástica com carga axial
▪ Princípio da superposição
▪ Elementos estaticamente indeterminados
▪ Método das forças (método da flexibilidade)
▪ Tensões térmicas
▪ Concentração de tensões
▪ Tensões residuais
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Princípio de Saint-Venant 
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▪ 𝜎 → 𝑚𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
▪ 𝜀 → 𝑚𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝑚𝑢𝑑𝑎𝑛ç𝑎 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
▪ Lei de Hooke: 𝜎 = 𝐸𝜀 (𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 − 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟)
Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant - Enunciado
▪ As tensões e deformações produzidas em pontos do
corpo suficientemente afastados da região de
aplicação da carga serão as mesmas produzidas por
quaisquer cargas aplicadas que tenham a mesma
resultante estaticamente equivalente e aplicadas ao
corpo na mesma região.
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Princípio de Saint-Venant 
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Princípio de Saint-Venant 
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Deformação elástica com carga axial
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Deformação elástica com carga axial
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EA
PL

Deformação elástica com carga axial
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Exemplo 4.3
▪ Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos
mostrados na figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20
mm, e BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm.
Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga
vertical de 90 kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço = 200
GPa, Eal = 70 GPa.
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Exemplo 4.4
▪ Uma elemento é feito de um material com peso específico g e
módulo de elasticidade E. Se esse elemento tiver a forma de um
cone com as dimensões mostradas, determine até que distância
sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade, quando
suspenso na posição vertical.
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Exemplo 4.10
▪ A barra tem área de seção transversal de 1.800 mm2 e E = 250
GPa. Determine o deslocamento da extremidade A da barra
quando submetida ao carregamento distribuído.
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1,5 m
N/m500 3
1
xw 
Exemplo 4.22
▪ O poste é feito de abeto Douglas (E = 13,1 GPa) e tem diâmetro de 60
mm. Se estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar uma
resistência ao atrito w = 4 kN/m uniformemente distribuída ao longo
dos seus lados, determine a força F na parte inferior do poste
necessária para haver equilíbrio. Calcule também qual é o
deslocamento da parte superior do poste, A, em relação à sua parte
inferior, B. Despreze o peso do poste.
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Princípio da Superposição
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Princípio da Superposição
▪ Condições que devem ser satisfeitas:
▪ Relação linear entre tensão (s) e carga (N), ou
▪ Relação linear entre carga (N) e deslocamento ()
▪ Não deve haver alteração significativa na geometria (ou 
configuração) devido ao carregamento (pequenas deformações e 
deslocamentos)
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Elementos estaticamente indeterminados
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Exemplo 4.5
▪ A haste de aço mostrada na figura tem diâmetro de 5 mm e está
presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga
de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine as reações
em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN.
Despreze as dimensões do colar em C. Considere Eaço = 200 GPa.
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Exemplo 4.6
▪ O poste de alumínio mostrado na figura é reforçado com um
núcleo de latão. Se esse conjunto suportar uma carga de
compressão axial resultante de 45 kN, aplicada na tampa rígida,
determine a tensão normal média no alumínio e no latão.
Considere Eal = 70 GPa e Elat = 105 GPa.
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Exemplo 4.6
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Exemplo 4.6
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Exemplo 4.7
▪ As três barras de aço A-36 (Eaço = 200 GPa ) mostradas na figura
estão conectadas por pinos a um elemento rígido. Se a carga
aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvida
em cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área de seção
transversal de 25 mm2, e a barra CD tem área de seção
transversal de 15 mm2.
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Método das Forças = Método da Flexibilidade
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Método das Forças = Método da Flexibilidade
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Exemplo 4.9
▪ A haste de aço A-36 (Eaço = 200 GPa) mostrada na figura tem
diâmetro de 5 mm. Ela está presa à parede fixa em A e, antes de
ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a
haste. Determine as reações em A e B’ se a haste for submetida
a uma força axial P = 20 kN.
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Exemplo 4.9
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Exemplo
▪ A treliça mostrada na figura é feita com três elementos de aço A-
36 (Eaço = 200 GPa) com 400 mm
2 de área de seção transversal . 
Determine o deslocamento vertical do rolete C quando a treliça 
é submetida à carga P = 10 kN.
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Exemplo 4.32
▪ A coluna é construída de concreto de alta resistência (Econc = 29
GPa) e seis hastes de reforço de aço A-36 (Eaço = 200 GPa). Se for
submetida a uma força axial de 150 kN, determine o diâmetro
exigido para cada haste, de modo que ¼ da carga seja suportada
pelo concreto e ¾, pelo aço.
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Exemplo 4.34
▪ A coluna de concreto (Econc = 25 GPa) é reforçada com quatro
hastes de aço (Eaço = 200 GPa), cada uma com diâmetro de 18
mm. Determine a tensão no concreto e no aço se a coluna for
submetida a uma carga axial de 800 kN.
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Exemplo 4.48
▪ Cada um dos três cabos de aço (Eaço = 200 GPa) tem diâmetro de
2 mm e comprimentos LAC = 1,60 m e LAB = LAD = 2,00 m quando
não carregados. Determine a força em cada cabo depois que a
massa de 150 kg é suspensa pelo anel em A.
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Exemplo 4.64
▪ A barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos de pinho
branco (Eaço = 9,65 GPa) e uma mola. Se o comprimento dos
postes quando não carregados for 1 m e a área de seção
transversal for 600 mm2 e a mola tiver rigidez k = 2 MN/m e
comprimento de 1,02 m quando não deformada, determine o
deslocamento vertical de A e B após a aplicação da carga à barra.
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Exemplo AP1 SC (21/06/2013)
▪ Uma barra circular de aço ABC (E = 200 GPa) tem área de seção
transversal A1 de A até B e área de seção transversal A2 de B até C (ver
figura). A barra é apoiada rigidamente na extremidade A e está sujeita
à carga P = 40 kN na extremidade C. Um colar circular de aço BD tendo
área de seção transversal A3 apoia a barra em B. O colar se encaixa
perfeitamente em B e D quando não há carga. Determine o
alongamento dAC da barra devido à carga P. Dados: L1 = 2L3 = 250 mm,
L2 = 225 mm, A1 = 2 A3 = 960 mm
2 e A2 = 300 mm
2.
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Exemplo AP1 (29/04/15) 
▪ Uma barra rígida está apoiada por pino em B e por duas molas
em A e D (ver figura). As molas em A e D têm coeficientes de
rigidez k1 = 10 kN/m e k2 = 25 kN/m, respectivamente. As outras
dimensões são mostradas na figura. Uma carga P atua no ponto
C. Se a carga P é 1,8 kN, qual o ângulo de rotação da barra?
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Exemplo AP1 SC (14/05/2015)
▪ A barra rígida AB é suportada por um pino em O. Quando dois cabos
de aço (Eaço = 200 GPa) são unidos às extremidades da barra, há uma
folga D entre a extremidade inferior do cabo à esquerda e o apoio C.
Depois de unidos, a deformação no cabo à esquerda é 1,5 x 10-3. Qual
é o tamanho da folga D? As áreas das seções transversais são 300 mm2
para o cabo AC e 250 mm2 para o cabo BD.
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Exemplo AP1 (15/05/2017)
▪ Uma barra de liga de alumínio (Eal = 73,1 GPa) AC é reforçada
com um tubo de aço (Eaço = 200 GPa) firmemente ligados em BC
(ver figura). Quando nenhuma carga é aplicada ao conjunto, a
folga entre C e o apoio rígido é 0,5 mm. Determine as reações de
apoio quando a força axial de 400 kN é aplicada. Quais as
tensões no aço e na liga de alumínio?
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Tensões Térmicas
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Tensões Térmicas
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Exemplo 4.12
▪ A barra rígida mostrada na figura está presa à parte superior por três
postes feitos de aço A-36(Eaço = 200 GPa; aaço = 12 x 10
-6/°C) e alumínio
2014-T6 (Eal = 73,1 GPa; aal = 23 x 10
-6/°C). Cada um dos postes tem
comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga aplicada à
barra e a temperatura é T1 = 20°C. Determine a força suportada por
cada poste se a barra for submetida a uma carga uniformemente
distribuída de 150 kN/m e a temperatura aumentar para T2 = 80°C.
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Exemplo 4.12
42
Exemplo
▪ Um sensor térmico consiste em uma placa AB de alumínio (Eal = 68,9 GPa;
aal = 24 x 10
-6/°C) e outra CD de magnésio (Emag = 44,7 GPa; amag = 26 x 10
-
6/°C) cada uma com largura de 15 mm e apoiadas pelas extremidades em
suportes fixos. Se a folga entre as placas é de 1,5 mm quando a
temperatura é T1 = 25°C, determine temperatura necessária para eliminar
a folga. Qual a força axial em cada placa quando a temperatura atingir o
valor de T2 = 100°C? Admita que não ocorre flexão ou flambagem.
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
46

A
dAP s
A
P
med s
Concentração de Tensões
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
A
dAP s
A
P
med s
Concentração de Tensões (fator de 
intensidade de tensão)
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med
max
s
s
K
Concentração de Tensões
49
med
max
s
s
K
Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
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Concentração de Tensões
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Tensões Residuais
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▪ São tensões elásticas existentes em um corpo sem a atuação de
cargas externas ou gradientes de temperatura
▪ São provenientes de:
▪ Deformações plásticas: forjamento, laminação, extrusão
▪ ocorre principalmente onde há deformação plástica não uniforme
no material
▪ Processos de fabricação: usinagem, soldagem
▪ Tratamentos térmicos, termoquímicos ou ciclos térmicos:
fundição,
▪ variação de temperatura não uniforme na peça durante um ciclo
de aquecimento e resfriamento
Tensões Residuais
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Exemplo 4.40
▪ A carga de 4 kN deve ser suportada pelos cabos verticais de aço
para os quais se = 560 MPa. Se os comprimentos originais dos
cabos AB e AC forem 1.250 mm e 1.252,5, respectivamente,
determine a área da seção transversal de AB para que a carga
seja compartilhada igualmente entre os dois cabos. O cabo AC
tem área de seção transversal de 13 mm2.
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Exemplo 4.42
▪ Dois cabos de aço A-36 (E = 200 GPa) são usados para suportar o
motor de 3,25 kN (≈ 325 kg). O comprimento original de AB é
800 mm e o de A’B’ é 800,2 mm. Determine a força suportada
por cada cabo quando o motor é suspenso por eles. Cada cabo
tem área de seção transversal de 6,25 mm2.
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Exemplo 4.68
▪ A barra rígida suporta um carregamento distribuído uniforme de
90 kN/m. Determine a força em cada cabo se cada um tiver área
de seção transversal de 36 mm2 e E = 200 GPa.
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Exemplo 4.81
▪ A haste central CD do conjunto é aquecida de T1 = 30°C até T2 = 180°C por
resistência elétrica. As duas hastes AB e EF situadas nas extremidades também são
aquecidas de T1 = 30°C até T2 = 50°C. Na temperatura mais baixa, T1, a folga entre C
e a barra rígida é 0,7 mm. Determine a força nas hastes AB e EF provocada pelo
aumento na temperatura. As hastes AB e EF são feitas de aço (Eaço = 200 GPa; aaço =
12 x 10-6/°C) e cada uma tem área de seção transversal de 125 mm2. CD é feita de
alumínio (Eal = 70 GPa; aal = 23 x 10
-6/°C) e tem área de seção transversal de 375
mm2.
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Exemplo AP1 SC (30/05/2014)
▪ Uma barra de plástico ACB com duas secções transversais circulares sólidas
diferentes é presa a um apoio elástico (k = 50 MN/m) em A e a um apoio rígido em
B (ver figura abaixo). O diâmetro do trecho AC é 50 mm e do trecho CB é 75 mm. Os
comprimentos correspondentes são 225 mm e 300 mm. Além disso, o módulo de
elasticidade E é 6,0 GPa, e o coeficiente de expansão térmica a é 100 x 10-6/°C. A
barra é submetida a um aumento uniforme de temperatura de 30°C. Calcule as
seguintes quantidades: (a) a força normal na barra ACB; (b) a tensão normal
máxima; e (c) o deslocamento do ponto C.
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Exemplo AP1 SC (30/05/2014)
▪ Uma barra de plástico ACB com duas secções transversais circulares sólidas
diferentes é presa a um apoio elástico (k = 50 MN/m) em A e a um apoio rígido em
B (ver figura abaixo). O diâmetro do trecho AC é 50 mm e do trecho CB é 75 mm. Os
comprimentos correspondentes são 225 mm e 300 mm. Além disso, o módulo de
elasticidade E é 6,0 GPa, e o coeficiente de expansão térmica a é 100 x 10-6/°C. A
barra é submetida a um aumento uniforme de temperatura de 30°C. Calcule as
seguintes quantidades: (a) a força normal na barra ACB; (b) a tensão normal
máxima; e (c) o deslocamento do ponto C.
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Exemplo AP1 SC (17/06/2016)
▪ O poste de concreto (Ec = 25 GPa; ac = 9,9·10
-6/°C) é reforçado
com 6 barras de aço, cada uma com 22 mm de diâmetro (Es =
200 GPa; as = 11,7·10
-6/°C). Determine as tensões normais
induzidas no concreto e no aço devido a um aumento de
temperatura de 18°C.
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