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Profa. Tereza Denyse P. de Araújo 
 
Março / 2017 
	
Roteiro de aula 
 Esforços Internos 
 Conceito de Tensão 
 Estado Geral de Tensão 
 Tensão Normal Média 
 Tensão de Cisalhamento Média 
 Tipos de cisalhamento 
 Tensões admissíveis 
 Projeto de Elementos com Ligações Simples 
2 
Esforços Internos 
3 
Esforços Internos 
4 
Esforços Internos 
5 
Esforços Internos 
6 
Esforços em Diferentes Níveis 
7 
Conceito de Tensão 
8 
Conceito de Tensão 
9 
Conceito de Tensão 
10 
A
P



A
V



Estado Geral de Tensão 
11 
Estado Geral de Tensão 
12 
Estado Geral de Tensão 
13 
Tensão Normal Média 
14 
Tensão Normal Média 
15 
Tensão Normal Média 
16 
Equilíbrio vertical do elemento 
Estado de Tensão Uniaxial 
17 
Exemplo 1.6 
 A barra da figura abaixo tem largura constante de 35 mm e 
espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima 
desenvolvida na barra quando está submetida à carga mostrada. 
18 
Exemplo 1.9 
 O elemento AC, mostrado na figura abaixo, está submetido a 
uma força vertical de 3 kN. Determine a posição x dessa força de 
modo que a tensão de compressão média no apoio liso C seja 
igual à tensão de tração média atuante na barra AB. A área da 
seção transversal da barra é 400 mm2 e a área em C é 650 mm2. 
19 
Exemplo 1.37 
 O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. 
Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções 
transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faça um 
rascunho dos resultados sobre um elemento de volume 
infinitesimal localizado em cada seção. 
20 
Exemplo 1.44 
 A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço 
interligadas por um anel em A. Determine o ângulo de 
orientação q de AC de modo que a tensão normal média na 
haste AC seja duas vezes a tensão normal média na haste AD. 
Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de 
cada haste é dado na figura. 
21 
Tensão de Cisalhamento Média 
22 
med 
Exemplo 1.10 
 A barra, mostrada na figura, tem área de seção transversal quadrada 
com 40 mm de profundidade e largura. Se uma força axial de 800 N for 
aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da área da seção 
transversal da barra, determine a tensão normal média e a tensão de 
cisalhamento média que agem no material ao longo do (a) plano de 
seção a-a e do (b) plano de seção b-b. 
23 
Exemplo 1.10 
24 
Exemplo 1.10 
25 
Tipos de cisalhamento 
26 
Tipos de cisalhamento 
27 
Tipos de cisalhamento 
28 
Exemplos de cisalhamento 
29 
Exemplo 1.11 
 A escora de madeira mostrada na figura está suspensa por uma 
haste de aço de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. 
Considerando que a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, 
calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao 
longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é 
indicado como abcd. 
30 
Exemplo 1.11 
31 
Exemplo 1.11 
32 
Exemplo 1.39 
 A alavanca está presa ao eixo fixo por um pino cônico AB, cujo 
diâmetro médio é 6 mm. Se um binário for aplicado à alavanca, 
determine a tensão de cisalhamento média no pino entre ele e a 
alavanca. 
 
33 
Tensões Admissíveis 
34 
Tensões Admissíveis 
35 
Projeto de Elementos com Ligações Simples 
36 
Área da seção transversal de um elemento sob tração 
Projeto de Elementos com Ligações Simples 
37 
Área da seção transversal de um elemento de fixação sujeito a cisalhamento 
Projeto de Elementos com Ligações Simples 
38 
Área necessária para resistir ao esmagamento 
Projeto de Elementos com Ligações Simples 
39 
Tensão de Esmagamento 
Projeto de Elementos com Ligações Simples 
40 
Área necessária para resistir ao cisalhamento causado por uma carga axial 
Exemplo 1.15 
 A haste suspensa está apoiada em sua extremidade por um disco 
circular fixo acoplado como mostra a figura (a). Se a haste passar por 
um orifício de 40 mm de diâmetro, determine o diâmetro mínimo 
exigido para a haste e a espessura mínima do disco necessária para 
suportar a carga de 20 kN. A tensão normal admissível para a haste é 
60 MPa e a tensão admissível de cisalhamento para o disco é 35 MPa. 
41 
Exemplo 1.15 
42 
Exemplo 1.17 
 A barra rígida AB da figura é sustentada por uma haste de aço AC de 20 
mm de diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção 
transversal de 1.800 mm2. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C 
estão submetidos a cisalhamento simples. Se as tensões de ruptura do 
aço e do alumínio forem (aço)rup = 680 MPa e (al)rup = 70 MPa, 
respectivamente, e a tensão de ruptura por cisalhamento para cada 
pino for (aço)rup = 900 MPa, determine a maior carga P que pode ser 
aplicada à barra. Aplique um fator de segurança FS = 2. 
43 
Exemplo 1.81 
 A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro 
exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por 
cisalhamento para os parafusos for rup = 350 MPa. Use um fator 
de segurança para cisalhamento FS = 2,5. 
44 
Exemplo 1.84 
 O tamanho a do cordão de solda é determinado pelo cálculo da 
tensão de cisalhamento média ao longo do plano sombreado, 
que tem a menor seção transversal. Determine o menor 
tamanho a das duas soldas se a força aplicada à chapa for P = 
100 kN. A tensão de cisalhamento admissível para o material da 
solda é adm = 100 MPa. 
45 
100 mm 
Exemplo 1.93 
 Determine as menores dimensões do eixo circular e da tampa 
circular se a carga que devem suportar é P = 150 kN. A tensão de 
tração, a tensão de apoio (esmagamento) e a tensão de 
cisalhamento admissíveis são 175 MPa, 275 MPa e 115 MPa, 
respectivamente. 
46 
AP1 – 04/06/2013 
 A carga P é suportada por um pino de aço que foi inserido em uma 
peça de madeira curta pendurada no teto. As resistências última à 
tração e ao cisalhamento da madeira utilizada são 60 MPa e 7,5 MPa, 
respectivamente, enquanto que a resistência última ao cisalhamento 
do aço é 145 MPa. Sabendo que b = 40 mm, c = 55 milímetros e d = 12 
milímetros, determine a carga máxima P se um fator de segurança 
global de 3,2 é desejável. 
47 
AP1 – 24/04/2014 
 Na estrutura de aço mostrada, um pino de 6 mm de diâmetro é 
utilizado em C e os pinos de 10 mm de diâmetro são usados ​​em B e D. 
A tensão última ao cisalhamento é 150 MPa em todas as conexões, e a 
tensão normal última é 400 MPa na barra BD. Sabendo que um fator 
de segurança 3 é desejado, determine a maior carga P que pode ser 
aplicada em A. Note que a barra BD não é reforçada em torno dos 
furos do pino e considere que a barra ABC é rígida. 
48 
AP1 – 29/04/2015 
 A barra AC é um tubo de aço quadrado de 100 mm de lado e com 
espessura de parede de 6,25 mm. A barra é suportada pelo pino A de 
diâmetro igual a 12,5 mm, e pelo cabo BC, com diâmetro de 9,5 mm. 
As tensões normais admissíveis para o cabo e a barra são 170 MPa e 
120 MPa, respectivamente. A tensão de cisalhamento admissível no 
pino é 95 MPa. Desprezando o peso da barra, determine a maior carga 
P que pode ser aplicada no sistema (ver figura). 
49 
AP1-SC – 14/05/2015 
 A ligação da barra AC ao apoio A da treliça abaixo é feita por meio de 
uma tampa de aço montada em ranhuras na barra de madeira 
conforme indicado abaixo. As tensões admissíveis para o poste são 1,8 
MPa em cisalhamento paralelo à fibra, 5,5 MPa em esmagamento no 
plano perpendicular à fibra e 22 MPa em tração na direção das fibras. 
Determine as menores dimensões a e b, e o máximo valor de a. 
50 
 
AP1-11/05/2016 
 Calcule a máxima força P que pode ser aplicada no pedal em A. 
O diâmetro do pino (ver figura) em B é 6,0 mm e sua tensão de 
cisalhamento admissível é 28 MPa. O cabo em C tem um 
diâmetro de 3 mm e sua tensão normal admissível é 140 MPa. 
51 
Detalhe da ligação em B

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