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LISTA GERAL DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES - GABARITO PARTE I. (Seleção de exercícios do Livro Ciência e Aplicações – Gelson Iezzi e outros) 1 – (AFA 2003) Sejam m e n números reais tais que m ≠ n e as matrizes e . Qual a relação necessária entre m e n para que a matriz não seja inversível. Solução. Multiplicando os escalares “m” e “n” pelas respectivas matrizes, temos: i) Para que a matriz C não seja inversível, seu determinante deve ser nulo. ii) . Desenvolvendo a expressão e simplificando, temos: . Resolvendo a equação em relação a “m”, vem. . Como pelo enunciado m ≠ n, a matriz não será inversível se 7m + n = 0. 2 – Encontre o valor de x na matriz sabendo que det A-1 = . Solução. Como conclui-se que . Logo, detA = - 10. Substituindo esse valor no cálculo do determinante de A, temos: . 3 – Seja A-1 a inversa de . Determine A + A-1. Solução. O determinante da matriz é diferente de zero. Logo, possui inversa. . 4 – (UC – GO) Determine x a fim de que a matriz seja igual a sua inversa. Solução. O produto da matriz A por ela mesma deverá resultar na matriz identidade. . Logo, o único valor que satisfaz é x = - 1. 5 – Sabendo que e , encontre o valor de: 20 b) - 100 c) 40 d) - 60 Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos: a) A 1ª linha foi multiplicada por 5. Logo o determinante também ficará multiplicado por 5. b) Houve uma troca de coluna que mudará o sinal do determinante. As duas linhas foram multiplicadas por 5. Logo o determinante ficará multiplicado por 25. c) Houve a troca da 2ª coluna com a 1ª coluna mudando o sinal do determinante. A 3ª coluna foi multiplicada por 4. Logo o determinante também o ficará. d) A 2ª linha foi multiplicada por 2 e a 3º linha multiplicada por 3. Logo o determinante ficará multiplicado por (2).(3) = 6. PARTE II. (Seleção de exercícios do Professor Marcos José – CPII - UESCIII) 1 – Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções. a) b) Solução. Os sistemas podem ser resolvidos por qualquer método. a) Logo, . Sistema possível e determinado representado por retas concorrentes. b) . Retas paralelas distintas. 2 – Determine o valor de a para que o sistema seja possível e determinado (SPD). Solução. O determinante da matriz dos coeficientes deverá ser diferente de zero. . 3 - Determine o valor de k de modo que o sistema seja impossível (SI). Isto é, para que a representação geométrica da solução sejam retas paralelas distintas. Solução. Para que o sistema seja possível e indeterminado (SI), basta que se verifique a proporcionalidade entre os coeficientes de “x” e “y”, mas não em relação aos termos independentes. Isto é: . Qualquer valor de “k” que não seja 4, tornará o sistema impossível. 4 – Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k. a) b) Solução. No caso geral em sistemas 2 x 2 a análise pode ser feita partindo das situações: i) ii) iii) a) . Não há valor de “k” que o torne impossível. a) . Não há valor de “k” que o torne indeterminado. OBS. Repare que em (a) o termo independente já estava na mesma razão que os coeficientes de “y”. O que não ocorreu em (b). Isso acarreta que substituindo k = 8 no sistema (b) poderia haver a impossibilidade. Mas esse sistema não seria indeterminado para nenhum valor de “k”. PARTE III. (Seleção de exercícios do Professor Ivail Muniz – CPII - UE CENTRO) 1) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os. a) b) c) d) Solução. Os sistemas foram escalonados. a) �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Calculando o valor de z, temos: ; ; . Logo a solução é S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado. b) �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Calculando o valor de z, temos: ; ; . Logo a solução é S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado. c) �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Logo o sistema não possui solução. d) �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Calculando o valor de y, temos: ; . A variável z é chamada variável livre. Logo a solução é S = { , , }. O sistema é possível e indeterminado. 2 – (ITA – SP) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para que o sistema admita infinitas soluções. Solução. Escalonando o sistema: . Para que o sistema seja indeterminado o 2º membro da 3ª equação deve ser nulo. Logo, . 3 - Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$70,00. Dois artigos A mais um C custam R$105,00 e a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C? Solução. De acordo com as informações do problema, temos o sistema: . Escalonando, vem: �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Substituindo nas equações anteriores, temos: ; . A resposta pedida é R$25,00. 4 - (UERJ) Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de pêras (p). Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes de 6 tangerinas, lotes com 6 maçãs e lotes com 4 pêras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$0,50. Arrecadou R$105,00 na venda de todos eles. Calcule t, m, e p. Solução. Considerando t, m e p o número de dúzias de cada fruta, temos que 2m = t. Como 1 dúzia = 12, foram feitos com cada dúzia 2 lotes de tangerinas, 2 lotes de maçãs e 3 lotes de peras. Logo foram feitos (2t) lotes de tangerinas, (2m) lotes de maçãs e (3p) lotes de peras. Utilizando os dados do problema e as letras representantes das frutas, montamos o sistema: . Se p = 30, . Logo, . Resposta: São 40 dúzias de tangerinas, 20 dúzias de maçãs e 30 dúzias de peras. 5 - Misturam-se dois tipos de leite, um com 3% de gordura outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados? Solução. Representando a quantidade de litros de leite com 3% de gordura como “x” e com 4% como “y”, o resultado final deverá ser (x + y).3,25%. O sistema é: . Multiplicando por 100 a 2ª equação e escalonando, vem: �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Calculando “y”, temos: ; . Logo serão misturados 60 litros de leite. 6 - (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C. Solução. Considerando as distâncias ; ; , temos: a) (distância de A até B passando por C). b) (distância de A até C passando por B). c) (distância de B até C passando por A). i) Construindo e resolvendo o sistema: �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . ii) Valor de “z”: ; ; . A distância pedida é . 7 - A soma das quantias que Fernando e Beth possuem é igual à quantia que Rosa possui. O dobro do que possui Fernando menos a quantia de Beth mais a de Rosa é igual a 30 reais. Sabendo que a quantia que Fernando possui, adicionada a 1/3 da quantia de Rosa, vale 20 reais, calcule asoma das quantias de Fernando, Beth e Rosa. Solução. Considerando as quantias “x” e “y” respectivamente de Fernando e Beth, temos de acordo com as informações que Rosa possui (x + y). Ainda de acordo com o enunciado temos o sistema: . Logo, Rosa possui 30. O valor pedido é a soma das quantias de cada um: 10 + 20 + 30 = 60. 8 – (UERJ 2004) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas a R$5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. Qual o número de patos comprados pelo comerciante. Solução. Considerando as quantidades “x”, “y” e “z” respectivamente de patos, galinhas e marrecos montamos o sistema: . Na forma em que está apresentado, o sistema é indeterminado. Precisamos considerar: i) O valor de “x” é inteiro. Logo, 190 - 10z deve ser múltiplo de 7 e 10. Isto é de 70. Os múltiplos de 70 possíveis são 70 para z = 12 ou 140 com z = 5. ii) Os valores de “x”, “y” e “z” apresentam as possibilidades: Patos (x) Galinhas (y) Marrecos (z) 5 12 iii) O número de patos é maior que o número de marrecos (x > z). Logo a única possibilidade é z = 5. Conferindo: Foram comprados 20 patos pelo comerciante. COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br _1302787376.unknown _1306911405.unknown _1307274052.unknown _1307279802.unknown _1307280279.unknown _1307286634.unknown _1384335197.unknown _1384335305.unknown _1384335377.unknown _1377002268.unknown _1307285090.unknown _1307285154.unknown _1307286543.unknown _1307285764.unknown _1307285122.unknown _1307284037.unknown _1307285033.unknown _1307282378.unknown _1307279902.unknown _1307279944.unknown _1307279859.unknown _1307278526.unknown _1307279262.unknown _1307279669.unknown _1307278698.unknown _1307279026.unknown _1307276626.unknown _1307277025.unknown _1307276450.unknown _1307271030.unknown _1307273485.unknown _1307274003.unknown _1307273431.unknown _1306911746.unknown _1306912180.unknown _1306912224.unknown _1307270940.unknown _1306914303.unknown _1306912194.unknown _1306912216.unknown _1306911805.unknown _1306911562.unknown _1306911683.unknown _1306911517.unknown _1306241582.unknown _1306910312.unknown _1306910916.unknown _1306911260.unknown _1306910541.unknown _1306910156.unknown _1306910209.unknown _1306241726.unknown _1306241824.unknown _1306241630.unknown _1302787736.unknown _1302787887.unknown _1306241522.unknown _1306241540.unknown _1302787941.unknown _1302787990.unknown _1302787799.unknown _1302787849.unknown _1302787778.unknown _1302787500.unknown _1302787660.unknown _1302787533.unknown _1302787389.unknown _1302694122.unknown _1302774781.unknown _1302775274.unknown _1302775570.unknown _1302775642.unknown _1302775757.unknown _1302776449.unknown _1302787364.unknown _1302775829.unknown _1302775685.unknown _1302775588.unknown _1302775386.unknown _1302775418.unknown _1302775328.unknown _1302775242.unknown _1302775258.unknown _1302774859.unknown _1302695371.unknown _1302771573.unknown _1302774723.unknown _1302695441.unknown _1302694282.unknown _1302694523.unknown _1302694556.unknown _1302694588.unknown _1302694366.unknown _1302694247.unknown _1302694257.unknown _1302694164.unknown _1302691528.unknown _1302691821.unknown _1302691883.unknown _1302694048.unknown _1302691842.unknown _1302691654.unknown _1302691763.unknown _1302691559.unknown _1302689648.unknown _1302691421.unknown _1302691508.unknown _1302690577.unknown _1302690690.unknown _1302690548.unknown _1302689337.unknown _1302689360.unknown
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