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Ca´lculo Diferencial e Integral II Claudio Aguinaldo Buzzi Departamento de Matema´tica UNESP - Campus de Sa˜o Jose´ do Rio Preto I´ndice 1 Superf´ıcies especiais 4 1.1 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Func¸o˜es reais de duas varia´veis reais 9 2.1 Domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Curvas de n´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais 12 3.1 Domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Superf´ıcies de n´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Noc¸o˜es topolo´gicas no plano e no espac¸o 14 Primeira Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Limites e continuidade: definic¸a˜o e propriedades 17 Segunda Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6 Derivadas parciais 25 6.1 Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Terceira Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Quarta Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.4 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.5 Derivac¸a˜o de func¸o˜es definidas implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Quinta Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.6 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.7 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Sexta Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.8 Generalizac¸a˜o do Teorema do Valor Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.9 Fo´rmula de Taylor com resto de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.10 Extremos Locais: Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Se´tima Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.11 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Revisa˜o de Integrais de func¸o˜es de uma varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7 Integral dupla 100 7.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Oitava Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ii 7.5 Mudanc¸a de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Nona Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8 Integral tripla 129 8.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.3 Mudanc¸a de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 De´cima Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9 Func¸o˜es Vetoriais 137 9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.2 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.4 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.5 Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco . . . . . . . . 138 10 Integral de Linha 140 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 De´cima Primeira Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.1 Func¸a˜o Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.2 Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.3 Independeˆncia dos Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.4 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 De´cima Segunda Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11 Integral de Superf´ıcies 164 11.1 Noc¸o˜es sobre superf´ıcies e planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.2 Integral de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11.3 Teoremas de Gauss e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 De´cima Terceira Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Quarta Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 iii Aula 1: 24/02/2010 Conteu´do Programa´tico do Curso 1. Superf´ıcies especiais. (a) Planos (b) Cilindros (c) Qua´dricas 2. Func¸o˜es reais de duas varia´veis reais. (a) Domı´nio (b) Gra´fico (c) Curvas de n´ıvel 3. Func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais. (a) Domı´nio (b) Superf´ıcies de n´ıvel 4. Noc¸o˜es topolo´gicas no plano e no espac¸o. 5. Limites e continuidade: definic¸a˜o e propriedades. 6. Derivadas parciais. (a) Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica (b) Diferenciabilidade (c) Vetor gradiente (d) Regra da cadeia (e) Derivac¸a˜o de func¸o˜es definidas implicitamente (f) Derivada direcional (g) Derivadas parciais de ordem superior (h) Generalizac¸a˜o do Teorema do Valor Me´dio (i) Fo´rmula de Taylor com resto de Lagrange (j) Aproximac¸a˜o linear (k) Diferenciais (l) Extremos locais: ma´ximos e mı´nimos (m) Multiplicadores de Lagrange (n) Aplicac¸o˜es 1 7. Integral dupla. (a) Definic¸a˜o (b) Propriedades (c) Teorema de Fubini (d) Mudanc¸a de varia´veis (e) Aplicac¸o˜es 8. Integral tripla. (a) Definic¸a˜o (b) Propriedades (c) Mudanc¸a de varia´veis (d) Aplicac¸o˜es 9. Func¸o˜es vetoriais. (a) Definic¸a˜o (b) Operac¸o˜es (c) Limite e continuidade (d) Derivada (e) Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco 10. Integral de linha. (a) Independeˆncia de caminhos (b) Diferenciais exatas (c) Func¸a˜o potencial (d) Teorema de Green 11. Integral de superf´ıcie. (a) Teoremas de Gauss e de Stokes (b) Aplicac¸o˜es Bibliografia 1. Guidorizzi, H. L. - Um curso de ca´lculo, Vol. 2 e 3, LTC, Rio de Janeiro, 2001. 2. Pinto, D. e Caˆndida, F. M. - Ca´lculo diferencial e integral de va´rias varia´veis, UFRJ, Rio de Janeiro, 2003.3. Stewart, J. - Ca´lculo, Vol. 2, Thompson, Sa˜o Paulo, 2004 2 4. Flemming, D. M. e Gonc¸alves, M. B. - Ca´lculo B, Pearson Prentice Hall, Sa˜o Paulo, 2007. 5. Anton, H. - Ca´lculo: um novo horizonte, Bookman, 2000. 6. Thomas, G. B. - Ca´lculo, Vol. 2, Addison-Wesley, Sa˜o Paulo, 2003. Avaliac¸a˜o Sera˜o aplicadas 4 provas. A me´dia final sera´ obtida como uma me´dia aritme´tica entre as notas dos semestres. A mate´ria da primeira prova sera´ tudo o que for visto ate´ o dia da prova. A mate´ria da segunda prova sera´ toda a mate´ria do primeiro semestre. A mate´ria da terceira prova sera´ a mate´ria que for vista do in´ıcio do segundo semestre ate´ o dia da terceira prova. A mate´ria da quarta prova sera´ toda a mate´ria do segundo semestre. Se a nota da segunda prova for maior que a nota da primeira prova, enta˜o a nota do primeiro semestre sera´ a nota da segunda prova. Se a nota da segunda prova for menor ou igual a nota da primeira prova, enta˜o a nota do primeiro semestre sera´ a me´dia aritme´tica das notas da primeira e segunda provas. Se a nota da quarta prova for maior que a nota da terceira prova, enta˜o a nota do segundo semestre sera´ a nota da quarta prova. Se a nota da quarta prova for menor ou igual a nota da terceira prova, enta˜o a nota do segundo semestre sera´ a me´dia aritme´tica das notas da terceira e quarta provas. Somente os alunos que perderem uma das 4 provas, por motivo justificado, podera˜o fazer outra prova no dia 02/12. Ao final do curso os alunos que obtiverem me´dia igual ou superior a 5,0 (cinco) e pelo menos 70% de frequ¨eˆncia sera˜o aprovados. Os alunos que tiverem me´dia inferior a 5,0 (cinco) e pelo menos 70% de frequ¨eˆncia podera˜o fazer uma prova de recuperac¸a˜o. Nesse caso a me´dia final e´ obtida fazendo-se a me´dia aritme´tica entre a me´dia anterior com a nota da recuperac¸a˜o. Se a me´dia final for igual ou superior a 5,0 (cinco) o aluno sera´ aprovado, caso contra´rio sera´ reprovado. Os alunos que tiverem frequ¨eˆncia inferior a 70% sera˜o reprovados por faltas. As datas das provas: Prova 1: Sexta, 30 de abril. Prova 2: Sexta, 18 de junho. Prova 3: Quinta, 30 de setembro. Prova 4: Terc¸a, 30 de novembro. Prova Perdida: Quinta, 02 de dezembro. Recuperac¸a˜o: Quinta, 09 de dezembro. 3 Aula 2: 26/02/2010 1 Superf´ıcies especiais 1.1 Planos Um plano no espac¸o fica completamente determinado por um ponto P0(x0, y0, z0) do plano e um vetor n que e´ ortogonal ao plano. Este vetor ortogonal n e´ chamado vetor normal. Seja P (x, y, z) um ponto arbitra´rio do plano, e sejam r0 e r os vetores posic¸a˜o de P0 e P . O vetor r− r0 e´ representado pelo segmento orientado com origem em P0 e extremidade em P . O vetor n e´ perpendicular a r− r0 e tambe´m ortogonal a todos os vetores paralelos ao plano. Figura 1: Plano em R3. Da´ı temos a equac¸a˜o n(˙r − r0) = 0. A equac¸a˜o anterior e´ chamada equac¸a˜o vetorial do plano. Se n = (a, b, c), r = (x, y, z) e r0 = (x0, y0, z0) enta˜o a equac¸a˜o anterior se torna a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 que e´ chamada equac¸a˜o escalar do plano. Colecionando todos os termos constantes da equac¸a˜o, ela pode ser escrita na forma ax+ by + cz + d = 0 que e´ chamada equac¸a˜o geral do plano. Exemplo: Encontre a equac¸a˜o geral do plano que passa pelos pontos P (1, 3, 2), Q(3,−1, 6) e R(5, 2, 0). Temos que determinar um vetor normal ao plano. Para isso considere dois vetores paralelos ao plano u = Q − P = (2,−4, 4) e v = R − P = (4,−1,−2). Seja agora o vetor n que e´ o produto vetorial entre u e v: n = u× v = ∣∣∣∣∣∣ i j k 2 −4 4 4 −1 −2 ∣∣∣∣∣∣ = (12, 20, 14). A equac¸a˜o do plano fica 12(x− 1) + 20(y − 3) + 14(z − 2) = 0, ou seja, 6x+ 10y + 7z − 50 = 0. 4 1.2 Cilindros Um me´todo muito eficiente de esboc¸ar superf´ıcies no espac¸o tridimensional e´ calcular as intersecc¸o˜es da superf´ıcie com planos. Nesta e na pro´xima sec¸a˜o usaremos esse me´todo para esboc¸ar as superf´ıcies. Definic¸a˜o 1. Um cilindro e´ uma superf´ıcie que consiste de retas paralelas a uma reta dada (chamada geratriz) e que passam por uma curva plana dada (chamada diretriz). Figura 2: Superf´ıcie z = x2. Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = x2. Note que a equac¸a˜o na˜o envolve a varia´vel y. Isso significa que todo plano da forma y = k (paralelo ao plano xz) intersepta em uma curva de equac¸a˜o z = x2. Essas curvas sa˜o para´bolas. A figura 2 mostra como o esboc¸o e´ formado tomando a para´bola z = x2 no plano xz e movendo-a na direc¸a˜o do eixo y. Esta superf´ıcie e´ chamada cilindro parabo´lico. Nesse caso a para´bola z = x2, no plano xz, e´ a diretriz e o eixo y e´ a geratriz. O fato ocorrido no exemplo anterior, de uma das varia´veis na˜o aparecer na equac¸a˜o da superf´ıcie, e´ t´ıpico das superf´ıcies que possuem como geratriz um dos eixos coordenados. (a) (b) Figura 3: Superf´ıcies x2 + y2 = 1 e y2 + z2 = 1. Exemplo: Esboce as superf´ıcies (a) x2 + y2 = 1 e (b) y2 + z2 = 1. (a) Como z esta´ ausente na equac¸a˜o, enta˜o a intersecc¸a˜o com planos da forma z = k representa uma circunfereˆncia de raio 1, no plano z = k e centrado no ponto (0, 0, k). (b) Como x esta´ ausente na equac¸a˜o, enta˜o a intersecc¸a˜o com planos da forma x = k representa uma circunfereˆncia de raio 1, no plano x = k e centrado no ponto (k, 0, 0). 5 1.3 Qua´dricas Definic¸a˜o 2. Qua´drica e´ o lugar geome´trico dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma equac¸a˜o do segundo grau do tipo Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0, onde A, B, C, . . . , J sa˜o constantes. Observamos que atrave´s de rotac¸o˜es e translac¸o˜es toda qua´drica pode ser colocada em uma das seguintes formas normais Ax2 +By2 + Cz2 + J = 0 ou Ax2 +By2 + Iz = 0. Exemplo: Esboce a qua´drica x2 + y2 9 + z2 4 = 1. Substituindo z = 0 na equac¸a˜o, obtemos x2 + y 2 9 = 1 que e´ a equac¸a˜o de uma elipse no plano z = 0 de ve´rtices (±1, 0, 0) e (0,±3, 0). De forma geral, calculando a intersecc¸a˜o com planos paralelos aos planos coordenados obtemos: x2 + y2 9 = 1− k 2 4 , z = k (se − 2 ≤ k ≤ 2), y2 9 + z2 4 = 1− k2, x = k (se − 1 ≤ k ≤ 1), x2 + z2 4 = 1− k 2 9 , y = k (se − 3 ≤ k ≤ 3). A figura 4 mostra o esboc¸o da qua´drica que e´ chamada elipso´ide pois a intersecc¸a˜o com os planos coordenados sa˜o elipses. Figura 4: Elipso´ide. Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = 4x2 + y2. Colocando x = 0 obtemos a para´bola z = y2 no plano yz. Se colocamos x = k, obtemos z = 4x2 + k2. Isso significa que se fatiamos a qua´drica com planos paralelos ao plano yz obtemos ainda para´bolas mas com o ve´rtice cada vez mais alto. Se colocamos z = k, com k > 0, obtemos elipses 4x2+y2 = k. Conhecendo essas intersecc¸o˜es com os planos paralelos aos planos coordenados podemos esboc¸ar a qua´drica conforme a figura 5. Devido as intersecc¸o˜es darem elipses e para´bolas, essa superf´ıcie e´ chamada parabolo´ide el´ıptico. 6 Figura 5: Parabolo´ide El´ıptico. 7 Aula 3: 03/03/2010 Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = y2 − x2. Colocando x = k obtemos para´bolas z = y2−k2 com concavidade voltada para cima (veja figura 6 (a) e (d)). Quando fatiamos por planos y = k obtemos para´bolas z = −x2 + k2 com concavidade voltada para baixo (veja figura 6 (b) e (e)). Se colocamos z = k, com k 6= 0, obtemos hipe´rboles y2 − x2 = k. E se z = 0, obtemos retas y = ±x (ver figura 6 (c) e (f)). (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 6: Cortes na qua´drica z = y2 − x2. Juntando essas informac¸o˜es obtemos a qua´drica dada na figura 7. Devido as intersecc¸o˜es darem hipe´rboles e para´bolas, essa superf´ıcie e´ chamada parabolo´ide hiperbo´lico. Figura 7: Parabolo´ide Hiperbo´lico. Exemplo: Esboce a superf´ıcie x2 4 + y2 − z 2 4 = 1. A intersecc¸a˜o com planos da forma z = k obtemos a elipse x2 4 + y2= 1 + k2 4 , e as intersecc¸o˜es com os planos coordenados xz e yz sa˜o as hipe´rboles x2 4 − z 2 4 = 1 e y2 − z 2 4 = 1. A superf´ıcie obtida e´ chamada hiperbolo´ide de uma folha e e´ apresentada na figura 8. 8 Figura 8: Hiperbolo´ide de uma folha. 2 Func¸o˜es reais de duas varia´veis reais 2.1 Domı´nio Definic¸a˜o 3. Seja D um conjunto de pares ordenados de nu´meros reais. Uma func¸a˜o real de duas varia´veis reais e´ uma correspondeˆncia f : D ⊂ R × R → R que associa a cada par (x, y) ∈ D um u´nico nu´mero real denotado por f(x, y). Nesse caso o conjunto D e´ o domı´nio de f . y x D (x, y) f(x, y) R Figura 9: Func¸a˜o real de duas varia´veis reais. Observamos que se for apresentado apenas a lei de definic¸a˜o da func¸a˜o enta˜o fica suben- tendido que o o domı´nio e´ o maior conjunto poss´ıvel de pares de nu´meros reais onde aquela lei pode ser aplicada. Veja o exemplo a seguir: Exemplo: Encontre o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) = xy − 5 2 √ y − x. Para que a raiz quadrada do denominador esteja bem definida temos que ter y ≥ x, e como esta´ no denominador, na˜o podemos ter y = x. Portanto o domı´nio de f e´ D = {(x, y) ∈ R 2 : y > x}. Na Figura 10 esta´ representado o domı´nio de f . 9 y x y > x Figura 10: Domı´nio de f . 2.2 Gra´fico Definic¸a˜o 4. Seja D ⊂ R2 e f : D → R. O gra´fico de f e´ o conjunto Graf(f) = {(x, y, f(x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ D}. Exemplo: Considere a func¸a˜o f(x, y) = √ 9− x2 − y2. Observe que o domı´nio e´ o conjunto dos pontos onde 9 − x2 − y2 ≥ 0, ou seja, D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9}. O conjunto D e´ formado pela circunfereˆncia de centro (0, 0) e raio 3 e todos os pontos no seu interior. Para calcular o gra´fico, substitu´ımos f(x, y) por z e elevamos ao quadrado obtendo x2+y2+z2 = 9. E como z ≥ 0 enta˜o o gra´fico e´ o hemisfe´rio superior da esfera centrada em (0, 0, 0) e raio 3. Veja figura 11. Figura 11: Gra´fico de f . 2.3 Curvas de n´ıvel Definic¸a˜o 5. Seja D ⊂ R2 e f : D → R. A curva de n´ıvel k de f e´ o conjunto f−1(k) = {(x, y) ∈ D : f(x, y) = k}. As curvas de n´ıvel servem por exemplo para aplicac¸o˜es em topografia. Veja figura 12. 10 10m 10m 4m 4m 2m 2m Figura 12: Topografia. 11 Aula 4: 05/03/2010 Exemplo: Esboce algumas curvas de n´ıvel do exemplo anterior. f(x, y) = k ⇔ √ 9− x2 − y2 = k ⇔ x2 + y2 = 9− k2. Figura 13: Curvas de n´ıvel de f . Exemplo: Esboce algumas curvas de n´ıvel de g(x, y) = −x2 + y2. O gra´fico de g e´ o parabolo´ide hiperbo´lico. Seja k > 0, enta˜o o g−1(k) = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 = k}, ou seja e´ uma hipe´rbole de ve´rtices (0,±√k). Se k = 0, enta˜o g−1(0) = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 = 0}, ou seja e´ o par de retas y = ±x. Seja k < 0, enta˜o o g−1(k) = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 = k}, ou seja e´ uma hipe´rbole de ve´rtices (±√−k, 0). k = 0 k = −1 k = −2 k = 1 k = 2 Figura 14: Curvas de n´ıvel de g. 3 Func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais 3.1 Domı´nio Definic¸a˜o 6. Seja D um conjunto de triplas ordenadas de nu´meros reais. Uma func¸a˜o real de treˆs varia´veis reais e´ uma correspondeˆncia f : D ⊂ R3 → R que associa a cada tripla (x, y, z) ∈ D um u´nico nu´mero real denotado por f(x, y, z). Nesse caso o conjunto D e´ o domı´nio de f . Conforme no caso de duas varia´veis, se for apresentado apenas a lei de definic¸a˜o da func¸a˜o enta˜o fica subentendido que o o domı´nio e´ o maior conjunto poss´ıvel de triplas de nu´meros reais onde aquela lei pode ser aplicada. 12 z y D (x, y) f(x, y) R x Figura 15: Func¸a˜o real de treˆs varia´veis reais. 3.2 Superf´ıcies de n´ıvel Definic¸a˜o 7. Seja D ⊂ R3 e f : D → R. A superf´ıcie de n´ıvel k de f e´ o conjunto f−1(k) = {(x, y, z) ∈ D : f(x, y, z) = k}. Exemplo: Esboce algumas superf´ıcies de n´ıvel de f(x, y, z) = z − √ x2 + y2. Observe que para k = 0 temos z = √ x2 + y2, que e´ a equac¸a˜o do cone com ve´rtice em (0, 0, 0). Quando fazemos f(x, y, z) = k temos z − k = √ x2 + y2, que e´ a equac¸a˜o do cone com ve´rtice em (0, 0, k). Veja a figura 16. k = 1 k = 0 k = −1 Figura 16: Superf´ıcies de n´ıvel de f . Exemplo: Descreva as superf´ıcies de n´ıvel de f(x, y, z) = x2 − y2 + z2. As superf´ıcies de n´ıvel sa˜o dadas pela equac¸a˜o x2−y2+z2 = k. Observe que se k e´ positivo enta˜o a superf´ıcie e´ um hiperbolo´ide de uma folha, se k = 0 enta˜o a superf´ıcie e´ um cone de duas folhas e se k e´ negativo enta˜o a superf´ıcie e´ um hiperbolo´ide de duas folhas. Veja a figura 17. k > 0 k = 0 k < 0 Figura 17: Superf´ıcies de n´ıvel de g. 13 4 Noc¸o˜es topolo´gicas no plano e no espac¸o Definic¸a˜o 8. Definimos a norma de um vetor (x, y) ∈ R2 como sendo o nu´mero real ‖(x, y)‖ = √ x2 + y2. Com o conceito de norma, podemos definir o conceito de bola aberta. Definic¸a˜o 9. Sejam (x0, y0) um ponto de R 2 e r > 0 um nu´mero real. O conjunto {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r} chama-se bola aberta de centro (x0, y0) e raio r. Exemplo: Esboce a bola aberta de centro (2, 1) e raio 1. Devemos esboc¸ar o conjunto {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)− (2, 1)‖ < 1}. Em outras palavras, os pontos (x, y) que satisfazem √ (x− 2)2 + (y − 1)2 < 1, ou ainda, (x−2)2+(y−1)2 < 1. Esse conjunto e´ formado pelos pontos do que esta˜o dentro da circunfereˆncia de centro (2, 1) e raio 1. 1 2 Figura 18: Bola Aberta. Observe que na figura 18 a circunfereˆncia esta´ tracejada pois seus pontos na˜o pertence a` bola aberta. Definic¸a˜o 10 (Ponto Interior). Seja A um subconjunto na˜o vazio de R2. Dizemos que (x0, y0) e´ um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x0, y0) contida em A. 14 Primeira Lista de Exerc´ıcios 1. Encontre a equac¸a˜o do plano nas seguintes situac¸o˜es: (a) Plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 1, 0). (b) Plano que passa pelo ponto (−2, 8, 10) e e´ perpendicular a` reta x = 1 + t, y = 2t e z = 4− 3t. (c) Plano que contem as retas x = 3+2t, y = t, z = 8− t e x = 3t, y = 1+ t, z = 7− t. 2. Esboce as superf´ıcies: (a) y2 + 4z2 = 4. (b) z = 4− x2. (c) x− y2 = 0. (d) z = cosx. 3. Descreva o domı´nio de f e ache os valores funcionais indicados (a) f(x, y) = y + 2 x ; f(3, 1), f(1, 3) e f(2, 0). (b) f(u, v) = uv u− 2v ; f(2, 3), f(−1, 4) e f(0, 1). (c) f(x, y, z) = 2 + tg(x) + ysen(z); f(pi 4 , 4, pi 6 ) e f(0, 0, 0). 4. Esboce o gra´fico de f . (a) f(x, y) = 6− 2x− 3y. (b) f(x, y) = √ 72 + 4x2 − 9y2. (c) f(x, y) = √ y2 − 4x2 − 16. 5. Esboce as curvas de n´ıvel para os dados valores do n´ıvel k. (a) f(x, y) = y2 − x2, em k = −4, 0, 9. (b) f(x, y) = x2 − y, em k = −2, 0, 3. (c) f(x, y) = (x− 2)2 + (y + 3)2, em k = 1, 4, 9. 6. Ache a equac¸a˜o da superf´ıcie de n´ıvel que conte´m o ponto P . (a) f(x, y, z) = x2 + 4y2 − z2, em P = (2,−1, 3). (b) f(x, y) = z2y + x, em P = (1, 4,−2). 7. Se x e´ a velocidade do vento (em m/seg) e y e´ a temperatura (em oC), enta˜o o fator de resfriamento eo´lico F (em (kcal/m2)/hr) e´ dado por F = (33− y)(10√x− x+ 10, 5). (a) Ache as velocidades e temperaturas para as quais F e´ 0. (Admita que 0 ≤ x ≤ 50 e −50 ≤ y ≤ 50.) (b) Se F ≥ 1400, pode ocorrer congelamento em partes expostas do corpo humano. Esboce o gra´fico da curva de n´ıvel F = 1400. 15 Aula 5: 10/03/2010 Exemplo: Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0}. Figura 19: Pontos interiores. Qualquer ponto (x, y), com x > 0 e y > 0, e´ ponto interior de A. Basta escolher o raio da bola menor que o mı´nimo entre x e y. No entanto, os pontos da forma (x, y), com x = 0 ou y = 0, na˜o sa˜o pontos interiores. Qualquer bola aberta centrada em um ponto da forma (x, 0) na˜o esta´ contida no conjunto A. Veja a figura 19. Definic¸a˜o 11 (Conjunto Aberto). Dizemos que um subconjunto A ⊂ R2 e´ aberto se todo ponto de A e´ponto interior de A. Exemplos: • O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0} na˜o e´ aberto, pois como vimos no exemplo anterior ele possui pontos da forma (x, 0) e (0, y) que na˜o sa˜o pontos interiores. • O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 e y > 0} e´ aberto, pois todos os seus pontos sa˜o pontos interiores. • O conjunto B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 2 < 1} e´ aberto. Veja a figura 20. Figura 20: Interior da elipse. Definic¸a˜o 12 (Ponto de Acumulac¸a˜o). Seja A um subconjunto de R2 e seja (a, b) um ponto de R2. Dizemos que (a, b) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de A se toda bola aberta de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) de A, com (x, y) 6= (a, b). 16 Em outras palavras, (a, b) e´ ponto de acumulac¸a˜o de A se existem pontos de A, distintos de (a, b), ta˜o pro´ximos de (a, b) quanto se queira. Exemplo: Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}. • (0, 0) e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. • (1, 0) e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. • (2, 0) na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. Figura 21: Interior do c´ırculo. Observamos que podem ocorrer casos em que um ponto (a, b) pertence ao conjunto A, mas na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. Nesse caso, esses pontos sa˜o chamados de pontos isolados de A. Por exemplo, em um conjunto com um nu´mero finito de pontos todos os pontos sa˜o isolados. Para cada ponto (a, b), basta escolher uma bola aberta que tenha como raio um nu´mero menor que a distaˆncia mı´nima de (a, b) aos outros pontos do conjunto. Observac¸a˜o: Observamos que as noc¸o˜es topolo´gicas no espac¸o sa˜o exatamente as mesmas do plano. A u´nica diferenc¸a e´ que a norma de um vetor (x, y, z) de R3 e´ dada por √ x2 + y2 + z2. Por exemplo a bola aberta em R3 de centro (2, 1, 1) e raio 1 e´ constitu´ıda pelos pontos interiores a` esfera de centro (2, 1, 1) e raio 1. 5 Limites e continuidade: definic¸a˜o e propriedades De posse da definic¸a˜o de ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto, podemos definir a noc¸a˜o de limite para func¸o˜es reais de duas varia´veis reais. Definic¸a˜o 13 (Limite). Sejam f : A ⊂ R2 → R uma func¸a˜o, (x0, y0) um ponto de acumulac¸a˜o de A e L um nu´mero real. Dizemos que o limite de f(x, y), quando (x, y) tende a (x0, y0) e´ L e escrevemos lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que todo (x, y) ∈ A com a propriedade 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ se tenha |f(x, y)− L| < ε. 17 y0 x0 A δ L L+ εL− ε Figura 22: Definic¸a˜o de limite. Escrevendo de maneira mais resumida temos lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L se : ∀ε > 0 ∃δ > 0 : (x, y) ∈ A e 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ε. O limite de f(x, y), quando (x, y) tende a (x0, y0) e´ L significa que se (x, y) esta´ no domı´nio de f e pertence a` bola de centro (x0, y0) e raio δ e (x, y) 6= (x0, y0), enta˜o a imagem f(x, y) pertence ao intervalo (L− ε, L+ ε). Veja a figura 22. Exemplo: Seja f(x, y) = k uma func¸a˜o constante. Mostre que lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = k. De fato, dado ε > 0, basta tomar um δ > 0 qualquer. Da´ı se 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ enta˜o temos |f(x, y)− L| = |k − k| = 0 < ε. Exemplo: Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x. Mostre que lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = x0. Inicialmente observe que |x − x0| = √ (x− x0)2 ≤ √ (x− x0)2 + (y − y0)2 = ‖(x, y) − (x0, y0)‖. De posse da observac¸a˜o anterior, dado ε > 0 qualquer, temos que encontrar δ > 0 que satisfac¸a a definic¸a˜o de limite. Muito bem, escolha δ igual ao ε > 0 dado. Nesse caso, temos que para todo (x, y) ∈ R2 vale: 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− x0| = |x− x0| ≤ ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ = ε. Ou seja, mostramos que 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− x0| < ε. 18 Aula 6: 12/03/2010 Exemplo: A func¸a˜o f(x, y) = −x2 + y2 x2 + y2 tem limite em (0, 0)? A resposta dessa pergunta e´ na˜o, pois quando calculamos f nos pontos da forma (x, 0) temos f(x, 0) = −1 e em pontos da forma (0, y) temos f(0, y) = 1. Para provarmos de maneira rigorosa, suponha que o limite exista e seja L. Se L ≤ 0, temos |f(0, y)− L| = |1− L| = 1− L ≥ 1. Se L > 0, temos |f(x, 0)− L| = | − 1− L| = 1 + L > 1. Portanto, dado ε = 1, na˜o e´ poss´ıvel encontrar δ > 0 de tal forma que todos os pontos (x, y), com 0 < ‖(x, y)‖ < δ, satisfac¸am |f(x, y)− L| < ε. Para a pro´xima definic¸a˜o necessitaremos do conceito de func¸a˜o vetorial cont´ınua, a ser estudada em um cap´ıtulo posterior. Uma aplicac¸a˜o de um intervalo I ⊂ R em R2 e´ uma correspondeˆncia α : I → R2 que a cada t ∈ I associa um α(t) = (α1(t), α2(t)) ∈ R2. Dizer que α e´ cont´ınua, e´ o mesmo que dizer que α1 : I → R e α2 : I → R sa˜o cont´ınuas. Definic¸a˜o 14 (Curva ou caminho). Seja I ⊂ R um intervalo. Uma curva ou caminho em R 2 e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua α : I → R2. Exemplo: A equac¸a˜o vetorial da reta α(t) = (x0 + at, y0 + bt) e´ um exemplo de caminho. E´ a reta que passa pelo ponto (x0, y0) e tem a direc¸a˜o do vetor (a, b). Veja figura 23-(a). Outro exemplo de caminho e´ dado por β(t) = (t2, t). Observe que esse caminho e´ a para´bola x = y2. Veja figura 23-(b). (x0, y0) (a, b) (a) (b) Figura 23: Caminhos. Definic¸a˜o 15. Dados (x0, y0) ∈ D ⊂ R2, uma func¸a˜o f : D → R e um caminho α : I → D passando por (x0, y0), isto e´ α(t0) = (x0, y0) para algum t0 ∈ I, enta˜o definimos o limite pelo caminho α, da func¸a˜o f quando (x, y) tende a (x0, y0) por lim t→t0 f(α(t)). 19 Exemplo: Considere a func¸a˜o f(x, y) = −x2 + y2 x2 + y2 e (x0, y0) = (0, 0). Considere ainda os caminhos α1(t) = (t, 0) e α2(t) = (0, t). Ambos caminhos passam pelo (0, 0) quando t = 0. Temos lim t→0 f(α1(t)) = lim t→0 −t2 t2 = −1, e lim t→0 f(α2(t)) = lim t→0 t2 t2 = 1. Proposic¸a˜o 1. Se existem pelo menos dois caminhos α1 e α2, passando pelo ponto (x0, y0), tais que limt→t0 f(α1(t)) 6= limt→t0 f(α2(t)), enta˜o na˜o existe lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y). Proposic¸a˜o 2. Se para algum caminho α o limite limt→t0 f(α(t)) na˜o existe, enta˜o na˜o existe lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y). Exemplo: Usando a proposic¸a˜o anterior temos que lim (x,y)→(0,0) cos x x2 + y2 na˜o existe. De fato, se considerarmos o caminho α(t) = (t, 0), enta˜o o limite de uma varia´vel real lim t→0 cos 1 t na˜o existe. Exemplo: Mostre que lim (x,y)→(0,0) xy2 x2 − y2 na˜o existe. Para isso, considere os seguintes caminhos α1(t) = (t+ t 2, t) e α2(t) = (t− t2, t). Da´ı temos lim t→0 f(α1(t)) = lim t→0 t4 + t3 t4 + 2t3 + t2 − t2 = limt→0 1 + t 2 + t = 1 2 , e lim t→0 f(α2(t)) = lim t→0 −t4 + t3 t4 − 2t3 + t2 − t2 = limt→0 1− t −2 + t = − 1 2 . Portanto na˜o existe o limite. Teorema 1 (Teorema do Confronto). Sejam f, g, h : D ⊂ R2 → R e (x0, y0) um ponto de acumulac¸a˜o de D. Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para todo (x, y) ∈ D, lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L e lim (x,y)→(x0,y0) h(x, y) = L, enta˜o lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y) = L. Proposic¸a˜o 3. Sejam f, g : D ⊂ R2 → R e (x0, y0) um ponto de acumulac¸a˜o de D. Se g e´ limitada e lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = 0, enta˜o lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y)g(x, y) = 0. Observac¸a˜o: Uma func¸a˜o g : D ⊂ R2 → R e´ limitada se existe M ∈ R tal que |g(x, y)| < M para todo (x, y) ∈ D. Exemplo: Calcule lim (x,y)→(0,0) x3 x2 + y2 . Inicialmente observe que x2 + y2 ≥ x2 ≥ 0, portanto x2 x2+y2 ≤ 1. Enta˜o consideramos f(x, y) = x e g(x, y) = x 2 x2+y2 . Dai f(x, y)g(x, y) = x 3 x2+y2 , g e´ limitada e lim (x,y)→(0,0) f(x, y) = 0. Portando usando a proposic¸a˜o anterior conclu´ımos que o limite e´ zero. 20 Aula 7: 17/03/2010 Proposic¸a˜o 4 (Propriedades operato´rias). Se lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L1 e lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y) = L2 enta˜o • lim (x,y)→(x0,y0) [f(x, y) + g(x, y)] = L1 + L2; • lim (x,y)→(x0,y0) [kf(x, y)] = kL1; • lim (x,y)→(x0,y0) [f(x, y)g(x,y)] = L1L2; • lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) g(x, y) = L1 L2 se L2 6= 0. Definic¸a˜o 16 (Continuidade). Sejam U ⊂ R2, f : U → R e (x0, y0) ∈ U . Dizemos que f e´ cont´ınua em (x0, y0) se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ U , com ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ, implica |f(x, y)− f(x0, y0)| < ε. De maneira mais abreviada f e´ cont´ınua em (x0, y0) ∈ U se: ∀ε > 0 ∃δ > 0 : (x, y) ∈ U e ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < ε. Observac¸o˜es: 1. Se (x0, y0) e´ um ponto isolado de U , enta˜o f e´ cont´ınua. Observe que independe da f pois se o ponto e´ isolado enta˜o existe uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio δ tal que o u´nico ponto de U na bola e´ (x, y) = (x0, y0). E nesse caso, |f(x, y)− f(x0, y0)| = 0. 2. Se (x0, y0) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de U enta˜o f e´ cont´ınua em (x0, y0) se: • (x0, y0) ∈ U . • Existe lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y). • lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0). Exemplos: 1. A func¸a˜o constante f : R2 → R dada por f(x, y) = k e´ cont´ınua em todo ponto (x0, y0) ∈ R2 pois lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = k = f(x0, y0). 2. A func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = x e´ cont´ınua em todo ponto (x0, y0) ∈ R2 pois lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = x0 = f(x0, y0). 21 3. A func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = x2 − y2 x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0), na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) pois na˜o existe lim (x,y)→(0,0) f(x, y). De fato, tomando-se os caminhos α1(t) = (t, t) e α2(t) = (0, t) temos lim t→0 f(α1(t)) = lim t→0 0 2t2 = 0 e lim t→0 f(α2(t)) = lim t→0 −t2 2t2 = −1 2 . 4. Verifique que a func¸a˜o do exemplo anterior e´ cont´ınua no ponto (1, 0). De fato, ja´ provamos que o limite da func¸a˜o h(x, y) = x quando (x, y) tende a (x0, y0) e´ x0. Portanto lim(x,y)→(1,0) h(x, y) = 1. Utilizando o item (3) da Proposic¸a˜o 4 temos lim(x,y)→(1,0) h(x, y).h(x, y) = 1.1 = 1, ou seja, lim (x,y)→(1,0) x2 = 1. De maneira ana´loga, usando o fato que o limite da func¸a˜o g(x, y) = y quando (x, y) tende a (x0, y0) e´ y0 e o item (3) da Proposic¸a˜o 4, prova-se que lim (x,y)→(1,0) y2 = 0.0 = 0. Agora, utilizamos o item (2) da Proposic¸a˜o 4 para garantir que lim (x,y)→(1,0) (−1)y2 = (−1).0 = 0. O item (1) da Proposic¸a˜o 4 garante que lim(x,y)→(1,0) x2 + (−1)y2 = 1 + 0 = 1. Com a mesma ide´ia provamos que lim(x,y)→(1,0) x2 + y2 = 1+ 0 = 1. Finalmente usamos o ı´tem (4) da Proposic¸a˜o 4 para concluir que lim (x,y)→(1,0) x2 − y2 x2 + y2 = 1 1 = 1. Pelo fato de (1, 0) ser um ponto de acumulac¸a˜o de R2 e f(1, 0) = 1 = lim(x,y)→(1,0) f(x, y), conclu´ımos que f e´ cont´ınua no ponto (1, 0). Teorema 2. Sejam f : A ⊂ R2 → R e g : B ⊂ R → R duas func¸o˜es tais que f(A) ⊂ B. Se f e´ cont´ınua em (x0, y0) ∈ A e g e´ cont´ınua em f(x0, y0), enta˜o a composta h : A→ R, dada por h(x, y) = g(f(x, y)) e´ cont´ınua em (x0, y0). Demonstrac¸a˜o: Dado ε > 0, inicialmente usamos a hipo´tese que g e´ cont´ınua em f(x0, y0) para assegurar que existe δ1 > 0 tal que u ∈ B e |u− f(x0, y0)| < δ1 =⇒ |g(u)− g(f(x0, y0))| < ε. (1) 22 A f g g ◦ f f(x0, y0) ∈ B g(f(x0, y0)) (x0, y0) Figura 24: Composic¸a˜o de func¸o˜es cont´ınuas. Posteriormente usamos esse δ1 > 0 encontrado, desempenhando o papel do ε na hipo´tese de que f e´ cont´ınua em (x0, y0), para assegurar a existeˆncia de δ > 0 que satisfaz (x, y) ∈ A e ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < δ1. (2) De (1) e (2) segue que (x, y) ∈ A e ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |g(f(x, y))− g(f(x0, y0))| < ε. Portanto g ◦ f e´ cont´ınua em (x0, y0). � Proposic¸a˜o 5. Sejam f, g : X ⊂ R2 → R func¸o˜es cont´ınuas em (x0, y0) ∈ X e k uma constante real. Enta˜o 1. A func¸a˜o f + g e´ cont´ınua em (x0, y0). 2. A func¸a˜o kf e´ cont´ınua em (x0, y0). 3. A func¸a˜o f.g e´ cont´ınua em (x0, y0). 4. A func¸a˜o f g e´ cont´ınua em (x0, y0), desde que g(x0, y0) 6= 0. Exemplo: Ja´ vimos que f(x, y) = x e´ cont´ınua e do curso de ca´lculo I sabemos que g(u) = u2 e´ cont´ınua. Portanto, usando o Teorema 2 temos que h(x, y) = g◦f(x, y) = x2 e´ cont´ınua. Da mesma forma conclu´ımos que L(x, y) = y2 e´ cont´ınua. Usando agora o item 1) da proposic¸a˜o anterior temos que a func¸a˜o (h + L)(x, y) = x2 + y2 e´ cont´ınua. Da mesma forma que provamos que h e´ cont´ınua, temos que M(x, y) = x3 e´ cont´ınua. Finalmente, usando o item 4) da proposic¸a˜o anterior, temos ( M h+ L ) (x, y) = x3 x2 + y2 e´ cont´ınua em (x0, y0) desde que (h + L)(x0, y0) 6= 0, ou seja, desde que (x0, y0) 6= (0, 0). Portanto, a func¸a˜o F (x, y) = x3 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) e´ cont´ınua em todo ponto (x0, y0) 6= (0, 0). A pergunta e´: E no ponto (0, 0)? F e´ cont´ınua? Como f(0, 0) = 0 e (0, 0) e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio de F , devemos verificar se lim(x,y)→(0,0) F (x, y) = 0. Observamos que x 3 x2+y2 = x. x 2 x2+y2 , onde x 2 x2+y2 e´ limitada e x tende a zero. Portanto F e´ cont´ınua em todos os pontos de R2. 23 Segunda Lista de Exerc´ıcios 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo sa˜o abertos do R2. (a) {(x, y) ∈ R2|x = 1 e 1 < y < 3}. (b) {(x, y) ∈ R2|x+ y > 3 e x2 + y2 < 16}. (c) {(x, y) ∈ R2|xy > 0}. 2. Determine o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o do conjunto dado. (a) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}. (b) {(x, y) ∈ R2|x e y inteiros}. (c) {(x, y) ∈ R2|x+ y ≥ 1}. 3. Calcule, caso exista. (a) lim (x,y)→(0,0) x · sen 1 x2 + y2 , (b) lim (x,y)→(0,0) x√ x2 + y2 , (c) lim (x,y)→(0,0) x2√ x2 + y2 , (d) lim (x,y)→(0,0) x+ y x− y , (e) lim (x,y)→(0,0) xy2 x2 − y2 , (f) lim(x,y)→(0,0) xy y − x3 4. Seja f(x, y) = 2xy2 x2 + y4 . (a) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a2 + b2 > 0; mostre que quaisquer que sejam a e b, lim t→0 f(γ(t)) = 0. (b) Calcule lim t→0 f(δ(t)) = 0, onde δ(t) = (t2, t). (c) O limite abaixo existe? Por queˆ? lim (x,y)→(0,0) 2xy2 x2 + y4 5. Calcule lim (x,y)→(0,0) f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k ||(h, k)|| , onde f(x, y) = x2 + y. 6. Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta. (a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6. (b) f(x, y) = ln x−y x2+y2 . (c) f(x, y) = { x−3y x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . 24 Aula 8: 24/03/2010 6 Derivadas parciais 6.1 Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica Antes de estudarmos derivadas de func¸o˜es reais de mais de uma varia´vel real vamos recordar a definic¸a˜o de derivabilidade de func¸o˜es reais de uma u´nica varia´vel real. Seja I um intervalo aberto de R e x0 ∈ I. Dizemos que uma func¸a˜o f : I → R e´ deriva´vel em x0 se existe o limite lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 . Esse limite e´ denotado por f ′(x0) e e´ chamado de derivada de f em x0. Geometricamente esse limite e´ interpretado como o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)), isto e´, se a reta tangente faz aˆngulo θ com o eixo x, enta˜o f ′(x0) = tan θ. Veja a figura 25. f(x0) θ x0 Figura 25: Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada de func¸o˜es de uma varia´vel real. Considere agora U ⊂ R2 um subconjunto aberto de R2, (x0, y0) ∈ U e f : U → R uma func¸a˜o real de duas varia´veis. Se fixamos y0 enta˜o temos uma func¸a˜o de uma varia´vel g : A → R definida por g(x) = f(x, y0), onde A = {x ∈ R : (x, y0) ∈ U}. Por exemplo, se f(x, y) = 7x2 + 3y3 + 5xy e fixamos y = 2 temos g(x) = f(x, 2) = 7x2 + 10x+ 24. Da mesma forma, fixado x0, temos uma func¸a˜o de uma varia´vel h : B → R definida por h(y) = f(x0, y), onde B = {y ∈ R : (x0, y) ∈ U}. A derivada da func¸a˜o g(x) = f(x, y0) no ponto x = x0, quando existe, chama-se derivada parcial de f , em relac¸a˜o a x, no ponto (x0, y0), e denotamos por ∂f ∂x (x0, y0). Analogamente,a derivada da func¸a˜o h(y) = f(x0, y) no ponto y = y0, quando existe, chama-se derivada parcial de f , em relac¸a˜o a y, no ponto (x0, y0), e denotamos por ∂f ∂y (x0, y0). De maneira mais resumida temos: Definic¸a˜o 17. Sejam f : U ⊂ R2 → R uma func¸a˜o definida no aberto U e x0, y0) ∈ U . Definimos a derivada parcial de f, em relac¸a˜o a x, no ponto (x0, y0) (quando existe) e a derivada parcial de f, em relac¸a˜o a y, no ponto (x0, y0) (quando existe) por ∂f ∂x (x0, y0) = lim x→x0 f(x, y0)− f(x0, y0) x− x0 e ∂f ∂y (x0, y0) = lim y→y0 f(x0, y)− f(x0, y0) y − y0 . 25 Se os limites da definic¸a˜o anterior existem para todo (x, y) ∈ U enta˜o podemos definir as func¸o˜es ∂f ∂x : U → R e ∂f ∂y : U → R. A func¸a˜o ∂f ∂x e´ chamada derivada parcial de primeira ordem de f em relac¸a˜o a x e a func¸a˜o ∂f ∂y e´ chamada derivada parcial de primeira ordem de f em relac¸a˜o a y. Exemplo: Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x2 + 5y3 + 3xy. Calcule ∂f ∂x (1, 2), ∂f ∂y (1, 2), ∂f ∂x (x, y) e ∂f ∂y (x, y). Considere g(x) = f(x, 2) = x2+6x+40 e h(y) = f(1, y) = 5y3+3y+1. Logo g′(x) = 2x+6 e h′(y) = 15y2 + 3. Portanto ∂f ∂x (1, 2) = g′(1) = 8 e ∂f ∂y (1, 2) = h′(2) = 63. As func¸o˜es ∂f ∂x e ∂f ∂y sa˜o dadas por ∂f ∂x (x, y) = 2x+ 3y e ∂f ∂y (x, y) = 15y2 + 3x. Exemplo: Considere agora f(x, y) = 2xy − 4y. Logo temos ∂f ∂x (x, y) = 2y e ∂f ∂y (x, y) = 2x− 4. Exemplo: Considere agora f(x, y) = exy. Logo temos ∂f ∂x (x, y) = yexy e ∂f ∂y (x, y) = xexy. Exemplo: Calcule a func¸a˜o ∂f ∂x , onde a func¸a˜o f : R2 → R e´ dada por f(x, y) = x3 − y2 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). Para os pontos (x, y) 6= (0, 0), usamos a regra de derivac¸a˜o de func¸o˜es de uma varia´vel dada por [ f g ]′ = f ′g − fg′ g2 e calculamos ∂f ∂x (x, y) = [3x2][x2 + y2]− [x3 − y2][2x] [x2 + y2]2 = x4 + 3x2y2 + 2xy2 [x2 + y2]2 . Para o ponto (x, y) = (0, 0) temos que calcular usando a definic¸a˜o de derivada parcial. ∂f ∂x (0, 0) = lim x→0 f(x, 0)− f(0, 0) x− 0 = limx→0 x3−02 x2+02 − 0 x− 0 = limx→0 x x = 1. 26 Portanto temos que ∂f ∂x (x, y) = x4 + 3x2y2 + 2xy2 [x2 + y2]2 , se (x, y) 6= (0, 0), 1, se (x, y) = (0, 0). Agora veremos a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial. Observe que se f : U ⊂ R 2 → R e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis e (x0, y0) ∈ U , enta˜o o gra´fico da func¸a˜o g(x) = f(x, y0) e´ a intersecc¸a˜o do gra´fico de f com o plano y = y0. Portanto ∂f ∂x (x0, y0) = g ′(x0) e´ o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f contida no plano y = y0 e que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Veja a figura 26. f(x0, y0) θ y0x0 Figura 26: Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial. Analogamente temos que ∂f ∂y (x0, y0) e´ o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f contida no plano x = x0 e que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)). 27 Aula 9: 26/03/2010 No Ca´lculo I vale o seguinte resultado “Se f : A ⊂ R→ R e´ deriva´vel em x0 ∈ A, enta˜o f e´ cont´ınua em x0”. Veremos no pro´ximo exemplo que uma func¸a˜o f : A ⊂ R2 → R pode ter as derivadas parciais em um ponto (x0, y0) ∈ A e mesmo assim na˜o ser cont´ınua nesse ponto. Exemplo: Mostre que a func¸a˜o f(x, y) = xy x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). tem derivadas parciais em (0, 0), mas na˜o e´ cont´ınua em (0, 0). Inicialmente vamos calcular ∂f ∂x (0, 0) usando a definic¸a˜o ∂f ∂x (0, 0) = lim x→0 f(x, 0)− f(0, 0) x− 0 = limx→0 0− 0 x− 0 = 0. Analogamente temos ∂f ∂y (0, 0) = lim y→0 f(0, y)− f(0, 0) y − 0 = limy→0 0− 0 y − 0 = 0. Para mostrar que f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0), vamos mostrar que o limite lim (x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe. Para isso consideramos os caminhos α1(t) = (t, t) e α2(t) = (t, 0). Logo lim t→0 f(α1(t)) = lim t→0 t2 2t2 = 1 2 e lim t→0 f(α2(t)) = lim t→0 t.0 t2 + 02 = 0. Derivadas parciais de func¸o˜es de treˆs ou mais varia´veis Da mesma forma que definimos as derivadas parciais para func¸o˜es de duas varia´veis pode- mos definir para func¸o˜es de treˆs varia´veis da seguinte forma: Definic¸a˜o 18. Sejam U ⊂ R3 um aberto, f : U → R uma func¸a˜o e (x0, y0, z0) ∈ U . Defini- mos as derivadas parciais com respeito a x, y e z no ponto (x0, y0, z0) respectivamente pelos seguintes limites (quando eles existem): ∂f ∂x (x0, y0, z0) = lim x→x0 f(x, y0, z0)− f(x0, y0, z0) x− x0 , ∂f ∂y (x0, y0, z0) = lim y→y0 f(x0, y, z0)− f(x0, y0, z0) y − y0 e ∂f ∂z (x0, y0, z0) = lim z→z0 f(x0, y0, z)− f(x0, y0, z0) z − z0 ; Exemplo: Calcule as derivadas parciais da func¸a˜o f(x, y, z, w) = exyz + w2z. Temos ∂f ∂x (x, y, z, w) = exyzyz, ∂f ∂y (x, y, z, w) = exyzxz, ∂f ∂z (x, y, z, w) = exyzxy + w2 e ∂f ∂w (x, y, z, w) = 2wz. 28 6.2 Diferenciabilidade No curso de Ca´lculo I, dizemos que uma func¸a˜o f : A ⊂ R→ R e´ diferencia´vel em x0 ∈ A se existe o limite lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 = limh→0 f(x0 + h)− f(x0) h . E como lim h→0 f(x0 + h)− f(x0) h = a⇐⇒ lim h→0 f(x0 + h)− f(x0)− ah h = 0, podemos afirmar que f : A ⊂ R→ R e´ diferencia´vel em x0 ∈ A se existe a ∈ R tal que lim h→0 f(x0 + h)− f(x0)− ah |h| = 0. Inspirado na observac¸a˜o anterior temos a seguinte definic¸a˜o de diferenciabilidade para func¸o˜es de duas varia´veis. Definic¸a˜o 19. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) ∈ A. Dizemos que f e´ diferencia´vel em (x0, y0) se existem a, b ∈ R tais que lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk ‖(h, k)‖ = 0. Exemplo: Prove que a func¸a˜o f(x, y) = x2y e´ diferencia´vel em todo ponto (x0, y0) ∈ R2. Considere a = 2x0y0 e b = x 2 0. Temos lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk ‖(h, k)‖ = lim (h,k)→(0,0) (x0 + h) 2(y0 + k)− x20y0 − 2x0y0h− x20k√ h2 + k2 = lim (h,k)→(0,0) 2x0hk + h 2y0 + h 2k√ h2 + k2 = lim (h,k)→(0,0) [ 2x0k h√ h2 + k2 + hy0 h√ h2 + k2 + hk h√ h2 + k2 ] = 0. Na u´ltima linha acima usamos o fato que a func¸a˜o h√ h2 + k2 e´ limitada e as func¸o˜es 2x0k, hy0 e hk tendem a zero quando (h, k)→ (0, 0). Teorema 3. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) ∈ A. Se f e´ diferencia´vel em (x0, y0) enta˜o f e´ cont´ınua em (x0, y0). Demonstrac¸a˜o: Como (x0, y0) ∈ A e´ um ponto de acumulac¸a˜o de A, basta mostrar que existe o limite lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) e que e´ igual a f(x0, y0). Por hipo´tese f e´ diferencia´vel em (x0, y0), logo existem a, b ∈ R tais que f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ah + bk + E(h, k) com lim (h,k)→(0,0) E(h, k) ‖(h, k)‖ = 0 29 Observe que lim (h,k)→(0,0) ‖(h, k)‖ = 0 e lim (h,k)→(0,0) E(h, k) ‖(h, k)‖ = 0 implica que lim(h,k)→(0,0)E(h, k) = 0. Observamos ainda que lim (h,k)→(0,0) [ah+bk] = 0. Portanto, passando o limite quando (h, k)→ (0, 0) na expressa˜o f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ah + bk + E(h, k), obtemos lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0). Portanto lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0), concluindo a demonstrac¸a˜o. � 30 Aula 10: 31/03/2010 Teorema 4. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) ∈ A. Se f e´ diferencia´vel em (x0, y0) enta˜o f tem derivadas parciais em (x0, y0). Demonstrac¸a˜o: Por hipo´tese f e´ diferencia´vel em (x0, y0), logo existem a, b ∈ R tais que lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk ‖(h, k)‖ = 0. Fazendo k = 0 na expressa˜o do limite anterior temos lim h→0 f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ah ‖(h, 0)‖ = 0⇐⇒ limh→0 f(x0 + h, y0)−f(x0, y0) h = a, ou seja, ∂f ∂x (x0, y0) = a. Analogamente, fazendo h = 0 temos lim k→0 f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)− bk ‖(h, 0)‖ = 0⇐⇒ limk→0 f(x0, y0 + bk)− f(x0, y0) h = b, ou seja, ∂f ∂y (x0, y0) = b. � Observac¸a˜o 1. Da demonstrac¸a˜o do teorema anterior conclu´ımos que os nu´meros reais a e b da definic¸a˜o de diferenciabilidade sa˜o exatamente as derivadas parciais com respeito a x e a y respectivamente. Corola´rio 1. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) ∈ A. A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em (x0, y0) se, e somente se, 1. f admite derivadas parciais em (x0, y0), e 2. lim (h,k)→(0,0) E(h, k) ‖(h, k)‖ = 0, onde E(h, k) = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f ∂x (x0, y0).h+ ∂f ∂y (x0, y0).k. Observac¸o˜es: 1. Se uma das derivadas parciais na˜o existir, enta˜o f na˜o sera´ diferencia´vel nesse ponto. 2. Se ambas derivadas parciais existirem em (x0, y0), mas o limite do corola´rio anterior na˜o existir ou na˜o for zero, enta˜o f na˜o sera´ diferencia´vel em (x0, y0). 3. Se f na˜o for cont´ınua em (x0, y0), enta˜o f na˜o sera´ diferencia´vel em (x0, y0). 31 Exemplos: 1. A func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = √ x2 + y2 e´ cont´ınua em (0, 0), mas na˜o e´ diferencia´vel nesse ponto. De fato, as func¸o˜es h(x, y) = x2 e m(x, y) = y2 sa˜o cont´ınuas logo a func¸a˜o n(x, y) = (h + m)(x, y) = x2 + y2 e´ cont´ınua. Sabemos do curso de Ca´lculo I que a func¸a˜o r(u) = √ u e´ cont´ınua. E como a composic¸a˜o de func¸o˜es cont´ınua e´ uma func¸a˜o cont´ınua, conclu´ımos que f(x, y) = √ x2 + y2 = r(n(x, y)) e´ cont´ınua em qualquer ponto (x, y). Em particular ela e´ cont´ınua em (0, 0). Para provar que f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0) veremos que f na˜o possui as derivadas parciais em (0, 0). Observe que ∂f ∂x (0, 0) = lim x→0 f(x, 0)− f(0, 0) x− 0 = limx→0 √ x2 x . Esse limite na˜o existe pois para x > 0 temos √ x2 x = 1 e para x < 0 temos √ x2 x = −1. Isto e´, os limites laterais sa˜o distintos. O mesmo ocorre para ∂f ∂y (0, 0). 2. A func¸a˜o f(x, y) = 2xy2 x2 + y4 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0), e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique. A func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0), pois f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0). Para ver que f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) basta considerar os caminhos α1(t) = (t, 0) e α2(t) = (t 2, t). Da´ı lim t→0 f(α1(t)) = lim t→0 2t02 t2 + 04 = 0 e lim t→0 f(α2(t)) = lim t→0 2t2t2 t4 + t4 = 1. 3. A func¸a˜o f(x, y) = x3 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0), e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique. Inicialmente observe que f e´ cont´ınua pois lim (x,y)→(0,0) x = 0 e x2 x2 + y2 e´ limitada Portanto lim (x,y)→(0,0) x3 x2 + y2 = 0 = f(0, 0). 32 Agora vamos verificar se existem as derivadas parciais ∂f ∂x (0, 0) e ∂f ∂y (0, 0). ∂f ∂x (0, 0) = lim x→0 f(x, 0)− f(0, 0) x− 0 = limx→0 x3 x2+02 − 0 x− 0 = limx→0 x3 x3 = 1 ∂f ∂y (0, 0) = lim y→0 f(0, y)− f(0, 0) y − 0 = limx→0 0− 0 y − 0 = 0 Resta verificar se lim (h,k)→(0,0) E(h, k) ‖(h, k)‖ = 0, onde E(h, k) = f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− 1.h− 0.k = h 3 h2 + k2 − h. Chame G(h, k) = E(h, k) ‖(h, k)‖ = h3 h2+k2 − h√ h2 + k2 = −hk2 (h2 + k2) √ h2 + k2 . Tome o caminho α(t) = (t, t). Da´ı lim t→0 G(α(t)) = lim t→0 −t3 (t2 + t2) √ 2t2 = lim t→0 −t 2 √ 2|t| , o qual na˜o existe pois lim t→0+ −t 2 √ 2|t| = − 1 2 √ 2 e lim t→0− −t 2 √ 2|t| = 1 2 √ 2 . Portanto o limite lim (h,k)→(0,0) f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− 1.h− 0.k ‖(h, k)‖ na˜o existe e enta˜o f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0). 33 Terceira Lista de Exerc´ıcios 1. Determine as derivadas parciais. (a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4. (b) f(x, y) = x 3+y2 x2+y2 . (c) f(x, y) = e−x 2−y2 . (d) f(x, y) = xyexy. (e) f(x, y) = arctgx y . (f) f(x, y) = (x2 + y2)ln(x2 + y2). (g) f(x, y) = xsenycos(x2+y2) . 2. Considere a func¸a˜o z = xy 2 x2+y2 . Verifique que x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = z. 3. Considere a func¸a˜o z = xsenx y . Verifique que x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = z. 4. Seja φ : R→ R uma func¸a˜o de uma varia´vel real, diferencia´vel e tal que φ′(1) = 4. Seja g(x, y) = φ(x y ). Calcule (a) ∂g ∂x (1, 1). (b) ∂g ∂y (1, 1). 5. Determine ∂f ∂x e ∂f ∂y sendo f(x, y) = { x+y4 x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . 6. Dizemos que (x0, y0) e´ um ponto cr´ıtico de z = f(x, y) se ∂f ∂x (x0, y0) = 0 e ∂f ∂y (x0, y0) = 0. Determine caso existam, os pontos cr´ıticos da func¸a˜o dada: (a) f(x, y) = x2 + y2. (b) f(x, y) = 2x+ y3. (c) f(x, y) = x2 − 2xy + 3y2 + x− y. (d) f(x, y) = x4 + 4xy + y4. 7. Prove que as func¸o˜es dadas sa˜o diferencia´veis. (a) f(x, y) = x2y2. (b) f(x, y) = 1 xy . (c) f(x, y) = 1 x+ y . 8. A func¸a˜o f e´ diferencia´vel? Justifique com detalhes. (a) f(x, y) = x2 − y2 x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0. 34 (b) f(x, y) = x2y x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0. (c) f(x, y) = x4 x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0. (d) f(x, y) = x4 + y3. (e) f(x, y) = ln(1 + x2 + y2). (f) f(x, y) = cos(x2 + y2). 9. Determine o conjunto dos pontos em que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel. Justifique com detalhes. (a) f(x, y) = { xy x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (b) f(x, y) = { x3 x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (c) f(x, y) = { xy3 x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . 35 Aula 11: 07/04/2010 Agora vamos discutir uma condic¸a˜o suficiente para diferenciabilidade. Vamos mostrar que se as derivadas parciais existem em todo ponto de uma vizinhanc¸a de (x0, y0) e sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em (x0, y0), enta˜o a func¸a˜o e´ diferencia´vel em (x0, y0). Antes de enunciarmos o teorema que da´ uma condic¸a˜o suficiente de diferenciabilidade, vamos recordar um dos mais importantes teoremas do curso de Ca´lculo I. Teorema do Valor Me´dio Se f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a) b− a = f ′(c). Observe que se chamarmos b = a + h a expressa˜o anterior fica f(a+ h)− f(a) = f ′(c)h. Teorema 5. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) um ponto de A. Se as derivadas parciais ∂f ∂x e ∂f ∂y existem em A e sa˜o cont´ınuas em (x0, y0), enta˜o f e´ diferencia´vel em (x0, y0). Demonstrac¸a˜o: Como A e´ aberto e (x0, y0) ∈ A, segue que existe uma bola aberta de centro em (x0, y0) contida em A. Sejam h e k nu´meros reais pequenos o suficiente para que (x0 + h, y0 + k) ∈ B. Podemos escrever f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0 + k) + f(x0, y0 + k)− f(x0, y0). Fac¸amos G(x) = f(x, y0 + k). Logo f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0 + k) = G(x0 + h)−G(x0). E pelo Teorema do Valor Me´dio temos que existe x¯ entre x0 e x0 + h tal que G(x0 + h)−G(x0) = G′(x¯)h = ∂f ∂x (x¯, y0 + k)h. Da mesma forma existe y¯ entre y0 e y0 + k tal que f(x0, y0 + k)− f(x0, y0) = ∂f ∂y (x0, y¯)k. Portanto temos f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) = ∂f ∂x (x¯, y0 + k)h + ∂f ∂y (x0, y¯)k. Subtraindo de ambos os membros ∂f ∂x (x0, y0)h+ ∂f ∂y (x0, y0)k, ficamos com f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f ∂x (x0, y0)h− ∂f ∂y (x0, y0)k = [ ∂f ∂x (x¯, y0 + k)− ∂f ∂x (x0, y0) ] h + [ ∂f ∂y (x0, y¯)− ∂f ∂y (x0, y0) ] k. 36 Dividindo a expressa˜o por ‖(h, k)‖ = √h2 + k2 temos f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)h− ∂f∂y (x0, y0)k ‖(h, k)‖ =[ ∂f ∂x (x¯, y0+ k)− ∂f ∂x (x0, y0) ] h√ h2 + k2 + [ ∂f ∂y (x0, y¯)− ∂f ∂y (x0, y0) ] k√ h2 + k2 . Agora fazemos o limite com (h, k) tendendo a (0, 0). Pelo fato das func¸o˜es derivadas parciais ∂f ∂x e ∂f ∂y serem cont´ınuas em (x0, y0) segue que as expresso˜es entre colchetes na equac¸a˜o anterior tendem a zero. Por outro lado, as func¸o˜es h√ h2+k2 e k√ h2+k2 sa˜o limitadas. Conclu´ımos que lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)h− ∂f∂y (x0, y0)k ‖(h, k)‖ = 0. Portanto a func¸a˜o f e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0). � Definic¸a˜o 20. Dizemos que uma func¸a˜o f : A ⊂ R2 → R, A aberto, e´ de classe C1 em A se ∂f ∂x e ∂f ∂y existem e sa˜o cont´ınuas em todos os pontos de A. Da´ı temos a seguinte consequeˆncia do Teorema 5. Corola´rio 2. Seja f : A ⊂ R2 → R onde A e´ aberto. Se f e´ de classe C1 em A enta˜o f e´ diferencia´vel em todos os pontos de A. Exemplo: Mostre que a func¸a˜o f(x, y) = sen(x2 + y2) e´ diferencia´vel em todos os pontos de R 2. Basta observar que as derivadas parciais ∂f ∂x (x, y) = cos(x2 + y2).2x e ∂f ∂y (x, y) = cos(x2 + y2).2y sa˜o func¸o˜es cont´ınuas. Logo aplicando o teorema anterior temos que f e´ diferencia´vel em todo ponto de R2. Exemplo: Seja f : R2 → R a func¸a˜o dada por f(x, y) = { (x2 + y2)sen 1 x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). Mostre que f e´ diferencia´vel em (0, 0), mas as func¸o˜es derivadas parciais ∂f ∂x e ∂f ∂y na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0). Primeiro vejamos que f e´ diferencia´vel em (0, 0). Calculamos as derivadas parciais em (0, 0). ∂f ∂x (0, 0) = lim x→0 x2sen 1 x2 − 0 x− 0 = limx→0x sen 1 x2 = 0. Nesse limite anterior usamos o fato da func¸a˜o g(x) = x tender a zero e a func¸a˜o h(x) = sen 1 x2 ser limitada. De maneira ana´loga temos ∂f ∂y (0, 0) = 0. 37 Calculando agora lim (h,k)→(0,0) f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− ∂f ∂x (0, 0)h− ∂f ∂y (0, 0)k ‖(h, k)‖ = lim (h,k)→(0,0) h2 + k2√ h2 + k2 sen 1 h2 + k2 = lim (h,k)→(0,0) √ h2 + k2sen 1 h2 + k2 = 0, pois √ h2 + k2 tende a zero e sen 1 h2+k2 e´ limitada. Passamos agora a provar que as derivadas parciais na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0). Vimos que ∂f ∂x (0, 0) = 0. Nos pontos (x, y) 6= (0, 0) derivamos usando a regra do produto e obtemos ∂f ∂x (x, y) = 2xsen 1 x2 + y2 − 2x x2 + y2 cos 1 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). Tomando-se o caminho α(t) = (t, t) vemos que o limite lim t→0 ∂f ∂x (α(t)) na˜o existe. Logo ∂f ∂x na˜o e´ cont´ınua em (0, 0). De modo ana´logo prova-se que ∂f ∂y na˜o e´ cont´ınua em (0, 0). 38 Aula 12: 09/04/2010 Vimos que se uma func¸a˜o f : A ⊂ R2 → R, com A aberto, e´ diferencia´vel em (x0, y0) ∈ A temos lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)h− ∂f∂y (x0, y0)k ‖(h, k)‖ = 0. Chamando x = x0 + h e y = y0 + k temos lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)(x− x0)− ∂f∂y (x0, y0)(y − y0) ‖(x, y)− (x0, y0)‖ = 0. Agora vamos chamar E(x, y) = f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)(x− x0)− ∂f∂y (x0, y0)(y − y0), T (x, y) = f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f∂y (x0, y0)(y − y0). Portanto temos f(x, y) = T (x, y) + E(x, y) com lim (x,y)→(x0,y0) E(x, y) ‖(x, y)− (x0, y0)‖ = 0. Observac¸o˜es: 1. A func¸a˜o T (x, y) e´ a u´nica func¸a˜o afim (isto e´, uma func¸a˜o que tem como gra´fico um plano) que aproxima f(x, y) com um erro E(x, y) que tende a zero “mais rapidamente” que ‖(x, y)− (x0, y0)‖ quando (x, y) tende a (x0, y0). 2. Se f na˜o for diferencia´vel no ponto (x0, y0), mas existirem ∂f ∂x (x0, y0) e ∂f ∂y (x0, y0), enta˜o o plano dado pelo gra´fico de T (x, y) existira´, mas na˜o sera´ um plano tangente ao gra´fico de f . Definic¸a˜o 21. Seja f : A ⊂ R2 → R uma func¸a˜o definida no aberto A e diferencia´vel em (x0, y0) ∈ A. O plano z − f(x0, y0) = ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) e´ o plano tangente ao gra´fico de f pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Observe que um vetor normal ao plano tangente e´ o vetor n = ( ∂f ∂x (x0, y0), ∂f ∂y (x0, y0),−1 ) . Usando essa observac¸a˜o podemos definir a reta normal ao gra´fico de f . Definic¸a˜o 22. Seja f : A ⊂ R2 → R uma func¸a˜o definida no aberto A e diferencia´vel em (x0, y0) ∈ A. A reta (x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ ( ∂f ∂x (x0, y0), ∂f ∂y (x0, y0),−1 ) , para todo λ ∈ R, e´ a reta normal ao gra´fico de f pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)). 39 Exemplo: Seja f(x, y) = 3x3y − x2. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal ao gra´fico de f pelo ponto (1, 1, f(1, 1)). Calculando f(1, 1) obtemos f(1, 1) = 3.13.1 − 12 = 2. As derivadas parciais sa˜o dadas por ∂f ∂x (x, y) = 9x2y − 2x e ∂f ∂y (x, y) = 3x3. Calculando no ponto (1, 1) vem ∂f ∂x (1, 1) = 7 e ∂f ∂y (1, 1) = 3. Como a equac¸a˜o do plano tangente e´ z−f(1, 1) = ∂f ∂x (1, 1)(x−1)+ ∂f ∂y (1, 1)(y−1) obtemos z − 2 = 7(x− 1) + 3(y − 1), ou seja, a equac¸a˜o do plano tangente e´ 7x+ 3y − z = 8 e a reta normal e´ (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(7, 3,−1), λ ∈ R. Exemplo: Determine o plano tangente e a reta normal ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)). Temos f(0, 1) = 1, ∂f ∂x (x, y) = 2x e ∂f ∂y (x, y) = 2y. Logo ∂f ∂x (0, 1) = 0 e ∂f ∂y (0, 1) = 2. Portanto a equac¸a˜o do plano e´ z − 1 = 2(y − 1), ou seja, 2y − z = 1 e a equac¸a˜o da reta normal e´ (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ(0, 2,−1), λ ∈ R. Exemplo: Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gra´fico de f(x, y) = xy. Seja (a, b, f(a, b)) o ponto em que o plano tangencia o gra´fico de f . Esse plano e´ dado por z − ab = b(x− a) + a(y − b). Como os pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) pertencem ao plano, basta substituir esses valores na equac¸a˜o do plano e determinar os valores de a e b. Temos b+ a− 2 = ab, −b+ a− 1 = ab. Resolvendo esse sistema obtemos a = 3 e b = 1 2 . Portanto o plano procurado e´ x+ 6y − 2z = 3. Exemplo: Considere f(x, y) = x3 x2 + y2 . Mostre que todos os planos tangentes ao gra´fico de f passam pela origem. Calculando as derivadas parciais temos ∂f ∂x (x, y) = 3x2(x2 + y2)− x3(2x) (x2 + y2)2 = x4 + 3x2y2 (x2 + y2)2 40 ∂f ∂y (x, y) = −x3(2y) (x2 + y2)2 = −2x3y (x2 + y2)2 . Os planos tangentes ao gra´fico de f pelo ponto (a, b, f(a, b)) sa˜o dados por z − a 3 a2 + b2 = a4 + 3a2b2 (a2 + b2)2 (x− a) + −2a 3b (a2 + b2)2 (y − b). Substituindo x = 0 e y = 0 no lado direito da equac¸a˜o acima obtemos (a4 + 3a2b2)(−a) + (−2a3b)(−b) (a2 + b2)2 = −a5 − 3a3b2 + 2a3b2 (a2 + b2)2 = −a3 a2 + b2 . Exemplo: Seja f : R2 → R a func¸a˜o dada por f(x, y) = xy2 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). Mostre que o gra´fico de f na˜o admite plano tangente em (0, 0, 0). Basta mostrarmos que f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0). Calculando as derivadas parciais em (0, 0) temos ∂f ∂x (0, 0) = 0 e ∂f ∂y (0, 0) = 0. Denotando G(h, k) = f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− ∂f ∂x (0, 0)h− ∂f ∂y (0, 0)k√ h2 + k2 = hk2√ h2 + k2 e escolhendo o caminho α(t) = (t, t) temos lim t→0 G(α(t)) = lim t→0 t3 2t2 √ 2t2 = lim t→0 1 2 √ 2 t |t| o qual na˜o existe. 41 Aula 13: 14/04/2010 Sejam A ⊂ R2 um aberto e f : A→ R uma func¸a˜o diferencia´vel em (x0, y0) ∈ A. Considere a transformac¸a˜o linear (func¸a˜o linear) L : R2 → R dada por L(h, k) = ∂f ∂x (x0, y0)h+ ∂f ∂y (x0, y0)k. A func¸a˜o L e´ a u´nica transformac¸a˜o linear de R2 em R que aproxima o acre´scimo f(x0 + h, y0+k)− f(x0, y0) com erro E(h, k) que tende a zero “mais ra´pido”do que ‖(h, k)‖ quando (h, k) tende a (0, 0), isto e´, f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) = L(h, k) + E(h, k) lim (h,k)→(0,0) E(h, k) ‖(h, k)‖ = 0 Definic¸a˜o 23. A transformac¸a˜o linear L : R2 → R dada por L(h, k) = ∂f ∂x (x0, y0)h + ∂f ∂y (x0, y0)k e´ chamada diferencial de f no ponto (x0, y0). Sabemos que o gra´fico de T (x, y) = f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) e´ o plano tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Fazendo x = x0 + h e y = y0 + k temos T (x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)h+ ∂f ∂y (x0, y0)k, isto e´, T (x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + L(h, k) = T (x0, y0) + L(h, k). Portanto L(h, k) e´ a variac¸a˜o que T sofre quando passa de (x0, y0) para (x0 + h, y0 + k). Por outro lado, f(x0+h, y0+ k)− f(x0, y0) e´ a variac¸a˜o que f sofre quando passa de (x0, y0) para (x0 + h, y0 + k). Usaremos o s´ımbolo ∆f para denotar a variac¸a˜o que f sofre quando passa de (x, y) para (x+ dx, y + dy), isto e´, ∆f = f(x+ dx, y + dy)− f(x, y) e denotaremos a diferencial de f por df , isto e´, df = ∂f ∂x (x, y)dx+ ∂f ∂y (x, y)dy. Como conclusa˜o temos ∆f e´ aproximadamente df e escrevemos ∆f ∼= df. 42 Exemplo: Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x2y. 1. Calcule a diferencial df . 2. Usando a diferencial, calcule um valor aproximado para ∆f , quando passa de x = 1 e y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01. 3. Qual e´ o erro cometido na aproximac¸a˜o. Soluc¸a˜o: Para o ı´tem 1., a diferencial e´ dada por df = ∂f ∂x (x, y)dx+ ∂f ∂y (x, y)dy. Portanto df = 2xydx+ x2dy. Para o ı´tem 2., usamos o fato que ∆f ∼= df . Da´ı ∆f ∼= df = 2xydx+ x2dy = 2.1.2.(0, 02) + 12.(0, 01) = 0, 08 + 0, 01 = 0, 09. Para o ı´tem 3., calculamos ∆f e depois comparamos com df . ∆f = f(1.02, 2.01)− f(1, 2) = (1.02)2(2.01)− 2 = 0.091204 Portanto o erro e´ 0.001204. Exemplo: Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆A na a´rea de um retaˆngulo quando os lados variam de x = 2 e y = 3 para x = 2.01 e y = 2.97. Soluc¸a˜o: Considere a func¸a˜o A(x, y) = xy. Logo dA = ∂A ∂x (x, y)dx+ ∂A ∂y (x, y)dy = ydx+ xdy. Logo ∆A ∼= dA = 3(0.01) + 2(−0.03) = −0.03 Por curiosidade ∆A = (2.01)(2.97)− (2)(3) = 5.9697− 6 = −0.0303, logo o erro cometido e´ de 0.0003. 6.3 Vetor Gradiente Definic¸a˜o 24. Sejam A ⊂ R2 um aberto e f : A → R uma func¸a˜o que possui derivadas parciais em (x0, y0) o vetor ∇f(x0, y0) = ( ∂f ∂x (x0, y0), ∂f ∂y (x0, y0) ) , chama-se vetor gradiente de f em (x0, y0). Exemplo: Considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = x3 + y4. Calcule o vetor gradiente de f no ponto (1, 1). Soluc¸a˜o: Inicialmente calculamos as derivadas parciais ∂f ∂x (x, y) = 3x2 e ∂f ∂y (x, y) = 4y3, logo, avaliando no ponto (1, 1) temos ∇f(1, 1) = (3, 4). 43 Quarta Lista de Exerc´ıcios 1. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o dada no ponto dado. (a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)). (b) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1)). (c) f(x, y) = xex 2−y2 em (2, 2, f(2, 2)). 2. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2. 3. Sabendo-se que z = 2x + y e´ o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 1, 3), calcule ∂f ∂x (1, 1) e ∂f ∂y (1, 1). 4. Determine os planos que sejam tangentes ao gra´fico de f(x, y) = x2+y2 e que contenham a intersecc¸a˜o dos planos x+ y + z = 3 e z = 0. 5. Seja β um plano que e´ tangente aos gra´ficos de f(x, y) = 2+x2+y2 e g(x, y) = −x2−y2. Mostre que a2 + b2 = 1, sendo (a, b, f(a, b) o ponto em que β tangencia o gra´fico de f . 6. Calcule a diferencial. (a) z = x3y2. (b) z = sen(xy). (c) T = ln(1 + p2 + v2). 7. Seja z = xex 2−y2 . (a) Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆z em z, quando passa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002. (b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 1, 002. 8. A altura de um cone e´ h = 20cm e o raio da base e´ r = 12cm. Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆V no volume quando h aumenta 2mm e r decresce 1mm. 9. Calcule ∇f(x, y) sendo. (a) f(x, y) = x2y. (b) f(x, y) = x y . (c) f(x, y) = ex 2−y2 . 10. Seja f(x, y) = x2 − y2. Represente geometricamente ∇f(x0, y0), sendo (x0, y0) = (a) (1, 1). (b) (−1, 1). (c) (1,−1). (d) (−1,−1). 44 Aula 14: 16/04/2010 6.4 Regra da Cadeia Quando estudamos limites por caminhos, vimos que uma curva ou caminho e´ uma aplicac¸a˜o definida em um intervalo I ⊂ R com valores em R2. Definic¸a˜o 25 (Curva Diferencia´vel). Uma curva α : I ⊂ R → R2 da forma α(t) = (α1(t), α2(t)) e´ diferencia´vel em t0 ∈ I se α1 : I → R e α2 : I → R sa˜o deriva´veis em t0. E nesse caso, α′(t0) = (α′1(t0), α ′ 2(t0)). Exemplo: Considere a curva α(t) = (cos t, 2sent). Como as func¸o˜es α1(t) = cos t e α2(t) = 2sent sa˜o deriva´veis em t0 = pi 2 segue que α e´ diferencia´vel em t0 = pi 2 e α′(t0) = (−sen(pi 2 ), 2 cos( pi 2 )) = (−1, 0). Como curiosidade, se chamamos x = cos t e y = 2sent temos que para todo t os pontos da curva α pertencem a` elipse x2+ y2 4 = 1. O ponto α(pi 2 ) = (0, 2) e´ um dos ve´rtices da elipse. Se representamos o vetor α′(pi 2 ) = (−1, 0) com origem no ponto (0, 2) temos a figura 27. De fato isso e´ a interpretac¸a˜o f´ısica de que α(t0) e´ a posic¸a˜o da part´ıcula na trajeto´ria α no instante t = t0 e α ′(t0) e´ a velocidade instantaˆnea da part´ıcula no instante t = t0. (0, 2) α′(pi 2 ) Figura 27: Uma curva diferencia´vel e sua derivada. Teorema 6 (Regra da Cadeia). Sejam A ⊂ R2 aberto, f : A → R uma func¸a˜o, I ⊂ R um intervalo aberto e γ : I → R2 uma curva tal que γ(t) ∈ A para todo t ∈ I. Nessas condic¸o˜es, se γ for diferencia´vel em t0 e f diferencia´vel em γ(t0), enta˜o a composta F (t) = f(γ(t)) sera´ diferencia´vel em t0 e F ′(t0) = 〈∇f(γ(t0)), γ′(t0)〉. Demonstrac¸a˜o: Chamando γ(t0) = (x0, y0) e usando o fato que f e´ diferencia´vel em (x0, y0) temos f(x, y)− f(x0, y0) = ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) + E(x, y) com lim (x,y)→(x0,y0) E(x, y) ‖(x, y)− (x0, y0)‖ = 0. 45 Substituindo x = γ1(t) e y = γ2(t) temos f(γ(t))− f(γ(t0)) = ∂f ∂x (γ(t0))(γ1(t)− γ1(t0)) + ∂f ∂y (γ(t0))(γ2(t)− γ2(t0)) + E(γ(t)). Em outras palavras f(γ(t))− f(γ(t0)) = 〈∇(γ(t0)), (γ(t)− γ(t0))〉+ E(γ(t)). Dividindo por (t− t0) temos f(γ(t))− f(γ(t0)) t− t0 = 〈∇(γ(t0)), γ(t)− γ(t0) t− t0 〉+ E(γ(t)) t− t0 . Fazendo o limite quando t tende a t0 obtemos F ′(t0) = 〈∇(γ(t0)), γ′(t0)〉. � Exemplo: Considere f(x, y) = xy e γ(t) = (t3, t2). Inicialmente vamos calcular a composta e depois a derivada da composta. F (t) = f(γ(t)) = f(t3, t2) = t3t2 = t5. Dai a derivada e´ F ′(t) = 5t4. Agora vamos calcular usando a fo´rmula da Regra da Cadeia F ′(t) = 〈∇(γ(t)), γ′(t)〉. Observe que ∂f ∂x (x, y) = y ⇒ ∂f ∂x (γ(t)) = t2, ∂f ∂y (x, y) = x⇒ ∂f ∂y (γ(t)) = t3. Dai temos 〈∇(γ(t)), γ′(t)〉 = 〈(t2, t3), (3t2, 2t)〉 = 3t4 + 2t4 = 5t4. Agora veremos uma outra notac¸a˜o para a Regra da Cadeia. Fazendo γ(t) = (x(t), y(t)) temos ∇f(γ(t)) = ( ∂f ∂x (x(t), y(t)), ∂f ∂y (x(t), y(t)) ) e γ′(t) = ( dx dt (t), dy dt (t) ) . Omitindo a varia´vel t na fo´rmula F ′(t) = 〈∇(γ(t)), γ′(t)〉 obtemos dF dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt . Exemplo: Sejam z = f(x, y) = x2y, x = x(t) = et 2 e y = y(t) = 2t + 1. Calcule dz dt . Utilizando a fo´rmula anterior temos dz dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt = 2xy[2tet 2 ] + x2[2] = 2et 2 (2t+ 1)(2tet 2 ) + [et 2 ]22 = e2t 2 [8t2 + 4t+ 2]. De uma outra forma, calculando a composta primeiro temos z = x2y = e2t 2 (2t+ 1)⇒ dz dt= 4te2t 2 (2t+ 1) + e2t 2 2 = e2t 2 [8t2 + 4t+ 2]. 46 Exemplo: Seja F (t) = f(et 2 , sent) onde f(x, y) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel. 1. Expresse F ′(t) em termos das derivadas parciais de f . 2. Calcule F ′(0) sabendo que ∂f ∂y (1, 0) = 5. Soluc¸a˜o: Para o ı´tem 1. temos F ′(t) = ∂f ∂x (et 2 , sent).2tet 2 + ∂f ∂y (et 2 , sent). cos t. Para o ı´tem 2. temos F ′(0) = 2.0.e0 ∂f ∂x (1, 0) + 1 ∂f ∂y (1, 0) = ∂f ∂y (1, 0) = 5. 47 Aula 15: 23/04/2010 Exemplo: Suponha que f : R2 → R e´ diferencia´vel e que f(3x+ 1, 3x− 1) = 4 para todo x. Mostre que ∂f ∂x (3x+ 1, 3x− 1) = −∂f ∂y (3x+ 1, 3x− 1). Soluc¸a˜o: Chamando x = t e derivando vem 0 = ∂f ∂x (3t+ 1, 3t− 1)dx dt + ∂f ∂y (3t+ 1, 3t− 1)dy dt = 3 ∂f ∂x (3t+ 1, 3t− 1) + 3∂f ∂y (3t+ 1, 3t− 1). Da´ı, dividindo por 3 e voltando a chamar t = x temos o requerido. Sejam A ⊂ R2 e B ⊂ R2 conjuntos abertos, f : A → R e g, h : B → R func¸o˜es diferencia´veis tais que g(B)× h(B) ⊂ A. Considere a func¸a˜o F : B → R dada por F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)). O objetivo agora e´ calcular ∂F ∂u e ∂F ∂v . Para calcular ∂F ∂u , basta fazer v constante e aplicar a regra da cadeia. Portanto temos ∂F ∂u = ∂f ∂x ∂g ∂u + ∂f ∂y ∂h ∂u . Para calcular ∂F ∂v , basta fazer u constante e aplicar a regra da cadeia. Portanto temos ∂F ∂v = ∂f ∂x ∂g ∂v + ∂f ∂y ∂h ∂v . Exemplo: Seja F (r, θ) = f(x, y), onde x = r cos θ e y = rsenθ, calcule ∂F ∂r e ∂F ∂θ . Utilizando a fo´rmula anterior temos ∂F ∂r (r, θ) = ∂f ∂x (x, y) ∂x ∂r (r, θ) + ∂f ∂y (x, y) ∂y ∂r (r, θ) = ∂f ∂x (x, y) cos θ + ∂f ∂y (x, y)senθ e ∂F ∂θ (r, θ) = ∂f ∂x (x, y) ∂x ∂θ (r, θ) + ∂f ∂y (x, y) ∂y ∂θ (r, θ) = ∂f ∂x (x, y)(−rsenθ) + ∂f ∂y (x, y)r cos θ, portanto ∂F ∂r (r, θ) = cos θ ∂f ∂x (r cos θ, rsenθ) + senθ ∂f ∂y (r cos θ, rsenθ) e ∂F ∂θ (r, θ) = −rsenθ∂f ∂x (r cos θ, rsenθ) + r cos θ ∂f ∂y (r cos θ, rsenθ). 6.5 Derivac¸a˜o de func¸o˜es definidas implicitamente Em muitas situac¸o˜es uma func¸a˜o na˜o e´ definida de forma expl´ıcita. Ela e´ definida de forma impl´ıcita. Mais precisamente, temos a seguinte definic¸a˜o. 48 Definic¸a˜o 26. Sejam A ⊂ R2, f : A → R, e g : I ⊂ R → R uma func¸a˜o tal que o gra´fico de g esta´ contido em A. Dizemos que a func¸a˜o g e´ definida implicitamente pela equac¸a˜o f(x, y) = 0 se para todo x ∈ I tivermos f(x, g(x)) = 0. Exemplo: A func¸a˜o y(x) = √ 1− x2 e´ definida implicitamente por x2 + y2 = 1. A ide´ia agora e´ calcular a derivada g′(x) de uma func¸a˜o deriva´vel y = g(x) definida implicitamente por uma equac¸a˜o f(x, y) = 0, onde f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel. Sabemos que f(x, g(x)) = 0 para todo x. Enta˜o e´ so´ derivar e aplicar a regra da cadeia. Logo ∂f ∂x (x, y) dx dx + ∂f ∂y (x, y) dg dx (x) = 0 isto e´ ∂f ∂x (x, y) + ∂f ∂y (x, y)g′(x) = 0, portanto temos g′(x) = − ∂f ∂x (x, y) ∂f ∂y (x, y) , desde que ∂f ∂y (x, y) 6= 0. No exemplo anterior temos f(x, y) = x2 + y2 − 1, logo g′(x) = − ∂f ∂x (x, y) ∂f ∂y (x, y) = −2x 2y = − x√ 1− x2 . Analogamente, pode-se calcular a derivada h′(y) de uma func¸a˜o deriva´vel x = h(y) definida implicitamente por uma equac¸a˜o f(x, y) = 0, onde f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel. Sabemos que f(h(y), y) = 0 para todo y. Enta˜o e´ so´ derivar e aplicar a regra da cadeia. Logo ∂f ∂x (x, y) dh dy (y) + ∂f ∂y (x, y) dy dy = 0 isto e´ ∂f ∂x (x, y)h′(y) + ∂f ∂y (x, y) = 0, portanto temos h′(y) = − ∂f ∂y (x, y) ∂f ∂x (x, y) , desde que ∂f ∂x (x, y) 6= 0. 49 Exemplo: A func¸a˜o diferencia´vel y = y(x) e´ definida implicitamente pela equac¸a˜o y3+ xy+ x3 = 3. Expresse dy dx em termos de x e y. Soluc¸a˜o 1 : Considere f(x, y) = y3 + xy + x3 − 3. Da´ı temos y′(x) = − ∂f ∂x (x, y) ∂f ∂y (x, y) = −3x 2 + y 3y2 + x . Soluc¸a˜o 2 : Derivamos a expressa˜o y3 + xy + x3 = 3 em relac¸a˜o a x e obtemos d dx [y3 + xy + x3] = d dx [3]⇒ 3y2y′(x) + y + xy′(x) + 3x2 = 0. Da´ı isolamos y′(x) na expressa˜o anterior e obtemos y′(x)(3y2 + x) + (3x2 + y) = 0⇒ y′(x) = −3x 2 + y 3y2 + x . 50 Quinta Lista de Exerc´ıcios 1. Seja f(x, y) = x2 + y2 e seja γ(t) = (x(t), y(t)) uma curva diferencia´vel cuja imagem esta´ contida na curva de n´ıvel f(x, y) = 1. Seja γ(t0) = (x0, y0). Prove que o produto escalar de γ′(t0) com ∇f(x0, y0) e´ zero. Interprete geometricamente. 2. Calcule dz dt nos casos abaixo. (a) z = senxy, x = 3t e y = t2. (b) z = x2 + 3y2, x = sent e y = cost. (c) z = ln(1 + x2 + y2), x = sen3t e y = cos3t. 3. Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1). (a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f . (b) Calcule g′(0) admitindo que ∂f ∂x (0,−1) = 1 3 . 4. Suponha que, para todo x, f(3x, x3) = arctgx. (a) Calcule ∂f ∂x (3, 1) admitindo ∂f ∂y (3, 1) = 2. (b) Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (3, 1, f(3, 1)). 5. Admita que, para todo (x, y), 4y ∂f ∂x (x, y)− x∂f ∂y (x, y) = 2. Calcule g′(t), sendo g(t) = f(2cost, sent). 6. Admita que, para todo (x, y), 4y ∂f ∂x (x, y)− x∂f ∂y (x, y) = 0. Prove que f e´ constante sobre a elipse x 2 4 + y2 = 1. 7. A imagem da curva γ(t) = (2t, t2, z(t)) esta´ contida no gra´fico de z = f(x, y). Sabe-se que f(2, 1) = 3, ∂f ∂x (2, 1) = 1 e ∂f ∂y (2, 1) = −1 Determine a equac¸a˜o da reta tangente a γ no ponto γ(1). 8. Admita que, para todo (x, y), x ∂f ∂x (x, y)− y∂f ∂y (x, y) = 0. Mostre que g(t) = f(t, 2 t ), t > 0, e´ constante. 9. Sejam f = f(t) e g = g(x, y) func¸o˜es diferencia´veis tais que g(t, f(t)) = 0, para todo t. Suponha que f(0) = 1, ∂g ∂x (0, 1) = 2 e ∂g ∂y (0, 1) = 4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a γ(t) = (t, f(t)), no ponto γ(0). 51 10. Sejam f = f(x, y, z) e g = g(x, y) func¸o˜es diferencia´veis tais que para todo (x, y) no domı´nio de g, f(x, y, g(x, y)) = 0. Suponha que g(1, 1) = 3, ∂f ∂x (1, 1, 3) = 2, ∂f ∂y (1, 1, 3) = 5 e ∂f ∂z (1, 1, 3) = 10. Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de g, no ponto (1, 1, 3). 11. Seja F (x, y, z) = f ( x y , y z , z x ) . Mostre que x ∂F ∂x + y ∂F ∂y + z ∂F ∂z = 0. 52 Aula 16: 28/04/2010 Aula de Du´vidas, Revisa˜o e Exerc´ıcios. 53 Aula 17: 30/04/2010 Primeira Prova de Ca´lculo II 1. Esboce a curva de n´ıvel c = 1 2 da func¸a˜o f(x, y) = 1 x2 + 2y2 . 2. Calcule, caso exista. (a) lim (x,y)→(0,0) x2√ x2 + y2 . (b) lim (x,y)→(0,0) xy(x− y) x4 + y4 . 3. Seja f(x, y) = √ x2 + y2, (x, y) ∈ R2. Calcule o plano tangente ao gra´fico de f passando pelo ponto (3,−4, 5). 4. Considere a func¸a˜o f(x, y) = { x2√ x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) . (a) Verifique se f e´ cont´ınua em (0, 0). (b) Calcule ∂f ∂x (0, 0) e ∂f ∂y (0, 0). (c) Verifique se f e´ diferencia´vel em (0, 0). 5. Sejam f : R2 → R e (x0, y0) ∈ R2. Verifique se cada uma das sentenc¸as abaixo e´ verdadeira ou falsa. Justifique com detalhes. (a) Se as derivadas parciais ∂f ∂x e ∂f ∂y sa˜o cont´ınuas, enta˜o f e´ cont´ınua. (b) Se ∂f ∂x (x0, y0) e ∂f ∂y (x0, y0) existem, enta˜o f e´ diferencia´vel em (x0, y0). Boa Prova! 54 Resoluc¸a˜o da Prova 1. Temos que f(x, y) = c se, e somente se, x2 + 2y2 = 2. Portanto a curva de n´ıvel e´ a elipse dada por x2 2 + y2 = 1. O esboc¸o e´ apresentado na figura abaixo. √ 2 1 −√2 −1 Figura 28: Curva de n´ıvel c = 1
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