ALGEBRA LINEAR 3ª LISTA

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CATÓLICA PROF. CLÁUDIO MACIEL 
ÁLGEBRA LINEAR I 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
Coordenadas, Mudança de base, Transformação Linear, Núcleo e Imagem, Operações 
com Transformação Linear e Matriz de uma transformação linear 
 
Aluno: ___________________________________________________ 
 
 
Coordenadas. 
 
 
1º) Determine as coordenadas do vetor v de R
2
 em relação à base B = { (1,2), (2,3) } sendo: 
 
 a) v = (4,-3) b) v = (a, b) 
 
 
2º) Determine as coordenadas do vetor v = (a,b,c) de R
3
 em relação as bases: 
 
 a) B = { (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) } b) C = { (1,1,1), (1,1,0),(1,0,0) } 
 
 
3º) Determine as coordenadas do vetor v = 3t
3
 – 4t2 + 2t – 5 de P3(t) em relação a base 
 S = { ( t – 1)3, ( t – 1)2, t – 1, 1 }. 
 
4º) Determine o vetor coordenada de 








74
32
A
 de M2 em relação as bases: 
 
 
















































 





 







10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
)
00
01
,
00
11
,
01
11
,
11
11
)
Bb
Sa
 
 
 
 
5º) Determine as coordenadas do vetor v = 2t
2
 – 5t + 9 de P2(t) em relação a base 
 S = { t + 1, t – 1, (t – 1)2 }. 
 
 
6º) Determine as coordenadas de v = (5,3,4) de R
3
 em relação a base 
 B = { (1, -1, 0), (1,1,0), (0,1,1) } 
 
 
 
 
Mudança de Base 
 
 
1º) Determinar a matriz de mudança da base B = { (1,1,0), (0,1,0), (0,0,3)} para a base 
 canônica do R
3
. 
 
 
2º) No espaço R
3
 considerando as bases B = {e1, e2, e3 } e C = {g1, g2, g3} relacionadas da 
 seguinte maneira: 
 
3213
3212
311
2
2
eeeg
eeeg
eeg



. 
 
a) Determinar a matriz de mudança de B para C e de C para B. 
 
b) Se as coordenadas de um vetor u de R3 em relação à base B são 1,1 e 2, quais as 
coordenadas desse vetor em relação à base C? 
 
B
CB
C
c
b
a
M
c
b
a





















.
 
 
3º) A matriz de mudança de uma base B do R
2
 para a base C = { (1,1), ( 0,2 ) } desse 
 mesmo espaço é 






32
01 . Determinar a base B. 
 
 
4º) A matriz de mudança da base { 1 + t, 1 – t2 } para a base C do mesmo subespaço de 
 P2(R) é 






11
21 . Determine a base C. 
 
 
5º) Considere as bases B = { e1, e2, e3 } e C = {g1, g2, g3} de R
3
 relacionadas da seguinte 
 maneira: 
 
313
322
3211
3
32
eeg
eeg
eeeg



 
 
a) Determinar a matriz de mudança de B para C e de C para B. 
 
b) Se as coordenadas de um vetor u de R3 em relação à base B são 1,2 e 3, quais as 
 coordenadas desse vetor em relação à base C? 
 
 
 
 
Transformação Linear 
 
 
1º) Dada a transformação linear F de R
2
 em R
2
 definida por F(x,y) = ( 2x –y , x + 3y ), 
 calcular 
 
 a) F (1,2) b ) F (3,-5 ) c ) F ( 0,0) d ) F(-1 , -1) 
 
 
2º) Dada o operador linear do R
2
 , F(x,y) = ( x +y , 3x) e os vetores u = (2,3) e v = (4,1), 
 calcular: 
 
 a) F(u) b) F(3u) c) F(v) d) F(u + v) e) F( 5u + 2v) 
 
 
3º) Dados u e v do R
2
 e uma transformação linear de R
2
 em R
2
 tal que F(u) = 2u e 
 F(v)= u + v , expressar em função de u e v : 
 
 a) F(u – v ) b) F(3u + 7v) c) F(2v) d) F(2v – u ) 
 
 
4º) Uma transformação linear de R
2
 em R
2
 é tal que F(1,0) = (3,4) e F(0,1) = (2,1). 
 Calcular: 
 
 a) F(x,y) b) F(1,1) 
 
 
5º) Seja F o operador linear do R
2
 tal que F(1,0) = (2,1) e F(0,1) = (1,4) . 
 
a) Determinar F(2,4) 
b) Determinar (x,y) do R2 tal que F(x,y) = (2,3) 
 
 
6º) Verificar quais das aplicações de R
3
 em R
3
 são operadores lineares : 
 
 a) F( x,y,z) = (x ,x,x) b) F(x,y,z) = ( 2x , y +z , x –y –z ) c) F(x,y,z) =( 0,y,z) 
 
 d) F(x,y,z) = (x –1 ,y, z + 1) e) F(x,y,z) = (x +y , y +z, z +x) f) F(x,y,z) = (z,ox) 
 
 
7º) Quais das aplicações de R
2
 em R
2
 são transformações lineares ? 
 
a) F(x,y) =( 2x +3y, 4x –5y ) b) F(x,y) = (2x,x –y ) c) F(x,y) =(3y,0} d) F(x,y) =(0,x –y) 
 
e) F(x,y) = (x +1,y +1) f) F(x,y) = (x
2
 +y
2
 ,0) g) F(x,y) = (1,y) h) F(x,y) =(x,y) 
 
 
Núcleo e Imagem 
 
1º) Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes 
 transformações lineares : 
 
a) F: R3 – R dada por F(x,y,z) = x + y –z 
b) F: R2 – R2 dada por F(x,y) = ( 2x , x + y ) 
c) F : R3 – R4 dada por F(x,y,z) = ( x –y –z , x + y + z, 2x –y + z , –y ) 
d) F : M2 ( R) – M2( R) definido por F(X) = MX , 








12
01
)(2 MeRMX
 
e) F : M2 ( R) – M2 ( R) definido por F(X) = MX + X com 







00
11
M
 
 
 
2º) Determinar um operador linear F : R
3
 – R3 cuja imagem é gerada por (2,1,1) e (1,-1,2). 
 
 
3º) Determinar uma transformação linear do R
3
 no R
2
 cujo núcleo é gerado por (1,1,0). 
 
 
4º) Determinar um operador linear do R
4
 cujo núcleo é gerado por (1,1,0,0) e (0,0,1,0). 
 
 
5º) Seja F : R
3
 – R3 definida por F(1,0,0) = (1,1,0) , F(0,1,0) = (1,1,2) e F(0,0,1) = (0,0,2). 
 Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços : Ker(F) , 
 Im(F) e Ker(F) + Im (F) 
 
Operações com Transformação Linear 
 
1º) Para cada operador linear do R
3
 a seguir , determine F
 – 1
 : 
 
a) F(x,y,z) = ( x –3y –2z , y – 4z , z ) 
b) F (x,y,z) = ( x , x –y , 2x + y –z ) . 
 
2º) Seja o operador linear R
3
 definido por F (1,0,0) = (1,1,1) , F (0,1,0) = (1,0,1) e 
 F(0,0,1)= (0,0,4). Determine F 
– 1
 , se existir. 
 
 
3º) Sejam F , G  L (R3, R2) definidas por F(x,y,z) = ( 0 ,2x) e G(x,y,z) = (x –y , x) e 
 H  L(R2) dado por H(x,y) = (x +y , x –y ) . Determinar : 
 
a) H o ( F + G ) 
 
b) (H + I ) o F , onde I é o operador idêntico de R2. 
4º) Seja B ={ e1 , e2 , e3 } a base canônica do R
3
 . Se F  L (R3 ) é o operador tal que 
 F(e1) = e2 , F(e2 ) = e3 e F(e3 ) = e1 , 
 
a) determine F(x,y,z) ; 
b) mostre que F
3
 = I e que portanto , F
2
 = F
 –1 
. 
 
5º) Sejam F  L (R3 , R2 ) e G  L ( R2 , R3 ) , dadas por F(x,y,z) = (x –y , y –z ) e 
 G(x,y) = ( x –y , y –x , x + y) . Sendo I o operador idêntico do R3 , determine o 
 Ker (G o F + I )
 
 e ( G o F + I )
 – 1
. 
 
6º) Sendo F ,G e H  L (R2 ) definidos por F(x,y,z0 = ( x ,2y) , G(x,y) = (y ,x + y) e 
 H (x,y) = ( 0 ,x) , determinar : Ker , Im , uma base e a dimensão e a transformação 
 linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações . 
 
 
 
a) F + H 
b) F o G 
c) G o ( F +H) 
d) G o F 
e) H o F 
f) H o F o G 
g) G o F o H 
 
7º) Sejam F , G  L (R3 ) definidos por F( x,y,z) = ( x + y, z + y , z) e 
 G (x,y,z) = (x + 2y, y –z , x + 2z) . Determinar ; 
 
a) F o G 
b) Ker (F o G) ; Im (G o F) 
c) uma base e a dimensão de Ker (F2 o G ) 
d) uma base e a dimensão de Ker ( F2 o G ) –1 ( se existir a inversa) 
 
8º) Seja F: R
2
 – R2 dado por F(1,0) = (2,5) e F(0,1) = (3,4) . Determine G = I + F e 
 H = I + F + F
2
 . ( I é o operador idêntico ) 
 
9º) Verifique se os seguintes operadores lineares do R
3
 são idempotentes ou nilpotentes 
 ou nenhuma das duas propriedades. 
 
a) F(x,y,z) =( – x ,– y , – z ) 
b) F(x,y,z) = (z , x , y) 
c) F(x,y,z) = ( x , 0 , z) 
d) F(x,y,z) = ( 0 , 0 , x) 
 
10º) Seja F : R
2
 – R2 deffinido por F(x,y) = ( x , x + y) . 
 
a) Determine F2 
b) Determine (F2) – 1 , se existir. 
c) Mostre que F2 – 2F + I = ( F – I)2 = 0 mas que F – I  0. 
 
 
Matriz de uma transformação linear 
 
 
1º) Seja F : R
3
 – R2 definida por F(x,y,z) = ( x + z , y – 2z) . Determine (F)B,C sendo 
 B ={ (1,2,1) , (0,1,1) , (0,3, –1) } e C = { (1,5) , ( 2, –1) } . 
 
 
2º) Determine as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases 
 canônicas dos respectivos espaços : 
 
a) F: R3 –R2 dada por F(x,y,z) = ( x + y , z) 
b) F: R2 –R3 dada por F(x,y) = ( x + y , x , x –y ) 
c) F: R4 –R dada por F(x,y,z,t) = 2x + y –z + 3t) 
d) F: R –R3 dada por F(x) = ( x ,2x ,2x ) 
 
 
3º) Calcule o traço da matriz do operador linear do R
3
 definido por F(x,y) = (x ,x –y , x +z) 
 ( traço = soma dos termos da diagonal principal ). 
 
4º) Seja F  L(R2) cuja matriz em relação à base B ={ (1,0) ,(1,4) } é 
  






15
11
BF
 
 Determine a matriz de F em relação à base canônica usando a fórmula de mudança de 
 base para um operador linear . 
 
 
5º) Seja B = { e1 , e2 , e3 } uma base de um espaço vetorial V sobre R. Sendo F , G L(V) 
 dados por F(e1) = e1 – e2 , F(e2) = e1 + e3 , F(e3) = e2 , G(e1) =2e1 + e3 , G(e2) = e1 e 
 G(e3)= e2 – 3e1 , determine em relação à base B as matrizes dos seguintes operadores 
 lineares : F , G , F + G , 2F –G , F o G , G o F , F2 + G2 , F
 –1
 e (FoG)
 –1
 (caso 
 existam as inversas ) 
 
 
6º) Determine o operador linear do R
2
 cuja matriz em relação à base B = { (1,2) , (0,5)} é 
 
  







12
13
BF
 
 
 
7º) Seja F  L ( P2( R) , R ) definida por 
.)())((
1
1


 dttptpF
 Determine a matriz de F em 
 relação às bases : 
 
a) B ={ 1 , t , t2 } e C = {1 } 
b) B = { 1 ,1 + t , –1 + t2 } e C = { –2 } .