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ALGEBRA LINEAR CAT 2ª LISTA

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ÁLGEBRA LINEAR I 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS PROF. CLÁUDIO MACIEL 
Aluno:___________________________________ Turma _______ 
 
 Sub-espaço Vetorial 
 
1) Quais dos seguintes conjuntos são sub-espaços do R
2
 : 
a) W = { (x,y) / x + y = 0} 
b) V = { (x,y) / y = 3x} 
c) S = {(x,y) / x2 + y2 = 1} 
d) T = { (x,y) / y = x +1 } 
 
2) Verificar se os conjuntos são subespaços do R
3
 : 
a) U = { (x,y,z) / x + y + z = 0} 
b) V= { (x,y,z) / z = x –2y } 
c) T = { (x,y,z) / x2 + y2 + z2 = 0} 
d) W = { ( x,y,z) / x +2y + 3z + 4 = 0} 
e) R = {(x,y,z) / x = y } 
 
3) Verificar se o conjunto V é um sub-espaço vetorial do R
3
 . V = { (x,y,z) / 2y + z = x } 
 Não sendo apresente as propriedades que falham. 
 
4) Verificar se o conjunto V é um sub-espaço vetorial do R
3
 . V = { (x,y,z) / – x = 2y + 3z + 4 } . Não sendo 
apresente as propriedades que falham . 
 
5) Verificar se o conjunto U é um sub-espaço do R
3
. U = { (x,y,z) / y = – x – z }. 
 Não sendo apresente as propriedades que falham. 
6) Mostrar que é sub-espaço de M2 ( R ) o seguinte sub-conjunto 
./)(2












 xyRM
tz
yx
W
 
 
Conjunto de geradores 
 
 
7) Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do R
3
 : 
a) U = { (x,y,z) / x –2y = 0} 
b) V = { (x,y,z) / x + z = 0 e x –2y = 0} 
c) W = { (x,y,z) / x + 2y – 3z = 0 } 
d) U  V 
e) V + W. 
 
8) Dados os sub-espaços do R
3 
, U = { (x,y,z) / x + y = 0} e V = { (x,y,z) / x = 0}, determinar o sub-espaço 
 U  V . 
 
 
9) Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2 ( R) 
 
























21
10
,
11
00
,
00
11
,
10
01 
 
 
 
 
 
 
Combinação Linear 
 
1) Consideremos , em R
3
 , os vetores v1 = (1, -3, 2 ) e v2 = ( 2,4,-1 ). Determinar a condição para x , y e z 
de modo que ( x,y,z) seja combinação linear dos vetores v1 e v2. 
 
 
2) Sejam u = (1,2,3) , v = (2,-3,1) e w = ( 3,2,-1) , vetores do R
3
 . Determine os números reais a , b e c , tais 
que au + bv + cw = ( 6,14,-2) . 
3) Dados os vetores u = (2,1) , v = (0,2) e w = (-1 ,5) , calcular as seguintes combinações lineares de u , v e w: 
 
a) 3u + 2v – 5w 
b) u –v +7w 
 
 
 
4) Escrever o vetor w = (2,13) como combinação linear de u = (1,2) e v = (-1,1) , isto é, determinar x e y tais 
que w = xu + yv. 
 
 
 
5) Escrever o vetor v =(10,7,4) como combinação linear dos vetores u1 = (1,0,1) , u2= (1,1,1) e u3 =(0,-1,1) . 
 
 
 
6) Verificar se o vetor w =(6,6,-1) é combinação linear de u =(2,0,-1) e v =(0,3,1) 
 
 
 
7) Verificar se o vetor w =(2,0,5) é combinação linear de u =(1,2,1) e v =(0,4,3) 
 
 
 
8) Calcular o valor de k para que o vetor w =(3,4,k) seja uma combinação linear de u =(1,1,2) e v =(0,2,1) 
 
 
 
Dependência Linear 
1) Verificar se u e v são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos: 
 
a) u =(1,2) e v =(3,6) 
b) u =(6,8) e v =(-2,-3) 
c) u =(4,-6) e v =(-2,3) 
d) u =(0,0) e v = (1,5) 
e) u =( 2,-1,3) e v =(6,-3,9) 
f) u =(2,1,3) e v =(4,2,5) 
g) u = (5,6,7) e v =(6,7,8) 
 
2) Para que valores de k os vetores 
a) u =(2,3) e v =(4,k) são LI ? 
b) u =(1,k) e v =(k,1) são LD ? 
c) u = (k,1,0) , v =(2,2,3) e w =(-1,0,2) são LI 
 
3) Dar a condição sobre a e b para que os vetores 
a) (1,a,b) e (3,2,5) sejam LD. 
b) (a,2,b) e (1,6 , -3) sejam LI. 
4 ) Dados os vetores u = ( 1 – x , 1 + x ) e v = ( 1 + x , 1 – x ) em R2 , determinar uma condição necessária 
e suficiente sobre o escalar x para que { u , v} seja L.D. 
 
5) Mostrar que o conjunto de vetores { 1 , x , x
2
 , 2 + x + 2x
2
 ) de P3( R) é LD e que qualquer subconjunto de 
três elementos dele é LI. 
 
6) Verificar quais dos subconjuntos de P4( R) são LI ou LD 
 
a) { 1 , x –1 , x2 +2x +1 , x2 } 
b) { 2x , x2 + 1 , x + 1 , x2 –1 } 
c) { x (x –1 ) , x3 , 2x3 – x 2 , x } 
d) { x4 + x –1 , x3 – x + 1 , x2 + 1} 
 
7) Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R
3
 sejam LI 
 
a) { (3 , 5m ,1) , (2 , 0 , 4) , (1 , m ,3) } 
b) { 1 ,3 ,5 ) , ( 2 , m + 1 ,10) } 
c) { ( 6 , 2 , n) , ( 3 ,m + n , m –1 ) } 
 
 
 
Base e Dimensão 
 
1) Dados os vetores u = (1,1,1) , v =(1,1,0) e w =(1,0,0) 
a) mostrar que {u,v,w} é uma base do R3 
b) escrever o vetor p =(2,3,4) como combinação linear de u,v e w. 
 
2) Qual é a condição sobre a ,b,c e d para que os vetores u =(a,b) e v =(c,d) formem uma base do R2 ? 
 
3) Dar uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços do R4 : 
 
a) W = {(x,y,z,t) / x –y =y e x –3y + t = 0} . 
b) U = { (x,y,z,t) / x –y = 0 e x + 2y + t =0 } 
 
4) No espaço vetorial R3 consideremos os seguintes sub-espaços: 
U = {(x,y,z) / x = 0} , V = {(x,y,z) / y –2z = 0} e W = [ (1,1,0) , ( 0,0,2)]. Determinar uma base e a 
dimensão de cada uma dos seguintes sub-espaços : U , V , W , U  V . V + U e U + V + W . 
 
5) Sendo W e U sub-espaços do R4 de dimensão 3 , que dimensão pode ter W + U se (1,2,1,0) , ( 
-1 ,1,0,1) , ( 1,5,2,1) é um sistema de geradores de W  U ? 
 
 
6) Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada sistema : 
 
























052
0423
0
)
043
033
022
)
054
022
0
)
tzy
tzyx
tzyx
c
zy
zyx
zyx
b
zyx
zyx
zyx
a

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