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ÁLGEBRA LINEAR I 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS PROF. CLÁUDIO MACIEL Aluno:___________________________________ Turma _______ Sub-espaço Vetorial 1) Quais dos seguintes conjuntos são sub-espaços do R 2 : a) W = { (x,y) / x + y = 0} b) V = { (x,y) / y = 3x} c) S = {(x,y) / x2 + y2 = 1} d) T = { (x,y) / y = x +1 } 2) Verificar se os conjuntos são subespaços do R 3 : a) U = { (x,y,z) / x + y + z = 0} b) V= { (x,y,z) / z = x –2y } c) T = { (x,y,z) / x2 + y2 + z2 = 0} d) W = { ( x,y,z) / x +2y + 3z + 4 = 0} e) R = {(x,y,z) / x = y } 3) Verificar se o conjunto V é um sub-espaço vetorial do R 3 . V = { (x,y,z) / 2y + z = x } Não sendo apresente as propriedades que falham. 4) Verificar se o conjunto V é um sub-espaço vetorial do R 3 . V = { (x,y,z) / – x = 2y + 3z + 4 } . Não sendo apresente as propriedades que falham . 5) Verificar se o conjunto U é um sub-espaço do R 3 . U = { (x,y,z) / y = – x – z }. Não sendo apresente as propriedades que falham. 6) Mostrar que é sub-espaço de M2 ( R ) o seguinte sub-conjunto ./)(2 xyRM tz yx W Conjunto de geradores 7) Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do R 3 : a) U = { (x,y,z) / x –2y = 0} b) V = { (x,y,z) / x + z = 0 e x –2y = 0} c) W = { (x,y,z) / x + 2y – 3z = 0 } d) U V e) V + W. 8) Dados os sub-espaços do R 3 , U = { (x,y,z) / x + y = 0} e V = { (x,y,z) / x = 0}, determinar o sub-espaço U V . 9) Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2 ( R) 21 10 , 11 00 , 00 11 , 10 01 Combinação Linear 1) Consideremos , em R 3 , os vetores v1 = (1, -3, 2 ) e v2 = ( 2,4,-1 ). Determinar a condição para x , y e z de modo que ( x,y,z) seja combinação linear dos vetores v1 e v2. 2) Sejam u = (1,2,3) , v = (2,-3,1) e w = ( 3,2,-1) , vetores do R 3 . Determine os números reais a , b e c , tais que au + bv + cw = ( 6,14,-2) . 3) Dados os vetores u = (2,1) , v = (0,2) e w = (-1 ,5) , calcular as seguintes combinações lineares de u , v e w: a) 3u + 2v – 5w b) u –v +7w 4) Escrever o vetor w = (2,13) como combinação linear de u = (1,2) e v = (-1,1) , isto é, determinar x e y tais que w = xu + yv. 5) Escrever o vetor v =(10,7,4) como combinação linear dos vetores u1 = (1,0,1) , u2= (1,1,1) e u3 =(0,-1,1) . 6) Verificar se o vetor w =(6,6,-1) é combinação linear de u =(2,0,-1) e v =(0,3,1) 7) Verificar se o vetor w =(2,0,5) é combinação linear de u =(1,2,1) e v =(0,4,3) 8) Calcular o valor de k para que o vetor w =(3,4,k) seja uma combinação linear de u =(1,1,2) e v =(0,2,1) Dependência Linear 1) Verificar se u e v são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos: a) u =(1,2) e v =(3,6) b) u =(6,8) e v =(-2,-3) c) u =(4,-6) e v =(-2,3) d) u =(0,0) e v = (1,5) e) u =( 2,-1,3) e v =(6,-3,9) f) u =(2,1,3) e v =(4,2,5) g) u = (5,6,7) e v =(6,7,8) 2) Para que valores de k os vetores a) u =(2,3) e v =(4,k) são LI ? b) u =(1,k) e v =(k,1) são LD ? c) u = (k,1,0) , v =(2,2,3) e w =(-1,0,2) são LI 3) Dar a condição sobre a e b para que os vetores a) (1,a,b) e (3,2,5) sejam LD. b) (a,2,b) e (1,6 , -3) sejam LI. 4 ) Dados os vetores u = ( 1 – x , 1 + x ) e v = ( 1 + x , 1 – x ) em R2 , determinar uma condição necessária e suficiente sobre o escalar x para que { u , v} seja L.D. 5) Mostrar que o conjunto de vetores { 1 , x , x 2 , 2 + x + 2x 2 ) de P3( R) é LD e que qualquer subconjunto de três elementos dele é LI. 6) Verificar quais dos subconjuntos de P4( R) são LI ou LD a) { 1 , x –1 , x2 +2x +1 , x2 } b) { 2x , x2 + 1 , x + 1 , x2 –1 } c) { x (x –1 ) , x3 , 2x3 – x 2 , x } d) { x4 + x –1 , x3 – x + 1 , x2 + 1} 7) Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R 3 sejam LI a) { (3 , 5m ,1) , (2 , 0 , 4) , (1 , m ,3) } b) { 1 ,3 ,5 ) , ( 2 , m + 1 ,10) } c) { ( 6 , 2 , n) , ( 3 ,m + n , m –1 ) } Base e Dimensão 1) Dados os vetores u = (1,1,1) , v =(1,1,0) e w =(1,0,0) a) mostrar que {u,v,w} é uma base do R3 b) escrever o vetor p =(2,3,4) como combinação linear de u,v e w. 2) Qual é a condição sobre a ,b,c e d para que os vetores u =(a,b) e v =(c,d) formem uma base do R2 ? 3) Dar uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços do R4 : a) W = {(x,y,z,t) / x –y =y e x –3y + t = 0} . b) U = { (x,y,z,t) / x –y = 0 e x + 2y + t =0 } 4) No espaço vetorial R3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = {(x,y,z) / x = 0} , V = {(x,y,z) / y –2z = 0} e W = [ (1,1,0) , ( 0,0,2)]. Determinar uma base e a dimensão de cada uma dos seguintes sub-espaços : U , V , W , U V . V + U e U + V + W . 5) Sendo W e U sub-espaços do R4 de dimensão 3 , que dimensão pode ter W + U se (1,2,1,0) , ( -1 ,1,0,1) , ( 1,5,2,1) é um sistema de geradores de W U ? 6) Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada sistema : 052 0423 0 ) 043 033 022 ) 054 022 0 ) tzy tzyx tzyx c zy zyx zyx b zyx zyx zyx a
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