PONTO FIXO MÉTODO NEWTON RAPHSON aula 3

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Ref.: 201304053967
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
		
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
	
	 
	Ref.: 201303171560
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	
	Gauss Jacobi
	
	Bisseção 
	
	Gauss Jordan
	
	Ponto fixo
	 
	Newton Raphson 
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201304007491
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	1.0746
	
	1.0245
	
	1.9876
	 
	1.0800
	
	1.0909
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	 
	Ref.: 201303289380
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	
	1,00
	
	0,55
	
	1,85
	 
	1,14
	
	1,56
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	 
	Ref.: 201303923339
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	 
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	 
	Ref.: 201304055346
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
		
	 
	
	
	
	 
	
	
	 
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	 
	Ref.: 201303636001
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	Método das secantes
	
	Método de Pégasus
	
	Método do ponto fixo
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	Método da bisseção
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201303896005
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	
	1,67
	
	1,70
	
	1,87
	 
	1,77
	
	1,17
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	Ref.: 201304042736
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
		
	 
	2
	 
	-2
	
	1.75
	
	1
	
	-1
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	 
	Ref.: 201303129584
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
		
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	 
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	 
	Ref.: 201303289380
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	
	1,85
	
	0,55
	
	1,56
	
	1,00
	 
	1,14
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo.
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	 
	Ref.: 201303923339
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	 
	Ref.: 201304055346
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
		
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	 
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	 
	Ref.: 201303636001
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	Método da bisseção
	
	Método do ponto fixo
	
	Método das secantes
	
	Método de Pégasus
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201303896005
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	
	1,67
	
	1,17
	
	1,70
	
	1,87
	 
	1,77
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	
	 
	Ref.: 201304007491
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	1.0746
	 
	1.0800
	
	1.9876
	
	1.0909
	
	1.0245
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	Ref.: 201304053967
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
		
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
	
	 
	Ref.: 201303171560
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	 
	Newton Raphson 
	
	Bisseção 
	
	Gauss Jacobi
	
	Gauss Jordan
	
	Ponto fixo
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201304007491
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	1.0746
	 
	1.0800
	
	1.0245
	
	1.0909
	
	1.9876
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	 
	Ref.: 201303289380
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	
	1,00
	
	0,55
	
	1,56
	 
	1,14
	
	1,85
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	 
	Ref.: 201303923339
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	 
	Ref.: 201304055346
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
		
	
	
	
	
	
	
	
	 
	 
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	 
	Ref.: 201303636001
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	Método do ponto fixo
	
	Método das secantes
	
	Método da bisseção
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	Método de Pégasus
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201303896005
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	
	1,70
	
	1,17
	
	1,87
	
	1,67
	 
	1,77
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	Ref.: 201304042736
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
		
	
	1
	
	-2
	
	-1
	 
	2
	
	1.75
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	 
	Ref.: 201303129584
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
		
	 
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	 
	Ref.: 201303289380
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	 
	1,14
	
	1,56
	
	1,00
	
	1,85
	
	0,55
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	 
	Ref.: 201303923339
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	 
	Ref.: 201304055346
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
		
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	 
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	 
	Ref.: 201303636001
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	Método da bisseção
	
	Método das secantes
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	Método de Pégasus
	
	Método do ponto fixo
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201303896005
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	 
	1,77
	
	1,17
	
	1,87
	
	1,70
	
	1,67
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	
	 
	Ref.: 201304007491
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine, utilizandoo método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	1.0909
	
	1.0746
	
	1.9876
	 
	1.0800
	
	1.0245
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	Ref.: 201304053967
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
		
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
	
	 
	Ref.: 201303171560
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	 
	Newton Raphson 
	
	Bisseção 
	
	Ponto fixo
	
	Gauss Jacobi
	
	Gauss Jordan
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201304007491
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	1.0746
	
	1.9876
	 
	1.0800
	
	1.0245
	
	1.0909
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	 
	Ref.: 201303289380
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	
	1,00
	
	1,56
	
	0,55
	 
	1,14
	
	1,85
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	 
	Ref.: 201303923339
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	 
	Ref.: 201304055346
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
		
	
	
	
	
	
	 
	 
	
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	 
	Ref.: 201303636001
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	Método das secantes
	
	Método do ponto fixo
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	Método de Pégasus
	
	Método da bisseção
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201303896005
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	
	1,67
	
	1,17
	
	1,87
	
	1,70
	 
	1,77
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771