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Universidade de Brasília
Departamento de Economia
Introdução à Econometria (ECO 132497, Turmas A e B)
Prof. Moisés A. Resende Filho
Lista de Exercícios 01, primeiro semestre de 2018
Questão 1. Considere as variáveis aleatória X e X3, para as quais E[X] = E[X3] = 0. Sabe-se
que a variável aletória Y é causada por X, pois na população Y = X2. Com base nisto
pede-se:
(a) Obtenha a covariância populacional entre Y e X. Lembre-se de que
Cov(Y,X) ≡ E [(Y − E(Y )) (X − E(X))]
= E(Y X)− E(Y )E(X)
(b) Com base no resultado no item (a), pode-se afirmar que E[Y |X] = 0, ou seja, que a média
de Y é independente de X, ou seja, Y é média independete de X? Justifique.
Questão 2. Considere o somatório
∑n
i=1
(xi − x)(yi − y), em que x ≡ n−1
∑n
i=1
xi e y ≡
n−1
∑n
i=1
yi, e mostre que é igual a:
(a)
∑n
i=1
yi(xi − x).
(b)
∑n
i=1
xi(yi − y).
(c)
∑n
i=1
xiyi − n
−1
∑n
i=1
xi
∑n
i=1
yi.
(d)
∑n
i=1
xiyi − nxy.
Questão 3. (Wooldridge, exercício 2.9.) Na função de consumo linear, em sua especifi-
cação "modelo amostra de regressão linear simples" ou, simplesmente, modelo de regressão
estimado
ĉons = β̂0 + β̂1renda
a estimativa da propensão marginal a consumir, P̂MgC, é a própria estimativa do co-
eficiente de inclinação, β̂1. Já a propensão média a consumir é definida como P̂meC
≡ ĉons
renda
= β̂0
renda
+ β̂1. Usando as observações de renda e consumo anual (cons), medidos
em dólares americanos, para uma amostra aleatória de 100 famílias, obteve-se por MQO a
seguinte equação estimada:
ĉons = −124, 84 + 0, 853renda
n = 100, R2 = 0, 692
Com base nisso pede-se:
(a) Interprete a estimativa do intecepto do modelo e comente sobre o seu sinal e magnitude.
(b) Qual o consumo previsto ou estimado quando a renda familiar é US$ 30000?
(c) Considerando que o intervalo dos dados da amostra é renda ∈ [2000, 32000] e tomando a
variável renda no eixo das abscissas, faça um gráfico da P̂MgC e da propensão média a
consumir ( P̂meC).
1
(d) É plausível admitir que E(u|renda) = 0 no modelo? Justifique sua resposta. Dica: pense
em fatores que afetam o consumo e que foram relegados ao erro do modelo, u. Em seguida,
pense se algum desses fatores são relacionados à renda.
Questão 4. (Wooldridge, exercício 2.2.) A tabela abaixo apresenta as variáveis GPA (IRA
no curso superior nos EUA) e ACT (nota do teste de avaliação de conhecimentos para
ingresso em curso superior nos Estados Unidos ≈ nota do vestibular) com notas hipotéticas
para oito estudantes de curso superior dos EUA. O GPA segue uma escala de zero (pior
desempenho) a quatro pontos (mais alto desempenho) e foi arredondado para uma casa
decimal. A nota ACT baseia-se em uma escala de zero a 36 pontos e foi arredondada para
um número inteiro. Com base nisso pede-se:
Estudante GPA ACT
1 2, 8 21
2 3, 4 24
3 3, 0 26
4 3, 5 27
5 3, 6 29
6 3, 0 25
7 2, 7 25
8 3, 7 30
(a) Estime a relação entre GPA e ACT usando o método de Mínimos Quadrado Ordinários.
Isto é, obtenha as estimativas do intercepto e inclinação do modelo econométrico GPA =
β0 + β1ACT + u, em que u é o termo de erro estocástico ou aleatório. Comente sobre o
sinal esperado de β1. O intercepto tem alguma interpretação útil? Explique. Qual deveria
ser o valor esperado do GPA se a nota ACT aumentasse em cinco pontos?
(b) Calcule o valor estimado e o resíduo para cada observação da amostra e verifique se a soma
dos resíduos é aproximadamente zero (devido aos erros de aproximação nos cálculos).
(c) Qual o valor previsto/estimado do GPA quando ACT = 20?
(d) Quanto da variação do GPA dos oito estudantes da amostra é explicada pela variável ACT?
Explique.
(e) Estime a variância do modelo de regressão (σ̂2) e as variâncias de β̂0 e β̂1.
(f) Suponha que no lugar do GPA utilizássemos a variável GPAH ≡ 2GPA. Na regressão
ĜPAH = β˜0 + β˜1ACT , quais seriam as estimativas de β˜0 e β˜1?
(g) Suponha que no lugar do ACT utilizássemos a variável ACTH ≡ 0, 1ACT . Na regressão
ĜPA = β˜0 + β˜1ACTH, quais seriam as estimativas de β˜0 e β˜1?
Questão 5. (Wooldridge, exercício 2.1.) No modelo de regressão linear simples y = β0 +
β1x + u suponha que E(u|x) 6= 0. Admitindo que E(u|x) = α0, sendo α0 uma constante,
mostre que o modelo original pode ser reescrito com a mesma inclinação, mas com um novo
intercepto e um novo erro, tal que o novo erro apresenta valor esperado condicional em x
igual a zero.
2
Questão 6. (Wooldridge, exercício 2.3.) A variável filhos denota o número de filhos de
uma mulher e a variável educ denota os anos de escolaridade dessa mulher. Um modelo
simples que relaciona a fertilidade a anos de escolaridade é
filhos = β0 + β1educ+ u
em que u é o termo de erro aleatório. Com base nisto pede-se:
(a) Enumere algumas outras variáveis que afetariam a fertilidade de uma mulher, mas que não
estão incluídas no modelo. Estas variáveis omitidas do modelo seriam correlacionadas com
a variável educ (nível de escolaridade de uma mulher)?
(b) Com base em sua resposta para o item (a), uma regressão simples como no modelo filhos =
β0+β1educ+u será capaz de captar o efeito ceteris paribus da variável escolaridade (edu)
sobre a fertilidade de uma mulher? Explique.
Questão 7. (Wooldridge, exercício 2.7.) Usando dados do preço de venda no ano 1988 de
casas situadas em Andover, Massachesetts, Kiel e McClain (1995) estimaram o seguinte
modelo de regressão linear simples
̂log(preco) = 9, 40 + 0, 312 log(dist)
n = 135, R2 = 0, 162
em que log(.) é o operador logaritmo natural, preco é o preço de venda de uma casa e dist
é a distância de uma casa até um incinerador de lixo recentemente construído. Com base
nisso, pede-se:
(a) Interprete a estimativa do coeficiente de log(dist). O sinal dessa estimativa está dentro do
esperado? Explique.
(b) Suponha que a prefeitura da cidade resolva instalar o incinerador em uma área justamente
mais afastada de zonas residenciais de melhor qualidade (áreas nobres). Como a variável
qualidade é omitida do modelo e, portanto, é relegada ao erro u, discuta se podemos
considerar a estimativa 0, 312 como uma boa estimativa do efeito ceteris paribus do log da
distância sobre o log do preço das casas.
(c) Quais outras variáveis relacionadas às casas que poderiam afetar os preços delas e não es-
tão incluídas no modelo? Como estas variáveis omitidas estariam correlacionadas com a
variável distância do incinerador?
Questão 8. (Wooldridge, exercício 2.11.) Usando dados de nascimentos nos EUA estimou-
se o seguinte modelo de regressão linear simples
̂pesonas = 119, 77− 0, 514cigs
com n = 1388
em que pesonas é o peso ao nascer do recém-nascido (mensurado em onças); e cigs é o
número de cigarros que a mãe fumou em média por dia durante o período de gravidez.
Com base nisso, pede-se:
(a) Qual o peso previsto para o recém-nascido quando cigs = 0? E para quando cigs = 20 =
um maço de cigarrros por dia? Calcule o percentual de queda estimado do peso por conta
de um aumento no consumo de cigarros pela mãe de zero para um maço por dia. Obs.: 1
onça = 0, 0283495 kg.
3
(b) Para um peso previsto ao nascer de 110 onças, ou seja, 110∗0, 0283495 = 3, 1184 kg, quantos
cigarros uma mulher deve fumar?
Questão 9. Considere a função f(β˜0, β˜1) =
∑n
i=1
(yi − β˜0 − β˜1xi)
2. Com base nisso pede-se:
(a) Apresente as condições de primeira ordem do problema min
β˜0,β˜1
∑n
i=1
(yi − β˜0 − β˜1xi)
2.
(b) Manipule as duas condições de primeira ordem do problema de modo a encontrar o estimador
de MQO para β˜0 e β˜1.
(c) Obtenha a matriz Hessiana desse problema H =


∂2f(β˜0,β˜1)
∂β˜
2
0
∂2f(β˜0,β˜1)
∂β˜0∂β˜1
∂2f(β˜0,β˜1)
∂β˜1∂β˜0
∂2f(β˜0,β˜1)
∂β˜
2
1

 e demonstre que é
positiva definida, ou seja, que ∂
2f(β˜0,β˜1)
∂β˜0∂β˜0
> 0, ∂
2f(β˜0,β˜1)
∂β˜1∂β˜1
> 0 e que o determinante de H, |H|é estritamente positivo. Em outras palavras, demonstre que os menores principais líderes
de H são positivos.
Questão 10. Considere o modelo de regressão simples y = β0+β1x+u. Deseja-se estimar esse
modelo para um amostra de tamanho n = 51, em que a média amostral de y é y = 100,
a variância amostral de y é v̂ar(y) = 400, a média de x é x = 0, a variância amostral de
x é v̂ar(x) = 100 e a covariância amostral entre y e x é ĉov(x, y) = 80. Com base nisto,
obtenha a estimativa MQO dos parâmetros do modelo de regressão.
Questão 11. Considere o modelo de regressão linear simples yi = β0 + ui (modelo ingênuo
ou "naive model"). Note que esse modelo possui apenas intercepto e nenhuma variável
explicativa. Mostre que o R2 desse modelo estimado por MQO será, necessariamente, zero.
Questão 12. Considere o modelo de regressão simples y = β0 + β1x+ u e os dados da tabela a
seguir para responder as questões abaixo.
Observação x y
1 1 3
2 2 5
3 3 6
(a) Calcule o R2 ≡ SQE
SQT
≡
∑
i
(ŷi−y)
2∑
i
(yi−y)2
da regressão. Interprete o resultado obtido.
(b) Quanto maior a correlação entre os valores previstos e observados de y, maior será o R2. Cal-
cule oR2 da regressão, agora utilizando a fórmulaR2 = ĉov(y,ŷ)
2
v̂ar(y)v̂ar(ŷ)
=
(∑n
i=1
(yi−y)(ŷi−ŷ)
)
2
∑n
i=1
(yi−y)2
∑n
i=1
(ŷi−ŷ)2
.
Note que por esta fórmula o R2 é calculado como o quadrado do coeficiente de correlação
entre as variáveis y e ŷ, ou seja: R2 = ρ2y,ŷ . Mostre que o valor calculado para o R
2 segundo
essa fórmula é igual àquele calculado no item (a).
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