Matemática Financeira - Séries de Pagamentos Iguais

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32Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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Aula Nº 4 – Série de Pagamentos 
Iguais com Prestações 
Vencidas
Objetivos desta Aula
Muitas operações financeiras são realizadas com prestações iguais e, 
nessas prestações, estão embutidos juros, pois, como já vimos, o dinheiro 
tem valor no tempo. O cálculo de Valor Futuro ou de Valor Presente das 
prestações, no regime de juros compostos, requer a utilização de algumas 
fórmulas matemáticas que serão apresentadas nesta aula. Um recurso 
também importante e prático é a utilização de calculadora financeira. 
Nesta aula, apresentaremos a solução de cada problema pelas fórmulas e 
pela calculadora HP-12C.
Ao final, você deverá ser capaz de calcular o Valor Futuro, Valor Presente 
de uma série de pagamentos iguais postecipada e o valor de prestações 
iguais e consecutivas de um empréstimo ou de um investimento.
Tenha uma ótima aula!
1. Cálculo do Montante ou Valor Futuro
 
 0 1 2 3 4 
 100 100 100 100 
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33Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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O valor futuro desta série é o somatório dos valores futuros das parcelas ou 
prestações:
VF2 = 100 . (1 + 0,05)³
VF3 = 100 . (1 + 0,05)²
VF4 = 100 . (1 + 0,05)¹
VF5 = 100 . (1 + 0,05)º
VF = VF1 + VF2 + VF3 + VF4 + VF5
VF = 100 . (1 + 0,05)³ + 100 . (1 + 0,05)² + 100 . (1 + 0,05)¹ + 100 . (1 + 0,05)º
Colocando 100 em evidência, temos:
VF = 100 [(1 + 0,05)³ + (1 + 0,05)² + (1 + 0,05)¹ + (1 + 0,05)º]
Olhando, atentamente, a expressão dentro dos colchetes, verificamos que 
se trata de uma progressão geométrica de 4 termos, em que o primeiro é 1 
e com razão (1 + 0,05).
Usando a fórmula da soma da PG è S = a1 . qn - a1
 q – 1
VF = 100 . 1 . (1,05)4 – 1 -> 100 . 1,054 – 1
 1,05 – 1 0,05 
VF = PMT . (1 + i)n – 1 
 i
2. Cálculo do Montante ou Valor Futuro
Uma pessoa faz 10 depósitos mensais e iguais de R$ 1.000,00 em uma 
caderneta de poupança que tem um rendimento mensal de 0,75%. 
Considerando que os depósitos são realizados no final de cada mês, qual 
será o valor acumulado no final desse prazo?
Dados:
n = 10 prestações
PMT = 1.000,00
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34Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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i = 0,75% ao mês
VF = ?
VF = PMT . (1 + i) – 1 
 i
VF = 1.000 . (1 + 0,0075) – 1 
 0,0075
VF = 1.000 . 1,0776 – 1 
 0,0075
VF = 1.000 . 0,0776
 0,0075
VF = 1.000 . 10,3443
VF = 10.344,34
 Tecle 1000 
CHS para 
mudar o sinal 
e PMT HP-12C 
n FV i 
0,75 10.344,34 
0,75 
PV 
VISOR 10 
10 
 -1.000 
PMT 
DADOS 1.000 
CHS 
3. Cálculo da prestação dado o Valor Futuro
Se quiser saber quanto devo depositar mensalmente em uma caderneta 
de poupança que paga juro de 0,75% ao mês, para acumular o valor de R$ 
20.000,00 no final de 12 meses, o problema é o inverso do anterior, portanto 
a fórmula também será inversa.
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35Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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Dados:
VF = R$ 20.000,00
I = 0,75% ao mês
n = 12 meses
VF = R$ 16.500,00
PMT = ?
Se VF = PMT . (1 + i)n – 1 
 i
PMT = VF . i 
 (1 + i)n – 1 
PMT = 20.000 . 0,0075
 (1+0,0075)12 – 1
PMT = 20.000 . 0,0075
 (1,0075)12 – 1
PMT = 20.000 . 0,0075 
 1,0938 – 1
PMT = 20.000 . 0,07995
PMT = 1.599,03
 HP-12C 
n FV i 
12 20.000 
PV 
VISOR 12 0,75 20.000 -1.599,03 
CHS PMT 
0,75 
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36Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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4. Cálculo do Valor Presente
Quanto vale, hoje, uma série de parcelas iguais com vencimentos futuros?
Suponha que uma empresa fez um financiamento para ser pago em 4 
parcelas mensais de R$ 1.500,00, sendo de 3,5% ao mês a taxa negociada 
da operação.
Qual foi o valor financiado?
 VP= ? 
1.500 1.500 1.500 1.500 
VF = PMT . (1 + i)n – 1 
 i
n
VF = VP . (1 + i)
VP . (1 + i) = PMT . (1 + i)n – 1 
 i
VP = PMT . (1 + i)n – 1 
 (1 + i)n . i 
VP = 1.500 . (1 + 0,035)4 – 1
 (1 + 0,035)4 . 0,035
VP = 1.500 . 1,1475 – 1
 1,1475 . 0,035
VP = 1.500 . 0,1475
 0,0402
VP = 1.500 . 3,6731
VP = 5.509,62
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37Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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Cálculo do Valor Presente na HP-12C
 
HP-12C 
n FV i 
4 1.500 
PV 
VISOR 4 3,5 5.509,62 -1.500,00 
CHS PMT 
3,5 
Tecle 1500 CHS 
para mudar o sinal e 
depois PMT 
5. Cálculo da Prestação dado o Valor Presente
Qual o valor das prestações mensais e iguais de um empréstimo de R$ 
10.000,00, à taxa de 4,5% ao mês, pelo prazo de 12 meses?
VP = PMT . (1 + i)n – 1 
 (1 + i)n . i 
VP . (1 + i)n . i = PMT . (1 + i)n – 1
VP . (1 + i)n . i = PMT 
 (1 + i)n – 1
PMT = VP . (1 + i)n . i 
 (1 + i)n – 1
PMT = 10.000 . (1 + 0,045)12 . 0,045 
 (1 + 0,045)12 – 1
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38Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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PMT = 10.000 . 1,6959 . 0,045 
 1.6959 – 1
PMT = 10.000 . 0,0763
 0,6959
PMT = 10.000 . 0,1097
PMT = 1.096,66
 HP-12C 
n FV i 
12 10.000 
PV 
VISOR 12 4,5 10.000 -1.096,66 
CHS PMT 
4,5 
6. EXEMPLOS
EXEMPLO 1:
Um produto é comercializado por R$ 1.000,00 a vista. Qual será o valor da 
prestação, se o comprador financiar em 6 prestações iguais e sem entrada, 
considerando que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5% ao mês?
Dados:
VP = 1.000,00
i = 5% ao mês
n = 6 prestações mensais
PMT = ?
PMT = VP . (1 + i)n . i 
 (1 + i)n – 1
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39Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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PMT = 1.000 . (1 + 0,05)6 . 0,05
 (1 + 0,05)6 – 1
PMT = 1.000 . 1,3401 . 0,05
 1,3401 – 1
PMT = 1.000 . 0,0670
 0,3401
PMT = 1.000 . 0,1970
PMT = 197,02
Exemplo 2
Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicados à taxa de 
2% ao mês, durante 11 meses,produz um montante de R$ R$ 15.000,00.
Dados:
PMT = ?
i = 2% ao mês
n = 11 depósitos mensais
VF = 15.000,00
PMT = VF . i .
 (1 + i)n – 1 
PMT = 15.000 . 0,02 .
 (1 + 0,02)11 – 1
PMT = 15.000 . 0,02 .
 1,2434 – 1
PMT = 15.000 . 0,02
 0,2434
PMT = 15.000 . 0,08218
PMT = 1.232,67
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40Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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 HP-12C 
n FV i 
11 15.000 
PV 
11 2 15.000 -1.232,67 
CHS PMT 
2 
VISOR 
Exemplo 3
Determinar o valor de um financiamento realizado à taxa de 1,5% ao mês e 
que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de 
R$ 700,00.
Dados:
i = 1,5% ao mês
PMT = 700,00
n = 12 prestações mensais
VP = ?
VP = PMT . (1 + i)n – 1 
 (1 + i)n . i 
VP = 700 . (1 + 0,015)12 – 1
 (1 + 0,015)12 . 0,015
VP = 700 . 1,1956 – 1
 1,1956 . 0,015
VP = 700 . 0,1956
 0,0179
VP = 700 . 10,9075
VP = 7.635,25
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Anotações do Aluno
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HP-12C 
n FV i 
12 700 
PV 
VISOR 
12 1,5 7.635,25 -700 
CHS PMT 
1,5 
Tecle 700 
CHS para 
mudar o sinal 
e depois PMT 
7. Exercícios:
1) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi realizado mediante o pagamento 
de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas. Determinar o valor das 
prestações, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano, 
capitalizada mensalmente, e que a primeira prestação ocorre 30 dias após 
a liberação dos recursos.
2) Um equipamento cujo valor é R$ 25.000,00 está sendo financiado a juros 
de 24% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Determinar 
o valor que deve ser dado de entrada para que o valor das 12 prestações 
mensais, iguais e consecutivas, seja limitado a R$ 1.800,00. Admita que a 
primeira prestação ocorre 30 dias após a liberação do empréstimo.
3) Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de R$ 2.000,00 em um 
banco, à taxa de 1% ao mês. Quanto poderá resgatar no final desse prazo?
4) Uma caderneta de poupança remunera seus depósitos à taxa de 15% 
ao ano, capitalizados trimestralmente. Um cliente efetuou seis depósitos 
trimestrais, todos do mesmo valor. Determine o valor desses depósitos para 
que o cliente possa retirar a quantia de R$ 20.000,00 no final do segundo 
trimestre após a efetivação do último depósito.
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42Faculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
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5) Uma pessoa deposita o valor de R$ 90,00 por mês em uma caderneta de 
poupança pelo prazo de 30 anos. Considerando uma taxa de 0,8% ao mês, 
qual será o valor acumulado no final desse prazo?
Síntese
Nesta aula, estudamos como calcular Valor Futuro, Valor Presente e Valor de 
Prestações iguais em uma série de pagamentos postecipada, com o uso de 
fórmulas matemáticas e com a utilização da calculadora HP-12C.
Na próxima aula, estudaremos o VPL – Valor Presente Líquido–, que é uma 
importante ferramenta para análise de investimentos.
Referências Bibliográficas
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada., São Paulo: 
Thomson-Pioneira, 2002.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à Análise de 
Investimentos. 3.ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002.