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Caderno Didático de Mecânica dos Materiais II
	
 Plano de Ensino 2014/2
	 CURSO: ENGENHARIA CIVIL
	 GPA: CIENCIAS AGRARIAS, BIOLOGICAS E ENGENHARIAS.
	 TURMA: ENC 
	 PERÍODO: 2014/2
	 DISCIPLINA: Mecânica dos Materiais II
	 CH/SEMESTRAL: 60 
	 CH/AULA TEÓRICA: 18
	 CH/ATIVIDADE: 3 horas semanais.
	 CH/AULA PRÁTICA: 42
	 TURNO / OFERTA: NOTURNO / NOTURNO
	DOCENTE RESPONSÁVEL: Sérgio Tavares Crecca 
Ementa
Tensões;
 Flexão simples;
Flexão oblíqua;
Flexão composta;
Linha elástica;
Determinação de vigas hiperestáticas por meio da linha elástica;
flambagem;
Critérios de resistência.
Área de Conhecimento - Aplicação no Currículo
Engenharia Civil.
Núcleo Básico.
Categorias Conceituais
As categorias conceituais podem ser classificadas em:Trigonometria;Cálculo diferencial e integral I;Equações diferencias;Mecânica clássica; Equilíbrio de forças no plano e no espaço;Vetores e Momento de uma força em relação a um eixo.
Objetivos da Disciplina
Objetivo Geral: 
 A mecânica dos materiais é uma disciplina do curso de engenharia que tem por objetivo estudar o comportamento dos sólidos, ou seja, os esforços e deformações nos corpos sólidos elásticos ou plásticos, visando o dimensionamento de uma estrutura.
Objetivos Específicos:
Conhecer esforços de torção e flexão;
Esforços solicitantes em uma viga hiperestática;
Flambagem;
Critérios de resistência;
Identificar classes das estruturas;
Dominar cálculo de reações de apoios;
Ter noção de esforços solicitantes;
Ter noção de esforços solicitantes;
Viga elástica;
Linha elástica.
Exigências Prévias de Conhecimento e Habilidades
É necessário que o aluno tenha domínio da linguagem escrita e noções elementares em cálculo diferencial e integral, álgebra linear, trigonometria, mecânica e termodinâmica.
Padrões Mínimos de Desempenho
Dominar o estudo acerca do comportamento dos materiais, deformáveis, quando submetidos às várias solicitações estruturais, utilizando-se das hipóteses simplificadoras e, por conseguinte, propiciar as condições indispensáveis na formação do discente na área de estruturas, e através deste saber descrever e entender os eventos que ocorrem na vida cotidiana ou profissional.
Conteúdo Programático
	Semanas
	Conteúdo programático 
	1ª – 04/08 à 08/08
	Apresentação do plano de ensino e diretrizes específicas da disciplina de Mecânica dos Materiais II. Introdução a Mecânica dos Materiais II.
	2ª – 11/08 à 15/08
	Introdução ao conceito de Tensão;
Conceitos de esforços de torção e cisalhamento.
	3ª – 18/08 à 22/08
	Estudo acerca da Flexão simples, Pura e Composta;
Exercícios propostos. 
	4ª – 25/08 à 29/08
	Estudo acerca da Flexão simples, Pura e Composta;
Exercícios propostos.
	5ª – 01/09 à 05/09
	Estudo acerca da Flexão simples, Pura e Composta;
Exercícios propostos.
	6ª – 08/09 à 12/09
	Semana de Provas Bimestrais.
	7ª – 15/09 à 19/09
	Análises de Provas Bimestrais – Vista de Prova.
	8ª – 22/09 à 26/09
	Estudo acerca da Linha elástica e Vigas hiperestáticas por meio da linha elástica;
Exercícios propostos.
	9ª – 29/09 à 03/10
	Estudo acerca da Linha elástica e Vigas hiperestáticas por meio da linha elástica;
Exercícios propostos.
	10ª – 06/10 à 10/10
	Estudo acerca da Linha elástica e Vigas hiperestáticas por meio da linha elástica;
Exercícios propostos.
	11ª – 13/10 à 17/10
	Estudo acerca de Flambagem em Pilares e Critérios de resistência;
Exercícios propostos.
	12ª – 20/10 à 24/10
	Estudo acerca de Flambagem em Pilares e Critérios de resistência;
Exercícios propostos.
	13ª – 27/10 à 31/10
	Estudo acerca de Flambagem em Pilares e Critérios de resistência;
Exercícios propostos.
	14ª – 03/11 à 07/11
	Estudo acerca de Flambagem em Pilares e Critérios de resistência;
Exercícios propostos.
	15ª – 10/11 à 14/11
	Semana de Provas Bimestrais.
	16ª – 17/11 à 21/11
	Análises de Provas Bimestrais – Vista de Prova.
	17ª – 24/11 à 28/11
	Atividades teóricas gerais sobre os tópicos propostos nesta ementa.
	18ª – 01/12 à 05/12
	Atividades teóricas gerais sobre os tópicos propostos nesta ementa. 
	19ª – 08/12 à 12/12
	Semana de Provas Finais
	20ª – 15/12 à 19/12
	Atividades referentes ao fechamento do semestre. 
Metodologias, Técnicas e Recursos de Ensino.
Aula teórica em sala de aula, expositiva e dialogada, utilizando o quadro de giz, vídeo e data-show. Aulas práticas no laboratório utilizando instrumentos de medidas e equipamentos apropriados para cada experiência. Com isso reproduziremos na prática as teorias vistas em sala de aula.
Avaliação de Aprendizagem
O critério de aprovação na disciplina de laboratório de física é por meio do aproveitamento por nota e da frequência.
Aproveitamento por nota
Terá aproveitamento por nota todo aluno que atingir média final (MF) ≥ 7,0 (sete).
Onde; N1 e N2 são as médias de cada bimestre, calculadas da seguinte forma:
N = (0,5 x PB) + (0,2 x AE) + (0,3 x AI) 
As notas variam de zero a dez pontos.
PB (prova oficial do bimestre) prevista em calendário de provas (anexo) ⇒ peso de 50% de N do bimestre;
AE (atividades extra-sala de aula do bimestre) ⇒ peso de 20% de N do bimestre;
AI (atividades em sala de aula do bimestre) ⇒ peso de 30% de N do bimestre (teremos no mínimo 2 trabalhos/atividades (AI) por bimestre, que somados constituirão a nota de AI de 0 a 10 pontos).
Caso o aluno não consiga aprovação direta com MF ≥ 7,0 fica sujeito aos seguintes critérios:
Alunos que não obtiverem MF ≥ 7,0 terão direito a realizar a prova final (PF) desde que não tenham nota zero na N1, N2 ou MF e não estejam reprovados por faltas.
Serão aprovados, após a PF, somente os alunos com:
Frequência
A frequência é obrigatória e deverá ser igual ou superior a 75% (setenta e cinco por cento) das aulas dadas. 
Bibliografia Básica
HIBBELLER, R.C. Resistência dos Materiais. 7. Ed. SP: Prentice Hall, 2010;
JOHNSTON, E.R.;BERR,F.P. Mecânica dos Materiais.SP:Artmed,2011;
GERE J.M; GOODNO, B. J. Mecânica dos Materiais. SP: Cengage, 2010.
Bibliografia Complementar
BEER, F. P.; DEWOLF,.J.T. Resistência dos Materiais.4. Ed. SP:McGraw Hill – Artmed, 2006;
BOTELHO, M.H.C. Resistência dos Materiais. SP: Edgard Blucher, 2008;
CRAIG JR, R.R. Mecânica dos Materiais. 2. Ed. RJ: LTC, 2002;
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. SP. Érica, 2008;
TIMOSHENKO, SP. Resistência dos Materiais. ED. Livros Técnicos e Científicos, 1982.
1.0 	- INTRODUÇÃO
– OBJETIVOS E MÉTODOS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as proporções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capacitá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade, durabilidade e em condições econômicas.
A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína é chamada de resistência do elemento e constitui o problema principal para a análise nesta disciplina.
A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para atender a requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser confundidas com falta de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes ou ferramentas). A capacidade de um elemento reagir às deformações é chamada de rigidez do elemento.
	Muitas vezes, apesar de os elementos estruturais satisfazerem aos requisitos de resistência e de rigidez sob a ação das cargas, a estrutura, como um todo, não é capaz de manter o estado de equilíbrio, por instabilidade. A estabilidade das estruturas é outro problema a ser analisado.
	Estados perigosos provocados por descontinuidades na geometria dos elementos (concentração de tensões), por cargas alternativas (ressonância e fadiga do material) e por cargas dinâmicas (choque mecânico)serão também estudados.
	A escolha dos materiais, das proporções e das dimensões dos elementos de construção deve ser feita baseada em critérios de otimização, visando, invariavelmente, a custos mínimos, menores pesos (fundamental na indústria aeronáutica), facilidade de fabricação, de montagem, manutenção e reparo.
	Na solução de seus problemas básicos, a Resistência dos Materiais estabelece modelos matemáticos simplificados (esquemas de cálculo) para descrever a complexa realidade física, permitindo uma fácil resolução dos problemas, obtendo-se resultados aproximados que, posteriormente, são corrigidos através de coeficientes que levam em conta as simplificações feitas. Esses coeficientes de correção (coeficientes de segurança) são estabelecidos experimentalmente e muitas vezes arbitrados por Normas Técnicas ou em função da habilidade e experiência do projetista.
	A solução de problemas mais complexos, para os quais os esquemas simplificados da Resistência dos Materiais não se enquadram, é em geral tratada pela Teoria da Elasticidade (outro ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe a solucionar os mesmos problemas da Resistência dos Materiais, porém através da utilização de métodos matemáticos mais complexos, mas de maior abrangência).
– HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito complicadas quanto às características dos materiais, a forma e geometria dos elementos estruturais, tipos de carregamento, vinculação etc. e, a menos que sejam estabelecidas hipóteses e esquemas de cálculo simplificadores, a análise dos problemas seria impraticável. A validade de tais hipóteses é constatada experimentalmente.
Quanto aos materiais: 
Os materiais serão supostos contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc) homogêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e isótropos (iguais propriedades em todas as direções). Essas hipóteses nos permitem aplicar as técnicas elementares do cálculo infinitesimal para a solução matemática dos problemas. Deve-se ter cautela, entretanto, quanto à sua aplicação para certos materiais de construção (como o concreto ou a madeira), ou materiais de estrutura cristalina (como o granito) cujas características heterogêneas e anisotrópicas nos levariam a resultados apenas aproximados. Outra suposição freqüentemente utilizada é de que os materiais são perfeitamente elásticos (sofrendo deformações cuja extensão é proporcional aos esforços a que estão submetidos, retornando às dimensões originais quando cessam esses esforços).
Quando à geometria dos elementos estruturais: 
Os elementos estruturais serão reduzidos aos seguintes modelos simplificados (Fig. 1.2.1):
	BLOCOS – corpos cujas três dimensões principais são da mesma ordem de grandeza (a ~b ~c);
	FOLHAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada espessura) muito menor (*) que as outras duas (e << a ~b);
	BARRAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada comprimento) muito maior (*) que as outras duas (c >> a ~b). (*) da ordem de 10 vezes ou mais.
A Resistência dos Materiais Elementar propõe métodos para resolução de problemas envolvendo elementos estruturais do tipo de barras. Estudos mais avançados dão conta da solução de alguns problemas relativos às folhas. O estudo dos blocos não é tratado pela Resistência dos Materiais, devendo-se recorrer aos métodos da Teoria da Elasticidade.
b) Esforços Internos
	Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou elemento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. No exemplo da fig. 1.3.1 podemos reconhecer que a força exercida no rolete A, embora seja um esforço externo para a ponte giratória, será um esforço interno para o guindaste como um todo.
	Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado pela Resistência dos Materiais) podemos analisar os esforços internos atuantes em uma seção transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ação de uma parte da barra sobre a outra pode ser reduzida a uma força F e a um conjugado de momento G. Ao decompormos estes dois esforços na direção do eixo da barra (direção normal) e no plano da seção (direção tangente), obtemos os chamados esforços seccionais (ou solicitantes), a saber, (fig. 1.3.2):
 
N – Força Normal
 F
 Q – Força Cortante
 M – Momento Fletor
 G
 T – Momento Torque
M
A 
G
G
T
N 
Q
F
F
 N Q M T
Fig. 1.3.2 – Esforços Seccionais (ou Solicitantes)
A determinação dos esforços seccionais é feita, da mesma forma que os esforços reativos, através das equações da Estática, analisando o equilíbrio dos esforços que atuam na parte da estrutura que foi hipoteticamente secionada.
A seguir são apresentados alguns exemplos de determinação de esforços solicitantes. 
1 - Na seção flangeada do engaste:
 
 F 
x 
= N = 4 kN (tração)
 
F 
y 
= Q 
y
 = 0 
 F 
z
 = Q 
z
 = 3 kN
 M 
x
 = T = 3 x 0,750 = 2,25 kN.m
 M 
y 
= 3 x 0,600 = 1,80 kN.m
 
M 
z
 = 4 x 0,500 = 2,00 kN.m
 M = (2
2
 + 1,8
2
) 
½ 
 = 2,69 kN.m z
 y
3 kN
 600mm
 x
 300d
 350
 250 
 4kN
2 - Traçar os diagramas de esforços solicitantes N, Q e M para o pórtico esquematizado:
5m
C
4m
A
0,80 kN/m 3,2kN
2,4
kN
 
 
B 
1 2
3,2
2,4
4,0
C
A
x
A
y
Solução:
1.4 – Conceito de Tensão.
	Os esforços locais, em pontos de uma dada seção, serão analisados através de seus valores específicos (por unidade de área) por meio do conceito de tensão. A tensão ( S ) presente em um ponto de uma dada seção de uma barra carregada é o limite da relação entre a força elementar ∆F e a área ∆A no entorno desse ponto, quando ∆A tende a zero:
 	 S = Lim (∆F / ∆A) = ∆F / ∆A ............................. ( 1.4.1 )
 ∆A 0
	É uma grandeza que tem a mesma dimensão de pressão (como veremos, o estado de tensão denominado “pressão” é uma situação particular do caso geral da tensão), medida em N/m2 (Pascal – Pa), em kgf/cm2, lbf/in2 (psi), dyn/cm2 (bar), etc. Ao decompormos o vetor força elementar dF na direção normal (perpendicular ao plano da seção – dFn) e na direção do plano da seção (dFt), obtemos as duas componentes da tensão:
		tensão normal ......................... dFn / dA ..............................( 1.4.2) (sigma), que pode ser de tração ou compressão (esmagamento), e
		tensão tangencial..................... dFt / dA ............................(1.4.3) (táu), também chamada de tensão de cisalhamentoou cisalhante. 
dF
n
dF





S
dA dF
t
Fig. 1.4.1 – Tensão. Tensão Normal. Tensão Tangencial.
Um fato que, desde o início, deve ser reconhecido é que a tensão que atua em um certo ponto de um certo plano de um corpo carregado depende da orientação do plano selecionado. Num mesmo ponto, porém em um plano diferente, a tensão, em geral, será diferente. Não são apenas as componentes que se modificam com a orientação do plano, mas é o vetor tensão que se altera.
	
Assim é que, por exemplo, no caso simples de uma barra prismática (Fig. 1.4.2), de pequena seção transversal de área A0 e submetida a uma força de tração F pelos topos, fácil será concluir que, em certo ponto P do plano da seção transversal, atuará uma tensão normal de tração cujo valor será, em média,  = F/A0, sendo  igual a zero 0.
 F
F
S

 = F / (A
0
/cos 


S
0
 =





F/A
0
 

 

F
F
(B)
(A)
A
0
Fig. 1.4.2 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção.
	
 Para outra seção, inclinada de um ângulo  em relação à seção transversal (a direção normal a esta seção formará também um ângulo  em relação ao eixo da barra), a sua área será maior, valendo A = A0 / cos , e como a força total é a mesma (F), a tensão será, em média, S = F / A0 cos , e suas componentes valerão:
	ScosFcoseSsenF sencos
	Os casos limites em que e, nos levam aos valores 0 F/A0 e 0, bem como, e
	
 Observe o fato relevante de que, apesar de estar à barra simplesmente tracionada, nas seções em que º (planos de clivagem), haverá uma tensão tangencial de valor ½ (F/A0) (valor máximo dessa tensão tangencial - metade do valor máximo da tensão normal, ocorrente no plano da seção transversal).
 Note também que nos planos longitudinais da barra ( ), tanto a tensão normal como a tangencial são nulas.
Para identificar o estado de tensão em um ponto de um corpo carregado necessário se torna o conhecimento das tensões ocorrentes em três planos ortogonais que se interceptam no ponto considerado, e que são três vetores, totalizando nove componentes escalares. Uma grandeza deste tipo é designada como um tensor de 2ª ordem (a ordem [O] de um tensor é o expoente n da relação [O] = 3n que fornece o número de componentes escalares da grandeza – uma grandeza escalar, como a temperatura, é um tensor de ordem zero, enquanto uma grandeza vetorial, como a força, é um tensor de 1ª ordem).
A figura 1.4.3 apresenta um estado de tensão genérico num ponto P de um corpo carregado, definido pelas tensões que atuam em três planos ortogonais que se interceptam no ponto P.
 y
dy
P
dz
dx
x

xz


zy

zz
 

 
*

 
*

yy
 
 

yx

xy

xx
z
Fig. 1.4.3 – Estado de tensão em um ponto P de um corpo carregado (coloque os índices das duas tensões assinaladas com *, seguindo a convenção exposta no texto a seguir). 
	Utilizou-se uma notação de dupla indiciação, na qual o 1º índice informa o plano onde a tensão atua (definido pelo eixo que lhe é perpendicular) e o 2º indica a direção da tensão propriamente dita (por exemplo, yz é a tensão, tangencial, que atua em um plano perpendicular ao eixo y e é orientada na direção do eixo z). As tensões normais terão sempre índices iguais, por tal convenção, sendo designadas pela letra .
	Quanto aos sinais dessas tensões, adotaremos a seguinte convenção:
Para uma tensão atuante em uma “face positiva” (aquela cuja normal exterior está orientada no sentido positivo do eixo que lhe é perpendicular), será esta tensão positiva se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e negativa se orientada no sentido oposto;
-	Para uma tensão atuante em uma “face negativa” (aquela cuja normal exterior está orientada no sentido negativo do eixo que lhe é perpendicular), será ela negativa se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e positiva se orientada no sentido oposto. A Figura 1.4.4 a seguir mostra exemplos onde a nomenclatura e os sinais das tensões são indicados.




x


y






x
y
z
z
	Fig. 1.4.4 – Nomenclatura e sinais das tensões (os eixos x,y,z devem formar triedros diretos).
 A tensão  é tangencial, atua numa face que tem o eixo x como normal externa (face positiva), é paralela ao eixo y, em seu sentido negativo. Logo, a tensão será designada pelo símbolo xy e terá sinal negativo;
A tensão 2 é tangencial, atua numa face que tem o eixo z como normal externa (face positiva), é paralela ao eixo x, em seu sentido positivo. Logo, a tensão será designada pelo símbolo zx e terá sinal positivo;
A tensão 3 é normal, atua numa face que tem o eixo y como perpendicular, porém é uma face negativa; a tensão é paralela ao mesmo eixo y, e em seu sentido negativo. A tensão será nomeada como y, e terá sinal positivo.
Observe que as tensões ij para as quais i=j são tensões normais  sendo positivas, se de tração, e negativas, se de compressão, independentemente do sinal das faces, não necessitando ter seus índices repetidos (seria uma redundância).
O tensor das tensões [S], com suas 9 componentes escalares, é representado por uma matriz quadrada (3 x 3), sendo a diagonal principal composta pelas tensões normais e os elementos secundários pelas tensões tangenciais.

zx

zy

z

yx

y

yz

x

xy

xz 
 
S
 
=
 .............................................( 1.4.4 )
	Convém realçar que, ao se modificar a orientação dos eixos coordenados, as componentes ij sofrerão alterações, porém o estado de tensão no ponto considerado (dependente do carregamento aplicado ao corpo) se mantém invariante. É também importante caracterizar desde logo que a matriz em (1.4.4) é simétrica em relação à diagonal principal, ou seja:
xy = yx
yz = zy 
zx = xz
Uma conseqüência importante dessa propriedade do tensor das tensões é o fato de que a tensão tangencial no contorno livre de peças carregadas é sempre tangente ao contorno.





Q
Esta componente de 

 não pode existir
T
	Fig. 1.4.5 – Tensões tangenciais nos contornos livres das peças.
1.5 – Tensões em peças sob carregamento centrado.
	Como aplicação inicial para o estudo do cálculo de tensões em casos mais simples tratará de peças que, por suas condições de simetria geométrica e de carregamento centrado, nos permitem admitir uma distribuição uniforme para as tensões ao longo da área em que atuam (em seções afastadas dos esforços localizados, segundo Saint’Venant). Tal valor, embora possa não representar a distribuição real das tensões nos diversos pontos da área considerada, pelo menos, nos indica um valor médio para tais tensões, dando-nos idéia de sua ordem de grandeza.	No caso de tração/compressão ou corte (cisalhamento) puros, calcularemos as tensões simplesmente fazendo:
N/A e Q/A .................. (1.5.1)
20
15
15
75
150
100
d = 25mm	Para exemplificar, veja-se a união de chapas mostrada na Fig. 1.5.1, transmitindo uma força de tração de 72 kN, provocando tração nas chapas, corte no pino e compressão (esmagamento) no corpo do pino e nos furos das chapas.
80
B
A
72 kN
72 kN
36 kN
36 kN
72 kN
P
CORTE NA CHAPA
TRAÇÃO NA CHAPA
CORTE DO PINO
COMPRESSÃO (ESMAGAMENTO)
do furo e do corpo lateral (efeito mancal)
 
Área
 
projetadaFig. 1.5.1 – Cálculo de tensões em peças simétricas sob carregamento centrado
Cálculos das tensões críticas de tração nas chapas que ocorrerão nas seções onde há os furos (menor área) e valerão:
 
b
 
BLOCOS a 	 
 
 					c
 e
		CASCAS
 					b a
FOLHAS							 CHAPAS
 								
		PLACAS PLACAS
 ARCOS
 BARRAS
		
BARRAS BARRAS RETAS 
									 	
 					 VIGAS
		 PERFIS L
 DELGADOS
		
Fig. 1.2.1 – Classificação dos elementos estruturais quanto a sua geometria.
Quanto ao carregamento:
Os esforços que atuam nas estruturas serão representados através dos seguintes modelos simplificados (Fig. 1.2.2):
	
	Forças distribuídas – em volumes (como a ação gravitacional, como as forças de inércia nos corpos acelerados), em superfícies (como a ação de esforços sobre placas, a ação da pressão de fluidos, p = dF/dA) e em linha (como a ação ao longo de vigas, q = dF/dx);
Forças Concentradas – ações localizadas em áreas de pequena extensão quando comparadas com as dimensões do corpo. É fácil perceber que tal conceito (uma força concentrada em um ponto) é uma abstração já que, para uma área de contato praticamente nula, uma força finita provocaria uma pressão ilimitada, o que nenhum material seria capaz de suportar sem se romper.
q(x)
W
P
(c)
(a)
(b)
F
 (d)
	Fig. 1.2.2 – Tipos de Carregamento: forças distribuídas (a) em volumes, (b) em superfícies, (c) em linha; (d) forças concentradas.
Quanto aos vínculos
Os vínculos são dispositivos mecânicos que impedem certos movimentos da estrutura ou máquina, através de esforços reativos cujos tipos são estudados nos cursos de Mecânica dos Corpos Rígidos. 
Para o caso particular e muito comum de esforços coplanares, os vínculos são classificados em três categorias (Fig. 1.2.3)
Apoio móvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa direção pré-determinada;
Apoio fixo – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo em todas as direções;
Engastamento – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.
APOIO
MOVEL
 SÍMBOLO
Biela ou conectora
 Pino deslizante
R
rodete
	
APOIO
FIXO
SÍMBOLO
R
x
R
y
rótula
E
N
G
A
S
T
A
M
E
N
T
O
 SÍMBOLO
R
x
M
z
R
y
Fig. 1.2.3 – Tipos de vínculos e reações de apoio
Inexistência de esforços iniciais –
Nos processos de conformação e tratamento térmico dos materiais (fundição, usinagem, laminação, forjamento, embutimento, têmpera, etc) surgem esforços localizados cuja presença não será considerada em nossos estudos. Suporemos que não existem esforços iniciais no corpo antes de seu carregamento. Quando existirem fortes razões para que tais esforços precisem ser considerados, eles serão determinados experimentalmente.
Princípio de Saint’Venant – 
Uma hipótese simplificadora que é sustentada pela observação experimental é a estabelecida por Saint’Venant, indicando que em pontos suficientemente afastados das regiões de aplicação dos esforços, os efeitos internos se manifestam independentemente da forma de distribuição daqueles esforços. Este princípio permite o cálculo dos esforços no interior dos corpos utilizando a resultante dos esforços atuantes, como uma força concentrada equivalente, hipótese válida apenas para pontos afastados em relação ao local onde os esforços são distribuídos, de uma distância d superior a 1,5 a 2,0 vezes a maior dimensão b da distribuição da carga.
b
d
q
esforços
internos
q.b
d + b/2
	Fig. 1.2.4 – Princípio de Saint’Venant.
Princípio da Superposição dos Efeitos
Os efeitos de um sistema de várias forças agindo em um corpo (ações internas ou deformações) será igual à soma dos efeitos parciais produzidos nesse corpo quando cada esforço é aplicado isoladamente, independentemente da ordem de aplicação. Este princípio, largamente utilizado na Mecânica dos Corpos Rígidos, pode ser estendido aos corpos deformáveis desde que: 
1º) os deslocamentos dos pontos de aplicação das forças sejam pequenos quando comparados com as dimensões da estrutura (manutenção da geometria inicial);
	2º) os deslocamentos devidos às deformações da estrutura variem linearmente com os esforços (proporcionalidade esforço-deformação).
	Na Fig. 1.2.5 são apresentados dois exemplos sendo um (a) onde o princípio da superposição pode ser aplicado e outro (b), onde não pode ser aplicado.
 (a) (b) 
 P1 P 1
 F1
 
 P2 P 2
 F2
 P3 = P1 + P2 P3=P1+P2
 
 
 F3 = F1 + F2 F3 F1 + F2
	Fig. 1.2.5 – Princípio da Superposição dos Efeitos
	1.3 - ESFORÇOS
	Os esforços que atuam sobre um sistema material ou parte de uma estrutura podem ser classificados segundo o quadro:
 Permanentes
 ATIVOS
 EXTERNOS Acidentais
 REATIVOS
 Força Normal
 ESFORÇOS Força Cortante
 SECCIONAIS
 Momento Fletor
 INTERNOS Momento Torsor
 Tensão Normal
 LOCAIS
 Tensão Tangencial
Esforços Externos – são os que atuam no sistema material em análise (por contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos). Os esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.). Esses esforços são em geral conhecidos a priori (através das Normas Técnicas, requisitos para o projeto, etc). Noprojeto de novas estruturas o peso próprio é inicialmente desconhecido já que as dimensões das partes não estão ainda estabelecidas. O peso próprio é levado em conta nesses casos a partir de um peso estimado e utilizando-se um método de cálculo iterativo, rapidamente convergente. Os esforços produzidos pelos vínculos, também externos, são denominados de esforços reativos, ou reações dos apoios, sendo determinados pelas equações da Estática que regem o equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso que, no caso de carregamentos coplanares, se reduzem a:
F x = 0F y = 0M z = 0
Em 2014 – Prof. Sérgio	Página 1