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APOSTILA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I - Professor PC

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RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS II 
CCCCEE00332299 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro Universitário Estácio de Santa Catarina 
Paulo Cesar Martins Penteado 
2018 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 
Esta apostila, longe de ser original, consiste em um apanhado de trechos de autores consagrados, relacionados na 
Bibliografia Básica e na Bibliografia Complementar, assim como de outras referências, e tem por objetivo dar uma 
visão geral dos principais tópicos, conceitos e aplicações da teoria a ser desenvolvida durante o semestre e 
facilitar o estudo do acadêmico. 
Torna-se importante destacar que a consulta aos livros das Bibliografias é fundamental para o bom andamento e 
desenvolvimento das habilidades e competências necessárias para o prosseguimento dos estudos nas disciplinas 
que se seguirão. 
As críticas, sugestões e correções dos eventuais erros serão sempre bem-vindas. 
 
Paulo Cesar Martins Penteado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 3 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I – CCE0329 
 
ÍNDICE 
 
1. A Resistência dos Materiais I ........................................................................................................... 5 
1.1 Contextualização ........................................................................................................... 5 
1.2 Ementa ................................................................................................................................ 5 
1.3 Bibliografia Básica ...................................................................................................... 5 
1.4 Bibliografia Complementar ........................................................................................... 5 
1.5 Programa da disciplina ................................................................................................... 5 
2. Revisão de Mecânica Geral ........................................................................................................... 6 
2.1 Parte 1 ........................................................................................................................ 6 
Exercícios – Série 1 ........................................................................................................................ 6 
2.2 Parte 2 ........................................................................................................................ 8 
Exercícios – Série 2 ........................................................................................................................ 10 
3. Tensões .................................................................................................................................. 11 
3.1 Tensão normal ............................................................................................................. 11 
3.2 Tensão normal média em uma barra com carga axial ......................................................... 12 
Exercícios – Série 3 ........................................................................................................................ 12 
3.3 Tensão normal média (continuação) ................................................................................. 14 
Exercícios – Série 4 ........................................................................................................................ 14 
3.4 Tensão de cisalhamento ...................................................................................................... 16 
3.5 Reciprocidade das tensões de cisalhamento ........................................................................ 17 
3.6 Tensão de cisalhamento média ........................................................................................... 17 
3.7 Cisalhamento puro em conexões ......................................................................................... 18 
Exercícios – Série 5 ..................................................................................................................... 18 
3.8 Tensões admissíveis ..................................................................................................... 20 
3.9 Fator de segurança ....................................................................................................... 20 
Exercícios – Série 6 ....................................................................................................................... 21 
3.10 Revisão geral (tensões) ................................................................................................ 22 
Exercícios – Série 7 ............................................................................................................................ 22 
4. Deformações ............................................................................................................................. 24 
4.1 Deformação normal ........................................................................................................ 24 
4.2 Deformação por cisalhamento ........................................................................................ 25 
4.3 Componentes cartesianas da deformação ........................................................................ 25 
Exercícios – Série 8 .......................................................................................................................... 26 
5. O ensaio de tração e compressão ..................................................................................................... 27 
5.1 Diagrama tensão-deformação ............................................................................................ 28 
5.2 Materiais dúcteis e materiais frágeis ............................................................................... 30 
5.3 Energia de deformação – Módulo de resiliência .................................................................. 31 
Exercícios – Série 9 ..................................................................................................................... 31 
5.4 Coeficiente de Poisson ................................................................................................. 33 
5.5 O diagrama tensão-deformação de cisalhamento .............................................................. 34 
5.6 Material isotrópico ....................................................................................................... 34 
5.7 Lei de Hooke generalizada ............................................................................................. 34 
Exercícios – Série 10 ..................................................................................................................... 35 
Resistência dos Materiais I CCE0329 4 
 
5.8 Fluência ....................................................................................................................... 36 
5.9 Fadiga .......................................................................................................................... 36 
Exercícios – Série 11 ............................................................................................................................. 37 
6. Transformação de tensão ............................................................................................................... 38 
6.1 Procedimento de análise ..................................................................................................... 39 
6.2 Exemplo de aplicação ..................................................................................................... 39 
Exercícios – Série 12 ............................................................................................................................40 
6.3 Equações para transformação de tensão ............................................................................ 40 
Exercícios – Série 13 .......................................................................................................................... 42 
6.4 Tensões principais e planos de tensões principais ............................................................ 42 
6.5 Tensão de cisalhamento máxima no plano ..................................................................... 43 
Exercícios – Série 14 ......................................................................................................................... 43 
6.6 O círculo de Mohr ........................................................................................................ 44 
Exercícios – Série 15 ......................................................................................................................... 46 
6.7 Transformação de tensão – Revisão final 47 
Exercícios – Série 16 ............................................................................................................................ 48 
Respostas ........................................................................................................................................... 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 5 
 
1. A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO 
A disciplina de Resistência dos Materiais I está no Eixo Básico de Formação do engenheiro, sendo 
ministrada no quarto período, quando o aluno já possui os conceitos de forças, momentos, equilíbrio, 
energia de deformação e trabalho de forças externas, que lhe foram conferidos pelas disciplinas de 
Física Teórica e Mecânica Geral. O aluno também possui conhecimentos em cálculo diferencial e 
integral conferidos nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I, II, tendo os conceitos de 
segmentos, áreas e volumes elementares, integração e diferenciação de funções, máximos e mínimos 
de funções etc. 
A disciplina concentra-se na mecânica do contínuo, apresentando as tensões e deformações 
atuantes em um corpo sólido, as relações de equilíbrio entre as componentes de tensão, e as relações 
constitutivas que estabelecem a ligação entre um dado estado de tensão e o estado de deformação 
correspondente, procurando trazer os conceitos de mecânica já existentes para o âmbito de tensões, 
deformações e energia de deformação em corpos elásticos. Também são contempladas as análises de 
tensões e deformações, provendo ao estudante a capacidade para determinar as direções críticas para 
um determinado estado de tensão, a interpretação de deformações e fissurações em elementos 
estruturais, assim como a elaboração de ensaios de laboratório em elementos estruturais. Esses 
conhecimentos são fundamentais para as disciplinas de estruturas do Eixo Profissional Específico 
Estruturas e Geotécnica, assim como para a disciplina de Mecânica dos Solos, ministrada no sexto 
período e pertencente ao Eixo Básico de Formação de Engenheiro Civil. 
 
1.2 EMENTA 
Equilíbrio de estruturas, esforços, tensões e deformações em corpos elásticos; relações 
constitutivas; energia de deformação; análise de estado plano de tensão. 
 
1.3 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
RILEY, W. F.; STURGES, L. D.; MORRIS, D. H. Mecânica dos materiais. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técncios e Científicos, 2003. 
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995. 
 
1.4 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos: Volume 1. 1. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1983. 
POPOV, E. P. Resistência dos Materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1984. 
TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da Elasticidade. 3. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1980. 
DI BLASI, C. G. Resistência dos Materiais. Rio de Janeiro: Interamericana, 1982. 
 
1.5 PROGRAMA DA DISCIPLINA 
 
Bloco 1: Revisão de Mecânica Geral (forças, momentos, reações de apoio, esforços internos  tensões) 
Bloco 2: Deformações (medidas) 
Bloco 3: Propriedades elásticas dos materiais  Lei de Hooke 
Bloco 4: Energia de deformação 
Bloco 5: Análise de tensões no plano 
Resistência dos Materiais I CCE0329 6 
 
2. REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 
2.1 PARTE 1 
 
 Força e força resultante; 
 Momento e momento resultante; 
 Condições de equilíbrio da partícula e do corpo extenso rígido; 
 Força distribuída e sua resultante; 
 
Exercícios – Série 1 
1. O gancho mostrado na figura está sujeito a 
duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a 
direção da força resultante. 
 
2. A força F = 900 N atua sobre a estrutura. 
Decomponha essa força nas componentes que 
atuam ao longo dos membros AB e AC, e 
determine a intensidade de cada componente. 
 
3. Uma força de 800 N atua sobre um suporte, 
conforme mostra a ilustração ao lado. Determine 
o módulo do momento da força em relação ao 
ponto B. 
 
4. Determine a tração nos cabos AB e AD para o 
equilíbrio do motor de peso 2500 N mostrado na 
figura ao lado. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 7 
 
5. Para a estrutura mostrada na figura ao lado 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
6. Determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no pino A e a tração 
desenvolvida no cabo BC usado para sustentar a 
estrutura de aço. 
 
7. Para a estrutura mostrada na figura determine 
as reações nos apoios. 
 
8. Para a estrutura mostrada na figura determine 
as reações nos apoios A e C. 
 
9. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 8 
 
2.2 PARTE 2 
 Esforços internos 
 
Cargas resultantes internas 
Uma das mais importantes aplicações da estática na análise de problemas de resistência dos materiais é 
poder determinar a força e o momento resultantes que agem no interior de um corpo e que são 
necessários para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas. 
Consideremos o corpo mostrado na figura ao lado, mantido 
em equilíbrio pelas quatro forças externas. Note que o peso 
do corpo não é mostrado, já que admitimos que é bem 
pequeno e, portanto, desprezível em comparação com as 
outras cargas. 
Para obtenção das cargas internas que agem sobre uma 
região específica no interior de um corpo, é necessário usar o 
método das seções. 
 
O método exige que seja feita uma seção ou "corte" 
imaginário passando pela região onde as cargas internas 
deverão ser determinadas. Então, as duas partes do corpo 
são separadas e o diagrama de corpo livre de uma das partes 
é desenhado, como mostrado ao lado. Podemos ver que há, 
na verdade, uma distribuição de força interna agindo sobre a 
área "exposta" da seção. Essas forças representam os efeitos 
do material que está na parte superior do corpo agindo no 
material adjacente na parte inferior. 
 
Embora a distribuição exata da carga interna seja 
desconhecida, podemos usar as equações de equilíbrio para 
relacionar as forças externas sobre o corpo com a força e o 
momento resultantes da distribuição, FR e MRO, em qualquer 
ponto especifico O na área secionada, conforme mostrado 
ao lado. Observe que FR age no ponto O, embora seu valor 
calculado não dependa da localização desse ponto. Por outro 
lado, MRO depende dessa localização, pois os braços do 
momento devem se estender de O até a linha de ação de 
cada força externa no diagrama de corpo livre. 
Vamos considerar as componentes de FR e MRO, que agem 
normalou perpendicularmente à área secionada e no 
interior do plano da área. 
A figura a seguir mostra os quatro tipos diferentes de cargas 
resultantes que podem ser definidos: 
 Força normal N 
Essa força age perpendicularmente à área e se desenvolve 
sempre que as cargas externas tendem a empurrar ou puxar 
os dois segmentos do corpo. 
 Força de cisalhamento V 
A força de cisalhamento encontra-se no plano da área e é 
desenvolvida quando as cargas externas tendem a provocar 
o deslizamento de um dos segmentos do corpo sobre o 
outro. 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 9 
 
 Momento de torção ou torque T 
Esse efeito é desenvolvido quando as cargas externas tendem a torcer um segmento do corpo com 
relação ao outro. 
 Momento fletor M 
O momento fletor é causado pelas cargas externas que tendem a fletir o corpo em torno de um eixo que 
se encontra no plano da área. 
 
Se o corpo for submetido a um sistema de forças 
coplanares, como na figura ao lado, então haverá 
na seção apenas componentes da força normal, 
força de cisalhamento e momento fletor. 
Se usarmos os eixos coordenados x, y, z com 
origem no ponto O, como mostrado no segmento 
à esquerda, então a solução direta para N pode 
ser obtida aplicando-se ΣFx = 0, e V pode ser 
obtida diretamente de ΣFy = 0. 
Por fim, o momento fletor MO pode ser 
determinado diretamente pela soma dos 
momentos em torno do ponto O (o eixo z), ΣMO = 
0 de modo a eliminar os momentos causados 
pelas forças desconhecidas N e V. 
 
Convenção de sinais 
Para os sinais dos esforços internos, adotaremos aqui a convenção estabelecida em HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª edição. Editora Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2004. 
O esforço normal N é considerado positivo se criar tração. 
O esforço cortante V é positivo se fizer com que o segmento da viga sobre o qual atua gire no sentido 
horário. 
O momento fletor M será postivo quando tender a curvar o segmento no qual ele atua de uma maneira 
côncava para cima. 
Os esforços que são opostos a estes são considerados negativos. 
A tabela a seguir ilustra essa convenção de sinais para os esforços internos em uma seção transversal S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 10 
 
Exercícios – Série 2 
1. Determine o esforço normal, o esforço cortante e 
o momento fletor que atuam no ponto C da viga da 
figura ao lado. 
 
2. Determine o esforço normal, o esforço cortante e 
o momento fletor que atuam no ponto C da viga da 
figura ao lado. 
 
3. Determine o esforço normal, o esforço cortante e 
o momento fletor que atuam no ponto C da viga da 
figura ao lado. 
 
4. Determine o esforço normal, o esforço cortante e 
o momento fletor que atuam no ponto C da viga da 
figura ao lado. 
 
5. Determine o esforço normal, o esforço cortante e 
o momento fletor que atuam no ponto C da viga da 
figura ao lado. 
 
6. Determine o esforço normal, o esforço cortante e 
o momento fletor que atuam no ponto C da viga da 
figura ao lado. 
 
7. Determine o esforço normal, o esforço cortante e 
o momento fletor que atuam nos pontos C e D da 
viga da figura ao lado. Assuma que o apoio em B seja 
um rolete. O ponto C está localizado logo à direita da 
carga de 40 kN. 
 
 
Tarefa: Exercícios Hibbeler, Seção 1.2, páginas 9 a 14 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 11 
 
3. TENSÕES 
 
Vimos anteriormente que a força e o momento que agem em um ponto específico da área secionada de 
um corpo, como na figura a seguir, representam os efeitos resultantes da distribuição de forças que 
agem sobre a área secionada. 
 
Considere que a área secionada está subdividida em pequenas áreas, como ΔA sombreada em tom mais 
escuro na figura anterior. À medida que reduzimos ΔA a um tamanho cada vez menor, temos de adotar 
duas premissas em relação às propriedades do material: 
 o material é contínuo, isto é, possui continuidade ou distribuição uniforme de matéria sem vazios, em 
vez de ser composto por um número finito de moléculas ou átomos distintos; 
 o material deve ser coeso, o que significa que todas as suas porções estão muito bem interligadas, sem 
trincas ou separações. 
Uma força típica finita ΔF, porém muito pequena, agindo sobre a área ΔA a ela associada, é mostrada na 
figura. Essa força, como todas as outras, terá uma direção única, mas, em nossa discussão, nós a 
substituiremos por suas três componentes, a saber, ΔFx, ΔFy e ΔFz tangentes e normais à área, 
respectivamente. 
À medida que a área ΔA tende a zero, o mesmo ocorre com a força ΔF e suas componentes; porém, em 
geral, o quociente entre a força e a área tenderá a um limite finito. Esse quociente é denominado 
tensão e, como já observamos, descreve a intensidade da força interna sobre um plano especifico (área) 
que passa por um ponto. 
 
3.1 TENSÃO NORMAL 
 
A intensidade da força, ou força por unidade de área, que age perpendicularmente à área ΔA, é definida 
como tensão normal, σ (sigma). Visto que ΔFz é normal à área, então: 
 𝜎𝑧 = lim
∆𝐴⟶0
∆𝐹𝑧
∆𝐴
 
Se a força normal ou tensão tracionar o elemento de área ΔA, como mostra a figura anterior, ela será 
denominada tensão de tração (σ > 0), ao passo que, se comprimir o elemento ΔA, ela será denominada 
tensão de compressão (σ < 0). 
No SI, a tensão normal é medida em N/m2 = Pa (pascal). Observe que: 
 
MPa1
m
N
101
m10
N
1
mm
N
1
2
6
262


 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 12 
 
A força de 1 kgf é igual ao peso de um corpo com massa 1 kg em local com aceleração gravitacional 
9,8 m/s2. Portanto: 1 kgf = 9,8 N ≈ 10 N. 
Dessa forma, a tensão também pode ser medida em outra unidade bastante comum na Engenharia, o 
kgf/cm2. Pela definição do kgf, temos: 
 
MPa1,
m
N
101
m10
N
10
cm
kgf
1
2
5
242
0

. 
 
 
3.2 TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL 
 
 1ª premissa 
É necessário que a barra permaneça reta antes e depois da aplicação da carga; além disso, a seção 
transversal deve permanecer plana durante a deformação. 
 
 2ª premissa 
Para que a barra sofra deformação uniforme é necessário que P seja aplicada ao longo do eixo do 
centroide da seção transversal e que o material seja homogêneo e isotrópico. 
 
Contanto que a barra esteja submetida a uma deformação uniforme e constante como já observamos, 
essa deformação é o resultado de uma tensão normal constante σ. O resultado é que cada área ΔA na 
seção transversal está submetida a uma força ΔF = σΔA, e a soma dessas forças que agem em toda a 
área da seção transversal deve ser equivalente à força resultante interna P na seção. 
Se fizermos ΔA ⟶ dA e, portanto, ΔF ⟶ dF, então, reconhecendo que σ é constante, tem-se: 
 
ΔF = σΔA ⟹ ∫ 𝑑𝐹 = ∫ 𝜎𝑑𝐴
𝐴
 ⟹ ∫ 𝑑𝐹 = 𝜎 ∫ 𝑑𝐴
𝐴
 ⟹ 𝑃 = 𝜎𝐴 ⟹ 𝜎 =
𝑃
𝐴
 
 
Nesta relação, σ é tensão normal média em qualquer ponto na área da seção transversal; P é a força 
normal interna resultante, que é aplicada no centroide da área da seção transversal (determinada pelo 
método das seções e pelas equações de equilíbrio) e A é a área da seção transversal da barra. 
 
Exercícios – Série 3 
 
1. Uma coluna de fundição suporta uma carga axial de compressão de 40.000 kgf. Determinar seu 
diâmetro interno se o externo for de 16 cm e a máxima tensão não puder exceder 600 kgf/cm2. 
 
2. Determine o diâmetro externo de um tirante tubular de aço que deve suportar uma força de tração 
de 60 tf com uma tensão máxima de 1400 kgf/cm2. Considere que a espessura da parede do tubo é um 
décimo do diâmetro externo. 
 
3. A barra da figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. 
 
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à carga mostrada. 
 
 
 
Resistênciados Materiais I CCE0329 13 
 
4. Um tubo de alumínio está firmemente unido a uma haste de aço e outra de bronze, como mostra a 
figura a seguir, e cargas axiais são aplicadas nas posições indicadas. 
 
 
Determine o máximo valor de P de maneira que não se ultrapasse as seguintes tensões: 1250 kgf/cm2 
no aço, 700 kgf/cm2 no alumínio e 1100 kgf/cm2 no bronze. 
 
5. Duas barras cilíndricas maciças AB e BC são 
soldadas uma à outra em B e submetidas a um 
carregamento conforme mostra a figura ao lado. 
Sabendo que a tensão média não pode exceder 
140 MPa em nenhuma das barras, determine os 
menores valores admissíveis de d1 e d2. 
 
 
6. A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e 
BC, como mostra a figura ao lado. Se AB tiver diâmetro de 
10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão 
normal média em cada haste. Adote g = 9,81 m/s2. 
 
 
7. Na figura a seguir é mostrado parte do trem de pouso de um pequeno avião. Determine a tensão de 
compressão na armadura tubular AB durante a aterrissagem por uma reação do solo R = 2000 kgf. 
Considere que AB forma um ângulo de 53° com BC. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 14 
 
8. O elemento AC mostrado na figura ao lado está submetido a 
uma força vertical de 3 kN. Determine a posição x dessa força 
de modo que a tensão de compressão média no apoio liso C 
seja igual à tensão de tração média na barra AB. A área da 
seção transversal da barra é 400 mm2 e a área em C é 
650 mm2. 
 
 
3.3 TENSÃO NORMAL MÉDIA (CONTINUAÇÃO) 
 
Nesta aula continuaremos a aplicar a definição de tensão normal média na resolução de problemas. 
Como já fizemos anteriormente, a resolução deve seguir alguns passos: 
⦁ deve-se representar o diagrama de corpo livre para a estrutura ou para parte dela; 
⦁ a seguir, vamos impor o equilíbrio do corpo usando as equações da Estática; 
⦁ obtidas as cargas (forças e/ou momentos), utilizamos a definição de tensão. 
 
Exercícios – Série 4 
1. A peça fundida mostrada na figura ao lado é feita de aço, 
cujo peso específico é 𝛾aço = 80 kN/m
3. Determine a tensão de 
compressão média que age nos pontos A e B. 
 
2. A força axial na coluna que suporta a viga de madeira, 
mostrada na figura ao lado, é P = 75 kN. Determinar a menor 
comprimento L admissível para a chapa de contato para que a 
tensão de contato na madeira não exceda 3,0 MPa. 
Resposta: L = 178,6 mm 
 
3. Duas barras cilíndricas maciças AB e BC são soldadas uma à 
outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra 
a figura a seguir. Calcule a tensão normal média no ponto 
médio: 
a) da barra AB; 
b) da barra BC. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 15 
 
4. O mancal de encosto está submetido às cargas mostradas. 
Determinar a tensão normal média desenvolvida nas seções 
transversais que passam pelos pontos B, C e D. Fazer o 
desenho esquemático dos resultados para um elemento de 
volume infinitesimal localizado em cada seção. 
 
5. A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço 
interligadas por um anel em A. Determine qual das hastes está 
submetida à maior tensão normal média e calcule seu valor. 
Considere θ = 30°. O diâmetro de cada haste é dado na figura. 
 
6. Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm, 
respectivamente. Se for aplicada uma carga de 8 kN ao anel 
em B: 
a) determine a tensão normal média em cada haste se θ = 60°; 
b) determine o ângulo θ da haste BC de modo que a tensão 
normal média em cada haste seja equivalente. Qual é essa 
tensão? 
 
 
7. Um condomínio horizontal de residências, com 422 casas, será abastecido por uma caixa d’água 
metálica, cilíndrica, com 14 m de diâmetro interno. Considerando 6 pessoas por residência e um 
consumo médio de 200 litros por morador por dia e que a capacidade da caixa d’água deve prever 5 dias 
de abastecimento, pede-se calcular a tensão de compressão nas três colunas (diâmetro de 100 cm) de 
concreto armado que sustentarão a caixa d’água. Considerar que o peso da estrutura metálica da caixa 
d’água representa 6% do peso total do volume de água armazenada. 
 
8. A viga de concreto armado da figura é 
prismática (seção transversal constante) e 
horizontal com peso específico de 25 kN/m3. 
Apoiada nas suas extremidades por dois pilares 
iguais, com seção quadrada de 30 cm de lado, a 
viga suporta uma parede de alvenaria, com 
18 kN/m3 de peso específico e 30 cm de 
espessura, sendo de 6,2 m a sua altura. A viga tem 
seção transversal retangular, com 30 cm de base e 
80 cm de altura, sendo de 9 m o seu vão. Calcular 
a tensão de compressão nos pilares. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 16 
 
9. A treliça mostrada na figura a seguir é submetida 
ao carregamento indicado. Todas as barras têm seção 
transversal com área de 200 mm2. Determine: 
a) as forças que atuam nas barras CB e CE indicando 
se a respectiva barra está tracionada (T) ou se está 
comprimida (C); 
b) as tensões a que as barras CB e CE estão 
submetidas. 
 
 
3.4 TENSÃO DE CISALHAMENTO 
 
Já vimos que a intensidade da força, ou força por unidade de área, que age perpendicularmente à área 
ΔA, é definida como tensão normal, σ (sigma). 
 
 
A intensidade da força, ou força por unidade de área, que age tangente a ΔA, é denominada tensão de 
cisalhamento, 𝜏 (tau). De forma análoga à usada para definir a tensão normal, podemos definir as 
componentes da tensão de cisalhamento como: 
𝜏𝑧𝑥 = lim∆𝐴⟶0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
 e 𝜏𝑧𝑦 = lim∆𝐴⟶0
∆𝐹𝑦
∆𝐴
 
Para a tensão normal, observe que a notação do 
índice z em σz é usada para indicar a direção da 
reta normal dirigida para fora, que especifica a 
orientação da área ΔA, como mostra a figura ao 
lado. 
Para as componentes da tensão de 
cisalhamento são usados dois índices, 𝜏𝑧𝑥 e 𝜏𝑧𝑦. 
O eixo z especifica a orientação da área e x e y 
referem-se às retas que indicam a direção das 
tensões de cisalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 17 
 
3.5 RECIPROCIDADE DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO 
 
⦁ Equações de equilíbrio em um cubo infinitesimal 
Consideremos um elemento de volume, com 
formato cúbico, submetido ao estado de 
tensões representado a seguir. Para o 
equilíbrio, tensões iguais e opostas são 
exercidas sobre os planos ocultos. 
A combinação de forças geradas pela 
tensão devem satisfazer as condições para o 
equilíbrio: 
 
Consideremos os momentos em torno do 
eixo z: 
 
Analogamente: (Reciprocidade das tensões de cisalhamento) 
Portanto, apenas 6 componentes de tensão são necessárias para definir o estado completo de tensão; a 
saber: σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz. 
Observe que, em um dado ponto, o cisalhamento não pode ocorrer em um único plano; deve existir 
uma tensão de cisalhamento igual em outro plano perpendicular ao primeiro. 
Isto é o que ocorre, por exemplo, no centro Q do 
parafuso da figura ao lado. Note que tensões de 
cisalhamento de igual intensidade devem atuar 
nas duas faces horizontais do cubo e nas duas 
faces perpendiculares às forças P e P’. 
 
 
3.6 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA 
 
Definimos anteriormente a tensão de cisalhamento 𝜏 como a relação entre a intensidade da força que 
age tangencialmente à área de seção transversal pela área dessa seção. 
Para mostrar como essa tensão pode desenvolver-se, 
vamos considerar o efeito da aplicação de uma força F à 
barra mostrada na figura ao lado. Se considerarmos apoios 
rígidos e F suficientemente grande, o material da barra irá 
deformar-se e falhar ao longo dos planos identificados por 
AB e CD. 
Um diagrama de corpo livre do segmento central não 
apoiado da barra indica que a força de cisalhamento V = F/2 
deve ser aplicada a cada seção para manter o segmento em 
equilíbrio. A tensão de cisalhamento média distribuída 
sobre cadaárea secionada que desenvolve essa força de 
cisalhamento é definida por: 
 𝜏méd =
𝑉
𝐴
 
0
0




zyx
zyx
MMM
FFF
Resistência dos Materiais I CCE0329 18 
 
Nesta relação, 𝜏méd é a tensão de cisalhamento média na seção, que consideramos ser a mesma em 
cada ponto localizado na seção, V é a força de cisalhamento interna resultante na seção (determinada 
pelas equações de equilíbrio) e A é a área na seção transversal considerada. 
 
3.7 CISALHAMENTO PURO EM CONEXÕES 
 
Cisalhamento simples Cisalhamento duplo 
 
 
 𝝉méd =
𝑭
𝑨
 𝝉méd =
𝑭
𝟐 ∙ 𝑨
 
 
Exercícios – Série 5 
 
1. Conhecida a tensão de cisalhamento de ruptura de uma placa de aço ( 𝜏 = 330 MPa), determinar: 
a) a força P necessária para perfurar, por meio de um pino de 3 cm de diâmetro, uma placa de 1 cm de 
espessura; 
b) a correspondente tensão normal no pino. 
 
2. Deseja-se puncionar uma placa, tal como se indica 
na figura ao lado, que possui uma tensão de 
cisalhamento de ruptura igual a 3150 kgf/cm2. 
a) Se a tensão de compressão admissível no punção é 
4200 kgf/cm2, determinar a máxima espessura da placa 
para poder produzir um orifício de 7,5 cm de diâmetro. 
b) Se a placa tem uma espessura de 6 mm, calcular o 
máximo diâmetro do furo que poderá ser produzido. 
 
 
3. A escora de madeira mostrada na figura ao lado está suspensa por 
uma haste de aço de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. 
Considerando que a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, 
calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao 
longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado 
como abcd. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 19 
 
4. O elemento inclinado na figura ao lado está submetido a 
uma força de compressão de 3.000 N. Determine a tensão 
de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas pelos planos mostrados e a tensão de 
cisalhamento média ao longo do plano horizontal abcd. 
 
50 mm
75 mm40 mm
25 mm
a
b
c
d
3
45
3000 N
 
 
5. O elemento inclinado na figura ao lado está submetido a 
uma força de compressão de 4.500 kgf. Desprezando o 
atrito, determinar: 
a) a dimensão b se a tensão de cisalhamento admissível for 
de 9 kgf/cm2; 
b) a dimensão c se a pressão de contato não deve exceder 
70 kgf/cm2. 
 
 
6. A barra, mostrada na figura a seguir, tem área de seção transversal quadrada com 40 mm de 
profundidade e largura. Uma força axial de 800 N é aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide 
da área da seção transversal da barra. 
 
Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material 
a) ao longo do plano de seção a-a; 
b) ao longo do plano de seção b-b. 
 
7. Os grampos na fileira AB contida no grampeador 
estão colados de modo que a tensão de cisalhamento 
máxima que a cola pode suportar é 84 kPa. Determine a 
força mínima F que deve ser aplicada ao êmbolo para 
extrair um grampo da fileira por cisalhamento e permitir 
que ele saia sem deformação pela fenda em C. As 
dimensões externas do grampo são mostradas na figura, 
e a espessura é 1,25 mm. Considere que todas as outras 
partes são rígidas e despreze o atrito. 
 
8. O tampão, mostrado na figura ao lado, é 
utilizado para vedar a extremidade do tubo 
cilíndrico que está sujeito a uma pressão interna 
P = 650 Pa. Determine a tensão de cisalhamento 
média que a cola exerce sobre os lados do tubo 
necessária para manter o tampão no lugar. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 20 
 
9. As componentes de madeira A e B devem ser 
unidas por cobrejuntas de madeira compensada que 
serão totalmente coladas às superfícies em contato. 
Como parte do projeto da junção, e sabendo que a 
folga entre as extremidades das componentes deve 
ser 6,4 mm, determine o comprimento L mínimo 
permitido para que a tensão de cisalhamento média 
na cola não exceda 0,8 MPa. 
 
 
10. A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 kN, determinar a tensão de 
cisalhamento média desenvolvida nos pinos A, B e C. Todos os pinos estão sob cisalhamento duplo e 
cada um deles tem 18 mm de diâmetro. 
 
 
Tarefa: Exercícios Hibbeler, Seção 1.5, páginas 25 a 32 
 
3.8 TENSÕES ADMISSÍVEIS 
 
Um engenheiro responsável pelo projeto de um elemento estrutural ou mecânico deve restringir a 
tensão atuante no material a um nível seguro. Além disso, uma estrutura ou máquina em uso contínuo 
deve ser analisada periodicamente para que se verifique quais cargas adicionais seus elementos ou 
partes podem suportar. Portanto, vale repetir, é necessário fazer os cálculos usando-se uma tensão 
segura ou admissível. 
Para se garantir a segurança, é preciso escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a 
um valor menor do que a carga que o elemento pode suportar totalmente. Há várias razões para isso. 
 imprecisão de cálculo, 
 imperfeições oriundas do processo de fabricação, 
 variabilidade nas propriedades mecânicas dos materiais, 
 degradação do material, etc. 
 
3.9 FATOR DE SEGURANÇA 
 
Um método para especificação da carga admissível para o projeto ou análise de um elemento é o uso de 
um número denominado fator de segurança ou coeficiente de segurança. O fator de segurança (FS) é a 
razão entre a carga de ruptura, Frup , e a carga admissível, Fadm, ou seja: FS =
𝐹𝑟up
𝐹adm
 
Neste contexto, Frup é determinada por ensaios experimentais do material, e o fator de segurança é 
selecionado com base na experiência. 
Se a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada com a tensão desenvolvida no interior 
do elemento, como no caso da utilização de σ = P/A e 𝜏méd = V/A, então podemos expressar o fator de 
segurança como a razão entre a tensão de ruptura σrup (ou 𝜏rup) e a tensão admissível σadm (ou 𝜏adm); isto 
é: 
 FS =
𝜎𝑟up
𝜌adm
 ou FS =
𝜏𝑟up
𝜏adm
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 21 
 
Em qualquer dessas equações o fator de segurança escolhido é maior que 1, para evitar o potencial de 
falha. Valores específicos dependem dos tipos de materiais usados e da finalidade pretendida da 
estrutura ou máquina. 
Em geral, os fatores de segurança e, portanto, as cargas ou tensões admissíveis para elementos 
estruturais e mecânicos estão bem padronizados, já que as incertezas envolvidas em seu projeto foram 
razoavelmente avaliadas. Seus valores, os quais podem ser encontrados em normas de projeto e 
manuais de engenharia, pretendem manter um equilíbrio entre garantir a segurança pública e 
ambiental e oferecer soluções de projeto econômicas e razoáveis. 
 
Exercícios – Série 6 
 
1. Os dois elementos estão interligados como mostra 
a figura a seguir, que também apresenta vistas de 
cima dos acoplamentos em A e B. Se a tensão 
admissível de cisalhamento para os pinos for 
τadm = 90 MPa e a tensão de tração admissível para a 
haste CB for (σt)adm = 115 MPa, determine, com 
aproximação ele 1 mm, o menor diâmetro dos pinos 
A e B e o diâmetro da haste CB necessários para 
suportar a carga. 
 
2. O braço de controle está submetido ao 
carregamento mostrado na figura. Determine, com 
aproximação de 5 mm, o diâmetro exigido para o pino 
de aço em C se a tensão de cisalhamento admissível 
para o aço for τadm = 55 MPa. Observe, na figura, que o 
pino está sujeito a cisalhamento duplo. 
 
3. A alavanca em cotovelo representada na figura ao 
lado está em equilíbrio. Determine o diâmetro da barra 
AB se a tensão normal estiver limitada a 4/3 da tensão 
de cisalhamento no pino em D, sujeito a cisalhamento 
duplo e com 2,5 cm de diâmetro. 
Resposta: 2,36 cm 
 
4. A haste suspensa está apoiada em sua extremidade 
por um disco circular fixo acoplado como mostra a 
figura. Se a haste passar porum orifício de 40 mm de 
diâmetro, determine o diâmetro mínimo exigido para a 
haste e a espessura mínima do disco necessária para 
suportar a carga de 20 kN. A tensão normal admissível 
para a haste é σadm = 60 MPa e a tensão admissível de 
cisalhamento para o disco é τadm = 35 MPa. 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 22 
 
5. Uma carga axial sobre o eixo mostrado na figura sofre a resistência do colar em C, que está acoplado 
ao eixo e localizado no lado direito do mancai em B. 
 
Determine o maior valor de P para as duas forças axiais em E e F de modo que a tensão no colar não 
ultrapasse uma tensão de apoio admissível em C de (σa)adm = 75 MPa e que a tensão normal média no 
eixo não exceda a tensão de tração admissível (σt)adm = 55 MPa. 
 
6. O conjunto da correia sobreposta será submetido a uma 
força de 800 N. Determinar: 
a) a espessura t necessária para a correia se o esforço de 
tração admissível para o material for (σt)adm = 10 MPa; 
b) o comprimento dl necessário para a sobreposição se a 
cola pode resistir a um esforço de cisalhamento admissível 
de (τadm)c = 0,75 MPa. 
c) o diâmetro dr do pino se a tensão de cisalhamento 
admissível para o pino for (τadm)p = 30 MPa. 
 
 
7. A barra rígida AB, mostrada na figura, é sustentada por 
uma haste de aço AC de 20 mm de diâmetro e um bloco de 
alumínio com área de seção transversal de 1.800mm2. Os 
pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a 
cisalhamento simples. 
Se as tensões de ruptura do aço e do alumínio forem 
(σaço)rup = 680 MPa e (σal)rup = 70 MPa, respectivamente, e a 
tensão de ruptura por cisalhamaneto para cada pino for 
τrup = 900 MPa, determine a maior carga P que pode ser 
aplicada à barra. Aplique um fator de segurança FS = 2. 
 
Tarefa: Hibbeler, Problemas Seção 1.5, páginas 38 a 43 
 
 
3.10 REVISÃO GERAL (TENSÕES) 
 
Tensão normal (axial) média: 𝜎méd =
𝑃
𝐴
 
Tensão de cisalhamento média: 𝜏méd =
𝑉
𝐴
 
Fator de segurança: FS =
𝜎𝑟up
𝜌adm
 ou FS =
𝜏𝑟up
𝜏adm
 
 
Exercícios – Série 7 
 
1. Para a estrutura mostrada na figura ao lado e sujeita 
ao carregamento dado, determine o diâmetro da barra 
BC, se a tensão admissível é σadm = 155 MPa. A viga é 
assumida ser parafusada em A. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 23 
 
2. As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 20 kN. 
Determinar seus diâmetros requeridos se o esforço de tração 
admissível para o alumínio for adm = 150 MPa. 
 
3. Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga. 
Se ambos tiverem uma tensão de tração admissível 
σadm = 180 MPa, e se o cabo AB tiver diâmetro de 6 mm e o cabo 
AC tiver diâmetro de 4 mm, determine a maior força P que pode 
ser aplicada à corrente antes que um dos cabos falhe. 
 
4. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os 
apoios em A e B for (σa)adm = 2,8 MPa, determine a carga P 
máxima que pode ser aplicada à viga. As seções transversais 
quadradas das chapas de apoio A' e B' são 50 mm  50 mm 
e 100 mm  100 mm, respectivamente. 
 
5. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os 
apoios em A e B for (σa)adm = 2,8 MPa, determine os 
tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos 
para suportar a carga. A dimensão das chapas deve ter 
aproximação de múltiplos de 10 mm. As reações nos apoios 
são verticais. 
 
6. As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por 
tração é σrup = 510 MPa. Usando um fator de segurança FS = 1,75 
para tração, determine o menor diâmetro das hastes de modo que 
elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está 
acoplada por pinos em A e C. 
 
 
7. A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro 
exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por 
cisalhamento para os parafusos for 𝜏rup = 350 MPa. Use um fator 
de segurança para cisalhamento FS = 2,5. 
 
 
Tarefa: Hibbeler, Problemas de revisão, páginas 45 e 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 24 
 
4. DEFORMAÇÕES 
 
Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas 
mudanças são denominadas deformações e podem ser altamente visíveis ou praticamente 
imperceptíveis se não forem utilizados equipamentos que façam medições precisas. 
Também pode ocorrer deformação em um corpo quando há mudança de temperatura. Um exemplo 
típico é a expansão ou contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas. 
De modo geral, a deformação de um corpo não será uniforme em todo o seu volume e, portanto, a 
mudança na geometria de cada segmento de reta no interior do corpo pode variar ao longo de seu 
comprimento. Por exemplo, uma parte da reta pode se alongar, ao passo que outra porção pode se 
contrair. Se considerarmos segmentos de reta cada vez mais curtos, eles ficarão aproximadamente mais 
retos após a deformação e, portanto, para um estudo mais uniforme das mudanças provocadas por 
deformação, consideraremos que as retas são muito curtas e localizadas na vizinhança de um ponto. 
Com isso, percebemos que a quantidade da mudança em qualquer segmento de reta localizado em um 
ponto distinto do corpo será diferente da observada em qualquer outro ponto. Além disso, essas 
mudanças também dependem da orientação do segmento de reta em questão. Por exemplo, um 
segmento de reta pode se alongar se estiver orientado em uma direção, ao passo que pode contrair-se, 
caso esteja orientado em outra direção. 
 
4.1 DEFORMAÇÃO NORMAL 
 
O alongamento ou contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é denominado 
deformação normal. Para desenvolver uma definição formal da deformação normal, considere a reta 
AB, contida no interior do corpo não deformado mostrado na figura a seguir. 
Essa reta se encontra ao longo do eixo n e tem um 
comprimento original Δs. Após a deformação, os 
pontos A e B são deslocados para A' e B', e a reta 
torna-se uma curva de comprimento Δs'. Portanto, a 
mudança no comprimento da reta é Δs' ‒ Δs. Se 
definirmos a deformação normal média usando o 
símbolo ϵméd (epsílon), então: 
 𝜖𝑚é𝑑 =
∆𝑠′ − ∆𝑠
∆𝑠
 
À medida que escolhemos o ponto B cada vez mais próximo do ponto A, o comprimento da reta fica 
cada vez menor, de modo tal que Δs ⟶ 0. Desta maneira, B' aproxima-se de A', de forma que Δs'⟶ 0. 
Por consequência, no limite, a deformação normal no ponto A e na direção de n é: 
 𝜖 = lim
𝐵⟶𝐴 ao longo de n
∆𝑠′ − ∆𝑠
∆𝑠
 
 
De maneira mais simples, consideremos um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de 
temperatura ou a uma carga externa, como mostrado abaixo. 
 
PP
L0
L 
 
Se L0 é o comprimento inicial e L é o comprimento final do corpo sob tração, o alongamento é ΔL = L – L0 
e o alongamento por unidade de comprimento, chamado deformação linear, é definido como: 
 𝜖 = ∫
𝑑𝐿
𝐿0
𝐿
0
= 
∆𝐿
𝐿0
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 25 
 
Se a deformação normal for conhecida, podemos usar essa equação para obter o comprimento final 
aproximado de um segmento curto de reta na direção de n após a deformação. 
Temos: ∆𝑠′ ≈ (1 + 𝜖)∆𝑠 
Observe que, ser ϵ é positivo, a reta inicial se alongará, ao passo que, se ϵ for negativo, a reta se 
contrairá. 
Observe também que a deformação normal é uma quantidade adimensional, visto ser uma razão entre 
dois comprimentos. Apesar disso, é prática comum expressá-la em termos de uma razão entre unidades 
de comprimento. 
 
4.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO 
 
A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente eram perpendiculares 
um ao outro é denominada deformação por cisalhamento. Esse ângulo é representado por ϒ (gama) e 
medido em radianos (rad). 
Para mostrar como isso se desenvolve, considere ossegmentos de reta AB e AC que se originam no mesmo 
ponto A de um corpo e estão direcionados ao longo 
dos eixos perpendiculares n e t, como mostrado na 
figura a seguir. Após deformação, as extremidades das 
retas são deslocadas, e as próprias retas transformam-
se em curvas, de modo tal que o ângulo entre elas em 
A é θ'. Por consequência, definimos a deformação por 
cisalhamento no ponto A associada aos eixos n e t 
como: 
 
 𝛾𝑛𝑡 =
𝜋
2
 − lim
𝐵⟶𝐴 ao longo de 𝑛
 𝐶⟶𝐴 ao longo de 𝑡
𝜃′ 
 
Observe que, se θ’ for menor do que π/2, a deformação por cisalhamento é positiva, ao passo que se θ’ 
for maior do que π/2, então a deformação por cisalhamento é negativa. 
 
4.3 COMPONENTES CARTESIANAS DA DEFORMAÇÃO 
 
Usando as definições anteriores de deformação normal e deformação por cisalhamento, mostraremos 
agora como elas podem ser usadas para descrever a deformação de um corpo. Para isso, vamos 
considerar o corpo mostrado na figura a seguir, subdividido em pequenos elementos como destacado. 
Esse elemento é retangular, suas dimensões, quando não deformado, são Δx, Δy e Δz e ele está 
localizado na vizinhança de um ponto no corpo. 
 
 
 
Considerando que as dimensões do elemento são muito pequenas, sua forma, quando deformado, será 
a de um paralelepípedo, visto que segmentos de reta muito pequenos permanecerão aproximadamente 
Resistência dos Materiais I CCE0329 26 
 
retas após a deformação do corpo. Para chegar a isso, temos de considerar, em primeiro lugar, como a 
deformação normal muda os comprimentos dos lados do elemento retangular e em seguida, como a 
deformação por cisalhamento muda os ângulos de cada lado. 
Assim, pelo que vimos anteriormente, ∆𝑠′ ≈ (1 + 𝜖)∆𝑠, em relação às retas Δx, Δy e Δz, os 
comprimentos aproximados dos lados do paralelepípedo são: 
 
 (1 + 𝜖𝑥)∆𝑥 (1 + 𝜖𝑦)∆𝑦 (1 + 𝜖𝑧)∆𝑧 
 
E, os ângulos aproximados entre os lados, mais uma vez definidos originalmente pelos lados Δx, Δy e Δz, 
são: 
 
𝜋
2
− 𝛾𝑥𝑦 
𝜋
2
− 𝛾𝑦𝑧 
𝜋
2
− 𝛾𝑥𝑧 
 
Observe, em particular, que as deformações normais causam uma mudança no volume do elemento 
retangular, ao passo que deformações por cisalhamento provocam uma mudança em sua forma. É 
claro que ambos os efeitos ocorrem simultaneamente durante a deformação 
 
Exercícios – Série 8 
 
1. A barra rígida, mostrada ao lado, é suportada por um pino em A e 
por fios BD e CE. Se a carga P causar na extremidade C um 
deslocamento de 10 mm para baixo, determine a deformação 
normal desenvolvida nos fios CE e BD. 
 
2. A barra rígida, mostrada ao lado, é suportada por um pino em A e 
por fios BD e CE. Se a carga P causar na extremidade C um 
deslocamento de 10 mm para baixo, determine a deformação 
normal desenvolvida nos fios CE e BD. 
 
3. A haste delgada mostrada na figura ao lado é submetida a um 
aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que cria uma 
deformação normal na haste de ϵz = 40(10
‒3)z1/2, em que z é dado 
em metros. Determine: 
a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento de 
temperatura; 
b) a deformação normal média na haste. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 27 
 
4. Os dois fios estão conectados em A. Se a força P faz com 
que o ponto A seja deslocado horizontalmente 2 mm, 
determine a tensão normal desenvolvida em cada fio. 
Resposta: εCA = εBA = 0.00578 
 
5. A força que atua na empunhadura do cabo da alavanca 
mostrada ao lado provoca uma rotação no cabo da 
alavanca de θ = 0,002 rad em sentido horário. Determine a 
deformação normal média desenvolvida no cabo BC. 
 
 
6. A chapa é deformada até a forma representada pelas 
linhas tracejadas mostradas na figura ao lado. Se, nessa 
forma deformada, as retas horizontais na chapa 
permanecerem horizontais e seus comprimentos não 
mudarem, determine: 
a) a deformação normal ao longo do lado AB. 
b) a deformação por cisalhamento média da chapa em 
relação os eixos x e y. 
 
 
7. A chapa mostrada na figura ao lado é fixa ao longo de 
AB e presa por guias horizontais rígidas nas partes 
superior e inferior, AD e BC. Se o lado direito da chapa, CD, 
sofrer um deslocamento horizontal uniforme de 2 mm, 
determine: 
a) a deformação normal média ao longo da diagonal AC; 
b) a deformação por cisalhamento em E em relação aos 
eixos x, y. 
 
 
Tarefa: Hibbeler, Problemas, páginas 52 a 56 
 
5. O ENSAIO DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem deformação 
excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e eleve ser determinada por 
métodos experimentais. Um dos testes mais importantes nesses casos é o ensaio de tração ou 
compressão. Embora seja possível determinar muitas propriedades mecânicas importantes ele um 
material por esse teste, ele é usado primariamente para determinar a relação entre a tensão normal 
média e a deformação normal média em muitos materiais usados na engenharia, como metais, 
cerâmicas, polímeros e compósitos. 
Resistência dos Materiais I CCE0329 28 
 
Para executar o ensaio de tração ou compressão, 
prepara-se um corpo de prova do material com forma 
e tamanho "padronizados". Por exemplo, o corpo de 
prova utilizado no ensaio de tração de um metal em 
geral tem um diâmetro inicial d0 = 13 mm e 
comprimento de referência L0 = 50 mm, como o 
mostrado na figura ao lado. 
 
Antes do teste, duas pequenas marcas são identificadas ao longo do comprimento do corpo de prova. 
Essas marcas são localizadas longe de ambas as extremidades do corpo de prova, porque a distribuição 
de tensão nas extremidades é um tanto complexa devido ao aperto nos acoplamentos onde a carga é 
aplicada . Em seguida, são medidos a área da transversal inicial do corpo de prova, A0, e o comprimento 
de referência, L0, que é a distância entre as duas marcas. 
Para aplicar-se uma carga axial sem provocar flexão no corpo de prova, as extremidades normalmente 
são encaixadas em juntas universais. Então, uma máquina de teste é utilizada para alongar o corpo de 
prova a uma taxa muito lenta e constante, até ele atingir o ponto de ruptura. A máquina é projetada 
para ler a carga exigida para manter este alongamento uniforme. Dados da carga aplicada P são, então, 
lidos no mostrador da máquina ou em um mostrador digital e registrados em intervalos frequentes. 
À medida que a carga P aumenta, o comprimento do corpo de prova também aumenta e o alongamento 
δ = L ‒ L0 é registrado para vários valores de P. O alongamento δ = L ‒ L0 entre as marcas no corpo de 
prova também pode ser medido por meio de um calibre ou por um dispositivo mecânico ou ótico 
denominado extensômetro. 
Para cada par de leituras P e δ, calcula-se a tensão nominal (ou tensão de engenharia) σ dividindo a 
carga P pela área da seção transversal inicial A0 do corpo de prova, e a deformação nominal (ou 
deformação de engenharia) ϵ dividindo o alongamento δ pelo comprimento inicial L0 do corpo de prova. 
Assim: 
𝜎 =
𝑃
𝐴0
 e 𝜖 =
𝛿
𝐿0
 . 
 
Com tais dados é possível construir o diagrama tensão-deformação, representando ϵ no eixo das 
abscissas e σ no eixo das ordenadas. 
 
5.1 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
 
O diagrama tensão-deformação é muito importante na engenharia porque proporciona os meios para se 
obterem dados sobre a resistência à tração (ou compressão) de um material sem considerar o tamanho 
ou a forma física do material, isto é, sua geometria. Entretanto, devemos ter sempre em mente que dois 
diagramas tensão-deformação para um determinado material nunca serão exatamente iguais, já que os 
resultados dependem de variáveis como a composição e as imperfeições microscópicas do material, seu 
modo de fabricação e a taxa de carga e temperatura utilizadas durante o teste.A figura a seguir mostra o diagrama tensão-deformação característico para um corpo de prova de aço, 
um material comumente utilizado para fabricação de elementos estruturais e mecânicos, obtido pelo 
método descrito. Por essa curva, podemos identificar quatro modos diferentes de comportamento do 
material, dependendo do grau de deformação nele induzido. 
Resistência dos Materiais I CCE0329 29 
 
 
 
 Comportamento elástico e a lei de Hooke 
Ocorre o comportamento elástico do material quando as deformações no corpo de prova estão dentro 
da primeira região mostrada no gráfico acima. Pode-se ver que a curva é na verdade uma linha reta em 
grande parte dessa região, de modo que a tensão é proporcional à deformação. Em outras palavras, o 
material é linearmente elástico. O limite superior da tensão para essa relação linear é denominado 
limite de proporcionalidade, σlp. 
Se a tensão ultrapassar ligeiramente o limite de proporcionalidade, o material ainda pode responder de 
maneira elástica; todavia, a reta tende a encurvar-se e achatar-se como mostra a figura . Isso continua 
até a tensão atingir o limite de elasticidade . Ao atingir esse ponto, se a carga for removida, o corpo de 
prova ainda voltará à sua forma original. No entanto, no caso do aço, o limite de elasticidade raramente 
é determinado, visto que está muito próximo do limite de proporcionalidade, portanto é muito difícil 
detectá-lo. 
O comportamento de molas e dos materiais no regime elástico foi observado por Robert Hooke, em 
1676, que estabeleceu o que hoje é conhecido como lei de Hooke. De acordo com a lei de Hooke: 
 
 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖 
 
Nesta expressão, E representa a constante de proporcionalidade, denominada módulo de elasticidade 
ou módulo de Young, nome que se deve a Thomas Young, que publicou uma explicação sobre o módulo 
em 1807. 
Na realidade, esta relação representa a equação da porção inicial em linha reta do diagrama tensão-
deformação até o limite de proporcionalidade. Além disso, o módulo de elasticidade representa a 
inclinação dessa reta. 
 
 Escoamento 
Um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade resultará no colapso do material e fará 
com que ele se deforme permanentemente. Esse comportamento é denominado escoamento e é 
indicado pela segunda região da curva. A tensão que causa escoamento é denominada tensão de 
escoamento ou ponto de escoamento, σe, e a deformação que ocorre é denominada deformação 
plástica. 
Resistência dos Materiais I CCE0329 30 
 
Observe que, uma vez alcançado o ponto de escoamento, o corpo de prova continuará a alongar-se 
(deformar-se) sem qualquer aumento na carga, como mostra o gráfico. Ressalta-se aqui que a figura não 
está em escala; se estivesse, as deformações induzidas pelo escoamento seriam 10 a 40 vezes maiores 
do que as produzidas até o limite ele elasticidade. Quando o material está nesse estado, costuma ser 
denominado perfeitamente plástico. 
 
 Endurecimento por deformação 
Quando o escoamento tiver terminado, pode-se aplicar uma carga adicional ao corpo de prova, o que 
resulta em uma curva que cresce continuamente, mas torna-se mais achatada até atingir uma tensão 
máxima denominada limite de resistência, σr. O crescimento da curva dessa maneira é denominado 
endurecimento por deformação e é identificado na terceira região do gráfico. Durante todo o ensaio, 
enquanto o corpo se alonga, sua seção transversal diminui. Essa redução na área é razoavelmente 
uniforme por todo o comprimento de referência do corpo de prova, até mesmo a deformação que 
corresponde ao limite de resistência. 
 
5.2 MATERIAIS DÚCTEIS E MATERIAIS FRÁGEIS 
 
Os materiais utilizados em estruturas podem ser classificados como materais dúcteis e materiais frágeis. 
 
 Material dúctil 
São os materiais que submetidos ao esforço de tração ou de compressão apresentam a deformação 
elástica, seguida da deformação plástica, para atingirem o rompimento. Os engenheiros costumam 
escolher materiais dúcteis para o projeto uma vez que esses materiais são capazes de absorver choque 
ou energia e, se ficarem sobrecarregados, exibirão, em geral, grande deformação antes de falhar. 
Um modo de especificar a ductilidade de um material é calcular o percentual de alongamento ou a 
redução percentual da área no instante da ruptura, chamada área de estricção: 
 Porcentagem de alongamento (ϵ) =
𝐿𝑟𝑢𝑝 − 𝐿0
𝐿0
(100%) 
 
 Porcentagem da redução da área (ψ) =
𝐴0 − 𝐴
𝐴
∙ (100%) 
O aço doce, por exemplo, apresenta uma porcentagem de redução de área de cerca de 60%. Outros 
materiais, como latão, molibdênio e zinco, também podem exibir características de tensão-deformação 
dúctil semelhantes às do aço e, por isso, passam por comportamento de tensão-deformação elástica, 
escoamento a tensão constante, endurecimento por deformação e, por fim, estricção até ruptura. 
Entretanto, na maioria dos metais não ocorrerá escoamento constante além da faixa elástica. 
Um metal que apresenta tal comportamento é o alumínio. Frequentemente, esse metal não tem um 
ponto de escoamento bem definido e, por consequência, é prática padrão definir um limite de 
escoamento para o alumínio por meio de um procedimento gráfico denominado método da 
deformação residual. 
Em geral escolhe-se uma deformação de 0,2% (0,002 mm/mm) e, 
tomando como origem esse ponto no eixo ϵ, traça-se uma 
paralela à parte inicial em linha reta do diagrama tensão-
deformação. O ponto em que essa reta intercepta a curva 
determina o limite de escoamento. 
Um exemplo da construção desse gráfico para determinar o limite 
de escoamento para uma liga de alumínio é mostrado na figura ao 
lado. Pelo gráfico, o limite de escoamento é σle = 352 MPa. 
0,002 0,0100,005
100
200
300
400
e (mm/mm)
 (MPa)

le
 = 352
(0,2% de deformação residual)
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 31 
 
 Material frágil 
São os materiais que submetidos ao esforço de tração apresentam a deformação elástica e em seguida 
atingem o rompimento. Ou seja, são materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da 
falha. Os materiais frágeis não apresentam a fase da deformação plástica. 
Por outro lado, tais materiais apresentam grande resistência à compressão e, à medida que a carga 
aumenta, o material em geral abaula-se ou toma a forma de um barril. 
Para o concreto, por exemplo, a máxima resistência à compressão é quase 12,5 vezes maior do que sua 
resistência à tração, (σc)máx = 34,5 MPa, em comparação com (σt)máx = 2,76 MPa. Por essa razão, o 
concreto é quase sempre reforçado com barras ou hastes de aço quando projetado para suportar cargas 
de tração. 
O concreto, assim como o ferro fundido cinzento, é classificado como um material frágil e também tem 
baixa capacidade de resistência à tração. As características de seu diagrama tensão-deformação 
dependem primariamente da mistura do concreto (água, areia, brita e cimento) e do tempo e 
temperatura de cura. 
Além dos materiais já citado, como exemplos ainda temos: vidro, cerâmica, porcelana e outros. 
 
5.3 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO - MÓDULO DE RESILIÊNCIA 
 
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia internamente em 
todo o seu volume. Como essa energia está relacionada com as deformações no material, ela é 
denominada energia de deformação. 
A energia de deformação por unidade de volume, u, para materiais no regime linear elástico, pode ser 
calculada diretamente no diagrama tensão-deformação pela área abaixo da curva: 𝑢 =
1
2
𝜎𝜖 
Em particular, quando a tensão σ atinge o limite de proporcionalidade, a densidade de energia de 
deformação u é denominada módulo de resiliência, representada por ur. Assim: 𝑢𝑟 =
1
2
𝜎𝑙𝑝
2
𝜖
 
 
Exercícios – Série 9 
 
1. Uma barra cilíndrica sofre um esforço de tração e alonga-se para um comprimentode 65 mm. 
Sabendo-se que o comprimento inicial era de 57 mm, calcule o alongamento sofrido em porcentagem. 
 
2. Uma barra cilíndrica é tracionada e sofre o fenômeno de estricção. Sabendo-se que o diâmetro inicial 
era de 35 mm e o final de 30 mm, calcule o valor da estricção em porcentagem. 
 
3. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal é esticada 1 mm quando 
uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior. Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o 
módulo de Young para a barra. 
 
4. Uma haste de latão de 8 mm de diâmetro tem módulo de elasticidade Elatão = 100 GPa. Considerando 
a haste com 3 m de comprimento e sendo submetida a uma carga axial de 2 kN, determine: 
a) seu alongamento para o diâmetro de 8 mm; 
b) o alongamento, se o diâmetro for de 6 mm. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 32 
 
5. A viga rígida está apoiada por um pino em A e 
pelos arames BD e CE. 
Se a carga P na viga for deslocada 10 mm para 
baixo, qual será a deformação normal 
desenvolvida nos arames CE e BD? 
 
6. Os dois arames estão interligados em A. Se a 
carga P provocar o deslocamento vertical de 3 mm 
ao ponto A, qual será a deformação normal 
provocada em cada arame? 
 
7. Duas barras são usadas para suportar uma carga. Sem 
ela, o comprimento de AB é 5 pol, o de AC é 8 pol, e o 
anel em A tem coordenadas (0, 0). Se for aplicada uma 
carga P ao anel em A, de modo que ele se move para a 
posição de coordenadas (0,25 pol, −0,73 pol), qual será a 
deformação normal em cada barra? 
 
 
8. Uma barra prismática, de comprimento L e área de seção transversal A, tem módulo de elasticidade E. 
Estabeleça uma expressão para o alongamento total ΔL da barra se uma força de tração P atuar em suas 
extremidades. 
 
9. Uma barra de aço cuja área de seção transversal é 500 mm2 está submetida ao carregamento 
mostrado na figura abaixo. 
A B C D
0,6 m 1 m 1,25 m
50 kN 15 kN 10 kN 45 kN
 
Considerando que, para o aço, E = 200 GPa, determine o alongamento total da barra. 
 
10. Determine a deformação da barra de aço 
mostrada na figura ao lado submetida às forças 
dadas. Considere: E = 200 GPa. 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 33 
 
11. A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e 
CD. A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma 
área transversal de 500 mm2; A barra CD é feita de aço 
(E = 200 GPa) e tem uma área transversal de 600 mm2. 
Para a força de 30 kN mostrada, determinar os 
deslocamentos dos pontos: 
a) B; 
b) D; 
c) E. 
 
12. A barra, mostrada na figura ao lado, inicialmente reta, tem 
seção transversal constante A e está suspensa verticalmente 
submetida somente ao seu próprio peso W. Considerando o 
módulo de elasticidade E do material da barra, determine o 
alongamento Δ da barra. 
dy
L
y
 
 
Tarefa: Hibbeler, Problemas, páginas 68 a 72 
 
5.4 COEFICIENTE DE POISSON 
 
Quando submetido a uma força de tração axial, um corpo deformável não apenas se alonga, mas 
também se contrai lateralmente. Por exemplo, se esticarmos uma tira de borracha, podemos notar que 
a espessura, assim como a largura da tira diminuem. Da mesma forma, uma força de compressão que 
age sobre um corpo provoca contração na direção da força e, no entanto, seus lados se expandem 
lateralmente. Esses dois casos são ilustrados na figura a seguir para uma barra com comprimento e raio 
originais r e L, respectivamente. 
 
Quando a carga P é aplicada à barra, provoca uma mudança δ no comprimento e δ' no raio da barra. As 
deformações na direção longitudinal ou axial e na direção lateral ou radial são, respectivamente: 
 𝜖long =
𝛿
𝐿
 e 𝜖lat =
𝛿′
𝑟
 
No início do século XIX, o cientista francês S. D. Poisson percebeu que, dentro da faixa elástica, a razão 
entre essas deformações é uma constante, visto que δ e δ' são proporcionais. 
Essa constante é denominada coeficiente de Poisson, 𝜈 (nu), e seu valor numérico é único para um 
determinado material homogêneo e isotrópico. Em termos matemáticos: 𝜈 = −
𝜖lat
𝜖long
 
Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca 
contração lateral (deformação negativa) e vice-versa. 
O coeficiente de Poisson é adimensional e, para a maioria dos sólidos não-porosos, seu valor encontra-
se, em geral, entre 1/4 e 1/3. 
Pode-se demostrar que o valor máximo possível para o coeficiente de Poisson é 0,5. Portanto, 
 0 ≤ 𝜈 ≤ 0,5. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 34 
 
5.5 O DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO 
 
O comportamento de um material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório 
por meio de corpos de prova na forma de tubos finos submetidos a carga de torção. Se o torque 
aplicado e os ângulos de torção resultantes forem medidos, então, os dados podem ser usados para 
determinar a tensão de cisalhamento e a deformação por cisalhamento e para construir um diagrama 
tensão-deformação de cisalhamento. 
Um exemplo desse diagrama para um material dúctil 
é mostrado na figura ao lado. 
Os valores indicados referem-se ao limite de 
proporcionalidade (índices lp), tensão de 
cisalhamento e deformação de cisalhamento máxima 
(índice m) e ponto de ruptura (índices rup). 
Como no diagrama tensão axial-deformação, dentro 
do regime de proporcionalidade, o diagrama é linear. 
 
 
 
A inclinação da reta, dentro do regime de proporcionalidade, corresponde ao módulo de elasticidade 
ao cisalhamento ou módulo de rigidez (G). Assim: 𝐺 =
𝜏𝑙𝑝
𝛾𝑙𝑝
 ⟹ 𝜏 = 𝐺 ∙ 𝛾 
Pode-se demonstrar que existe uma relação entre o módulo de Young (E), o módulo de rigidez (G) e o 
coeficiente de Poisson (𝜈). Tal relação estabelece que: 
 𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
 
 
5.6 MATERIAL ISOTRÓPICO 
 
Na Resistência dos Materiais, um material é dito isotrópico se suas propriedades mecânicas são as 
mesmas em todas as direções. Os materiais isotrópicos podem ter estruturas microscópicas 
homogêneas ou não homogêneas. Por exemplo, o aço demonstra comportamento isotrópico, apesar de 
sua estrutura microscópica ser não homogênea. 
 
5.7 LEI DE HOOKE GENERALIZADA 
 
Consideramos, inicialmente, um caso simples da aplicação da lei de Hooke (𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖) para uma barra 
solicitada por uma tração axial quando o carregamento está na direção de uma linha reta, ou seja, 
uniaxial. Considerou-se a deformação somente na direção da carga, que é agora escrita da seguinte 
forma: 𝜖 =
𝜎
𝐸
 . 
No caso mais geral, um elemento do material está solicitado por três tensões normais perpendiculares 
entre si, σx, σy e σz, as quais são acompanhadas pelas deformações εx, εy e εz, respectivamente. 
Superpondo as componentes de deformação resultantes da contração lateral devido ao efeito de 
Poisson sobre as deformações diretas, obtém-se a lei de Hooke para o caso geral: 
 
𝜖𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
−
𝜎𝑦∙𝜈
𝐸
−
𝜎𝑧∙𝜈
𝐸
 𝜖𝑦 =
𝜎𝑦
𝐸
−
𝜎𝑥∙𝜈
𝐸
−
𝜎𝑧∙𝜈
𝐸
 𝜖𝑧 =
𝜎𝑧
𝐸
−
𝜎𝑥∙𝜈
𝐸
−
𝜎𝑦∙𝜈
𝐸
 
 
Para as deformações por cisalhamento, temos: 𝛾𝑥𝑦 =
1
𝐺
 𝜏𝑥𝑦 , 𝛾𝑦𝑧 =
1
𝐺
 𝜏𝑦𝑧 e 𝛾𝑥𝑧 =
1
𝐺
 𝜏𝑥𝑧 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 35 
 
Exercícios – Série 10 
 
1. Um bloco retangular de um material com um módulo de 
elasticidade transversal G = 620 MPa é colado a duas placas 
rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa 
superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a 
placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine: 
a) a deformação de cisalhamento média no material; 
b) a tensão de cisalhamento correspondente; 
c) a força P que atua na placa superior. 
 
2. Um corpo de prova de alumínio, mostrado nafigura ao lado, tem 
diâmetro d0 = 25 mm e comprimento de referência L0 = 250 mm. Se 
uma força de 165 kN provocar um alongamento de 1,20 mm no 
comprimento de referência, determine o módulo de elasticidade. 
Determine também qual é a contração do diâmetro que a força 
provoca no corpo de prova. Considere Gal = 26 GPa e σesc = 440 MPa. 
 
3. A figura ao lado indica um bloco de magnésio (E = 50 GPa 
e ν = 1/3) cujas dimensões são dadas em milímetros. Se o 
bloco for sujeito à tensão σx = ‒180MPa, determine: 
a) o valor de σy para que não haja variação na altura do 
bloco; 
b) a correspondente variação na área da face ABCD; 
c) a correspondente variação de volume do bloco. 
A
B
C
D
x
y
z
100
40
25
 
 
4. A barra de cobre da figura abaixo está sujeita a uma carga uniforme ao longo de suas bordas, como 
mostra a figura. Se tiver comprimento a = 300 mm, largura b = 50 mm e espessura t = 20 mm antes da 
aplicação da carga, determine seus novos comprimento, largura e espessura após a aplicação da carga. 
Considere ECobre = 120 GPa, νCobre = 0,34. 
 
 
5. Se o bloco retangular mostrado ao lado estiver sujeito a 
uma pressão uniforme p = 20 kPa, determine a mudança no 
comprimento de cada lado e a variação em seu volume. 
Considere E = 600 kPa, ν = 0,45. 
 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 36 
 
6. Uma haste tem raio de 10 mm. Se for submetida a uma carga axial de 15 N tal que a deformação axial 
na haste seja εx = 2,75·10
‒6, determine o módulo de elasticidade E e a mudança em seu diâmetro. 
Considere ν = 0,23. 
 
7. A variação no diâmetro de um grande parafuso de 
aço é cuidadosamente medida enquanto a porca é 
apertada. Sabendo que E = 200 GPa e ν = 0,29, 
determine a força interna no parafuso, quando se 
observa que o diâmetro variou em 13 μm. 
 
8. Na figura ao lado, as barras AB e BC têm seções 
transversais com áreas, respectivamente, iguais a 400 mm2 
e 100 mm2 e estão sujeitas à força axial P = 20 kN. 
Considerando que para o aço Eaço = 200 GPa, determine a 
energia de deformação armazenada nas barras. 
A
C
B
20 kN
1 m
1 m
 
 
5.8 FLUÊNCIA 
 
Fluência é a deformação permanente de um material relacionada ao tempo no qual a tensão e/ou 
temperatura desempenham um importante papel. Para os metais, a fluência só é relevante para 
temperaturas iguais ou superiores a aproximadamente 40% da temperatura absoluta de fusão. A baixas 
temperaturas não ocorre fluência. 
Elementos estruturais são projetados para resistir aos efeitos da fluência com base em seu limite de 
fluência, que é a tensão inicial mais alta que um material pode suportar durante um período específico 
sem provocar uma deformação por fluência também específica. 
Para o aço de parafusos, por exemplo, sugere-se uma fluência de 0,1% ao ano 
Este limite é estabelecido realizando-se ensaios com vários corpos de prova, a uma temperatura 
constante, cada um deles submetido a uma tensão axial diferente. 
A medição do tempo necessário para se produzir uma deformação admissível ou a deformação de 
ruptura para cada corpo de prova permite a construção de um gráfico da tensão em relação ao tempo. 
Normalmente, esses testes são executados durante 
1.000 horas, no máximo. A figura ao lado mostra 
um exemplo dos resultados para aço inoxidável à 
temperatura de 650 °C e fluência de deformação 
prescrita de 1%. Como pode se observar, esse material 
tem limite de escoamento de 276 MPa à temperatura 
ambiente (0,2% de deformação residual) e uma 
resistência à fluência em 1.000 horas de 
aproximadamente σf = 138 MPa. 
100
200
300
200 400 600 800 1000
 (MPa)
t (h)0 
 
5.9 FADIGA 
 
Fadiga ocorre em metais quando a tensão ou deformação é cíclica. Provoca a ocorrência de ruptura 
frágil. Elementos estruturais são projetados para resistir à fadiga assegurando que a tensão no elemento 
não ultrapasse seu limite de resistência ou limite de fadiga. Esse valor é determinado pela "curva S-N", 
também conhecida como "curva de Wöhler", que é um gráfico de magnitude de tensão (S) por número 
de ciclos (N) em escala logarítmica. Nesse diagrama, o limite de fadiga é caracterizado como a máxima 
tensão à qual o elemento pode resistir quando submetido a um número determinado de ciclos de 
carregamento. 
Resistência dos Materiais I CCE0329 37 
 
Exemplos de diagramas S-N para dois materiais comuns 
de engenharia são mostrados na figura ao lado. O 
limite de fadiga é a tensão na qual o gráfico S-N se 
torna horizontal ou assintótico. Como podemos 
observar, ele tem um valor bem definido 
(Slf)aço = 186 MPa para o aço. Entretanto, para o 
alumínio, o limite de fadiga não é bem definido e, por 
isso, é normalmente especificado como a tensão 
(Slf)al = 131 MPa para um limite de 500 milhões de 
ciclos. Valores típicos de limites de fadiga para vários 
materiais de engenharia geralmente são encontrados 
em manuais. 
 
Uma vez obtido um determinado valor, considera- se que a vida útil em relação à fadiga é infinita para 
qualquer tensão abaixo desse valor, e, portanto, o número de ciclos até a falha não é mais levado em 
consideração. 
 
Exercícios − Série 11 
 
1. A haste plástica de acrílico tem 200 mm de 
comprimento e 15 mm de diâmetro. Se uma carga 
axial de 300 N for aplicada a ela, determine a 
mudança em seu comprimento e em seu diâmetro. 
Considere EP = 2,70 GPa, νP = 0,4. 
 
 
 
2. Um bloco cilíndrico curto de bronze C86.100, com diâmetro original de 38 mm e comprimento de 
75 mm, é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até atingir o comprimento de 
74,5 mm. Considerando que, para o bronze C86.100, E = 103 GPa e ν = 0,34, determine o novo diâmetro 
do bloco. 
 
3. O tampão tem diâmetro de 30 mm e ajusta-se ao interior de 
uma luva rígida com diâmetro interno de 32 mm. Ambos, 
tampão e luva, têm 50 mm de comprimento. Determine a 
pressão axial p que deve ser aplicada à parte superior do 
tampão para que ele entre em contato com as laterais da luva. 
Determine também a que distância o tampão deve ser 
comprimido para baixo para que isso aconteça. O material do 
tampão tem E = 5 MPa e ν = 0,45. 
 
4. O bloco de borracha é submetido a um alongamento 
de 0,75 mm ao longo do eixo x, e suas faces verticais 
sofrem uma inclinação de modo que θ = 89,3°. 
Determine as deformações εx, εy e ϒxy. Considere νb =0,5. 
 
Resistência dos Materiais I CCE0329 38 
 
5. A figura mostra a porção elástica do diagrama tensão- 
deformação para uma liga de alumínio. O corpo de 
prova usado para o ensaio tem comprimento de 
referência de 50 mm e 12,5 mm de diâmetro. Quando a 
carga aplicada for 45 kN, o novo diâmetro do corpo de 
prova será 12,48375 mm. Calcule o módulo de 
cisalhamento Gal para o alumínio. 
6. O tubo rígido é sustentado por um pino em C e 
um cabo de ancoragem AB de aço A-36. Se o 
diâmetro do cabo for 5 mm, determine o quanto 
ele é esticado quando uma carga P = 1,5 kN age 
sobre o tubo. O material permanece elástico. 
Considere, para o cabo, E = 200 GPa. 
 
 
Tarefa: Hibbele, Problemas (pág. 82 a 84) 
 
6. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 
 
 Já sabemos que que o estado geral de tensão em um 
ponto é caracterizado por seis componentes 
independentes da tensão normal e de cisalhamento 
que agem nas faces de um elemento de material 
localizado no ponto: : σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz. 
Entretanto, esse estado de tensão não é comum na 
prática da Engenharia. Ao contrário, os engenheiros 
frequentemente fazem aproximações ou simplificações 
das cargas sobre um corpo de modo que a tensão 
produzida em um elemento estrutural ou mecânico 
possa ser analisada em um único plano. 
 
Quando isso ocorre, diz-se que o material está 
sujeito a tensões no plano. Na figura ao lado 
representamos o estado plano de tensão em um 
ponto, em relação ao plano x-y. 
O estado geral

Outros materiais