2. Linhas de Influência

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 ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES I – “LINHAS DE INFLUÊNCIA” 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto/ Profa. Tatiana Aiello 
 
 
CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022:: ““LLIINNHHAASS DDEE IINNFFLLUUÊÊNNCCIIAA DDEE VVIIGGAASS IISSOOSSTTÁÁTTIICCAASS”” 
 
 
1. Introdução: 
 
 Os exercícios resolvidos nos capítulos anteriores são de vigas submetidas à apenas 
cargas permanentes. O problema que surge agora seria o de determinar os esforços externos 
reativos e os internos solicitantes para vigas submetidas às cargas acidentais uniformes e 
concentradas, como por exemplo, pontes rolantes, pontes rodoviárias e ferroviárias. 
 
 
P P 
 
 
 
 A X1
 
C
 B 
 X2 
 
 L 
 
Nosso próximo problema é o seguinte: 
 Raciocinando, por exemplo, com o Momento Fletor … 
 Com a carga “P”, com abscissa x1 , qual é o Momento Fletor em C ? 
 Com a carga “P”, com abscissa x2 , qual é o Momento Fletor em C ? 
 
Em outras palavras, qualquer que seja a posição de uma carga “P”, genérica, 
queremos obter sempre o valor do momento fletor, no caso, em C. 
Outra questão a ser resolvida, seria ainda a de determinarmos qual a posição desta 
carga que permitiria encontrar o valor máximo do momento fletor em C. 
Para resolvermos este problema, utilizamos o chamado conceito de “Linha de 
Influência”. 
Assim: “Linha de Influência” é um diagrama, um gráfico que permite a obtenção de 
um esforço, sempre numa mesma seção, qualquer que seja o tipo de carga (concentrada ou 
uniforme) e a posição desta carga. 
 
Diferença entre Diagrama de Momento Fletor e Linha de Influência 
 
 P P 
 x x’ x x’ 
 
 A D C B A D C B 
 L m n 
 
 
 DIAGRAMA DE M.F. DIAGRAMA DE L.I.Mc 
 
 
 
 y 
 y 
 
 
 
 
A ordenada “y” no diagrama de M.F. representa o valor do momento fletor na seção D. 
A ordenada “y” no gráfico de L.I.Mc representa o valor do momento fletor na seção C para a 
carga “P” com abscissas x e x’. Portanto no diagrama de M.F. a seção é móvel e a carga é 
fixa; no diagrama de L.I. a seção é fixa e a carga, móvel. 
 
 
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2. Linhas de Influência para Vigas em Balanço: 
 
 Vamos considerar uma viga em balanço, submetida a uma carga P=1, passeando ao 
longo do balanço L. Tomamos “x” como uma distância variável e procuraremos obter as 
Linhas de Influência de Mc e Vc. 
 P = 1 P = 1 
 
 X X 
 
 
A
 Z 
C B A C 
Z
 B 
 
 
L
 
L 
 
 Z Z 
 - - 
 45 L.I.Mc 45 
 
 
 L.I.Vc 1,0 + 1,0 
 - 
 1,0 
 
 1,0 
 
 
 
 
 De um modo geral podemos dizer que um esforço qualquer pode ser obtido: 
 
 
- Cargas Concentradas: Esforço = Carga Concentrada x Ordenada correspondente 
 
 
- Cargas Uniformes: Esforço = Carga Uniforme x Área correspondente 
 
 
 
3. Exemplos Numéricos: 
 
1-) Obter o M.F. máximo e a F.C. máxima na seção C da viga em balanço indicada: 
 
 0,5 tf/m CARGA ACIDENTAL 
 3 tf 3 tf 
 A C B 
 4,0 2,0 
 
 1 tf/m
 
 
 4,0 - 2,0
 
 2,0 L.I.Mc 
 
 
 
 L.I.Vc 
 
1,0 - 1,0 
 
 
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2-) Obter o M.F. máximo e a F.C. máxima na seção C da viga em balanço indicada: 
 
 CARGA ACIDENTAL 
 1 tf/m 10 tf 10 tf 
 
 A C B 
 2,0
 2 tf/m 
 4,0 2,0 
 
Mc máx. = ? 
 - carga permanente  Mc= -8 tf.m 
 4,0 - 
 
- carga acidental  Mc= - 76 tf.m 
 L.I.MC  Mc máx. = -84 tf.m 
 
Vc máx. = ? 
 - carga permanente  Vc= - 4 tf 
 - carga acidental  Vc = - 28 tf 
 1,0 - L.I.VC  Vc máx. = - 32 tf 
 
 
 
 
3-) Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
a .) Obter o M.F. máximo na seção B; 
b .) Obter a F.C. máxima na seção D; 
c .) Obter o M.F. máximo na seção C. CARGA ACIDENTAL 
 2 tf 2 tf 
 4 tf 
 2 tf/m
 2,0 
 1 tf/m 
 A B C D E 
 2,0 2,0 2,0 1,0 
 3 tf 
 
 
 - 5,0 
 
 
 1,0 + 
 
 
 3,0 
 - 
 
 
MB máx. = ? - carga permanente  MB = - 9 tf.m 
 - carga acidental  MB = 
 
VD máx. = ? - carga permanente  VD = - 3 tf 
 - carga acidental  VD = 
 
MC máx. = ? - carga permanente  MC = 5 tf.m 
 - carga acidental  MC = 
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4-) Obter o M.F. máximo na seção B e a F.C. máxima na seção B. 
 
 5 tf/m 
 CARGA ACIDENTAL 
 2 tf/m 
 M= 1 tf.m 
 2 tf 2 tf 2 tf 
 A B C 3 tf/m 
 3,0 3,0
 
 1,0 1,0 
 3,0 
 2,0 
 1,0 L.I.MB 
 1,0 + 
 L.I.VB 
 
 
 
 
MB máx. = ? - carga permanente  MB = -1 – (2 x3)x 1,5 – (1,5x3)x 1= - 10,25 tf.m 
 (sem o auxílio da L.I.) 2 
 - carga acidental  MB = - 2x1 – 2x2 – 2x3 – 3x(3x3) = - 25,50 tf.m 
 2 
 
 MB máx. = -35,75 tf.m 
 
 
 
VB máx. = ? - carga permanente  VB = +2x 3 + (1,5 x3) = 8,25 tf 
 (sem o auxílio da L.I.) 2 
 - carga acidental  VB = + 3x (1x3) + 2x1 + 2x1 + 2x1 = + 15 tf 
 
 
 VB máx. = 23,25 tf 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Quando tivermos cargas triangulares ou momentos concentrados não poderemos 
usar Linhas de Influência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Vigas Bi-Apoiadas: (vide deduções em sala de aula) 
 
 Seja uma viga bi-apoiada, submetida a uma carga móvel, “P”: 
 
 
 P = 1 P = 1 
 
 x x’ x x’ 
 
 A C B 
 m n 
 
 L 
 
 L.I.Mc 
 + m.n 
 L 
 
 
 1,0 
 + 
 L.I.RA 
 
 
 
 
 1,0 
 + 
 L.I.RB 
 
 
 
 
 
 
 
 (esq.) n 
 L + 
 L.I.Vc 
 - 
 m (dir.) 
 L 
 
 
 
 
 
 
 
5. Exemplos Numéricos: 
 
 1-) Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
a.) M.F. máximo na seção C; 
b.) F.C. máxima na seção C; 
c.) Reação máxima no apoio A. 
 
 
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 CARGA ACIDENTAL
 
 P=10 tf 
 1 tf/m 
2 tf/m
 
 
 A C B 
 
m = 4,0 n = 6,0 
 
 L.I.Mc 
 2,4 + 
 
 
 
 
 
 0,6 
 + 
 L.I.Vc 
 0,4 
 
 
 
 
 
 
 1,0 
 + 
 L.I.RA 
 
 
 
 
a-) Mc máx. = ? - carga permanente  MC = 1.(2,4 x10) = 12 tf.m 
 2 Mc máx. = 60 tf.m 
 - carga acidental  MB = 10x2,4 + 2.(2,4 x10) = 48 tf.m 
 2 
b-) Vc máx. = ? 
 
 
c-) RA máx. = ? 
 
 
 
 
2-) Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
 a-) o M.F. máximo na seção K;
 60 KN 60 KN 60 KN 
 b-) a F.C. máxima negativa à esquerda da seção K.
 
20 KN/m 
 
 30 KN/m
 1,5 1,5 
 
 
 
 
A K B 
 6,0 6,0 
 
 40 KN 
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3-) Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
 a-) Obter o M.F. máximo na seção D; 
 b-) Obter a Reação máxima no apoio B; 
 c-) Obter a F.C. máxima negativa e positiva à esquerda da seção E; 
 d-) Obter a F.C. máxima negativa e positiva à direita da seção E. 
 
 2 tf 
 3 tf/m 
 3 tf/m 
 CARGA ACIDENTAL 
 A C D E B
 5 tf 5 tf 
 4 tf 
 3,0 2,0 4,0 2,0 1 tf/m 
 
 2,0 
 
 0,909 L.I.MD 
 1,636 + 2,727
 1,818 
 
 m.n 
 L 
 
 1,0 
 + 0,818 
 0,273
 0,455 L.I.RB 
 
 
 
 
 
 n = 0,182 
 L 
 0,273 
 L.I.VE 
 0,454 - 0,636 
 m = 0,818 
 L 
 
 
 
 
MD máx. = ? - carga permanente  MD = 
 - carga acidental  MD = 
 
 MD máx. = 38,72 tf.m 
 
 
 
RB máx. = ? - carga permanente  RB = 
 
 - carga acidental  RB = + 1x (1x11) + 5x1 + 5x 0,818 = + 14,59 tf 
 2 
 RB máx. = 21,09 tf 
 + 
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VE esq. máx. = ? - carga permanente  VE = 
 
 - carga acidental +  VE = 5x 0,182 + 1x(0,182x 2) = + 1,092 tf 
 2 
 - carga acidental -  VE = -5x (0,818+0,636) - x(0,818x 9) = -10,95tf 
 2 
 
 VE esq. máx. + = 2,59 tf e  VE esq. máx. - = -9,45 tf 
 
 
 
 
VE dir. máx. = ? - carga permanente  VE = 
 
 - carga acidental +  VE = 5x 0,182 + 1x(0,182x 2) = + 1,092 tf 
 2 
 - carga acidental -  VE = -5x (0,818+0,636) - 1x(0,818x 9) = -10,95tf 
 2 
 
 
 VE dir. máx. + = 0,589 tf e  VE dir. máx. - = -11,45 tf 
 
 
 
 
 
4-) Dada a viga isostática indicada abaixo, pede-se determinar : 
a.) o M.F. máximo na seção D; 
b.) a F.C. máxima à esquerda da seção C; 
c.) a F.C. máxima no apoio B. 
 
 CARGA ACIDENTAL 
 2 tf 4 tf 3 tf 
 3 tf/m
 5 tf 5 tf 5 tf 
 1 tf/m 
 A C D B 
 2,0 4,0 4,0 1,0 1,0 
 
 
 
Respostas: 
 MD máx. =73,40 tf.m 
 VC esq. + = +24,10 tf 
 VC esq. - = + 8,70 tf (mínimo positivo) 
 VB máx. = - 26,10 tf 
 
 
 
6. Vigas Bi-Apoiadas com Balanço: (vide deduções em aula) 
 
 Seja uma viga bi-apoiada com balanço, submetida a uma carga móvel “P”: 
 
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 P = 1P = 1 
 x x’ x x’ 
 
 A C B 
 a m n b 
 L
 
 1 + a 
 L 1,0 
 + b L.I.RA 
 
L
 
 
 
 1 + b 
 + 1,0
 L 
a L.I.RB 
L 
 b .m 
a .n 
 L 
 L L.I.Mc 
 + m.n 
 L 
 
 a n 
 L
 
 L + 
 + L.I.Vc 
 - m b 
 L L 
 
a 
 - L.I.MA 
 
 
 
 L.I.VA esq. 
 1,0 - 1,0 
 
 
 1,0 
 a + + 
 L b L.I.VA dir 
 
L
 
 1,0 
 
 L.I.MB 
 
 
 1,0 1,0 
 + L.I.VB dir 
 
a 
L + L.I.VB esq 
 b 
 1,0
 L 
 
 - - 
 - 
 
- 
 - 
 - 
 - 
 - 
 - 
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7. Exercícios de Vigas Bi-Apoiadas com Balanço: 
 
1-) Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
a.) Reação máxima no apoio A; 
b.) M.F. máximo no apoio A; CARGA ACIDENTAL 
c.) F.C. máxima positiva na seção C. 100 KN 100 KN 
 2,0 
 
 60 KN 50 KN/m 
 40 KN/m 
 
 A C B 
 30 KN 
 4,0 2,0 2,0 3,0 3,0 2,0 
 
 
1 + a = 1,4 
 
L 1,2 1,0
 + 0,8 
 0,3 L.I.RA 
 b = 0,2 
 L 
 
 
4,0 
 - 2,0 
 L.I.MA 
 
 
 
 
 n = 0,6 
a = 0,4 + 
 L
 + 
0,4
 0,3 
L L.I.VC 
 0,2 - m = 0,4
 
 b = 0,2 
 L L 
 
 
 
 
 
 
RA máx. + = ? - carga permanente  RA = 128 KN 
 - carga acidental  RA = 750 KN 
 
 RA máx. + = 878 KN 
 
MA máx. = ? - carga permanente  MA = 120 KN.m 
 - carga acidental  MA = - 1.000 KN.m 
 
 MA máx. = - 880 KN.m 
 
VC máx. + = ? - carga permanente  VC = 18 KN 
 - carga acidental +  VC = 230 KN 
 
 VC máx. + = 248 KN 
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2-) Dada a viga abaixo, pede-se : 
a.) a F.C. máxima positiva à direita do apoio A; 
b.) a Reação máxima positiva do apoio A; 
c.) a F.C. máxima negativa à esquerda da seção C; 
d.) o M.F. máximo no apoio A. 
 CARGA ACIDENTAL 
 35 KN 70 KN 
 3,0 
10 KN/m 
 80 KN 200 KN 
 20 KN/m 100 KN/m 
 
 
 A C B 
 2,0 1,0 3,0 4,0 3,0 100 KN 
 
 
 1,0 
 0,428 + L.I.VA dir 
 0,428 
 
 
 
1,428 
 1,0 
 + 
 L.I.RA 
 0,428 
 
 
 0,428 0,57 
 L.I.Vc 
 
 0,43 0,428 
 
 
 
 3,0 
 - 
 L.I.MA 
 
 
 
 
 
3-) Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: 
 a.) F.C. máxima à esquerda do apoio B; 
 b.) M.F. máximo na seção C; CARGA ACIDENTAL 
 c.) F.C. máxima à direita do apoio B; 
 
 80 KN 200 KN 
 d.) M.F. máximo na seção D. 40 KN/m 
 e.) F.C. máxima positiva na seção C; 
 f.) Reação máxima no apoio A. 2,0 
 
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 40 KN.m
 100 KN 
 20 KN/m 
 
 A C B D 
 4,0 6,0 2,0 2,0 
 
 
 L.I.VB esq. 
 
 
 
 
 L.I.Mc 
 
 
 
 
 
 L.I.VB dir. 
 
 
 
 
 L.I.MD 
 
 
 
 
 
 L.I.Vc 
 
 
 
 
 L.I.RA