1. Vigas Isostáticas

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 ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES I – “VIGAS ISOSTÁTICAS” 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto / Profa. Tatiana Aiello 
 
 
 CAPÍTULO 01: “VIGAS ISOSTÁTICAS” 
 
 
1. Objetivo: 
 
 O objetivo básico da cadeira de Estabilidade das Construções I é a determinação dos 
esforços que atuam numa estrutura, com o intuito de se executar obras que sejam estáveis. 
 Como Estrutura, entendemos o conjunto de elementos resistentes de uma construção 
que em princípio serão considerados como indeformáveis. 
 Assim, dada a estrutura abaixo composta por pilares AB e CD e por uma viga BC, 
submetida às cargas indicadas, deveremos como finalidade principal da Estabilidade, 
determinar os Esforços Internos Solicitantes e Externos Reativos. 
 
 P1 P2 
 
 H 
 
B C
 
 
 
 
 
 
 A D 
 
 Uma vez determinados os Esforços, o estágio seguinte é o Dimensionamento das 
diversas peças componentes da estrutura, seguindo rotinas específicas do material que será 
executada a obra. Assim, se a estrutura acima for de concreto armado, ela será dimensionada 
segundo sistemática de concreto armado, e assim por diante se o material utilizado for de 
madeira, aço, alumínio, etc.. 
 
 
2. Definições Gerais e Convenções de Sinais: 
 
 Seja um corpo rígido solicitado por forças externas. 
 Este elemento tem apoios cujas Reações são capazes de equilibrar as forças externas 
aplicadas. 
 A determinação dos Esforços Reativos se faz aplicando-se as Condições de Equilíbrio, 
como já visto em Resistência dos Materiais. 
 Estando o sistema em equilíbrio, vamos imaginar que este corpo seja seccionado por 
um plano de modo a obtermos duas partes. 
 
 
 F1 F2 F3 
 F4 
 VI 
 MII 
 MI 
 
 
 VII 
 RA RB 
 
Vamos imaginar que se faça um corte imaginário no elemento acima, subdividindo-o 
em duas partes I e II. 
I II 
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3. Definições dos Esforços Internos Solicitantes e Convenções de Sinais: 
 
 Seja um corpo rígido solicitado por forças externas. Assim: 
 
 Esforço Normal ( N )  é a soma das projeções sobre a tangente ao eixo da barra (eixo 
x) de todas as forças situadas à esquerda ou à direita da seção analisada. 
 Convenções de Sinais: - compressão  - 
 - tração  + 
 
 
 Força Cortante ( V )  é a soma das projeções perpendiculares ao eixo da barra (eixo x) 
de todas as forças situadas à esquerda ou à direita da seção analisada. 
Convenções de Sinais: - sentido horário  + 
 - sentido anti-horário  - 
 
 
 Momento Fletor ( M )  é a soma dos momentos produzidos por todas as forças situadas 
à esquerda ou à direita da seção analisada. 
Convenções de Sinais: - tração na fibra superior  - 
 - tração na fibra inferior  + 
 
 
 Momento Torçor ( Mt )  é a soma dos momentos torçores situados à esquerda ou à 
direita da seção analisada. 
 Convenções de Sinais: - sentido horário  + 
 - sentido anti-horário  - 
 
 
4. Aparelhos de Apoio ou Vínculos: (vide esquemas na apostila) 
 
 
Chamamos de Vínculo, o elemento de ligação de uma estrutura com o meio externo, 
cuja função é impedir movimentos. Existem quatro tipos de aparelhos de apoio: 
 
 
a-) Aparelho de Apoio Móvel: impede apenas um movimento (perpendicular ao apoio) 
deixando livre os outros dois. Na prática temos os seguintes Aparelhos de Apoio Móveis: 
roletes metálicos; aparelhos de Neoflon ; pêndulos. 
 
 
 
 RV RV 
 
b-) Aparelho de Apoio Fixo: impede dois movimentos (vertical e horizontal) permitindo 
apenas a livre rotação. Na prática temos os seguintes Aparelhos de Apoio Fixos: apoios fixos 
metálicos; articulação Freyssinet; articulação Mesnager. 
 
 
 
 RH 
 
 
 RV 
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c-) Aparelho de Apoio Engastado: impede três movimentos: as translações e a rotação. 
Na prática temos os seguintes Aparelhos de Apoio Engastados: marquises; muros de arrimo; 
vigas engastadas em pilares de grande largura. 
 
 M 
 RH 
 
 RV 
 
d-) Aparelho de Apoio Semi-Móvel: permite deslocamentos simultâneos nas duas 
direções, rotações de apoio, absorção de cargas verticais e horizontais de pequena duração. 
Na prática trata-se do Neoprene. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Classificação das Estruturas: ( vide esquemas na apostila ) 
 
a.) Quanto ao número de Vínculos: as estruturas podem ser: 
 
 Estruturas Isostáticas: quando o número de reações é igual ao número das Equações 
de Equilíbrio da Estática, portanto igual a 3. 
 
 Estruturas Hipostáticas: quando o número de reações é menor que o número das 
Equações de Equilíbrio da Estática. 
 
 Estruturas Hiperestáticas: quando o número de reações é maior que o número das 
Equações de Equilíbrio da Estática. 
 
b.) Quanto à Forma: as estruturas podem ser: 
 
 Estruturas Barriformes: formadas por barras, que são elementos onde uma dimensão 
predomina com relação às outras duas. 
 
 Estruturas Superficiais: são estruturas em que há a predominância de duas dimensões 
em relação à terceira. 
 
 Estruturas Volumétricas: são estruturas que possuem as 3 dimensões da mesma 
ordem de grandeza. 
 
 
6. Esforços nas Estruturas: 
 
 Os esforços considerados numa estrutura são basicamente: 
 
a.) Esforços Externos Ativos: são esforços representados pelas cargas atuantes, 
classificadas em: 
 Cargas Permanentes: peso próprio, revestimentos, paredes, etc. 
 Cargas Acidentais Dinâmicas: cargas que produzem impactos. 
 Cargas Acidentais Estáticas: pessoas, sobrecargas de cofres, arquivos, etc. 
 
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b.) Esforços Externos Reativos: são as reações de apoio, que no caso de estruturas 
isostáticas determinamos seus valores utilizando das 3 Equações de Equilíbrio da 
Estática. 
 
c.) Esforços Internos Solicitantes: tendo sido obtido os esforços externos ativos e os 
externos reativos, poderemos obter todos os esforços internos solicitantes em qualquer 
seção de uma estrutura. 
 
 
7. Análise Geral de uma Estrutura: 
 
 A análise geral de uma estrutura envolve as seguintes etapas: 
 
 Determinação dos esforços externos ativos (cargas); 
 Obtenção dos esforços externos reativos (reações); 
 Determinação das equações dos esforços internos solicitantes; 
 Traçado dos diagramas. 
 
 
 
88-- VViiggaass eemm BBaallaannççoo:: 
 
Traçar os diagramas de M.F. e F.C. das vigas isostáticas abaixo esquematizadas: 
 
1-) 20 KN/m 
 Trecho AB : 
 A B C D 
 2,0 2,0 2,0 M = - (20. x).x/2  x = 0  MA = 0 
 
 40 KN x = 2  MB= -40 KN.m 
 
 
 V = - 20. x  x = 0  VA = 0 
 M.F. x = 2  VB= -40 KN 
 
 
 -- - F.C. Trecho BC : 
 
 40 40 40 M = - (20. x).x/2 + 40.(x-2)  
 
 x = 2  MB= -40 KN.m 
 x = 4  MC= -80 KN.m 
 V = - 20. x + 40  x = 2  VB= 0 
 x = 4  VC= -40 KN 
 
Trecho CD : 
 
 M = - (20. 4).(x-2) + 40.(x-2)  x = 4  MC= -80 KN.m 
 x = 6  MD= -160 KN.m 
 
 V = - (20. 4) + 40  x = 4 VC = -40 KN 
 x = 6  VD= -40 KN 
 
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2-) 
 20 KN/m 
 Respostas: 
 
 MC = 0 
 
 A B C
 MB = - 13,3 KN.m 
 2,0 2,0 MA = 0 
 40 KN 
 VC = 0 
 VB =  20 KN 
 VA = 0 
 
 
 
 
 
3-) 
 30 KN/m 30 KN/m 
 
 Trecho AB: 
 A B C 
 3,0 3,0 M = - (p”.x). x  
 20 KN 2 3 
 x = 0  MA = 0 
 x = 3  MB= -45 KN.m 
 
 M.F. V = - (p”.x)  x = 0  VA = 0 
 2 x = 3  VB= - 45 KN 
 
 
 
 F.C. 
 
 
 
 
 
Trecho BC : 
 
M = - (3. 3).(x-1) + 20.(x-3) – p´.(x-3).(x-3)  x = 3  MB= -45 KN.m 
 2 2 3 x = 6  MC= -165 KN.m 
 
 V = - (3. 3) + 20 – p´.(x-3)  x = 3  VB= -25 KN 
 2 2 x = 6  VC= -70 KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4-) 
 100 KN Trecho CD: 
 200 KN.m 10 KN/m 
 M = 200.x – 10.x.(x/2) 
 A B C D x = 0  MD = 0 
 2,0 2,0 1,0 x = 1  MC= 195 KN.m 
 200 KN 
 V = -200 + 10.x 
 x = 0  VD = -200 KN 
 x = 1  VC= -190 KN 
M.F. 
 Trecho BC : 
 
 M = 200.x – (10.1).(x-0,5) - 100.(x-1) 
 x =1  MC= 195 KN.m 
F.C. x = 3  MB= 375 KN.m 
 
 V = -200 + (10.1) + 100 = - 90 (KN) 
 
 
Trecho AB: 
 
 M = 200.x – (10.1).(x-0,5) - 100.(x-1) – 200  x=3  MB=175 KN.m 
 x=5  MA= 355 KN.m 
 
 V = -200 + (10.1) + 100 = - 90 (KN) 
 
 
 
 
99 -- VViiggaass BBii--AAppooiiaaddaass:: 
 
 
 
1º. CASO: 
 
 q 
 VA = q.L VB = - q.L 
 
A 
L
 B 2 2 
 
 M.F. RA = VA RB = - VB 
 + + 
 
 
 + F.C. 
 - 
 x = L/2 
 
 
 
 
 
 
 
q.L 
 2 
q.L 
 2 
 q.L
2 
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2º. CASO: 
 
 p 
 VA = p.L VB = - p.L 
 
A 
L
 B 6 3 
 
 M.F. RA = VA RB = - VB 
 + + 
 
 
 
 + F.C. 
 - 
 x = 0,577.L 
 
 
 
 
 
3º. CASO: 
 
 P 
 
 VA = P.b VB = - P.a 
 
A 
a b
 B L L 
 
 M.F. RA = VA RB = - VB 
 + 
 
 
 + 
 F.C. 
 - 
 
 
 
4º. CASO: 
 
 M 
 
 VA = - M VB = - M . 
 
A 
a b
 B L L 
 
 M.F. RA = VA RB = - VB 
 - VA = VB 
 + 
 
 
 F.C. 
 - 
 
 
 
 
 
 
p.L 
 6 
p.L 
 3 
 p.L
2
 3 
 27 
P.b 
 L 
P.a 
 L 
 P.a.b 
 
 L 
 M . 
 L 
 M.a 
 
 L 
 M.b 
 
 L 
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Traçar os diagramas de M.F. e F.C. das vigas isostáticas abaixo esquematizadas: 
 
1-) 4 tf/m 
 
 2 tf/m 
 A B 
 8,00 
 
 
 M.F. 
 
 
 
 
 F.C. 
 
 
 
 
 
 RA = VA  VA = qxL + pxL  VA = 10,67 tf  RA = 10,67 tf 
 2 6 
 
 RB = - VB  VB = - qxL - pxL  VB = -13,33 tf  RB = 13,33 tf 
 2 3 
 
Vão AB: 
 
M = VA .x – (2.x). x – (p´.x) .x  
 2 2 3 
 
V = VA – (2.x) – (p´.x)  
 2 
 
Mmáx.  V=0  
 
 
2-) 60 KN 
 20 KN/m 20 KN/m 
 
 A C D B 
 300 KN.m 
 4,0 4,0 4,0 
 
 
 M.F. 
 
 
 
 
 
 F.C. 
 
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 RA = VA  VA = 60x8 + (20x8)x 6,66 - 300 + (20x4) x2  VA = 72,78 KN 
 12 2 12 12 12 
 
 
 RB = - VB  VB = -60x4 - (20x8)x 5,33 - 300 - (20x4) x10  VB = -147,20 KN 
 12 2 12 12 12 
 
 
 
Respostas: MA = 0 ; MC=264,45 KN.m ; VA =72,78 KN ; VC =-7,22 KN 
 
 
 
 
 
3-) 
 
 50 KN.m 20 KN/m 
 
 A C D B 
 2,0 4,0 2,0 
 10 KN 
 
 
 
 M.F. 
 
 
 
 
 
 F.C. 
 
 
 
 
 
 
 RA = VA  VA = qxL - Pxb - M  VA = 71,25 KN 
 2L L 
 
 
 RB = - VB  VB = - qxL + Pxa - M  VB = -78,75 KN 
 2 L L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1100 –– VViiggaass BBii--AAppooiiaaddaass cc// BBaallaannççooss:: 
 
 
Traçado dos Diagramas de M.F. e F.C. das vigas abaixo: (“VARAL”) 
 
 
 
 
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1-) 10 KN/m
 30 KN
 20 KN.m 30 KN.m 
 
 
 A C D B 
 2,00 2,00 4,00 1,50 2,00
 10 KN 
 
Mom. - 20 -10 
V
O 
 -20 42 -8 -10 
c ------ 1,33 1,33 ------ 
V=V
O
+c -20 43,33 -6,66 -10 
R 63,33 -3,33 
 
 30 KN 
 
MA = -20KN.m
 10KN/m
 
 20 KN.m
 MB=-10KN.m 
 
 
 A C D B 
 
 
 
 M.F. 
 
 
 
 
 
 F.C. 
 
 
 
 
VoA(dir) = Px b + P’x b’ + M = 42 KN 
 L L L 
 
VoA(esq) = - 10 x 2 = - 20 KN ; V
o
B(dir) = - 10 KN 
 
VoB(esq) = + M - P’x a’ - Pxa = - 8 KN 
 L L L 
 
Trecho AC: M= VA(dir).x + MA – (10.x).x/2 
 
 V = VA(dir) – (10.x) 
 
Trecho CD: M= VA(dir).x + MA – (10.2).(x-1) – 30.(x-2) 
 
 V = VA(dir) – (10.2) - 30 
 
Trecho BD: M= - VB(esq).x + MB 
 
 V = VB(esq) 
 
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2-) 
 
 
 100 Kgf/m 
 
 
 80 Kgf 
 
 
 A C B 
 3,0 4,0 
30 Kgf
 3,0 2,0
 
 
Mom. - 45 -160 
V
O 
 -45 173,81 -251,19 80 
c ------ -16,43 - 16,43 ------ 
V=V
O
+c -45 157,38 -267,62 80 
R 202,38 347,62 
 
 100 Kgf/m 
 
MA = -45Kgf.m
 
MB=-160 Kgf.m 
 30 Kgf/m
 
 
 A C B 
 30 Kgf 
 
 
 M.F. 
 
 
 
 
 
 F.C. 
 
 
 
 
 
 
3-) 
 60 KN/m 
 20 KN.m 
 
 A C B 
 40 KN 
 3,0 3,0 3,0 1,5 1,5 
 
 
 
 
 
4-) 40 KN 
 
 30 KN/m 60 KN/m 
 
 
 A C D B 
 3,0 3,0 2,0 3,0