Resumo Teorema de Stokes

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TEOREMA DE STOKES 
 
 Seja F um campo vetorial cujas funções componentes são continuamente diferenciáveis em um conjunto 
aberto U contendo a superfície  e sua curva de contorno C (figura). Logo, 
 
 


C
dAd nFrF )( 
 
A integral de linha  C drF sobre a curva fechada C é chamada de circulação do campo vetorial F ao redor de C. 
O teorema de Stokes, portanto, diz que a circulação de um campo vetorial ao redor do contorno de uma superfície 
no espaço xyz é igual ao fluxo do rotacional do campo através da superfície. 
 
Exemplo 3: Seja  a porção do parabolóide de revolução ²²10 yxz  acima do plano z = 1. Verifique o 
teorema de Stokes para o campo vetorial kjiF xzyzyx 324),,(  e a superfície  . 
 
Exemplo 4: Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha  C drF se kjiF ²),,( yxyxzzyx  
e C for a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro z = 4 – x² no primeiro octante que é 
delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y = 3. 
 
INTEGRAIS DE LINHA INDEPENDENTES DO CAMINHO 
 
 TEOREMA FUNDAMENTAL: Seja C qualquer curva seccionalmente suave, contida no IR² do ponto 
(x1, y1) ao ponto (x2, y2). Se F for um campo vetorial conservativo contínuo em IR² e  for uma função potencial 
para F, então a integral de linha  C drF será independente do caminho C e ),(),( 1122 yxyxdC   rF . 
 Conclui-se também que uma integral de linha  C dyyxNdxyxM ),(),( é independente do caminho C 
se o integrando for uma diferencial exata: 
 
x
N
y
M





 
 
Exemplo 5: Suponha que o campo de forças jiF )542()42²(),(  yxyxyyx mova uma partícula da 
origem ao ponto (1,1). Mostre que o trabalho total realizado será o mesmo, se o caminho for ao longo 
 
(a) do segmento de reta da origem ao ponto (1, 1); 
(b) do segmento da parábola y = x² da origem ao ponto (1, 1); 
(c) do segmento da curva x = y³ da origem ao ponto (1, 1). 
 
Exemplo 6: Use o TEOREMA FUNDAMENTAL DAS INTEGRAIS DE LINHA para calcular o trabalho no ex 5, 
sabendo-se que yyxxxyyx 5²24²²),(  .