03 Energia e Potencial[1]

Prévia do material em texto

Energia e Potencial 
 1
Eletromagnetismo 
Energia e Potencial 
 
 
 
Conceito de Trabalho: dFW .
r= 
 
Analogamente: 
 
 
{ ldEQdW
eF
rr
r
⋅−= . (Trabalho diferencial) 
 
Trabalho diferencial: trabalho a ser executado para movimentar uma carga de 
uma distância finita. 
∫ ⋅−=
fim
início
ldEQW
rr
 
 
 
Energia e Potencial 
 2
Eletromagnetismo 
O trabalho envolvido em movimentar a carga depende somente de Q, E
r
 e 
BAL
r
. Não depende do caminho escolhido para deslocar a carga. E
r
 pode até 
mesmo ser não uniforme, mas estático (campo conservativo). 
Notar que: 
 zyx adzadyadxld
rrrr ... ++= (Cartesiana) 
zadzadadld
rrrr .... ++= φρ φρρ (Cilíndrica) 
φθ φθθ adsenradradrld r rrr
r
...... ++= (Esférica) 
 
Exemplos 
 
Exemplo 1: 
 
ρρεπ
ρ
aE l r
r
...2 0
= 
( ) 0..
...2
2
0
1
10
=⋅−= ∫π φρ φρρεπρ adaQW l rr 
 
Exemplo 2: 
( )∫ ⋅−= 2
1
.
...2 0
ρ
ρ
ρρ ρρεπ
ρ adaQW l rr 
∫−= 2
1 0
..2
ρ
ρ ρ
ρ
επ
ρ dQW l 



−=
1
2
0
ln
..2 ρ
ρ
επ
ρ lQW 
Energia e Potencial 
 3
Eletromagnetismo 
 
 
Como 12 ρρ > , 



1
2ln ρ
ρ é > 0. Supondo Q e 0>lρ , o trabalho realizado é 
negativo, o que indica que a fonte externa que move a carga recebe energia. 
Fazendo o deslocamento de 2ρ para 1ρ : 
 
43421
0
2
1
00
ln
..2..2
1
2
<



−=−= ∫ ρρεπρρρεπρ
ρ
ρ
ll QdQW , ou seja, o trabalho realizado é positivo. 
 
 
 
Definição de Diferença de Potencial e Potencial 
 
∫ ⋅−=
fim
início
ldEQW
rr
 
 
Supondo agora que Q = 1C: 
 
∫ ⋅−==
fim
início
ldEddppotencialdediferença
rr
 
 
Ou seja, trabalho realizado por uma fonte externa ao mover uma carga u-
nitária de um ponto a outro, sob a ação de um campo elétrico. 
Energia e Potencial 
 4
Eletromagnetismo 
{ ∫
→
→
⋅−=
vaiondeparaA
vemondedeBddp
AB ldEV
rr
 (V) 
 
Notar que: ABV A → Para onde vai (Fim) 
 B → De onde vem (Início) 
 
[ ]
[ ] [ ]VC
J = [ ][ ] [ ]VoltCoulomb
Joule = 
 
 
 
Diferença de Potencial 
 
∫ ⋅−= A
B
AB ldEV
rr
 
 
 
 
rrr ar
QaEE rr
r
2
0 ...4 επ== radrld
rr .= 
 



 −=⋅−= ∫
BA
r
r
rrAB rr
Qadra
r
QV
A
B
11
..4
.
...4 0
2
0 επεπ
rr 
 
Para AB rr > , a ddp ABV é > 0, portanto energia é desprendida por uma 
fonte externa para trazer uma carga > 0 de Br para Ar . Para Br tendendo a ∞ , 
temos: 
Energia e Potencial 
 5
Eletromagnetismo 
A
AB r
QV 1
..4 0επ= 
 
E então, a definição de potencial absoluto, isto é, com referencial no infini-
to, resulta: 
{
A
BAAB r
QVVV 1
..4 00 επ
=−= 
∴ 
r
QV
...4 0επ= 
 
Para distribuições quaisquer de cargas: 
 
 
'rrR rr
r −= 
( )rVVP r= 
 
( ) ∑
= −=
m
m m
m
rr
QrV
1 0 ...4
rrr επ (Potencial definido devido a cargas discretas) 
( ) ( )∫ −= l
rl
rr
dl
rV
'
0
'
...4
.'
rr
r r
επ
ρ
 (Potencial devido a distribuições lineares de cargas) 
( ) ( )∫ −= S
rS
rr
dS
rV
'
0
'
...4
.'
rr
r r
επ
ρ
 (Potencial devido a distribuições superficiais de cargas) 
( ) ( )∫ −= vol
rV
rr
dV
rV
'
0
'
...4
.'
rr
r r
επ
ρ
 (Potencial devido a distribuições volumétricas de 
cargas, conforme exemplo anteriormente ilustrado) 
Energia e Potencial 
 6
Eletromagnetismo 
Análise: Cálculo do potencial causado por um anel de cargas uniformemente 
distribuído no plano xy: 
 
zazr
rr .= 
22' zarr +=− rr 
ρaar
rr .' = 
 
22
0
2
0
22
0 ..2
.
...4
..
za
a
za
daV ll
+
=
+
= ∫ ε
ρ
επ
φρπ (V) 
 
Na origem (z = 0): 
0.2 ε
ρ lV = (V) 
 
Conclusões: 
 
1 - O potencial devido a uma carga pontual é o trabalho realizado ao levar uma 
carga positiva (1C) do infinito ao ponto em que desejamos o potencial. O traba-
lho é independente do caminho escolhido entre esses dois pontos; 
 
2 - O potencial devido a certo número de cargas pontuais é a soma dos poten-
ciais individuais de cada carga (princípio da superposição); 
 
3 - O potencial devido a certo número de cargas pontuais ou quaisquer distribu-
ições contínuas de cargas pode ser, portanto, calculado levando-se uma carga 
Energia e Potencial 
 7
Eletromagnetismo 
unitária do infinito ao ponto em questão, ao longo de qualquer caminho escolhi-
do. Logo: 
∫
∞
⋅−=
A
A ldEV
rr
 
 
4 - Não há trabalho realizado ao se levar uma carga unitária ao longo de qual-
quer percurso fechado, isto é: 
0=⋅∫ ldE rr 
 
Esta afirmação consiste na generalização da Lei das Malhas de Kirchhoff: 
 
 
032 =−− VVVAB 
 
5 - Qualquer campo que satisfaz a 0=⋅∫ ldE rr é dito Campo Conservativo. 
 
 
 
Gradiente do Potencial 
 
Trata-se de um método para encontrar a direção, sentido e intensidade de 
campo elétrico a partir do potencial. 
 
 
Energia e Potencial 
 8
Eletromagnetismo 
EE =r 
LEV
rr ∆⋅−≅∆ 
( )θcos.. LEV ∆−≅∆ 
(diferença de potencial incremental) 
 
Passando ao limite: ( )θcos.E
dL
dV −= 
 
Em que direção L
r∆ deve ser colocado para obter o máximo valor de V∆ ? 
O máximo incremento positivo do potencial ( )MAXV∆ ocorre quando 
( ) 1cos −=θ , ou seja, quando Lr∆ aponta no sentido oposto a Er . Logo: 
 
EE
dL
dV
MAX
r== 
 
Conclusões: 
 
1 - O módulo do campo elétrico é dado pelo máximo valor da taxa de variação 
do potencial com a distância; 
 
2 - Esse máximo valor é obtido quando o sentido do incremento de distância é 
oposto a E
r
, ou seja, oposto ao sentido em que o potencial cresce mais rapida-
mente; 
 
3 - V∆ é nulo ao longo de uma superfície equipotencial. 
 
Portanto: N
MAX
a
dL
dVE r
r −= 
 
Ou seja, direção de E
r
 é perpendicular à superfície equipotencial (com 
sentido do potencial decrescente). 
Energia e Potencial 
 9
Eletromagnetismo 
 
 
Generalizando: NadN
dVE r
r −= 
 
A operação aplicada a V cujo resultado é E
r− , é conhecida como Gradien-
te, sendo definida por: 
gradVE −=r VE ∇−= rr 
 
zyx az
Va
y
Va
x
VV rrr
r
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 




∂
∂+∂
∂+∂
∂−= zyx az
Va
y
Va
x
VE rrr
r
 
(Em coordenadas cartesianas) 
 
Em coordenadas cilíndricas: zaz
VaVaVV rrr
r
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ φρ φρρ
1 
Em coordenadas esféricas: φθ φθθ a
V
senr
aV
r
a
r
VV r
rrrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇
.
11 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 10
Eletromagnetismo 
Analogia: 
 
 
 
Mapa de cotas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 11
Eletromagnetismo 
O Conceito de Dipolo 
 
Dipolo Elétrico: conjunto de duas cargas pontuais de igual valor e sinais opos-
tos, separados por uma distância pequena se comparada com a distância ao 
ponto em que queremos conhecer o campo potencial (e/ou o campo elétrico). 
 
Caso (I): 
 
Caso (II): 
 
 
Para o caso (I): 


 −=


 −=
21
12
0210 ...4
11
..4 RR
RRQ
RR
QV επεπ 
 
Caso (II): Como ( )θcos.12 dRR ≅− 
( )
2
0
cos.
..4 r
dQV θεπ= 
Energia e Potencial 
 12
Eletromagnetismo 
Usando o gradiente em coordenadas esféricas: 
 



∂
∂+∂
∂+∂
∂−=∇−= φθ φθθ a
V
senr
aV
r
a
r
VVE r
rrrrr
.
11 
 
Ou seja: ( ) ( ) 


−−−= θεπ
θ
επ
θ a
r
sendQa
r
dQE r
rrr
3
0
3
0 ...4
..
...2
cos.. 
Então: ( ) ( )( )θθθεπ asenar
dQE r
rrr ..cos.2
...4
.
3
0
+= 
 
( )θεπ cos.2...4
.
3
0 r
dQEr = ( )θεπθ senr
dQE 3
0 ...4
.= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 13
Eletromagnetismo 
Densidade de Energia no Campo Eletrostático 
 
(I): 
 
(II): 
 
(III): 
 
(IV): 
 
(V): 
 
 
 
Energia e Potencial 
 14
Eletromagnetismo 
Notação: 1,2V Onde: 1 - Fonte 
 2 - Localização 
Potencial elétrico no ponto 2 devido à presença da carga 1Q no ponto 1: 
 
 
 
Trabalho para posicionar 2Q : 1,22 .VQ 
 
 
Trabalho para posicionar 3Q : 2,331,33 .. VQVQ + 
 
 
Trabalho para posicionar 4Q : 3,442,441,44 ... VQVQVQ ++ 
 
 
Trabalho total de posicionamento = energia potencial do campo = EW 
EW → Energia Eletrostática 
Energia e Potencial 
 15
Eletromagnetismo 
K++++++= 3,442,441,442,331,331,22 ...... VQVQVQVQVQVQWE (I) 
 
Tomemos o termo 1,33.VQ como exemplo: 
 
3,11
310
3
1
130
1
31,33 ....4
.
...4
.. VQ
R
Q
Q
R
QQVQ === επεπ 
 
Efetuando esta substituição em todos os termos chegamos à: 
 
K++++++= 4,334,224,113,223,112,11 ...... VQVQVQVQVQVQWE (II) 
 
Fazendo agora (I) + (II): 
 
( ) ( ) ( ) KKKK ++++++++++++= 4,32,31,334,23,21,224,13,12,11 ....2 VVVQVVVQVVVQWE
 
Notar que: 14,13,12,1 VVVV =+++ K , que é o potencial na posição de 1Q de-
vido à presença de 2Q , 3Q , 4Q , K . Logo: 
 
( ) ∑
=
=++++=
n
m
mmE VQVQVQVQVQW
1
44332211 ..2
1....
2
1 K 
 
Generalizando para uma distribuição contínua de cargas, em que 
dVdq V .ρ= : 
∫=
vol
VE dVVW ..2
1 ρ 
 
Obs.: propriedade importante dos operadores: 
 
( ) ( ) ( ){
GradienteDivergenteDivergente
VDDVDV ∇+⋅∇=⋅∇ rr321
rr
43421
rr
... 
 
 
Energia e Potencial 
 16
Eletromagnetismo 
Deste modo vale: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫∫ ∇−⋅∇=⋅∇=⋅∇==
volvolvolvol
VE dVDDDVdVDVdVVDdVVW ...2
1..
2
1..
2
1..
2
1 rrrrrrrrrρ 
 
Sabendo-se que: ( )∫ ∫ ⋅∇=⋅
S vol
dVASdA .
rrrr
 (Teorema da Divergência) 
 
Então: ( ) ( )∫∫ ∇−⋅∇=
volvol
E dVDDdVDVW ..2
1..
2
1 rrrrr 
Ou seja: ( )∫∫ ∇−⋅=
volS
E dVDDSdDVW ..2
1.
2
1 rrrrr 
 
Notar que: a integral da superfície tende a zero se a superfície fechada envol-
ver o universo, pois V tende a zero segundo r
1 (cargas pontuais), D
r
 tende a 
zero segundo 21r e dS cresce segundo 
2r (superfície esférica). Logo, o pro-
duto decresce segundo r
1 , pelo menos. 
 
Conclusão: neste caso, ( ){∫
−
∇−=
vol E
E dVDDW ..2
1
r
rrr
, ou seja: 
∫∫ ==
volvol
E dVEdVEDW ..2
1..
2
1 2
0ε
rr
 
 
Como interpretar fisicamente todos estes fenômenos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 17
Eletromagnetismo 
Exemplo 
 
Cálculo da energia eletrostática armazenada em um cabo coaxial com L 
metros de comprimento: 
 
 
Foi visto anteriormente que: ρρ
ρ aaD S rr .= para ba << ρ 
Então, como ED
rr
.0ε= : ρρε
ρ
a
a
E S r
r
.
.
0
= 
Assim: ∫ ∫ ∫ 


=
L
dV
b
a
E
S
E dzdd
aW
0
2
0
22
0
22
0 .....
.
.
2
1
2
43421
43421
r
φρρρε
ρε
π
 


=
a
baLW SE ln
...
0
22
ε
ρπ (J) 
 
Finalmente, podemos definir a densidade de energia eletrostática como 
sendo: 
∫=
vol
E dVEDW ..2
1 rr → dVEDdWE ..2
1 rr= 
 
Então: ED
dV
dWE rr.
2
1= ( )3mJ (Densidade de Energia Eletrostática) 
 
Integrando esta densidade de energia em todo o volume, o resultado é a 
energia total do volume. 
 
 
Energia e Potencial 
 18
Eletromagnetismo 
Exercícios Resolvidos 
 
Exercício 1: Encontrar a energia armazenada na região esférica, mr 10< , situ-
ada no vácuo, supondo que a distribuição de potenciais seja dada por 
2.100 rV = (V). Supor Dr contínuo no espaço, sem descontinuidade, para não 
induzir a erros devido à parcela desprezada 


 ⋅∫
S
SdDV
rr
.
2
1 . Partir do princípio 
que vale ∫=
vol
E dVEDW ..2
1 rr . 
 
Resolução: 
 
Sabendo-se que 2.100 rV = , então rar
VgradVE r
r
∂
∂−=−= , ou seja: 
rarE
rr .200−= 
 
Logo: ( ) ∫∫ =−=
volvol
E dVrdVrW .2
.40000
..200.
2
1 202
0
εε 
( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ∫ 

==
ππππ
φθθεφθθε
2
0 0
10
0
5
0
2
0 0
10
0
22
0 ..5
.20000......20000 ddsenrdddrsenrrW
dV
E 444 3444 21 
( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ==
ππππ
φθθεφθθε
2
0 0
0
8
2
0 0
0 ...10.4...20000.20000 ddsenddsenWE 
( )[ ] πεφεφθε ππ π .2..10.8.10.8.cos.10.4 08
2
0
0
8
2
0
00
8 ==−= ∫∫ ddWE 
51,44=EW (mJ) 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 19
Eletromagnetismo 
Exercício 2: Dada a função potencial no espaço livre: yxV .4.2 += (V), obter a 
energia acumulada num volume com 1 3m centrado na origem. Analisar o pro-
blema cuidadosamente e interpretá-lo. 
 
Resolução: 
 
yxzyx aaaz
Va
y
Va
x
VVE rrrrr
rr
42 −−=



∂
∂+∂
∂+∂
∂−=∇−= ( )mV 
 
( ) ( ) 2042 22 =−+−=Er ( )mV 
 
∫=
vol
E dVEW ..2
1 2
0ε 
 
A densidade de energia pode ser calculada através de: 
 
00
2
0 .1020.2
1.
2
1 εεε === EdW ( )3mJ 
 
Como interpretar? Como ficaria a resposta deste problema, se o volume 
não estivesse na origem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 20
Eletromagnetismo 
Exercício 3: Dado o campo ρρ a
KE r
r = , em coordenadas cilíndricas, mostrar que 
o trabalho envolvido no deslocamento de uma carga pontual Q de qualquer 
distância radial ρ para um ponto cuja distância radial seja ρ.2 , independe da 
coordenada ρ . Analisar o fenômeno. 
 
Resolução: 
 
 
ldEQdW
rr ⋅−= . (trabalho infinitesimal) 
 
O campo E
r
 possui apenas componente radial, logo: 
 
ρρρρ d
QKdEQdW ... −=−= 
 
Integrando de ρ a ρ.2 , obtém-se: 
 


−=−= ∫ ρρρρ
ρ
ρ
.2ln...
.2
'
'
QKdQKW 
( )2ln..QKW −= 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 21
Eletromagnetismo 
Exercício 4: Uma distribuição linear de cargas 400=lρ mpC está ao longo do 
eixo x e a superfície de potencial nulo passa através do ponto (0, 5, 12)m em 
coordenadas cartesianas. Pede-se o potencial no ponto (2, 3, -4)m. Analisar o 
resultado. 
 
Resolução: 
 
( )BA VV > 
 
mA 5169 =+=ρ 
mB 1314425 =+=ρ 
 



−=−= ∫
B
All
AB dV
A
B
ρ
ρ
επ
ρρρεπ
ρρ
ρ
ln
..2...2 00
 


−= −
−
13
5ln
10.854,8..2
10.400
12
12
πABV 
88,6=ABV (V) 
 
 
Energia e Potencial 
 22
Eletromagnetismo 
Exercício 5: Uma carga total de 3
40 nC é uniformemente distribuída em torno 
de um anel circular de 2m de raio. Pede-se o potencial de um ponto pertencen-
te ao eixo, 5m distante do plano do anel. Analisar o resultado, comparando com 
o resultado obtido caso toda a carga estivesse concentrada na origem, como 
uma carga pontual. 
 
Resolução: 
 
 
}
∫=
linha
dQ
l
R
dlV
...4
.
0επ
ρ 
 
φρ ddl .= 
 
{ ππρ .3
10
2..2
10.3
40 89 −−
==
linhadaocompriment
l ( )mC 
 
( ) ( ) 2925 22 =+=R (m) 
 ( )
3,22
29.10.854,8..4
.2..3
102
0
12
8
== ∫ −
−π
π
φπ dV (V) 
 
 
 
Energiae Potencial 
 23
Eletromagnetismo 
Supondo agora que toda a carga esteja concentrada na origem: 
 
 
 
24
5.10.854,8..4
10.3
40
...4 12
9
0
=== −
−
πεπ R
QV (V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 24
Eletromagnetismo 
Exercício 6: Repetir o exercício 5, supondo que a carga esteja uniformemente 
distribuída sobre um disco circular, com 2m de raio. Reavaliar as conclusões. 
 
Resolução: 
 
 
∫=
área
S
R
dSV
...4
.
0επ
ρ 
 
( ) ππρ .3
10
2.
10.3
40 8
sup
2
9 −−
==
321
erfíciedaárea
S ( )2mC 
 
( ) ( ) 255 222 +=+= ρρR (m) 
 
1,23
25
..
10.854,8..4
.3
10 2
0
2
0
212
8
=+= ∫ ∫−
− π
ρ
φρρ
π
π ddV (V) 
 
Lembrete: Cax
ax
dxx ++=
+∫ 2222
. 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 25
Eletromagnetismo 
Exercício 7: Dado o potencial 22 .20...50 yzyxV += (V) no vácuo, pede-se: 
 
a) V no ponto P (1, 2, 3); 
b) E
r
 no ponto P; 
c) Vρ no ponto P; 
d) dN
dV no ponto P; 
e) Na
r no ponto P. 
 
Resolução: 
 
a) ( ) 380803002.203.2.1.50 22 =+=+=PV (V) 
 
b) 



∂
∂+∂
∂+∂
∂−=−= zyx az
Va
y
Va
x
VgradVE rrr
r
 
( ) ( ) ( )[ ]zyx ayxayzxazyxE rrrr ..50.2.20..50...50.2 22 +++−= 
 
No ponto tratado: ( ) ( ) ( )[ ]zyx aaaE rrrr 2.1.502.2.203.1.503.2.1.50.2 22 +++−= 
 zyx aaaE
rrrr 100230600 −−−= ( )mV 
 
c) VDdiv ρ=
r
 e ED
rr
.0ε= 
 
1210.854,8. −



∂
∂+∂
∂+∂
∂=
z
E
y
E
x
E zyx
Vρ 
( ) 1210.854,8.040..100 −−−−= zyVρ 
( ) 1210.854,8.403.2.100 −−−=Vρ 
67,5−=Vρ ( )3mnC 
 
 
 
Energia e Potencial 
 26
Eletromagnetismo 
d) 
dN
dVE =r 
650422900100230600 222 ≅=++=Er ( )mV 
 
e) 
E
EaN r
r
r = 
650
100230600 zyx
N
aaa
a
rrrr −−−= 
zyxN aaaa
rrrr 154,0354,0923,0 −−−= 
 
 
O que pode ser concluído quanto aos resultados obtidos no problema? E 
se o ponto P fosse alterado, o que ocorreria? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 27
Eletromagnetismo 
Exercício 8: Cinco cargas pontuais iguais, nCQ 20= , estão localizadas em x = 
2, 3, 4, 5 e 6m. Calcular o potencial na origem. Analisar o resultado obtido. 
 
Resolução: 
 
Devemos calcular o potencial que cada carga provoca na origem: 
 
88,89
2.10.854,8..4
10.20
...4 12
9
0
2 === −
−
πεπ R
QV (V) 
92,59
3.10.854,8..4
10.20
...4 12
9
0
3 === −
−
πεπ R
QV (V) 
94,44
4.10.854,8..4
10.20
...4 12
9
0
4 === −
−
πεπ R
QV (V) 
95,35
5.10.854,8..4
10.20
...4 12
9
0
5 === −
−
πεπ R
QV (V) 
96,29
6.10.854,8..4
10.20
...4 12
9
0
6 === −
−
πεπ R
QV (V) 
 
65432 VVVVVV ++++= 
96,2995,3594,4492,5988,89 ++++=V 
65,260=V (V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 28
Eletromagnetismo 
Exercício 9: O campo elétrico entre dois cilindros condutores concêntricos com 
m01,0=ρ e m05,0=ρ , é dado por ρρ aE
rr 510= desprezando espraiamentos. 
Pede-se a energia acumulada em 0,5m de comprimento, supondo meio vácuo. 
 
Resolução: 
dVEW
vol
E ..2
1 2
0∫= ε 
∫ ∫ ∫ 


= −
5,0
0
2
0
05,0
01,0
25
12 ....10.10.854,8
2
1 π φρρρ dzddWE 
∫ ∫ ∫−=
5,0
0
2
0
05,0
01,0
1012 ...110.10.854,8
2
1 π φρρ dzddWE 
( ) ∫ ∫−=
5,0
0
2
0
05,0
01,0
1012 .ln.10.10.854,8
2
1 π φρ dzdWE 
∫

= −
5,0
0
1012 .2.
01,0
05,0ln.10.10.854,8
2
1 dzWE π 
( ) 5,0..2.5ln.10.10.854,8
2
1 1012 π−=EW 
224,0=EW (J) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 29
Eletromagnetismo 
Exercício 10: Calcular a energia armazenada em um sistema com quatro car-
gas pontuais idênticas, nCQ 4= , situadas nos vértices de um quadrado com 1m 
de lado. 
 
Resolução: 
 
 
95,35
1.10.854,8..4
10.4
...4 12
9
0
2
2,1 === −
−
πεπ R
QV (V) 
42,25
41,1.10.854,8..4
10.4
...4 12
9
0
3
3,1 === −
−
πεπ R
QV (V) 
95,35
1.10.854,8..4
10.4
...4 12
9
0
4
4,1 === −
−
πεπ R
QV (V) 
 
32,9795,3542,2595,354,13,12,11 =++=++= VVVV (V) 
 
32,974321 ==== VVVV (V) 
 
( )44444 344444 21
VQ
E VQVQVQVQW
..4
44332211 ....2
1 +++= 
( )32,97.10.4.4
2
1 9−=EW 
56,778=EW (nJ) 
 
 
 
 
Energia e Potencial 
 30
Eletromagnetismo 
Qual é a energia armazenada no sistema quando só duas cargas estão 
colocadas e em vértices opostos? 
 
 
 
42,25
41,1.10.854,8..4
10.4
...4 12
9
0
3
3,1 === −
−
πεπ R
QV (V) 
 
1,33,1 VV = 
 
( )44 344 21
VQ
E VQVQW
..2
3311 ..2
1 += 
( )42,25.10.4.2
2
1 9−=EW 
68,101=EW (nJ)