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Métodos de Contagem Aula 47 Em alguns sites, para que tenhamos acesso a alguns conteúdos, é necessária a realização de um cadastro, para que sejam fornecidos ao usuário um login e uma senha. A senha fornecida por certo site é composta por quatro letras e três algarismos. Sabendo que são utilizadas 26 letras e 10 algarismos, e que me cada senha não se repetem letras ou algarismos, quantas senhas diferentes podem ser fornecidas por este site? A minha sugestão é que nesse momento a questão seja mostrada e comentada como um exemplo de questões de contagem, mais tarde ela será resolvida. 2 A análise combinatória Situações como a anterior, que envolvem a contagem dos possíveis agrupamentos dos elementos de um ou mais conjuntos, podem ser resolvidas com o auxílio de uma parte da Matemática conhecida como Análise Combinatória. Princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo Podemos resolver a questão mostrada inicialmente escrevendo todas as possibilidades e realizando a contagem das senhas. Mas, escrever todas as senhas é trabalhoso. Assim, uma maneira de resolver esse tipo de questão é por meio do chamado Princípio fundamental da contagem. Exemplos Em certo shopping há sete portões de entrada/saída. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair desse shopping? E entrar e sair por um portão não utilizado na entrada? Uma companhia de transporte rodoviário estuda as 15 possíveis rotas para a realização de viagens do município A ao município C, com passagem obrigatória pelo município B. Sabendo que de A para B existem três possíveis trajetos, quantos trajetos existem entre B e C? Quantos são os números de três dígitos distintos? Respostas: Questão 1. 49 maneiras ; 42 maneiras. Questão 2. 5 trajetos Questão 3. 12 pessoas 5 Exemplos Profa Ellis Noro 2) Duas hipóteses: A → B 1ª hipótese 2ª hipótese 4 trajetos 3 trajetos A → C C → B 2 trajetos ou poderá fazer 4 + 6 = 10 trajetos diferentes. e 2 . 3 = 6 Algumas estratégias para resolver problemas de contagem Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar. Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples, correspondentes às diversas etapas do processo de decisão. A ordem em que as decisões são tomadas pode ser extremamente importante para a simplicidade do processo de resolução. Não adiar dificuldades: Pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisões for mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar. Princípio fundamental da contagem e ordem dos agrupamentos 1.Quatro atletas A, B, C e D disputam uma corrida de 100m rasos, onde apenas os três primeiros serão premiados. De quantos modos distintos a premiação pode ser realizada? 4 x 3 2 x = 24 modos distintos Observação: Somente quando a ordem for importante usaremos o P.F.C. 8 2. Uma pessoa dispõe de 4 frutas distintas e deseja fazer uma salada com EXATAMENTE 3 dessas quatro frutas. De quantas formas distintas ela pode executar essa tarefa? 02. Uma pessoa dispõe de 4 frutas distintas e deseja fazer Uma salada com EXATAMENTE 3 dessas quatro frutas. De Quantas formas distintas ela pode executar essa tarefa? Laranja Uva Banana Maçã 4 3 2 x x = 24 modos distintos Quais são essas 24 saladas? LUB LUM LBM UBM LBU BLU BUL UBL ULB LMU ULM UML MUL MLU LMB BML BLM MLB MBL UMB BMU BUM MUB MBU 10 Agrupamentos O objetivo do cálculo combinatório é contar. É descobrir de quantas formas diferentes podem ser agrupados os elementos de um conjunto finito, sob certas condições definidas previamente. Agrupamentos em que é importante a ordem em que seus elementos são dispostos são chamados agrupamentos ordenados. Agrupamentos em que não é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos não-ordenados. Exemplos Analise, em cada caso, se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados a) Números de 3 algarismos, formados a partir dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9. b) Códigos de 4 símbolos, escolhidos entre os elementos do conjunto {1, 3, 7, a, b, c}. c) Grupos de 5 alunos, escolhidos entre os 40 de uma sala, para participarem de um evento. Ord. Ord. N-Ord. d) Formas diferentes de colocar 10 livros lado a lado, em uma prateleira. Ord. Princípios utilizados para resolver problemas de contagem Princípio aditivo 2. Princípio multiplicativo 3. Princípio da inclusão-exclusão Princípio aditivo O princípio da adição garante que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento ocorrerá de m + n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro. 14 Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que para se deslocar de casa até o trabalho, uma pessoa tenha as seguintes alternativas: Um de seus dois automóveis (A1 e A2); Uma das três linhas de ônibus que fazem o trajeto (O1, O2 e O3); O metrô (M). Exemplo De quantas maneiras diferentes ela poderia escolher o seu transporte? hipóteses: opções: Automóvel Ônibus Metrô ou ou A1 A2 O1 O2 O3 M 2 opções 3 opções 1 opção Portanto, a pessoa pode ir para o trabalho de: 2 + 3 + 1 = 6 maneiras diferentes Respondendo... Princípio multiplicativo A regra do produto garante que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento J pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, J) nesta ordem poderá ser realizada de m × n formas. Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que um estudante pretenda escolher um conjunto tênis – calça - camiseta para ir à escola e que ele tenha como alternativas, Dois pares de tênis (T1 e T2); Quatro calças jeans (J1, J2, J3 e J4); Três camisetas (C1, C2 e C3). De quantas maneiras diferentes ela poderia fazer sua escolha? Etapas: opções: Tênis Jeans camiseta e e T1 T2 J1 J2 J3 J4 C1 C2 C3 2 opções 4 opções 3 opções Portanto, a pessoa pode fazer sua escolha de: 2 . 4 . 3 = 24 maneiras diferentes Respondendo... Observação Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios. Profa Ellis Noro A conjunção ou , liga duas hipóteses e está associado à adição. A conjunção e , liga duas etapas e está associado à multiplicação. Exemplos 1. Suponha que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Carlos tenha dinheiro para assistir a apenas 1 evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer no sábado? E se Carlos puder escolher apenas um filme e apenas uma peça de teatro, quantas possibilidades terá? 2. Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 sabores de salgados. a) Suponha que Maria só tenha permissão para tomar um picolé ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Maria pode fazer? b) E se Maria puder tomar um picolé e um salgado, quantos pedidos pode fazer? 3. Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras podemos formar um conjunto de 1 mesa com 4 cadeiras iguais? 4. Uma garota possui 18 camisetas distintas, 6 calças distintas e 8 pares de tênis distintos. De quantas maneiras diferentes ela pode vestir-se usando uma camiseta, uma calça e um par de tênis? 23 Exemplos 5. De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma classe com 10 rapazes, de modo que os prêmios não sejam dados a um mesmo rapaz? 6. De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma classe com 10 rapazes, se é permitido que ambas sejam dados a um mesmo rapaz? 7. Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de Matemática,7 de Física e 10 de Química e pediu-me para escolher 2 livros com a condição de que eles não fossem da mesma matéria. De quantas maneiras eu posso escolhê-los? Exemplos 8. Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida? 9. Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? Resolução de problemas Questão 01 Uma secretária possui 6 camisas, 4 saias e 3 pares de sapatos. O número de maneiras distintas com que a secretária poderá se arrumar usando 1 camisa, 1 saia e 1 par de sapatos corresponde a a) 13 b) 126 c) 72 d) 54 Letra C 27 Questão 02 No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10 Letra B 28 Questão 03 Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é a) 33 600. b) 37 800. c) 43 200. d) 58 500. e) 67 600. Letra A 29 Questão 04 Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a a) 46. b) 59. c) 77. d) 83. e) 91. Letra D 30 Questão 05 Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é: a) 78125 b) 7200 c) 15000 d) 6420 e) 50 Letra C 31 Questão 06 A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é a) 12. b) 31. c) 36. d) 63. e) 720. Letra D 32 Questão 07 Um hacker está tentando invadir um site do Governo e, para isso, utiliza um programa que consegue testar 16³ diferentes senhas por minuto. A senha é composta por 5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras de A a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma única vez e que já testou, sem sucesso, 75% das senhas possíveis, o tempo decorrido desde o início de sua execução é de a) 2 horas e 16 minutos. b) 1 hora e 40 minutos. c) 3 horas e 48 minutos. d) 3 horas e 12 minutos. e) 2 horas e 30 minutos. Letra D 33 Questão 08 Na convenção de um partido para lançamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3 possíveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendo quatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar a chapa é a) 18. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4. Letra C 34 Questão 09 Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: a) 9. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20. Letra B 35 Questão 10 A e B são dois conjuntos tais que A - B tem 30 elementos, A ∩ B tem 10 elementos e A U B tem 48 elementos. Então o número de elementos de B - A é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 22 Letra A 36 Questão 11 Em uma pesquisa com 100 pacientes foi constatado que 74 exibiam esquizofrenia, 17 exibiam paranóia e 25 eram maníacos. Destes 100, precisamente 4 apresentavam os 3 sintomas. Além disso, cada paciente apresentava pelo menos um dos 3 sintomas. Qual o número de pacientes que exibiam exatamente duas das 3 enfermidades? Resposta: 8 pacientes 37
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