Aula 16 - equações polinomiais

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Equações PolinomiaisEquações PolinomiaisEquações PolinomiaisEquações Polinomiais
Aula 16
Equação polinomial
É toda equação do tipo:
Onde:
0... 0
1
1
2
2
1
1 

 axaxaxaxa
n
n
n
n
• são os coeficientes;
• são os termos da equação;
• x é a incógnita.
0121 ,,,...,, aaaaa nn 
0
1
1
2
2
1
1 ,,,...,, axaxaxaxa
n
n
n
n


É o valor numérico da incógnita que torna a igualdade verdadeira. O
número a é raiz da equação se P(a) = 0.
Exemplos:
1) De acordo com a equação polinomial , somente é
falsa a sentença:
Raiz ou zero da equação polinomial:
0374 23  xxx
a) O número zero é solução da equação.
b) A equação tem grau 3.
c) O termo independente é zero.
d) O coeficiente de x2 é 7.
e) O número 1 é solução dessa equação.
2) Verifique se – 2 é raiz da equação   2234
23  xxxxP
Se uma equação tiver duas raízes iguais dizemos que é
uma raiz de multiplicidade 2 ou uma raiz dupla, se
forem três raízes iguais, trata-se de uma raiz de
multiplicidade 3 ou uma raiz tripla e assim por diante.
Equações equivalentes:
Multiplicidade de raízes:
Equações equivalentes:
Duas equações polinomiais são consideradas
equivalentes quando apresentam exatamente o mesmo
conjunto solução, toda raiz de uma também é raiz da
outra.
•• Fatoração de polinômiosFatoração de polinômios
Todo polinômio P de grau n (n ≥ 1) pode ser decomposto
em n fatores do primeiro grau do tipo
P = an (x – r1 ), (x – r2 ), (x – r3 ), ... ,(x – rn )
em que r1 , r2 , r3 ,... rn são as raízes de P (x) e an é o
coeficiente dominante de P(x).
Teorema da decomposição
coeficiente dominante de P(x).
(x – r1 ), (x – r2 ), ..., (x – rn ) são os fatores de P(x).
Importante:
P(x) é divisível por cada um dos fatores, individualmente e
também por qualquer produto desses fatores.
Vamos analisar dois casos:
1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x) = 
ax2 + bx + c que admite as raízes r1 e r2 pode ser 
decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte 
Fatoração de polinômios
decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte 
forma:
ax2 + bx + c = a ( x - r1) ( x - r2)
Se P(x) tiver duas raízes iguais, ou seja, uma raiz 
dupla, podemos escrever:
ax2 + bx + c = a ( x - r1 ) ( x – r1 ) = a ( x - r1 )²
Exemplos
Fatorar o polinômio P(x) = x2 - 4.
Resolução: Fazendo x2 – 4 = 0, obtemos as raízes 
r1 = 2 e r2 = -2.
Logo: x2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
Fatorar o polinômio P(x) = x2 - 7x + 10.
Resolução: Fazendo x2 - 7x + 10=0, 
obtemos as raízes r1 = 5 e r2 = 2.
Logo: x2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2).
• 2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 
3º grau, podemos decompô-lo num produto de um 
polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau 
Fatoração de polinômios
polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau 
e, se este tiver raízes, podemos em seguida 
decompô-lo também.
Exemplo
Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3 - x2 - x.
Resolução:
2x3 - x2 - x = x.(2x2 – x - 1)  colocando x em evidência
Fazendo x.(2x2 – x - 1) = 0 obtemos:
x = 0 ou 2x2 – x - 1= 0.
Uma das raízes já encontramos (x = 0).Uma das raízes já encontramos (x = 0).
As outras duas saem da equação: 2x2 – x – 1 = 0 => 
r1 = 1 e r2 = -1/2.
Portanto, o polinômio 2x3 - x2 – x , na forma fatorada é:
2x (x - 1).[x + (-1/2)].
• Generalizando, se o polinômio ( 2º caso)
P(x)=anx
n + an-1x
n-1+...+ a1x + a0 admite n raízes 
r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da 
seguinte forma:
Fatoração de polinômios
seguinte forma:
anx
n + an-1x
n-1 + ...+ a1x + a0 = an(x -r1)(x-r2)...(x-rn)
BRIOT RUFFINI
Teorema da Decomposição
resto
Teorema da Decomposição
Pelo teorema, a decomposição tem que ter 
fatores do 1º grau. Então vamos resolver a 
equação do 2º grau
P(x) = 1. (x - 1) . (x - (-2)) . (x - (-3))
P(x) = (x - 1) . (x + 2) . (x + 3)
Exercícios
• Decompor em fatores do 1º grau 
1) 2x³ - 8x² - 2x + 8, cujas as raízes são x1 = -1 , x2
=1 e x3 = 4
2) 2x³ - x² - x2) 2x³ - x² - x
3) X²- 2x + 1
4) X4 + x³ - 7x² - x + 6 = 0, sabendo que 1 e -3 
são raízes
a) x3 – 2x2 + 2x = 0
b) 2x3 – 9x2 + 13x – 6 = 0; x’ = 1
c) x3 + 2x2 + x = 0
Resolução de equações polinomiais:
Forma Fatorada - equações de 3º grau:
c) x + 2x + x = 0
d) x3 – 5x2 + 8x – 6 = 0; x’ = 3
e) x3 – 4x2 + 3x = 0
f) x3 – x2 - 2x + 2 = 0; x’ = 1
Equações biquadradas:
a) x4 – 5x2 + 4 = 0
b) x4 – 13x2 + 42 = 0
3) Equações em que se conhece, ao menos, uma raiz:
a) x4 – 7x3 + 17x2 – 17x + 6 = 0; x’ = 2 e x “ = 3
b) x5 + 5x4 + 6x3 – 2x2 – 7x – 3 = 0; - 1 é raiz tripla
c) 2x4 – 20x3 + 70x2 – 100x + 48 = 0; x’ = 1 e x” = 2
d) x4 – 5x3 + x2 + 21x – 18 = 0; 3 é raiz dupla
e) 4x4 + 4x3 – 25x2 – x + 6 = 0; x’ = - 3 e x” = 2