Aula 31,32 e 33 Trigonometria triângulo retângulo 2

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Trigonometria no triângulo retângulo
Aula 31
Triângulo retângulo
Com o uso da trigonometria do triângulo retângulo:
Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
Medir a distância da Terra à Lua.
Um engenheiro pode saber a largura de um rio para construir uma ponte
Um cartógrafo (desenhista de mapas) pode saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. 
Determinação da altura de um certo prédio.
Ângulo
Lado oposto
Lado adjacente
C
c cateto oposto
bcatetoadjacente
B
b cateto oposto
ccateto adjacente
Projeções dos catetos no triângulo retângulo.
m = projeção de c sobre a hipotenusa.
n = projeção de b sobre a hipotenusa.
a = m+n.
h = média geométrica entre m e n. 
Triângulo retângulo
Relações Métricas
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes, assim,
 a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
Logo,
 a/c = c/m    equivale a    c² = a.m
a/b = b/n    equivale a    b² = a.n
a/c = b/h    equivale a    a.h = b.c
h/m = n/h    equivale a    h² = m.n
outra relação do triângulo inicial ABC,
 a=m+n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
 a² = b² + c²
 Seno, cosseno e tangente 
sen  = 
cos  = 
tg  = 
b
a
c
a
b
c
Razões Trigonométricas
Ângulos Notáveis 
Seno, cosseno e tangente de 30º, 45º e 60º
1
tg
½ 
cos
½ 
sen
60º 
45º 
30º 
√2/2
√2/2
√3/2
√3/2
√3/3
√3
7
( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x 
AD = x DC= x - 38 BD = y 
tg 30o = 
x
x – 38 
y
60o
30o
y
x
y
x
tg 60o = 
y
x – 38 
=
x – 38 
y
(x – 38)
= y
=
=
(x – 38)
x
x = 3(x – 38)
x = 3x – 114
114 = 2x
57 = x
8
Exercícios
1) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
        
 a)  b cos a        b) a cos a      c) a sen a    
  d)  b tg a        e)  b sen a
2) (FUVEST-SP) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de  = 60°. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre, e o ângulo então obtido foi de  radianos, com tg  = 3 3.
É correto afirmar que a altura da torre em metros é:
a) 4 3 b) 5 3 c) 6 3 d) 7 3 e) 8 3
EXERCÍCIOS
Exercícios
3) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.
AC = 10 km
 AD = 2,5 km
 BC = 53 km
 O ângulo BÂD mede 60°
 A velocidade média do barco é de 15 km/h
Exercícios
4) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo:
Aula 32
Relações entre seno, cosseno e tangente

Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺
hipotenusa
=
cosec ⍺ =
a
c
cateto adjacente a ⍺
hipotenusa
=
sec ⍺ =
a
b
=
1
sen ⍺
=
1
cos ⍺

Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺
=
cotg ⍺ =
b
c
cateto adjacente a ⍺
=
1
tg ⍺

A
B
C
a
b
c
⍺ +  = 90º
⍺
tg ⍺ =
1
tg 
⇒
Os ângulos ⍺ e  são complementares
sen ⍺ = cos 
cos ⍺ = sen 
sec ⍺ = cosec 
cosec ⍺ = sec 
cotg ⍺ = tg 
A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y.
x
16
y
30º
sen 30º =
x
12
12 cm
⇒ x = 12 . 1/2
⇒ x = 6 cm
cos 30º =
y
12
⇒ x = 12 . √3/2
⇒ x = 6 √3 cm
Aula 33
Identidades Trigonométricas
Identidades trigonométricas

A
C
B
a
c
b
⍺
b2 + c2 = a2
(: a2)
b2
a2
+
c2
a2
=
a2
a2
b
a
+
c
a
= 1
2
2
sen ⍺
+
cos ⍺
= 1
2
2
⇒
sen2 x + cos2 x = 1
b/a
c/a
Identidades trigonométricas

A
C
B
a
c
b
⍺
sen ⍺
cos ⍺
=
=
b
a
.
a
c
=
b
c
= tg ⍺
tg x =
sen x
cos x
c/a
b/a
Identidades trigonométricas

A
C
B
a
c
b
⍺
cos ⍺
sen ⍺
=
=
c
a
.
a
b
=
c
b
= cotg ⍺
cotg x =
cos x
sen x
Identidades trigonométricas - Resumo
1) sen2 x + cos2 x = 1
Relação fundamental
2) tg x =
sen x
cos x
3) cotg x =
cos x
sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)
=
1
tg x
4) sec x =
1
cos x
5) cosec x =
1
sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)
Exemplos
 1) Demonstre que sec2 x = 1 + tg2 x.
sec x =
1
cos x
⇒
sec2 x =
1
cos2 x
⇒
sec2 x =
sen2 x + cos2 x
cos2 x
⇒
sec2 x =
sen2 x
cos2 x
+
cos2 x
cos2 x
⇒
sec2 x = tg2 x + 1
Exemplos
2) Demonstre que cosec2 x = 1 + cotg2 x.
cosec x =
1
sen x
⇒
cosec2 x =
1
sen2 x
⇒
cosec2 x =
sen2 x + cos2 x
sen2 x
⇒
cosec2 x =
sen2 x
sen2 x
+
cos2 x
sen2 x
⇒
sec2 x = 1 + cotg2 x
Curiosidade: Hexágono Mágico
não
sim
sim
sim
não
não
senx
cosx
cotgx
cossecx
secx
tgx

=


=
=
1
cos x
sen x
1
cos x
1
sen2 x
Exemplos
Simplificar as expressões: 
a) E1 =
cotg x . sec x
cosec2 x
E1 =
cotg x . sec x
cosec2 x
=
.
=
1
sen x
1
sen2 x
E1 =
1
sen x
.
sen2 x
1
= sen x
Exemplos
Simplificar a expressão: 
b) E2 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
E2 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
E2 =
sen x
cos x
+
cos x
sen x
–
1
cos x
1
sen x
.
E2 =
sen2 x
sen x . cos x
+ cos2 x
– 1
=
sen x . cos x
1 – 1
= 0
Trigonometria em ambientes virtuais
http://programadorprofissional.blogspot.com.br 
 Lançamento de Projétil
Força: 50 Ângulo: 45° Lançar 
	
Alguns Exercícios
para exercitar e reforçar o que estudamos
Exercícios
Exercícios
Prove as seguintes identidades trigonométricas:
cosx . tgx . cossecx = 1
tg²x . cossec²x = 1 + tg²x
(tgx + 1) (1 – tgx) = 2 – sec²x
Exercícios
2) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
a)
b) 
c) 
Exercícios
3) Simplificar as expressões: 
a) 
b)