Aula 36

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Aula 36
Módulo e Argumento
Representação Geométrica
Os números complexos podem ser representados geometricamente no plano complexo (plano de Argand-Gauss). O plano complexo é um plano cartesiano onde o eixo das abscissas representa a parte real e o eixo das ordenadas a parte imaginária. Assim, o número complexo a+bi será o ponto de coordenadas (a,b). 
Representação Geométrica
Exemplo
Exemplo, determinar o módulo de z= 3 + 4i é:
 = 
 = 
 =
 = 5
Módulo de um número complexo
O segmento de reta OP é chamado de módulo do número complexo, ou seja é a distância entre a origem O e o ponto P, que é simbolizado por IzI ou , onde:
  = 
Argumento de um número complexo
O argumento de um número complexo não-nulo, indicado por arg(z), é a medida , sendo o rad    2 rad. Então,
O arco  formado entre o eixo horizontal positivo e o segmento OP, no sentido anti-horário, é chamado de argumento de z. 
 
Argumento de um número complexo
Argumento de um número complexo 
 z = a + bi, não nulo, é um número  determinado através das relações: 
 cos  = e sen  = IzI = 
 
7
Exemplos
Dado o número complexo z = 2 + 2i, determine o módulo e o argumento de z.
Pelo número complexo z = 2 + 2i, sabemos que a = 2 e b = 2. Segue que:
Com os valores de seno e cosseno percebemos que  é um arco notável, assim, podemos afirmar que  = 45° ou 
Exemplos
2) Determinar o argumento do número complexo z = 1 + 3i
a = 1 b= 3 
 =
 =
 =
 = 2 
Círculo trigonométrico
Exercícios
1) Determine o módulo e o argumento dos números complexos no plano de Argand-Gauss.
z= 3 + i c) z = 3 + 3i
z= 1 - 3i d) z= -3i
2) Determine z  C que satisfaz a condição 
 I z I – i . z = 2 – 4i
Pag 164
11
Exercícios
3) Determinar o número complexo z, tal que 
 iz + 2 z + 1 – i = 0, onde i é a unidade imaginária e z o conjugado de z. Qual o módulo e o argumento desse complexo?
Pág 165
12
Forma Trigonométrica 
Obtemos a Forma Trigonométrica 
z =  . ( cos θ + i.sen θ )
|z| = 
Exercícios
1) Obter a forma trigonométrica dos números complexos:
a) z = 1 + 3i
 
Forma trigonométrica:
Z= 2 ( cos   sen)
Exercícios
b) z = -2 + 2i
c) z = 3 + 3i
2) (UFBA) Sendo z1 = e z2 = , a 
representação trigonométrica de z1 – z 2 é:
a)  [ cos () + i.sen (-)]
b)  [ cos (-2) + i.sen (-2)]
c)  [ cos (2) + i.sen (2)]
d)  [ cos (-3) + i.sen (-3)]
e)  [ cos (3) + i.sen (3)]
a)
15
3) Calcule os produtos:
[1 [ (cos 38 + i.sen 38)] . [0,8 (cos 8 + i.sen 8)]
[ (cos  + i.sen )] . [ (cos  + i.sen )] . [ (cos  + i.sen )]
[6 (cos 6 + i.sen 6)] . [3 (cos 23 + i.sen 23)] . 
a) 9,6 i b) -2 +2i c) -9 + 33i
16