Aula 41

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Aula 41
Determinantes
1
Determinante de matrizes quadradas
Determinante de matriz quadrada
Determinante de matriz quadrada
Regra de Sarrus
Determinante de matriz de ordem N
Cij = (-1)i+j . Dij
C21 = (-1)2+1 . 
= (-1)³ . (-1-9) = -1.(-10) = 10
Teorema de Laplace
Considerando a matriz A= (aij ), quadrada de ordem n, n ≥ 2. O determinante Da dessa matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou de uma coluna qualquer pelos respectivos co-fatores.
Para calcular o det A pela 1ª linha:
A =
DA= a11 . C11 + a12 . C12 + a13 . C13 
Exemplos
Calcular o determinante das matrizes:
a) Regra de Sarrus
b) Teorema de Laplace
Exercícios
1) (Vunesp-SP) Se a e b são raízes da equação
 x  0 , determine o valor de a + b.
Exercícios
2) (FAAP-SP) Calcule o determinante da matriz
 2x2, cujos elementos são:
3) (FGV-SP) A solução da equação , x  R é:
 a) não tem solução real
 b) x=3 c) x= 1
 d) x= 1 e) x= -1
Exercícios
4) (VUNESP-SP) Dadas as matrizes A e B, o determinante de A . B é:
– 1
6
10
12
14
Exercícios
5)
Propriedades dos determinantes:
P1) Quando todos os elementos de uma fila de uma matriz são nulos, seu determinante também é nulo.
 
P2) Toda matriz que tem duas filas paralelas iguais tem determinante nulo.
 
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz forem proporcionais, seu determinante será nulo.
 
P4) Os determinantes de uma matriz e sua transposta são iguais.
 
P5) Multiplicando ou dividindo por um número real todos os elementos de uma fila, o determinante dessa matriz ficará multiplicado ou dividido por esse número.
Propriedades dos determinantes:
P6) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante da matriz muda de sinal.
 
P7) Quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
 
P8) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes.
 
P9) Uma matriz em que todos os elementos de um mesmo lado da diagonal secundária são iguais a zero tem determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por (-1).
+ Questões
6) (UFAC) É verdade que, seja qual for o valor de a, a real, o determinante da matriz nunca se anula?
7)
Questões 
8)
(Uepg 2010) Dadas as matrizes , 
 assinale o que for correto.
 a) Se x =  então det B = 0. 
 b) A matriz A.B é transposta de B. 
 c) B – A = – B 
 d) det ( A.B) = cos2x 
 e) det B  0, para todo x R. 
 
Exercícios
10) (Ufmg 2007) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
 
Gabarito
a + b = 3/2
22
e) x = -1
14
b) menores que 6
Sim nunca se anulam nos reais
b) x  1
35
a) Falso detB =-1
 b) Falso
 c) Falso
 d) Verdadeira 
 e) verdadeira
10) b) C23 = 1700 significa que serão ncessários 1700kg do fertilizante para as culturas de milho, soja e feijão na região Q