Aula 45 - Medidas de Tendência Central

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Medidas de Tendência Central
Aula 45
Introdução
Numa empresa, três funcionários discutiam valores salariais, cada um com um diferente ponto vista. Observe os argumentos de cada um:
Na nossa empresa o salário médio é de R$ 1 600,00 -disse João.
O salário predominante na nossa empresa é de R$ 700,00 – falou Beto.
Metade dos funcionários ganha até R$1 200,00 – afirmou Ana.
É possível que todos tenham dito a verdade?
Resposta: Por incrível que pareça, é possível que todos tenham dito a verdade. Isso ocorre porque cada um deles 
utiliza uma medida salarial diferente.
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Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central são utilizadas quando é necessário representar um conjunto de dados por um único valor. Essas medidas indicam que os dados tendem a concentrar-se em torno dele.
As principais medidas de tendência central.
 Média aritmética, 
 Mediana
 e Moda
Média aritmética
A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada para representar um conjunto de dados. Para calcular a média aritmética de dois ou mais números, adicionamos esses números e dividimos o resultado obtido pela quantidade de números adicionados.
Definição
Observação
A média aritmética é uma medida de tendência central que se aplica somente a variáveis numéricas. Deve-se ter cuidado para não empregá-la em outras situações em que as variáveis parecem numéricas, mas não são. Por exemplo, na pesquisa de opinião, poderíamos codificar os valores da variável I(preferência por uma área da Matemática) com os números de 1 a 5(isto facilita, por exemplo, a digitação dos resultados). Mas a variável resultante não deve ser considerada numérica e não faz sentido, por exemplo, calcular sua média.
Questões exemplos
1. Uma empresa produziu, durante os meses de janeiro, fevereiro e março, respectivamente, 500, 250 e 150 unidades de um determinado produto. Qual foi a produção média deste produto, por esta empresa, durante estes três meses?
2. Pedro é um dos 18 funcionários de uma microempresa. Ele resolve aposentar-se e, em seu lugar, um novo funcionário de 22 anos de idade é contratado. Sabendo-se que, com a saída de Pedro e a entrada desse novo funcionário, a média aritmética das idades dos funcionários dessa microempresa diminui em 2 anos, pode-se afirmar que Pedro se aposentou com
62 anos. B) 56 anos. C) 60 anos. D) 58 anos.
Média ponderada
No cálculo da média aritmética visto anteriormente, supomos que cada valor do conjunto de dados tenha a mesma “importância”. Contudo, há situações nas quais essa suposição não é verdadeira, ou seja, há valores com “importâncias” diferentes. Observe a situação a seguir:
Um professor aplica o seguinte critério de avaliação para seus alunos: a prova tem peso 4, a lista de exercícios tem peso 2 e a apresentação de trabalho tem peso 4. Sabendo que um aluno obteve 5,0 na prova, 5,0 na lista de exercícios e obteve 8,0 na apresentação do trabalho, qual a média final desse aluno ? 
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Definição
Questões
1. A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico:
Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos alunos?
a) 16 anos e 10 meses.
b) 17 anos e 1 mês.
c) 17 anos e 5 meses.
d) 18 anos e 6 meses.
e) 19 anos e 2 meses.
2. A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de
aproximadamente:
a) 14%. b) 48%. c) 54%. d) 60%. e) 68%.
Mediana
Chama-se de mediana de uma lista de valores ao valor que tem a seguinte propriedade:
 Metade dos valores são maiores ou iguais e a outra metade menores ou iguais a este valor. Em termos intuitivos, a mediana é o valor central entre os observados.
Podemos considerar dois casos para a obtenção da mediana
Conjunto de dados com quantidade ímpar de valores. Nesse caso, inicialmente dispomos esses valores em ordem crescente ou decrescente. A mediana irá corresponder ao termo central.
Conjunto de dados com quantidade par de valores. Com os valores dispostos ordenadamente, obtemos a mediana calculando a média aritmética entre os dois termos centrais.
Questões
1. A seguir, está indicado em ordem crescente o comprimento(em centímetros) de 11 peixes criados por um piscicultor.
19, 19 , 13, 15, 15, 22, 22, 16, 17, 18, 21
Qual a mediana dos comprimentos dos peixes?
2. No quadro a seguir, estão indicados o tamanho (em megabyte) de 14 arquivos gravados em um pen drive. Qual a mediana do tamanho dos arquivos?
52,8
76
82,4
103
142,5
167,2
173,1
181,5
207,4
248,2
262,3
281
313,3
358,4
Observação
Moda
Chamamos de moda (Mo) o valor mais frequente em um conjunto de dados.
Há conjunto de dados que não possuem moda, denominados amodais. Contudo, existem também aqueles que possuem mais de uma moda. Denominamos bimodais aqueles que possuem duas modas, trimodais os que possuem três modas e multimodais os que possuem mais de três modas.
Observação
A moda pode ser utilizada para representar um conjunto numérico ou um conjunto nominal. Para auxiliar na obtenção da moda podemos determinar a frequência de cada valor, ou seja, quantas vezes esse valor se repete no conjunto de dados
Questões
1. Foi feita uma pesquisa sobre a preferência de um grupo de alunos em relação ao curso superior que desejariam cursar. O quadro abaixo mostra o resultado dessa pesquisa. Sendo assim, qual é a moda desse conjunto de informações?
2. De acordo com a tabela abaixo, qual a moda das notas observadas em uma turma de 35 alunos ?
Nota
Número de alunos que obtiveram a nota
0
0
1
0
2
1
3
4
4
5
5
5
6
5
7
8
8
4
9
2
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Resolução de problemas
Questão 01
A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?
Resposta: 80 mulheres e 40 homens
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Questão 02
A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a:
a) 6,5
b) 7,2
c) 7,4
d) 7,8
e) 8,0
Resposta: letra B
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Questão 03
Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:
a) 9,0. b) 8,5. c) 8,3. d) 8,0. e) 7,5.
Resposta: letra B
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Questão 04
Chama-se mediana de um conjunto de 50 dados ordenados em ordem crescente o número x dado pela média aritmética entre os 25º e o 26º dado. Observe no gráfico a seguir uma representação para as notas de 50 alunos do primeiro semestre de Ciências Econômicas numa determinada prova.
A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências Econômicas nesta prova é igual a
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.
Resposta: Letra D
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Questão 05
Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a
a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00. e) R$ 85,30.
Resposta: Letra D
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Questão 06
Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista
em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe
a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.
Resposta: letra D
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Questão 07
A tabela indica todas as funções existentes em uma firma, os respectivos salários mensais e o número de todos os funcionários de cada função 
A respeito dos dados contidos nessa tabela, pode-se concluir que nessa firma 
a) o salário modal é igual ao salário de um chefe de setor. 
b) o salário médio é de R$ 3.833,33. 
c) o salário médio é menor do que a quinta parte do salário de um diretor. 
d) a mediana dos salários é de R$ 1.000,00. 
e) a mediana dos salários é de R$ 1.925,00 
Resposta: letra D
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Questão 08
A média aritmética dos elementos de um conjunto formado por n valores numéricos diminui quatro unidades quando o número 58 é retirado. Quando o número 57 é adicionado ao conjunto original, a média aritmética dos elementos desse novo conjunto aumenta três unidades em relação à média inicial. Qual o valor da soma dos elementos originais do conjunto? 
Resposta: 240
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Questão 09
Sejam dois bairros, A e B, de certa cidade. O bairro A possui 1 000 residências, sendo o consumo médio mensal de energia elétrica por residência 250 kWh. Já o bairro B possui 1 500 residências, sendo o consumo médio mensal por residência igual a 300 kWh. O consumo médio mensal de energia elétrica por residência, considerando os dois bairros, A e B, é 
a) 275 kWh. 
b) 280 kWh. 
c) 287,5 kWh. 
d) 292,5 kWh. 
e) 550 kWh. 
Resposta: letra B
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Questão 10
O quadro relaciona as notas em ordem crescente que 10 alunos, identificados por letras, obtiveram na prova de recuperação de matemática: 
Sabe-se que a média e a mediana das notas obtidas nessa prova são, respectivamente, 5,3 e 5,6. Então, pode-se concluir que a nota recebida pelo aluno B foi 
a) 1,8 b) 2,0 c) 2,5 d) 2,8 e) 3,0 
Resposta: Letra E
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Sugestão de vídeo
http://www.youtube.com/watch?v=cNrsSbQwcng
Sinopse: Uma garota resolve iniciar vendas de sanduíche e, não tendo sucesso, recorre ao tio para que ele possa avaliar a eficiência da sua pesquisa de mercado. Nesta avaliação, ficará mostrada como a falta de conhecimento estatístico básico pode levar dados corretos a conclusões erradas.
Objetivos: 
Definir alguns conceitos básicos de Estatística: média, moda e mediana;
Mostrar como o tratamento da informação é relevante à vida cotidiana;
Aprender a construir gráficos de frequência.
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