Apostila de Cálculo

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Núcleo de Educação à Distância
Curso de Licenciatura em Matemática
Apostila de Cálculo I
Prof. Jackson Jonas Silva Costa
Conteúdo
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Funções 9
1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Tabela de Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Produtos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Módulo ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Função polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4 Função Par e Função Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.5 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.6 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.7 Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Limites de Funções 33
2.1 Conceito e Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Limites no Infinito e Assíntotas Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 Limites Infinitos e Assíntotas Verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8 Definição Formal de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
i
ii
3 Derivadas de Funções Reais a uma Variável Real 65
3.1 Conceitos e definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Retas Tangentes e Retas Normais a Gráficos de Funções . . . . 71
3.1.2 Propriedades das Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.3 Derivada de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Derivada das Funções Logaritmos e Exponenciais . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Regra da Cadeia e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Aplicações de Derivadas 83
4.1 Pontos Críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Introdução as Integrais Indefinidas 87
5.1 Primitivas e Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1 Integrais Indefinidas Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 Propriedades das Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Cálculo de Área abaixo de Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Apêndice A 97
6.1 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.1 Interpretação Física do Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . 100
6.1.2 Algumas Aplicações do TVM na Matemática . . . . . . . . . . . 101
7 Apêndice B 105
7.1 Demonstrações de Teoremas e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . 105
Introdução
7
8
Capítulo 1
Funções
Prezado aluno, seja bem vindo ao curso de Cálculo I, neste curso você desfrutará
de um banquete de matemática. Você estudará limites, derivadas e uma introdução as
integrais de funções de uma variável real a valores reais. Esses conceitos não são difíceis
de serem compreendidos, muito embora exigirão de você aplicação e disciplina. Ao
estudar matemática você não deve adotar uma postura passiva, como se estivesse lendo
um livro de romance. É necessário que você tenha uma ação sobre a matemática, e que
esteja sempre com papel e lapis na mão para resolver os exercícios e fazer anotações.
Para compreender esses conceitos você deverá ter conhecimento de alguns conteú-
dos de matemática básica, os quais geralmente são estudados no ensino médio. Como
muitos alunos chegam ao ensino superior sem ter uma boa formação básica, achei
razoável dedicar este capítulo ao estudo de alguns desses tópico com as quais você
trabalhará ao longo deste curso.
1.1 Preliminares
Nesta seção, você terá a oportunidade de relembrar alguns tópicos básicos da
linguagem matemática, tais como: simbologias, produtos notáveis e módulo (ou valor
absoluto) de um número real.
1.1.1 Tabela de Símbolos
A tabela a seguir contém alguns símbolos bastante usados na matemática. Você
poderá consultá-la sempre que tiver dúvida a respeito do significado de alguns símbolos
que serão usados com frequência.
9
10
Símbolo Significado
∀ para todo ou para quaisquer que seja
∃ existe
6 ∃ não existe
< menor do que
≤ menor do que ou igual
> maior do que
≥ maior do que ou igual
= igual a
6= é diferente de
≈ aproximadamente
⊂ estar contido
6⊂ não estar contido
⊆ estar contido ou é igual
⊃ contém
6⊃ não contém
⊇ contém ou é igual
N Conjunto dos números Naturais
Z Conjunto dos números Inteiros
Q Conjunto dos números Racionais
I Conjunto dos números Irracionais
R Conjunto dos números Reais
f : A −→ B f é uma função de A em B
x 7→ f(x) f associa cada número x ao número f(x)
n∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . n− 1 + n.
6∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6.
1.1.2 Produtos Notáveis
A seguir você encontrará uma tabela com alguns produtos notáveis que serão
úteis para simplificação de frações algébricas ao longo desse curso.
11
Produtos Notáveis Exemplo
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (x+ 3)2 = x2 + 6x+ 9
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 (y − 1
2
)2 = y2 − y + 1
4
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (x+ 3)3 = x3 + 9x2 + 27x+ 27
(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 (y − 3)3 = y2 − 9y2 + 27y − 27
a2 − b2 = (a− b)(a+ b) x2 − 81 = (x− 9)(x+ 9)
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) a3 − 8 = (a− 2)(a2 + 2a+ 4)
a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2) 1− x3 = (1− x)(1− x+ x2)
Além disso, se n é um número natural, tem-se
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ . . .+ abn−2 + bn−1) = (a− b)
n∑
i=1
an−ibi−1
Em particular, para n = 5, tem-se que
a5 − b5 = (a− b)(a5−1 + a5−2b+ . . .+ ab5−2 + b5−1) = (a− b)
5∑
i=1
a5−ibi−1
ou ainda,
a6 − b6 = (a− b)(a5 + a4b+ a3b2 + a2b3 + ab4 + b5) = (a− b)
6∑
i=1
a6−ibi−1.
Por outro lado, se n é um número natural ímpar, tem-se
an + bn = (a+ b)(an−1 − an−2b+ . . .− abn−2 + bn−1) = (a− b)
n∑
i=1
an−i(−b)i−1
Em particular, para n = 5, tem-se que
a5 − b5 = (a− b)(a5−1 − a5−2b+ . . .− ab5−2 + b5−1) = (a− b)
5∑
i=1
a5−ibi−1
ou ainda,
a5 − b5 = (a− b)(a4 − a3b+ a2b2 − ab3 + b4) = (a− b)
5∑
i=1
a5−i(−b)i−1.
12
1.1.3 Módulo ou Valor Absoluto
Dado um número real x, denominamos de módulo ou valor absoluto de x ao
número
|x| =
 x, se x ≥ 0;−x, se x < 0.
Note que:
| − 1| = −(−1) = 1, pois −1 < 0;
|0| = 0, pois 0 ≥ 0;
|1| = 1, pois 1 ≥ 1.
A seguir, listaremos algumas propriedades de valor absoluto de um número real.
Elas serão úteis na resolução de exercícios.
ALGUMAS PROPRIEDADES
(p1) |x| ≥ 0, para todo x ∈ R;
(p2) |x|2 = x2, para todo x ∈ R;
(p3) |x| =
√
x2, para todo x ∈ R;
(p4) |x · y| = |x| · |y|, para todo x, y ∈ R;
(p5) |x| = a se, e somente se, x = −a ou x = a, para quaisquer x, a ∈ R, com
a ≥ 0;
(p6)
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y| , para todo x, y ∈ R;
(p7) |x| = |y| se, e somente se, x = ±y, para quais quer x, y ∈ R;
(p8) |x| ≤ a se, e somente se, −a ≤ x ≤ a, para quais quer x ∈ R e a ∈ R∗+;
(p9)|x| ≥ a se, e somente se, x ≥ a ou x ≥ −a, para quais quer x ∈ R e a ∈ R∗+;
(p10) (Desigualdade Triangular)|x+ y| ≤ |x|+ |y|, para quaisquer x, y ∈ R.
Exemplo 1.1 Determine o conjunto solução da equação |x2 − 5x+ 3| = 3.
Solução: Pela propriedade P7, a equação |x2 + 5x+ 3| = 3 é equivalente a
x2 − 5x+ 3 = 3 ou (1.1)
x2 − 5x+ 3 = −3 (1.2)
13
Usando a fórmula de Bhaskara para equação do segundo grau, obtemos que 0 e 5 são
soluções para equação (1.1), e 2 e 3 são soluções da equação 2. Com isto, o conjunto
solução da equação |x2 − 5x+ 3| = 3 é S = {0, 2, 3, 5}.
Exemplo 1.2 Determine o conjunto solução da inequação |x2 − 5x+ 3| ≤ 3.
Solução: Pela propriedade P8, a inequação |x2 − 5x+ 3| ≤ 3 é equivalente a
−3 ≤ x2 − 5x+ 3 ≤ 3.
Resolvendo esta inequação simultânea, encontramos como solução o conjunto S = {x ∈
R; 0 ≤ x ≤ 2 ou 3 ≤ x ≥ 5}.
Exemplo 1.3 Determine o conjunto solução da inequação |x2 − 5x+ 3| ≥ 3.
Solução: Aplicando a propriedade P9, concluímos que a inequação |x2 − 5x + 3| ≥ 3
é equivalente a
x2 − 5x+ 3 ≥ 3 ou x2 − 5x+ 3 ≤ −3.
De onde segue que o conjunto S = {x ∈ R; x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 5 } é solução da
inequação |x2 − 5x+ 3| ≥ 3.
Observação 1.1 Dados dois números reais a e b na reta real. A distância de a até b
é, por definição, |a− b|. Isto é:
|a− b| := é a distância de a até b
0a b
|a-b|{
Figura 1.1:
14
Caro aluno, com base na definição de distância entre dois números, Iremos, a
seguir, justificar matematicamente que a distância do número a até o número b é igual
a distância b até a. Preste atenção nas seguintes igualdades:
|a− b| = | − (−a+ b)| = | − 1 · (−a+ b)| = | − 1| · | − a+ b| = 1 · | − a+ b| = |b− a|.
Portanto,
|a− b| = |b− a|.
Com isto, você pode concluir que a distância de a até b é igual a distância de b até a.
Exemplo 1.4 Note que,
a) A distância entre os números -1 e 5, é 6, pois | − 1− 5| = | − 6| = 6
b) A distância entre os números 1
2
e -7 é 15
2
. Justifique!
c) A distância entre os números 0 e pi é pi. Justifique!
1.2 Funções
Nessa seção, você estudará os principais tipos de funções com os quais trabal-
haremos ao longo desse curso. Iniciaremos com algumas definições básicas. Então
vejamos:
Definição 1.1 Sejam A e B subconjuntos dos números reais. Denominamos de função
de A em B, a uma regra que faz corresponder a cada elemento do conjunto A um
"único"elemento do conjunto B. É usual representarmos uma função pela letra minús-
cula f . Se f é uma função de A em B e x ∈ A, denotamos por f(x) o elemento do
conjunto B que a função f faz corresponder ao elemento x.
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6, 7, 8}. Nos diagramas da
figura 1.10, note que f e j são funções de A em B. Porém g e h não são funções de A
em B, pois g associa o número 1 a dois valores distintos e h não associa o número 4 do
conjunto A a número algum do conjunto B.
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE FUNÇÕES
Se f é uma função de A em B, então o conjunto A é denominado de domínio de f
e é denotado por D(f), o conjunto B é denominado de contradomínio de f e é denotado
por CD(f). O conjunto de todos os elementos de B que estão em correspondência com
15
1
2
3
4
4
5
6
7
8
1
2
3
4
4
5
6
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1
2
3
4
4
5
6
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8
f
g
h j
Figura 1.2:
algum elemento do domínio, pela função f , é denominado de conjunto imagem de f e
é denotado por Im(f). Em símbolos, temos
Im(f) = {y ∈ B; y = f(x), para algum x ∈ A},
ou ainda
Im(f) = {y ∈ CD(f); y = f(x), para algum x ∈ D(f)}.
Na Figura 1.10, a função f tem como domínio o conjunto {1, 2, 3, 4}, já o con-
tradomínio é o conjunto {4, 5, 6, 7, 8} por sua vez o conjunto imagem de f é {5, 6, 7, 8}.
Assim, você escrever D(f) = {1, 2, 3, 4}, CD(f) = {4, 5, 6, 7, 8} e Im(f) = {5, 6, 7, 8}.
NOTAÇÕES:
1) Para indicarmos que uma função f , definida em um conjunto A e tomando
valores num conjunto B, associa a cada número x ∈ A um número f(x) ∈ B usamos a
notação
f : A −→ B
x 7−→ f(x).
16
1
2
3
4
4
5
6
7
8
f
A=D(f)
B=CD(f)
Im(f)
Figura 1.3:
Nos casos em que os conjuntos A e B são subentendido, é comum o uso da notação
x 7−→ f(x)
Exemplo 1.5 A seguir apresentaremos uma lista de funções que serão estudadas ao
longo deste curso. Pesquise um software que seja capaz de plotar gráfico de funções e
use o mesmo para plotar o gráfico das funções a seguir:
Produto Cartesiano
Sejam A e B subconjuntos dos números reais. Denominamos de produto carte-
siano de A e B ao conjunto de todos os pares ordenados (x, y) tais que x ∈ A e y ∈ B.
Denotamos o produto cartesiano de A e B por A×B. Em símbolos, temos:
A×B = {(x, y);x ∈ A ey ∈ B}.
Exemplo 1.6 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6, 7, 8}. Então
(1, 4) ∈ A×B, pois 1 ∈ A e 4 ∈ B, (1, 5) ∈ A×B, pois 1 ∈ A e 5 ∈ B;
(1, 6) ∈ A×B, pois 1 ∈ A e 6 ∈ B, (1, 7) ∈ A×B, pois 1 ∈ A e 7 ∈ B;
(1, 8) ∈ A×B, pois 1 ∈ A e 8 ∈ B, (2, 4) ∈ A×B, pois 2 ∈ A e 4 ∈ B;
(2, 5) ∈ A×B, pois 2 ∈ A e 5 ∈ B, (2, 6) ∈ A×B, pois 2 ∈ A e 6 ∈ B;
(2, 7) ∈ A×B, pois 2 ∈ A e 7 ∈ B, (2, 8) ∈ A×B, pois 2 ∈ A e 8 ∈ B;
(3, 4) ∈ A×B, pois 1 ∈ A e 4 ∈ B, (3, 5) ∈ A×B, pois 3 ∈ A e 5 ∈ B;
(3, 6) ∈ A×B, pois 3 ∈ A e 6 ∈ B, (3, 7) ∈ A×B, pois 3 ∈ A e 7 ∈ B;
(3, 8) ∈ A×B, pois 3 ∈ A e 8 ∈ B, (4, 4) ∈ A×B, pois 4 ∈ A e 4 ∈ B;
(4, 5) ∈ A×B, pois 4 ∈ A e 5 ∈ B, (4, 6) ∈ A×B, pois 4 ∈ A e 6 ∈ B;
(4, 7) ∈ A×B, pois 4 ∈ A e 7 ∈ B, (4, 8) ∈ A×B, pois 4 ∈ A e 8 ∈ B;
17
Portanto,
A×B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4),
(3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}.
Exemplo 1.7 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6, 7, 8}. Determine
B × A.
Gráfico de Funções
Sejam A e B subconjuntos dos números reais. Se f é uma função de A em B,
denominaremos de gráfico de f ao conjunto de todos os pares ordenados (x, y) ∈ A×B
tais que y = f(x). É comum denotarmos o gráfico de f pelo símbolo G(f). Assim,
temos:
G(f) = {(x, y) ∈ A×B; y = f(x)}.
Exemplo 1.8 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6, 7, 8}. Seja f :
A→ B a função definida pela equação f(x) = x+ 4. Determine G(f).
Solução: Sabemos que
G(f) = {(x, y) ∈ A×B; y = f(x)}.
Note que
f(1) = 1 + 4 = 5, f(2) = 2 + 4 = 6, f(3) = 3 + 4 = 7, f(4) = 4 + 4 = 8.
Daí, concluímos que
G(f) = {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8)}.
Representação do Gráfico no Plano Cartesiano
O plano cartesiano é um sistema composto por duas retas perpendiculares, uma
horizontal e outra vertical. Essas retas recebem o nome de eixos, o ponto de intersecção
é chamado de "origem do sistema". É comum representarmos o eixo horizontal pela
letra x e o eixo vertical pela letra y. Dados dois números reais a e b, representamos o
par ordenado (a, b) da seguinte forma:
O número a é chamado de abscissa do ponto (a, b), por outro lado, o número b é
denominado de ordenada do ponto (a, b).
Exemplo 1.9 Na figura a seguir, o gráfico da função f dada no Exemplo 1.8 está
representado pelas bolinhas na cor azul no plano cartesiano.
18
x
y
0 a
b
(a,b)
eixodasabscissas
ei
xo
d
a
s
o
rd
en
a
d
a
s
Figura 1.4: Plano Cartesiano
x
y
0 1
5
432
6
7
8
Figura 1.5:
OUTROS EXEMPLOS DE FUNÇÕES
1) Função Nula
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = 0.
2) Função Identidade
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = x.
3) Mais adiante você estudará as funções afim. A função f a seguir é um exemplo
de função afim.
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = 2x+ 1;
4) A função h a seguir é um caso particular de função quadrática que será estu-
dada com mais detalhes adiante.
h : R −→ R
x 7−→ h(x) = x2 − 5x+ 6.
19
5) Função Exponencial
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = ex.
6) Função Logaritmo Natural
f : R∗+ −→ R
x 7−→ f(x) = lnx.
7) Funções Trigonométricas. As funçõesdefinidas pelas equações
f(x) = sen x. f(x) = cos x f(x) = tg x
f(x) = cotg x f(x) = sec x f(x) = cosec x
constituem o grupo das funções trigonométricas que você irá estudar nesse curso.
8) Função Modular. Denominamos a função f definida pela equação
f(x) = |x|
de função modular.
y
x
f(x)=|x|
Figura 1.6: Gráfico da Função Modular
20
1.2.1 Função polinomial
Caro leitor, suponha que a e b são números reais arbitrários, com a 6= 0. Uma
função f , definida pela equação f(x) = ax+ b, é denominada de função polinomial
do 1o grau ou função afim. Por exemplo, a função
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = 5x+ 3
2
é uma função afim, neste caso perceba que a = 5 e b =
3
2
.
O gráfico de uma função Afim é uma reta que intersecta o eixo das ordenadas no
ponto (0,b) e o eixo das abscissas no ponto (− b
a
, 0). Observe os gráficos das funções f
e h definidas, respectivamente, pelas equações f(x) = x+ 1, 5 e h(x) = −x+ 1, 5:
1,5
y
x
f(x)=x+1,5
1,5
y
x
h(x)=-x+1,5
1,51,5
1,5
Figura 1.7:
Agora, suponha que a, b e c são números reais arbitrários, com a 6= 0. Uma função
g, definida pela equação g(x) = ax2 + bx + c, é denominada de função polinomial
do 2o grau ou função quadrática. Por exemplo, a função
g : R −→ R
x 7−→ g(x) = x2 − 5x+ 6
é uma função quadrática, neste caso observe que a = 1, b = −5 e c = 6.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola que intersecta o eixo das
ordenadas no ponto (0, c) e o eixo das abscissas nos pontos (x′, 0) e (x′′, 0), onde x′ e
x′′ são as possíveis soluções da equação f(x) = 0. Além disso, se a > 0 a concavidade
da parábola é voltada para cima, por outro lado, se a < 0 a concavidade da parábola
é voltada para baixo. A parábola possui um ponto chamado de vértice no Capítulo 4
21
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
c
c
c
xv
yv
x x
, ,
x
,
x
,,
x
v
yv
yv
yv
x
x
v
v
c
Figura 1.8:
justificaremos que quando a > 0 o vértice da parábola é o pondo v = (xv, yv), onde
xv = − b
a
e yv = −∆
4a
.
A seguir, estão representados os gráficos das funções h e f definidas, respectiva-
mente, pelas equações h(x) = x2 − 5x+ 6 e f(x) = −x2 + 4:
22
y
x
y
x
Figura 1.9:
Use um software adequado e plote os gráficos das funções f e g. Observe a
diferença entre os gráficos. Modifique o valores de a, b e c e observe o que acontece
com o comportamento dos gráficos (experimente valores negativos para a).
De modo geral, se n é um número natural e a0, a1, a2, . ., . an−2, an−1, an são
números reais, com an 6= 0, então a função p, definida pela equação
p(x) = anx
n + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0
é denominada de função polinomial de n-ésimo grau, ou função polinomial de
grau n. Por exemplo, a função h definida pela equação
h(x) = x15 − x2 + 7
é uma função polinomial de grau 15, neste caso observe que a15 = 1, a14 = a13 = a12 =
. . . = a3 = a1 = 0, a2 = −1 e a0 = 7.
1.2.2 Função exponencial
Antes de ser apresentado a definição de função exponencial, você poderá relembrar
algumas propriedades de potenciação logo a seguir:
23
Algumas Propriedades de Potência
Propriedade Exemplo
an · am = an+m 511 · 57 = 511+7 = 518
an
am
= an−m x
5
x3
= x5−3 = x2
(an)m = an·m (x2)5 = x2·5 = x10
(a · b)n = an · bn (2x)3 = 23 · x3 = 8x3
(a
b
)n = a
n
bn
( 3
x
)4 = 3
4
x4
= 81
x4
ax = ay ⇐⇒ x = y 2x = 25 ⇐⇒ x = 5
a
m
n = n
√
am x
2
3 =
3
√
x2
Suponha que a é um número real positivo e diferente de 1. A função
f : R −→ R∗+
x 7−→ f(x) = ax.
é denominada de função exponencial de base a.
y
x
1
y
x
1
a>1
0<a<1
Figura 1.10:
Observe que o contra-domínio da função exponencial é R∗+, por quê?
Exemplo 1.10 As funções f, g, h : R −→ R∗+, definidas pelas equações:
f(x) = 2x, g(x) = (0, 5)x, h(x) = ex.
são funções exponenciais.
Use um software adequado para plotar gráficos das funções exponenciais f, g e h,
perceba a diferença entre os gráficos dessas funções (Use a aproximação e ≈ 2, 718).
24
1.2.3 Função Logarítmica
Suponha que a é um número real estritamente positivo e diferente de um (isto é,
0 < a 6= 1). Se x > 0, denominamos de logaritmo de x na base a, e denotamos por
loga x, ao número M tal que x = aM , isto é
loga x = M ⇔ x = aM .
Exemplo 1.11 Note que
log2 16 = 4, pois 16 = 24;
log 100 = 2, pois 100 = 102;
log2
1
2
= −1, pois 1
2
= 2−1.
Observação 1.2 Segue imediatamente da definição de Logaritmos que:
(1) loga 1 = 0, pois 1 = a0 para todo a > 0;
(2) loga a = 1, pois a = a1 para todo a > 0;
(3) loga an = n, pois an = an para todo a > 0;
(4) loga x = loga y se, e somente se, x = y (justifique !);
(5) aloga x = x, pois se loga x = M , então x = aM = aloga x.
Quando a base do logaritmo é o número 10, então é comum omiti-la, isto é
log10 x = log x.
O logaritmo de x na base 10, é denominado de logaritmo decimal de x. Por outro
lado, quando a base do logaritmo de x é o número de Euler e, então escrevemos lnx
em lugar de loge x, isto é:
ln x = loge x.
Algumas Propriedades dos Logaritmos
Se x > 0, y > 0, 0 < a 6= 1, 0 < c 6= 1 e α, β ∈ R, então vale as seguintes propriedades:
Propriedades Exemplos
loga x+ loga y = loga(x · y) loga 2 + loga 12 = loga(2 · 12) = loga 1 = 0.
loga x− loga y = loga xy loga(a · b)− loga b = loga a·bb = loga a = 1.
loga x
α = α · loga x log2 2pi = pi · log2 2 = pi · 1 = pi.
logaβ x =
1
β
· loga x, β 6= 0 log2pi 2 = 1pi · log2 2 = 1pi · 1 = 1pi .
loga x =
logc x
logc a
Se log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, então log2 3 =
log 3
log 2
= 1, 6.
loga x =
1
logx a
Se logx a = 5, então loga x = 1logx a =
1
5
.
loga x · logc a = logc x loga 4 · log2 a = log2 4 = 2
25
A função
f : R∗+ −→ R
x 7−→ f(x) = loga x.
é denominada de função logaritmo de base a. Por que o domínio é o conjunto R∗+ e
o contradomínio é R?
1
y
x
Figura 1.11: Gráfico de f(x) = loga x com a > 1.
Exemplo 1.12 As funções f, g, h : R∗+ −→ R, definidas pelas equações:
f(x) = log2 x, g(x) = log0,5 x, h(x) = log x.
são funções logarítmicas de base 2, 0,5 e 10, respectivamente.
Use um software adequado para plotar gráficos das funções exponenciais f, g e h.
Qual a diferença entre o gráfico das funções f e g, e que relação existe entre a base de
uma função logarítmica e a forma do seu gráfico?
1.2.4 Função Par e Função Ímpar
Diz-se que uma função f é uma função par se, e somente se,
f(−x) = f(x), para todo x ∈ Df .
Por outro lado, se
f(−x) = −f(x), para todo x ∈ Df .
f é denominada de função ímpar.
26
Exemplo 1.13 Considere as funções f e g, definidas respectivamente, por f(x) = x2
e g(x) = x3. Verifique que f é uma função par e g é uma função ímpar.
Solução: Note que, dado x ∈ Df , tem-se que
f(−x) = (−x)2 = (−x).(−x) = x2 = f(x).
Ou seja, f(−x) = f(x) para todo x ∈ Df , portanto f é uma função par. Por outro
lado, se x ∈ Dg, tem-se que
g(−x) = (−x)3 = (−x).(−x).(−x) = −x3 = −g(x).
Como g(−x) = −g(x) para todo x ∈ Dg, concluímos que g é uma função ímpar.
Exemplo 1.14 Dê um exemplo de uma função que: (a) seja ao mesmo tempo par e
ímpar; (b) não seja nem par e nem ímpar.
Solução: (a) Considere a função nula f : R −→ R, definida por f(x) = 0. Então:
f(−x) = 0 = f(x), para todo x ∈ R;
f(−x) = 0 = −0 = −f(x), para todo x ∈ R.
Portanto, a função nula f é ao mesmo tempo par e ímpar. Agora, considere a função
g : R→ R definida pela equação g(x) = x+ 1. Note que,
g(−1) = −1 + 1 = 0 e g(1) = 1 + 1 = 2
Assim, g(−1) 6= g(1) e g(−1) = −g(1), portanto g não é uma função par e também
não é uma função ímpar.
1.2.5 Operações com funções
Sejam f e g duas funções definidassob o mesmo subconjunto dos números reais
(isto é, Df = Dg, ou seja o domínio de f é igual ao domínio de g). A parti das funções
f e g, você pode construir novas funções usando algumas operações que definiremos a
seguir:
27
1) SOMA: Definimos a função f + g : Df ∩Dg → R pelas equação
(f + g)(x) = f(x) + g(x);
2) SUBTRAÇÃO: Definimos a função f − g : Df ∩Dg → R pelas equação
(f − g)(x) = f(x)− g(x);
3) MULTIPLICAÇÃO: Definimos a função f · g : Df ∩Dg → R pelas equação
(f · g)(x) = f(x) · g(x);
4) DIVISÃO: Se a função g não se anula em ponto algum do seu domínio
(isto é, se g(x) 6= 0 para todo x ∈ Dg), então podemos definir a função quociente
f
g
: Df ∩Dg → R que associa a cada número x o seguinte número(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
·
5) COMPOSIÇÃO: Se a imagem da função g estiver contida no domínio da
função f , isto é Im(g) ⊂ Df , podemos definir uma função h usando a equação
h(x) = f(g(x)). (1.3)
A função h definida pela equação (1.3) é denominada de função composta das funções
f e g. E é usualmente denotada da seguinte forma: h = f ◦ g. Deste modo, tem-se que
(f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Exemplo 1.15 Sejam f e g funções definidas, respectivamente, pelas equações f(x) =
x2 + 1 e g(x) = x− 1. Determine (f ◦ g)(x).
Solução: Note que Im(g) = Df = R, deste modo a função composta de f com g está
bem definida. Assim,
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = (g(x))2 + 1 = (x− 1)2 + 1 = (x2 − 2x+ 1) + 1 = x2 − 2x+ 2.
Portanto, (f ◦ g)(x) = x2 − 2x+ 2.
28
x
f(x) g(f(x))=h(x)
f
g
h
Figura 1.12:
Exemplo 1.16 Considere as funções f : R \ {2} −→ R e g : R −→ R+ definidas,
respectivamente, por f(x) = 1
x−2 e g(x) = x
2. É possível definir a função composta
f ◦ g? Por que?
Solução: Não, porque você pode observar que a imagem da função g não está total-
mente contida no domínio da função f , visto que 2 ∈ Im(g), pois g(√2 = 2), porém
2 6∈ Df .
1.2.6 Função Inversa
Uma função f é denominada de função injetora (ou injetiva), se dados x, y ∈
R, com x 6= y, tivermos f(x) 6= f(y). Por outro lado, f é denominada de função
sobrejetora (ou sobrejetiva), se Im(f) = CD(f). Isto é, se para cada y ∈ CD(f)
existir pelo menos um elemento x ∈ D(f) tal que y = f(x). Quando uma função f é
ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, então f é denominada de função bijetora.
Exemplo 1.17 Mostre que a função f : R→ R, definida pela equação f(x) = 2x− 1
é injetora e sobrejetora. Conclua que f é uma função bijetora.
Solução: Sejam x, y ∈ R, tais que x 6= y, então segue que
2x 6= 2y,
29
subtraindo 1 em ambos os membros, obtém-se
2x− 1 6= 2y − 1,
o que é equivalente a
f(x) 6= f(y).
Portanto, f é injetora. Por outro lado, dado y ∈ R, considere x = y + 1
2
, e veja que
f(x) = 2 · x− 1 = 2 · y + 1
2
− 1 = y + 1− 1 = y.
Deste modo, para cada y ∈ CD(f), existe x ∈ D(f) (a saber, x = y + 1
2
), tal que
f(x) = y. Com isto, podemos concluir que f é sobrejetora.
Definição 1.2 Seja f : A → B uma função bijetora, dizemos que g : B → A é a
função inversa de f , se
(f ◦ g)(y) = y e (g ◦ f)(x) = x, ∀x ∈ A, e ∀ y ∈ B.
Denotamos g = f−1 para indicarmos que g é a função inversa de f .
Exemplo 1.18 Seja f : R→ R a função definida pela equação f(x) = 2x− 1. Deter-
mine a função inversa de f , isto é determine f−1.
Solução: Seja g a função inversa de f , então
(f ◦ g)(x) = x⇒ f(g(x)) = x⇒ 2g(x)− 1 = x⇒ g(x) = x+ 1
2
.
Portanto, a função inversa de f é a função g definida pela equação g(x) =
x+ 1
2
. Deno-
tando g = f−1, temos que a inversa de f é a função f−1 definida por
f−1(x) =
x+ 1
2
.
Exemplo 1.19 Seja 0 < a 6= 1. Considere as funções f(x) = loga x e g(x) = ax.
Mostre que g = f−1, isto é, as funções exponencial e logaritmo de x na base a são
funções inversas uma da outra.
Solução: Note que
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = loga g(x) = loga ax = x · loga a = x · 1 = x.
30
ou seja
(f ◦ g)(x) = x. (1.4)
Por outro lado,
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = af(x) = aloga x = x.
daí
(g ◦ f)(x) = x. (1.5)
Das igualdades (1.4) e (1.5), concluímos que as funções f e g são inversas uma da
outra, isto é g = f−1 ou f = g−1.
1.2.7 Funções Periódicas
Observe o gráfico da função a seguir:
x
y
0
1
2
-1 1 2 3 4 5 6-2-3
Figura 1.13:
note que esse gráfico se repete a cada período de uma unidade. As funções cujos
gráficos têm esse comportamento são denominadas de funções periódicas. A seguir
daremos uma definição mais rigorosa de funções periódicas.
Definição 1.3 Seja f , uma função e T um número real. Dizemos que f é uma função
periódica de período T , se
f(x+ T ) = f(x), ∀ x ∈ D(f).
31
x
y
0
-1
1
f(x)=senx
2
2
2
3
2
5 3
2
7
4
Figura 1.14:
Exemplos triviais de funções periódicas, são as funções constantes.
Exemplo 1.20 As funções trigonométricas senx e cosx, são funções periódicas de
período 2pi. Você conhece outras funções trigonométricas?
Veja o esboço do gráfico da função cosx
x
y
0
-1
1
f(x)=cosx
2
2
2
3
2
5
3
2
7 4
2
Figura 1.15:
32
Capítulo 2
Limites de Funções
Prezado estudante o desenvolvimento do cálculo está intrínseco ao conceito de
limites de funções reais. A partir deste conceito, é possível estabelecer formalmente os
conceitos de continuidade, derivada e integral de uma função. Por esta razão, achei
bem dedicar um capítulo deste livro ao estudo de limites de funções.
O aluno aplicado certamente não terá problemas em assimilar o conceito
de limites, visto que o mesmo está relacionado a várias situações do cotidiano. Este
conceito baseia-se em aproximações.
2.1 Conceito e Definição
Considere a seguinte situação: Uma bolinha de borracha é soltada de uma altura
de 1m (um metro). Quando a bolinha entra em contato com chão ela é impulsionada
para cima e atinge a altura máxima de 1
2
m e começa a cair novamente. Quando a
bolinha bate no chão pela segunda vez ela sobe até a altura máxima de 1
4
m voltando a
cair. Suponha que sempre que a bolinha depois de entrar em contato com o chão volta
a atingir a metade da altura máxima equivalente anterior. A tabela a seguir relaciona
33
34
o número de "pulos"da bolinha com a altura máxima que ela atingi.
Número de Pulos Altura Máxima (em metros)
0 1
1 1
2
= 0, 5
2 1
4
= 0, 25
3 1
8
= 0, 125
4 1
16
= 0, 0625
5 1
32
= 0, 03125
6 1
64
= 0, 015625
7 1
128
≈ 0, 007
8 1
256
≈ 0, 004
9 1
512
≈ 0, 002
10 1
1024
≈ 0, 001
...
...
(2.1)
Observe que a medida que a bolinha vai pulando, sua altura máxima vai se
aproximando cada vez mais de 0 (zero), porém a altura da bolinha nunca chega a ser
zero. Apesar da bolinha não atingir o estado de repouso (isto é, a bolinha não para
de pular), chega um instante em que a altura máxima está tão próximo de zero que a
nossa visão não consegue mais perceber que ela ainda está pulando. No entanto, o que
significa próximo para uma pessoa não necessariamente significa o mesmo para outra.
Portanto, tendo em vista que o conceito de aproximação é de fundamental importância
para o estudo de limite funções, estabeleceremos o seguinte: Suponha que a é um
número real, dizemos que x tende a a, se podemos supor x tão próximo de a quanto
desejarmos, porém com x 6= a. Usamos a notação "x → a" para indicarmos que "x
tende a a".
ax x
Por exemplo, se dissermos que x tende a 1 (x → 1) então podemos supor x
tão próximo de 1 quanto desejarmos, isto é, podemos supor x = 0, 9, x = 0, 99999,
x = 0, 9999999999, x = 0, 9999999999999999999. Também podemos supor x = 1, 1,
35
x = 1, 01, x = 1, 001, x = 1, 00001, x = 1, 000000001.
Agora, considere a função f , definida pela equação, f(x) =
x2 − 4
x− 2 . Observe que
f não está definida em x = 2, porém para x 6= 2 tem-seque:
x2 − 4
x− 2 =
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 = x+ 2.
Assim, o comportamento de f(x) =
x2 − 4
x− 2 é equivalente ao comportamento de x + 2
para todo x 6= 2. Veja o comportamento de f(x) no gráfico a seguir:
x
y
0 2
f
4
2
2x x
f(x)
f(x)
Figura 2.1:
Note que a medida que os valores de x vão se aproximando de 2, os valores de f(x) vão se
aproximando do número 4. Na linguagem de limites, expressamos esse comportamento
da função f dizendo que "o limite de f(x) quando x tende a 2 é igual a 4", e usamos
a notação.
lim
x→2
f(x) = 4.
A seguir daremos uma definição intuitiva do conceito de limite de uma função.
Embora intuitiva, essa definição é muito útil no cálculo de limites. Porém quando se
deseja demonstrar resultados abstratos faz-se necessário uma definição mais rigorosa,
tal definição será reservada para o final desse capítulo.
Definição 2.1 (definição informal de limites)
Seja f uma função. Dizemos que L é o limite de f(x) quando x → a, se f(x) se
aproxima de L quando x se aproxima de a com valores diferentes de a.
Na figura a seguir você pode ver uma interpretação geométrica dessa definição.
Observe que a medida que os valores de x ficam próximos de a os valores de f(x) ficam
próximos de L.
36
xx xx a
y
f(x)
L
f(x)
f(x)
Figura 2.2: Interpretação Geométrica da Definição Informal de Limite.
Exemplo 2.1 Considere a função f : R → R, definida pela equação f(x) = 2x. O
número 20 é o limite de f(x) quando x tende a 10. De fato, note que
x se aproximando de 10 f(x) = 2x
9,9 19,8
9,99 19,98
9,999 19,998
9,9999 19,9998
...
...
10,1 20,2
10,01 20,02
10,001 20,002
10,0001 20,0002
...
...
(2.2)
Analisando a tabela (2.2), você poderá deduzir que quanto mais x fica próximo de
10, mais próximo f(x) fica de 20. Outra forma de deduzir este resultado é através do
esboço do gráfico de f .
Exercício 2.2 Considere a função f : R → R, definida pela equação f(x) = 3x.
Investigue o limite de f(x) quando x tende a 10.
Notações
Em muitos casos ao invés de escrevermos a frase "o limite de f(x) quando x tende a a
é L", é comum usarmos uma das notações a seguir:
lim
x→a
f(x) = L (lê-se, o limite de f(x), quando x tende a a, é L);
f(x)→ L, quando x→ a (Lê-se, f(x) tende a L, quando x tende a a).
Observação 2.1 Ao investigarmos o limite de uma função "f"quando x tende a um
número "a", não estamos interessados em saber qual é o valor de f(a), o que realmente
37
interessa é a que valor f(x) se aproxima quando x→ a. Além disso, a função "f" não
precisa está definida em "a" para que exista o limite de f(x) quando x → a. Veja o
exemplo a seguir:
Exemplo 2.2 Usando a ideia intuitiva de limites, calcule
lim
x→0
x2 + 9x
x
.
Solução: Note que para x 6= 0, tem-se:
x2 + 9x
x
=
x(x+ 9)
x
= x+ 9.
Assim, quando x se aproxima de 0, porém com valores diferentes de 0,
x2 + 9x
x
= x+9
se aproxima de 9. Portanto,
lim
x→0
x2 + 9x
x
= 9.
Exercício 2.3 Usando a ideia intuitiva de limites, calcule
lim
x→0
x2 + 4x
x
.
Exemplo 2.3 Considere a função f , definida pela equação f(x) =
x− 3
x2 − 9 . Investigue
o limite de f(x) quando x→ 3.
Solução: Inicialmente, note que f não está definida em x = 3. No entanto,
tem-se que
x− 3
x2 − 9 =
x− 3
x2 − 32 =
x− 3
(x− 3)(x+ 3) =
1
(x+ 3)
, para todo x 6= 3,
de onde segue que,
f(x) =
1
x+ 3
, para todo x 6= 3.
Por outro lado, com cálculos simples, você poderá verificar que quanto mais x se aprox-
ima de 3 (com x 6= 3), tanto mais x+ 3 se aproxima de 6, e por conseguinte 1
x+ 3
se
aproxima de
1
6
. Portanto, concluímos que lim
x→3
f(x) =
1
6
.
Exercício 2.4 Considere a função f , definida pela equação f(x) =
x− 1
x2 − 1 . Investigue
o limite de f(x) quando x→ 1.
38
Exemplo 2.4 Usando a ideia intuitiva de limites calcule
lim
x→5
√
x−√5
x− 5 .
Solução: Observe que, se x 6= 5, então
√
x−√5
x− 5 =
√
x−√5
x− 5 ·
√
x+
√
5√
x+
√
5
=
x− 5
(x− 5)(√x+√5) =
1√
x+
√
5
.
Por outro lado, você pode observar que, quando x se aproxima de 5, porém com valores
diferentes de 5, 1√
x+
√
5
se aproxima de 1√
5+
√
5
. Portanto,
lim
x→5
√
x−√5
x− 5 =
1
2
√
5
.
Exercício 2.5 Usando a ideia intuitiva de limites calcule
lim
x→3
√
x−√3
x− 3 .
Exemplo 2.5 Considere a função f , definida por, f(x) = x2. Defina a função f ′ :
R→ R, pela equação
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
. (2.3)
Em seguida calcule f ′(0), f ′(−2) e f ′(2).
Solução: Note que,
f(x+ h)− f(x)
h
=
(x+ h)2 − x2
h
=
x2 + 2xh+ h2 − x2
h
=
2xh+ h2
h
= 2x+ h,
para todo h 6= 0. Com isto,
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(2x+ h) = 2x.
Logo, f ′(x) = 2x. Daí,
f ′(0) = 2.0 = 0
f ′(−2) = 2.(−2) = −4
f ′(2) = 2.2 = 4.
Exercício 2.6 Seja f a função definida pela equação f(x) = 3x2. Se f ′ é a função
definida no Exemplo 2.5, determine f ′(x). Dica: Siga o método utilizado na solução
do Exemplo 2.5.
39
2.2 Propriedades dos Limites
Prezado estudante, até aqui fizemos um forte apelo a nossa intuição para calcu-
larmos os limites das funções. Nesta seção, você estudará algumas propriedades que
facilitam bastante o cálculo de limites.
A primeira propriedade que estudaremos diz que o limite de uma função constante
é sempre a própria constante, não importa para qual número real x esteja tendendo.
Vejamos
1a Propriedade: O limite da constante é a própria constante:
lim
x→a
c = c
Exemplo 2.6 lim
x→0
3 = 3 lim
x→99
3 = 3 lim
x→pi
3 = 3
2a Propriedade: Limite da função identidade
lim
x→a
x = a
Exemplo 2.7 lim
x→0
x = 0 lim
x→99
x = 99 lim
x→pi
x = pi
3a Propriedade: O limite da soma é a soma dos limites
lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x)
Exemplo 2.8 lim
x→0
(x+3) = 0+3 = 3 lim
x→99
(x+3) = 99+3 = 102 lim
x→pi
(x+3) = pi+3.
4a Propriedade: O limite da diferença é a diferença dos limites
lim
x→a
[f(x)− g(x)] = lim
x→a
f(x)− lim
x→a
g(x)
Exemplo 2.9 lim
x→0
(x−3) = 0−3 = −3 lim
x→99
(x−3) = 99−3 = 96 lim
x→pi
(x−3) = pi−3.
5a Propriedade: Regra da Homogeneidade.
lim
x→a
[c · f(x)] = c · lim
x→a
f(x)
Exemplo 2.10 lim
x→2
3x = 3 · lim
x→2
x = 3 · 2 = 6.
6a Propriedade: O limite do produto é o produto dos limites
40
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x)
Exemplo 2.11 Calcule os limites a seguir:
(a) lim
x→0
(x− 3)(x+ 3) (b) lim
x→pi
(x− 3)(x+ 3).
Solução: (a) Aplicando a regra do produto obtemos
lim
x→0
(x− 3)(x+ 3) = lim
x→0
(x− 3) · lim
x→0
(x+ 3) = −3 · 3 = −9.
(b) Assim como no item (a) aplicaremos a regra do produto para calcular o limite em
questão. Vejamos:
lim
x→pi
(x− 3)(x+ 3) = lim
x→pi
(x− 3) · lim
x→pi
(x+ 3) = (pi − 3)(pi + 3) = pi2 − 32 = pi2 − 9.
7a Propriedade: O limite do quociente é o quociente dos limites
Se lim
x→a
g(x) 6= 0, então
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
Exemplo 2.12 Calcule os limites a seguir:
(a) lim
x→0
x− 3
x+ 3
(b) lim
x→pi
x− 3
x+ 3
.
Solução: (a) Como o limite do denominador é diferente de zero, isto é lim
x→0
(x + 3) =
3 6= 0, podemos aplicar a regra do quociente. Neste caso obtemos:
lim
x→0
x− 3
x+ 3
=
lim
x→0
(x− 3)
lim
x→0
(x+ 3)
=
−3
3
= −1.
(b) Assim como no item (a) aplicaremos a regra do quociente para calcular o limite em
questão. Observe:
lim
x→pi
x− 3
x+ 3
=
lim
x→pi
(x− 3)
lim
x→pi
(x+ 3)
=
pi − 3
pi + 3
.
Só foi possível aplicar a regra do quociente porque lim
x→pi
(x+3) = pi+3 6= 0.
8a Propriedade: Regra da potência
lim
x→a
[f(x)]n =
[lim
x→a
f(x)
]n
41
Exemplo 2.13 Calcule lim
x→0
(x− 3)6.
Solução: Aplicando a regra da potência, obtemos:
lim
x→0
(x− 3)6 =
[
lim
x→0
(x− 3)
]6
= (−3)6 = 729.
9a Propriedade: Regra da raiz n-ésima
lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x)
A grosso modo, podemos afirmar que o limite pode passar para dentro da raiz.
Exemplo 2.14 Calcule lim
x→0
6
√
x+ 3.
Solução: Aplicando a regra da raiz n-ésima (n = 6), obtemos:
lim
x→0
6
√
x+ 3 = 6
√
lim
x→0
(x− 3) = 6
√
3.
10a Propriedade: O limite do módulo é o módulo do limite
lim
x→a
|f(x)| =
∣∣∣lim
x→a
f(x)
∣∣∣
Exemplo 2.15 Calcule lim
x→0
|x− 3|.
Solução: Note que
lim
x→0
|x− 3| =
∣∣∣lim
x→0
(x− 3)
∣∣∣ = | − 3| = 3.
11a Propriedade: Se h é uma função tal que f(x) = h(x) para todo x 6= a,
então
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x)
Exemplo 2.16 Seja f a função definida pela equação f(x) =
x2 − 9
x− 3 . Calcule limx→3 f(x).
42
Solução: Note que não podemos aplicar a regar do quociente, pois quando x → 3 o
denominador x− 3→ 0. Por outro lado,
x2 − 9
x− 3 =
(x+ 3)(x− 3)
x− 3 = x+ 3,
para todo x 6= 3. Daí,
f(x) = x+ 3, ∀x 6= 3.
Assim, aplicando a 11a Propriedade, obtemos
lim
x→3
f(x) = lim
x→3
(x+ 3) = 3 + 3 = 6.
Utilizando as propriedades de limites podemos deduzir a proposição a seguir:
Proposição 2.1 Se p(x) é um polinômio e a ∈ R, então
lim
x→a
p(x) = p(a)
Exemplo 2.17 Determine
lim
x→2
(x5 − x4 + x2 + 1).
Solução: Segue da Proposição 2.1 que
lim
x→2
(x5 − x4 + x2 + 1) = 25 − 24 + 22 + 1 = 32− 16 + 4 + 1 = 21
Exercício 2.7 Determine
lim
x→2
(x3 + x2 − x+ 10).
Proposição 2.2 Sejam p(x) e q(x) polinômios e a ∈ R. Se q(a) 6= 0, então
lim
x→a
p(x)
q(x)
=
p(a)
q(a)
Exemplo 2.18 Determine
lim
x→1
x2 − x+ 6
x3 − x+ 1 .
43
Solução: Segue da Proposição 2.1 que
lim
x→1
(x2 − x+ 6) = 12 − 1 + 6 = 6, e
lim
x→1
(x3 − x+ 1) = 13 − 1 + 1 = 1.
Como o limite do denominador é diferente de zero, então pela Proposição 2.2 segue que
lim
x→1
x2 − x+ 6
x3 − x+ 1 =
12 − 1 + 6
13 − 1 + 1 = 6.
Exercício 2.8 Determine lim
x→−1
x2 − x+ 6
x3 − x+ 1 .
2.3 Limites Laterais
Se a é um número real, dizemos que x tende a a pela direita, e denotamos por
x → a+, se x > a e podemos supor x tão próximo de a quanto desejarmos (isto é, x
vai se aproximando de a com valores maiores do que a).
a x
Figura 2.3: x tende ao número a pela direita.
De modo análogo, dizemos que x tende a a pela esquerda, e denotamos por
x → a−, se x < a e podemos supor x tão próximo de a quanto desejarmos (isto é, x
vai se aproximando de a com valores menores do que a).
ax
Figura 2.4: x tende ao número a pela esquerda.
Definição 2.9 (Limites Laterais)
Seja I ⊂ R, f : I → R uma função e a ∈ I. Dizemos que um número L é o limite
lateral a esquerda de f em a, e denotamos por lim
x→a−
f(x) = L, se f(x) tende a L quando
x→ a−. Analogamente,dizemos que um número M é o limite lateral a direita de f em
a, e denotamos por lim
x→a+
f(x) = M , se f(x) tende a M quando x→ a+.
44
a
L
M
xx
f(x)
f(x)
y
x
Figura 2.5: Interpretação Geométrica dos Limites Laterais.
Exemplo 2.19 Seja f : R→ R, a função definida por:
f(x) =
{
x+ 1, se x < 1;
(x− 2)2, se x ≥ 1.
Determine lim
x→1−
f(x) e lim
x→1+
f(x).
x
y
1 2-1
1
2
Figura 2.6:
Solução: Note que, se x < 1, então f(x) = x+ 1, daí
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(x+ 1) = 1 + 1 = 2.
Por outro lado, se x > 1, então f(x) = (x− 2)2, de onde segue que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(x− 2)2 = (1− 2)2 = (−1)2 = 1.
Portanto, lim
x→1−
f(x) = 2 e lim
x→1+
f(x) = 1. Olhando para Figura 4.1, você pode perceber
que quando x vai se aproximando de 1 pela esquerda, os valores f(x) vão se aprox-
imando de 2. Assim como a medida que x vai se aproximando de 1 pela direita, os
valores f(x) vão se aproximando de 1.
45
Exercício 2.10 Seja f : R→ R, a função definida por:
f(x) =
{
2x− 3, se x < 2;
(x− 3)2, se x ≥ 2.
Determine lim
x→2−
f(x) e lim
x→2+
f(x).
Exemplo 2.20 Seja f : R→ R, a função definida por:
f(x) =

x2, se x < 1;
−1, se x = 1;
x+ 1, se x > 1.
Determine lim
x→1−
f(x) e lim
x→1+
f(x).
Solução: Note que, se x < 1 temos f(x) = x2. Além disso, quando x se aproxima de
1, com valores menores do que 1, x2 também se aproxima de 1. Assim
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 = 1.
Por outro lado, se x > 1 temos f(x) = x+1. Perceba que quando x se aproxima de 1,
com valores maiores do que 1, x+ 1 se aproxima de 2. Assim
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(x+ 1) = 2.
Observe que o valor f em x = 1 não interessa no cálculo do limite de f(x) quando
x→ 1, pois vimos que lim
x→1+
f(x) = 2, mas f(1) = −1.
Exercício 2.11 Seja f : R→ R, a função definida por:
f(x) =

x3, se x < 1;
10, se x = 1;
x− 1, se x > 1.
Determine lim
x→1−
f(x) e lim
x→1+
f(x).
Exemplo 2.21 Considere a função f : R→ R definida pela equação
f(x) =
|x|
x
.
Determine lim
x→1−
f(x) e lim
x→1+
f(x).
46
-1
1
x
y
Figura 2.7: Gráfico de f(x) =
|x|
x
.
Solução: Pela definição de módulo, se x < 0 tem-se que |x| = −x, daí
|x|
x
=
−x
x
= −1, para todo x < 0.
Com isto,
lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−1 = −1.
Portanto, lim
x→0−
f(x) = −1. Por outro lado, pela definição de módulo, se x > 0 então
|x| = x, de onde segue que
|x|
x
=
x
x
= 1, para todo x > 0.
Daí,
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+
1 = 1
Exemplo 2.22 Considere a função f : R→ R definida pela equação
f(x) =
|x− 2|
x− 2 .
Determine lim
x→2−
f(x) e lim
x→2+
f(x).
No teorema a seguir, I é um intervalo contido em R, a ∈ I, f : I → R é uma
função e L é um número real.
47
Teorema 2.1 (Existência de Limite)
(a) Se lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = L, então lim
x→a
f(x) existe e é igual a L;
(c) Se lim
x→a
f(x) = L, então lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = L;
(b) Se lim
x→a+
f(x) 6= lim
x→a−
f(x), então lim
x→a
f(x) não existe.
Exemplo 2.23 Seja f a função definida por
f(x) =
{
x2, se x ≥ 1
2x, se x < 1.
Calcule lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x). Com base nos limites laterais e no Teorema 2.1, o que
você pode afirmar a respeito de lim
x→1
f(x)?
Solução: Note que se x > 1, então f(x) = x2, daí
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 = 1.
Por outro lado, observe que se x < 1, então f(x) = 2x, com isto,
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
2x = 2.
Portanto, lim
x→1+
f(x) = 1 e lim
x→1−
f(x) = 2. Visto que os limites laterais de f em 1 são
diferentes, segue, do Teorema 2.1, que lim
x→1
f(x) não existe.
Exercício 2.12 Seja f a função definida por
f(x) =
{
x3, se x ≥ 3
3x, se x < 3.
Calcule lim
x→3+
f(x) e lim
x→3−
f(x). Com base nos limites laterais e no Teorema 2.1, o que
você pode afirmar a respeito de lim
x→1
f(x)?
Exemplo 2.24 Investigue a existência de lim
x→0
|x|
x
.
Solução: No exemplo 2.22, calculamos os limites laterais da função dada por f(x) =
|x|
x
, e chegamos a conclusão que
lim
x→0−
|x|
x
= −1 e lim
x→0+
|x|
x
= 1.
Assim, visto que os limites laterais de f em x = 0 são diferentes, então, pelo item (b)
do Teorema 2.1, lim
x→0
|x|
x
não existe.
48
Exercício 2.13 Investigue a existência de lim
x→2
|x− 2|
x− 2 .
2.4 Teorema do Confronto
A seguir enunciaremos um teorema muito útil para o cálculo de limites de funções.
Ele é chamado de Teorema do Confronto, mas também é conhecido como Teorema
do Sanduiche. Este teorema dirá que, se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x em uma
vizinhaça de um número real a e, além disso, o limite de g(x) é igual h(x)quando x
tende a a, então o limite de f(x) quando x tende a a também será o mesmo valor que
os limites de g(x) e h(x) quando x tende a a.
Teorema 2.2 (Teorema do Confronto)
Sejam f , g e h funções definidas em uma vizinhança de um número real a. Se a
desigualdade
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x),
é válida para todo x em uma vizinhança de a, exceto possivelmente para x = a e, além
disso,
lim
x→a
g(x) = lim
x→a
h(x) = L,
então
lim
x→a
f(x) = L.
a
L
x
y
Figura 2.8: Interpretação Geométrica do Teorema do Confronto
49
Exemplo 2.25 Seja f uma função tal que,
1− x2 ≤ f(x) ≤ 1 + x2, para todo x ∈ (−1, 1).
Determine lim
x→0
f(x).
x
y
1 f(x)
Figura 2.9: Comportamento estimado de f
Solução: Note que,
lim
x→0
(1− x2) = 1, e lim
x→0
(1 + x2) = 1.
Assim, aplicando o Teorema do Confronto (ver Teorema 2.2), você pode concluir que
lim
x→0
f(x) = 1.
Exercício 2.14 Seja f uma função tal que,
5− x3 ≤ f(x) ≤ 3 + x3, para todo x ∈ (1, 2).
Determine lim
x→1
f(x).
A seguir, aplicaremos o Teorema do Confronto (ver Teorema 2.2) para
demonstrar um resultado que afirma que se o limite de |f(x)| é zero quando x tende a
um número a, então o limite de f(x) também é zero quando x tende a a. Então vejamos.
Proposição 2.3 Se lim
x→0
|f(x)| = 0, então lim
x→0
f(x) = 0.
50
Demonstração. Note que
−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| para todo x ∈ Df . (2.4)
Por outro lado, como, por hipótese, lim
x→0
|f(x)| = 0, então
lim
x→0
−|f(x)| = lim
x→0
|f(x)| = 0. (2.5)
De (2.4) e (2.5), juntamente com o Teorema 2.2, concluímos que lim
x→0
f(x) = 0.
�
Definição 2.15 (Função Limitada)
Dizemos que uma função f é limitada em uma vizinhança de um número real a, se
existe um intervalo I ⊂ R com a ∈ I e um número real M > 0 tal que
|f(x)| ≤M, para todo x ∈ I.
Exemplo 2.26 As funções trigonométricas dadas por f(x) = sen x e h(x) = cosx,
são funções limitadas. Pois,
|sen x| ≤ 1 e | cos x| ≤ 1,
para todo x ∈ R.
Exemplo 2.27 A função f , definida por f(x) =
1
x
não é limitada em nenhuma viz-
inhaça de 0.
De fato, dados um intervalo I ∈ R, com 0 ∈ R, e um número real M > 0, se consid-
erarmos um número natural k, suficientemente grande, de modo que x =
1
M + k
∈ I,
obtemos
|f(x)| =
∣∣∣∣1x
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 11
M+k
∣∣∣∣∣ = M + k > M.
Com isto, f não é limitada em nenhuma vizinhança de 0.
Proposição 2.4 Suponha que f , g e h são funções definidas em uma vizinhaça de um
número real a. Suponha h é limitada e
f(x) = g(x) · h(x), para todo x em uma vizinhaça de a.
Se lim
x→a
g(x) = 0, então
lim
x→a
f(x) = 0.
51
Demonstração. Como, por hipótese, h é limitada, então existe M > 0 tal que
|h(x)| ≤M,
daí, tomando o valor absoluto em ambos os membros da igualdade f(x) = g(x).h(x),
segue que
|f(x)| = |g(x) · h(x)| ≤ |g(x)| ·M,
de onde obtemos
−|g(x)| ·M ≤ f(x) ≤ |g(x)| ·M. (2.6)
Por outro lado, como lim
x→a
g(x) = 0, então
lim
x→a
|g(x)| ·M = 0 e lim
x→a
−|g(x)| ·M = 0. (2.7)
As desigualdades em (2.6) e os limites em (2.7) juntamente com o Teorema 2.2, acar-
retam em lim
x→a
f(x) = 0.
�
Exemplo 2.28 Calcule
lim
x→0
x2 cos
(
1
x2
)
.
Solução: Note que,
lim
x→0
x2 = 0, e
∣∣∣∣cos( 1x2
)∣∣∣∣ ≤ 1 para todo x 6= 0.
Assim, segue da Proposição 2.4 que lim
x→0
x2 cos
(
1
x2
)
= 0.
Exercício 2.16 Calcule
lim
x→0
x3sen
(
1
x2
)
.
52
2.5 Limites Fundamentais
A proposição a seguir trata de um dos limites mais utilizados no cálculo. Na
demonstração dessa proposição utilizaremos o Teorema do Confronto (ver Teorema
2.2) e um leve apelo geométrico.
Proposição 2.5 (Limite Trigonométrico Fundamental)
lim
x→0
sen x
x
= 1 (2.8)
Exemplo 2.29 Calcule
lim
x→0
sen2x
x2
.
Solução: Note que
sen2x
x2
=
(sen x
x
)2
.
Assim,
lim
x→0
sen2x
x2
= lim
x→0
(sen x
x
)2
=
(
lim
x→0
sen x
x
)2
= 12 = 1.
Exercício 2.17 Calcule
lim
x→0
sen5x
x5
.
Exemplo 2.30 Mostre que
lim
h→0
cosh− 1
h
= 0 (2.9)
Solução: Note que
cosh− 1
h
=
(cosh− 1)(cosh+ 1)
h(cosh+ 1)
=
cos2 h− 1
h(cosh+ 1)
=
sen2h
h(cosh+ 1)
=
senh
(cosh+ 1)
· senh
h
.
Daí,
lim
h→0
cosh− 1
h
= lim
h→0
[
senh
cosh+ 1
· senh
h
]
=
0
1 + 1
· 1 = 0.
Exercício 2.18 Calcule
lim
x→0
1− cosx
x2
.
53
2.6 Limites no Infinito e Assíntotas Horizontais
Caro aluno, dizemos que x tende ao infinito (ou x tende a mais infinito), e
representamos por x → ∞ (ou x → +∞), se podemos supor x tão grande quanto
desejarmos.
Observação 2.2 Vale salientar que o símbolo ∞ não representa um número real, mas
apenas um comportamento da variável x. Deste modo, quando escrevemos x → +∞,
o símbolo +∞ é usado para descrever que você poderá atribuir à variável x valores tão
grandes quanto você desejar.
De modo análogo, dizemos que x tende a menos infinito, e representamos por x→ −∞,
se x é um número negativo e podemos supor |x| tão grande quanto desejarmos.
Definição 2.19 Dizemos que um número L é o limite de f(x) quando x tende ao
infinito (ou a mais infinito), e representamos por
lim
x→∞
f(x) = L,
se a medida que os valores atribuídos a x vão aumentando, os valores correspondentes
f(x) vão se aproximando do número L.
Exemplo 2.31
lim
x→∞
1
x
= 0
Solução: observe a tabela a seguir
x f(x) = 1
x
10 1
10
= 0, 1
100 1
100
= 0, 01
1000 1
1000
= 0, 001
10000 1
10000
= 0, 0001
...
...
100.000.000.000.000 1
100.000.000.000.000
= 0, 00000000000001
Note que a medida que os valores atribuídos a x vão aumentando, os valores f(x) =
1
x
ficam cada vez mais próximo de 0. Com base nesses dados,você pode concluir que
lim
x→∞
1
x
= 0.
54
Teorema 2.3 Se α é um número real maior do que zero e k 6= 0, então
lim
x→+∞
k
xα
= 0.
Exemplo 2.32 Calcule lim
x→+∞
5x− 1
1 + 7x
.
Solução: Observe que quando x → +∞, tanto o numerador quanto o denominador
da fração
5x− 1
1 + 7x
tendem para +∞. Por outro lado, como vimos na Observação 2.2, o
símbolo não é um número real, deste modo não podemos dividir +∞ por +∞. Assim,
você terá que encontrar outra alternativa para calcular o limite em questão, uma ideia
seria dividir ambos os membros da fração
5x− 1
1 + 7x
pela variável x. Então faremos isto:
5x− 1
1 + 7x
=
5x
x
− 1
x
1
x
+ 7x
x
=
5− 1
x
1
x
+ 7
.
Visto que, segundo exemplo 2.34, lim
x→+∞
1
x
= 0, segue que
lim
x→+∞
5x− 1
1 + 7x
= lim
x→+∞
5− 1
x
1
x
+ 7
=
5− 0
0− 7 =
5
7
.
Exercício 2.20 Calcule lim
x→+∞
x− 1
2x− 1 .
Exemplo 2.33 Determine lim
x→+∞
3x5 + 2x3 − 5x+ 6
1 + 7x2 − 3x4 + 2x5 .
Solução: Note que dividindo ambos os membros da fração
3x5 + 2x3 − 5x+ 6
1 + 7x2 − 3x4 + 2x5 por
x5, obtemos
3x5 + 2x3 − 5x+ 6
1 + 7x2 − 3x4 + 2x5 =
3x5
x5
+ 2x
3
x5
− 5x
x5
+ 6
x5
1
x5
+ 7x
2
x5
− 3x4
x5
+ 2x
5
x5
=
3 + 2
x2
− 5
x4
+ 6
x5
1
x5
+ 7
x3
− 3
x
+ 2
.
Com isto, segue, do Teorema 2.3, que
lim
x→+∞
3x5 + 2x3 − 5x+ 6
1 + 7x2 − 3x4 + 2x5 = limx→+∞
3 + 2
x2
− 5
x4
+ 6
x5
1
x5
+ 7
x3
− 3
x
+ 2
=
3 + 0− 0 + 0
0 + 0− 0 + 2 =
3
2
.
Exercício 2.21 Determine lim
x→+∞
7x4 + x2 + 3x+ 1
1 + 5x3 − 3x4 .
55
Definição 2.22 Dizemos que um número L é o limite de f(x) quando x tende a menos
infinito, e representamos por
lim
x→−∞
f(x) = L,
se a medida que os valores de |x| vão aumentando, com x < 0, os valores correspon-
dentes f(x) vão se aproximando do número L.
Exemplo 2.34
lim
x→−∞
1
x
= 0. Verifique!
Teorema 2.4 Se α é um número realmaior do que zero e k 6= 0, então
lim
x→−∞
k
xα
= 0.
Exemplo 2.35 Determine lim
x→−∞
x4 − x2 + 3x+ 1
7x3 − 3x4 .
Solução: Inicialmente, vamos dividir o numerador e o denominador da fração x4−x2+3x+1
7x3−3x4
por x4. Então vejamos:
x4 − x2 + 3x+ 1
7x3 − 3x4 =
x4
x4
− x2
x4
+ 3x
x4
+ 1
x4
7x3
x4
− 3x4
x4
=
1− 1
x2
+ 3
x3
+ 1
x4
7
x
− 3 .
Assim,
lim
x→−∞
x4 − x2 + 3x+ 1
7x3 − 3x4 = limx→−∞
1− 1
x2
+ 3
x3
+ 1
x4
7
x
− 3 =
1− 0 + 0 + 0
0− 3 = −
1
3
.
Exercício 2.23 Determine lim
x→−∞
9x2 − x+ 1
3x2 − 2x+ 5 .
Definição 2.24 (ASSÍNTOTA HORIZONTAL)
Se L = lim
x→+∞
f(x) ou L = lim
x→−∞
f(x), onde L é um número real, denominamos a reta
y = L de "assíntota horizontal"do gráfico de f .
56
x
y
0
L y=L
f
Figura 2.10: Assíntota horizontal
Exemplo 2.36 A reta y = 1 é uma assíntota horizontal do gráfico da função dada
pela equação f(x) =
1 + x
x
.
Solução: Veja que
lim
x→+∞
1 + x
x
= lim
x→+∞
(
1
x
+ 1
)
= 0 + 1 = 1.
Portanto, como lim
x→+∞
1 + x
x
= 1, então segue imediatamente da Definição que a reta
y = 1 é uma assíntota horizontal do gráfico da função dada por f(x) =
1 + x
x
.
Exercício 2.25 Determine a assíntota horizontal do gráfico da função dada por
f(x) =
3 + 2x
1− 5x.
Exemplo 2.37 Determine as assíntotas horizontais da função f definida pela equação
f(x) =
√
x2 + 1− x.
Solução: Multiplicando e dividindo
√
x2 + 1− x por √x2 + 1 + x, você obterá:
√
x2 + 1− x = (
√
x2 + 1− x).
√
x2 + 1 + x√
x2 + 1 + x
=
1√
x2 + 1 + x
=
1
x√
x2+1+x
x
=
1
x√
1 + 1
x2
+ 1
.
De onde segue que,
lim
x→+∞
(
√
x2 + 1− x) = lim
x→+∞
1
x√
1 + 1
x2
+ 1
=
0√
1 + 0 + 1
= 0.
De modo análogo, você pode verificar que lim
x→−∞
(
√
x2 + 1 − x) = 0. Assim, de acordo
com a Definição 2.24, a reta y = 0 é a única assíntota horizontal do gráfico de f .
57
2.7 Limites Infinitos e Assíntotas Verticais
Considere a função f , definida pela equação f(x) =
1
x2
. Note que f está definida
para todo número real diferente de zero. O que dizer a respeito do comportamento dos
valores f(x) quando x→ 0? Observe a tabela a seguir:
x negativo f(x) = 1
x2
x positivo f(x) = 1
x2
-1 1 1 1
-0,1 100 0,1 100
-0,01 10000 0,01 10000
-0,001 1 000 000 000 0,001 1 000 000 000
Note que a medida que os valores de x vão se aproximando de zero, os valores de f(x)
vão crescendo extraordinariamente. Para simbolizar esse comportamento de
1
x2
quando
x→ 0, usamos a notação:
lim
x→0
1
x2
=∞.
Agora, considere a função f , definida pela equação f(x) =
1
x− 2 . Observe que f
está definida para todo x 6= 2. Porém, o que podemos afirmar a respeito do comporta-
mento dos valores f(x) quando x→ 2? A fim de responder esta pergunta, analizaremos
o que acontece com os valores de f(x) quando x → 2− e x → 2+ a partir da tabela a
seguir:
x→ 2− f(x) = 1
x2
x→ 2+ f(x) = 1
x2
1,9 -10 2,1 10
1,99 -100 2,01 100
1,999 -1 000 2,001 1 000
1,9999 -1 0000 2,0001 1 0000
...
...
...
...
1,99999999 -1 00000000 2,00000001 1 00000000
...
...
...
...
Veja que quando x → 2−, então 1
x− 2 → −∞, assim como quando x → 2
+, tem-se
que
1
x− 2 → +∞. Representamos este comportamento da seguinte forma:
lim
x→2−
1
x− 2 = −∞ e limx→2+
1
x− 2 = +∞.
58
Definição 2.26 (ASSÍNTOTA VERTICAL)
Seja f uma função. A reta vertical x = a é denominada de uma assíntota vertical do
gráfico de f , se ocorrer um dos limites a seguir:
lim
x→a−
f(x) = −∞ ou lim
x→a−
f(x) = +∞
lim
x→a+
f(x) = −∞ ou lim
x→a+
f(x) = +∞.
x
y
0
x=a
f
a
Figura 2.11: Assíntota Vertical
Exemplo 2.38 Verifique que a reta x = 1 é uma assíntotas vertical do gráfico da
função dada por f(x) =
2x
1− x .
Solução: Dividindo, simultaneamente, o numerador e o denominador da fração
2x
1− x
por x, obtemos
2x
1− x =
2x
x
1
x
− x
x
=
2
1
x
− 1 .
Assim,
lim
x→1−
2x
1− x = limx→1−
2
1
x
− 1 .
Agora, note que se x está próximo de 1 e x < 1, então 1
x
− 1 > 0. Assim, quando
x→ 1− então 1
x
− 1→ 0+, daí
lim
x→1−
2
1
x
− 1 = +∞.
Portanto, como lim
x→1−
2x
1− x = limx→1−
2
1
x
− 1 , então limx→1−
2x
1− x =∞, de onde concluímos
que a reta x = 1 é uma assíntota vertical do gráfico de f .
59
2.8 Definição Formal de Limite
Caro aluno, nesta seção apresentaremos uma definição de limites mais rigorosa.
Para isto, utilizaremos as letras gregas epsilon (ε) e delta (δ). É comum o uso dessas
letras quando se deseja representar números reais positivos bem pequenos (tendendo a
zero).
Definição 2.27 (definição formal de limite)
Consideremos um intervalo I ⊂ R e um número real a ∈ I. Seja f uma função definida
em I\{a}. Diremos que L é o limite de f(x) quando x→ a, e denotamos lim
x→a
f(x) = L,
se dado ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que
0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε. (2.10)
Usando apenas símbolos, podemos expressar a definição formal de limites da seguinte
forma:
lim
x→a
f(x) = L⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ = δ(ε) > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε. (2.11)
Observação 2.3 Usamos o símbolo δ = δ(ε) > 0 para enfatizarmos que o número real
δ está vinculado ao número ε > 0 (isto é, δ depende do número ε dado). Quando não
houver perigo de confusão, escrevemos apenas δ ao invés de δ(ε).
Observação 2.4 Colocamos |x− a| > 0, para fazer ênfase que na análise do limite de
f(x) quando x → a, o valor de f(a) não interessa, pois estamos interessados apenas
nos valores de f(x) quando x está bem próximo de a.
Observação 2.5 (Interpretação Geométrica)
Note que
0 < |x− a| < δ ⇔ −δ < x− a < δ, e x 6= a
⇔ a− δ < x < a+ δ, e x 6= a.
⇔ x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}. (2.12)
Por outro lado,
|f(x)− L| < ε ⇔ −ε < f(x)− L < ε
⇔ L− ε < x < L+ ε,
⇔ f(x) ∈ (L− ε, L+ ε). (2.13)
60
Observando a implicação (2.11) e as equivalências (2.12) e (2.13), concluímos que a
implicação
0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε. (2.14)
é equivalente a dizer que
f(x) ∈ (L− ε, L+ ε), sempre que x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Com isto, tem-se a seguinte interpretaremos geometricamente para lim
x→a
f(x) = L:
a
L
x
y
f(x)
x
f(x)
Figura 2.12: Interpretação Geométrica da Definição de Limites
Exemplo 2.39 Considere a função f : R → R definida pela equação f(x) = 2x − 1.
Usando a Definição 2.27, mostre que o limite de f(x) quando x→ 2, é 3.
Solução: Inicialmente, note que
|f(x)− 3| = |(2x− 1)− 3| = |2x− 4|
= |2(x− 2)| = 2|x− 2|, para todo x ∈ R,
daí,
0 < |x− 2| < δ ⇒ |f(x)− 3| = 2|x− 2| < 2δ. para todo x ∈ R.
Deste modo, dado ε > 0, considerando δ =
ε
2
> 0, tem-se
0 < |x− 2| < δ ⇒ |f(x)− 3| < 2δ = ε. para todo x ∈ R
Portanto, tendo em vista a Definição 2.27, concluímos que lim
x→2
f(x) = 3.
61
Exercício 2.28 Considere a função f : R → R definida pela equação f(x) = 3x − 2.
Usando a Definição 2.27, mostre que o limite de f(x) quando x→ 1, é 1.
Lema 2.1 Se a ∈ R, então dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
δ2 + 2|a|δ = ε
2
.
Demonstração. Basta mostrarmos que a equação
x2 + 2|a|x− ε
2
= 0 (2.15)
possui solução real positiva. Para tanto, calculemos o discriminante
∆ = (2|a|)2 − 4.1.
(
−ε
2
)
= 4|a|2 + 2ε.
Desde que ∆ = 4|a|2+2ε > 0, usando a fórmula de Bháskara, concluímos que a equação
(2.15) possui duas raízes reais, a saber
x1 =
−2|a|+√4|a|2 + 2ε
2
e x2 =
−2|a| −√4|a|2 + 2ε
2
.
Note que, x2 é um número negativo. Por outro lado, como por hipótese ε > 0, tem-se√
4|a|2 + 2ε >
√
4|a|2 = 2|a|,
daí,
−2|a|+
√
4|a|2 + 2ε > 0.
Deste modo, concluímos que x1 é um número real positivo (isto é, x1 > 0). Portanto,
considerando δ = x′ >0, o lema está demonstrado.
�
Exercício 2.29 Seja f a função definida pela equação f(x) = x2. Mostre, usando a
definição formal de limites, que
lim
x→a
f(x) = f(a) para todo a ∈ R.
Solução: A princípio, note que
|f(x)− f(a)| = |x2 − a2| = |(x+ a)(x− a)|
= |x+ a| · |x− a| ≤ (|x|+ |a|)|x− a|. (2.16)
Por outro lado, usando a desigualdade triangular, deduzimos
|x| = |(x− a) + a| ≤ |x− a|+ |a|. (2.17)
62
As desigualdades, (2.16) e (2.17), acarretam em
|f(x)− f(a)| ≤ (|x− a|+ 2|a|)|x− a|. (2.18)
Assim, dado ε > 0, pelo Lema 2.1, existe δ > 0 tal que δ2 + 2|a|δ < ε, o que implica
em
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| ≤ (|x− a|+ 2|a|)|x− a|
< (δ + 2|a|) · δ = δ2 + 2|a|δ < ε.
Portanto, concluímos que lim
x→a
f(x) = f(a), como queríamos demonstrar.
Exercício 2.30 Considere as funções f, g : R → R definidas, respectivamente, pelas
equações f(x) = x e g(x) = k, onde k é uma constante real. Se a é um número real,
então usando a definição formal de limites, demonstre que
lim
x→a
f(x) = a e lim
x→a
g(x) = k.
Solução: Inicialmente, provemos que lim
x→a
f(x) = f(a). Com efeito, observe que
|f(x)− a| = |x− a|, para todo x ∈ R.
Deste modo, dado ε > 0, considerando δ = ε > 0, segue que
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− a| = |x− a| < δ = ε.
Com isto, segue da Definição 2.27 que lim
x→a
f(x) = a. Agora, demonstraremos que
lim
x→a
g(x) = k. De fato, note que
|g(x)− k| = |k − k| = 0, para todo x ∈ R.
Assim, dado ε > 0, considerando qualquer número δ > 0, tem-se
0 < |x− a| < δ ⇒ |g(x)− k| = 0 < ε.
Portanto, mediante a Definição 2.27, concluímos que lim
x→a
g(x) = k.
Teorema 2.5 (Unicidade do Limite)
Consideremos um intervalo I ⊂ R e um número real a ∈ I. Seja f uma função definida
em I\{a}. Se L e M são limites de f(x) quando x→ a, então L = M . (este resultado
garante que f(x) não pode convergir para dois limites distintos).
63
Demonstração. Suponha, por absurdo, que L 6= M . Assim, pela Definição2.27,
considerando ε =
|L−M |
2
> 0, existem δL > 0 e δM > 0 tais que
0 < |x− a| < δL ⇒ |f(x)− L| < |L−M |
2
, e
0 < |x− a| < δM ⇒ |f(x)−M | < |L−M |
2
.
Agora, considerando δ = min{δL, δM} > 0, obtemos
0 < |x− a| < δ ⇒ |L−M | = |L− f(x) + f(x)−M | ≤ |L− f(x)|+ |f(x)−M |
<
|L−M |
2
+
|L−M |
2
= |L−M |,
de onde segue que |L−M | < |L−M |, o que é um absurdo. Portanto, concluímos que
L = M , como queríamos demonstrar.
�
64
Capítulo 3
Derivadas de Funções Reais a uma
Variável Real
Caro aluno, neste Capítulo você estudará uma ferramenta poderosa para definir
precisamente conceitos abstratos como os conceito de velocidade e aceleração instan-
tânea de uma partícula em movimento. Além disso, através dessa ferramenta, veremos
como solucionar o problema de definir precisamente a reta tangente a uma curva em
um ponto arbitrário. Essa ferramenta é conhecida como a "derivada"de uma função.
3.1 Conceitos e definições
Suponha que I é um intervalo contido em R e que a é um número real pertencente
a I. Seja f : I → R uma função. Note que o ponto (a, f(a)) pertence ao gráfico
de f , além disso, se x é outro ponto do intervalo I, então o ponto (x, f(x)) também
pertence ao gráfico de f . Observe que a reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x))
intersecta o gráfico de f em pelo menos dois pontos, essa reta é denominada de reta
secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) e para nosso estudo
será denotada por ra,x.
65
66
a
f(a)
x
f(x)
x
y
Figura 3.1: Reta secante ao gráfico de f .
Note que o coeficiente angular1 da reta secante ra,x, que representaremos por
ma,x, é dado pelo quociente
ma,x =
f(x)− f(a)
x− a . (3.1)
Seria razoável definir a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), como
sendo a reta que passa pelo ponto (a, f(a)), cujo coeficiente angular, ma, é obtido
através dos coeficientes angulares ma,x fazendo x tender ao número a. Mais precisa-
mente, temos a seguinte definição:
xa
f(a)
f(x)
x
y
Definição 3.1 Denominamos de reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), a
reta que passa por (a, f(a)) e tem coeficiente angular ma dado por
ma = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
1O Coeficiente Angular de uma reta é dado pela tangente do ângulo entre esta reta e o eixo
horizontal.
67
cuja equação é dada por
y − f(a) = ma(x− a).
xa
f(a)
y
Exemplo 3.1 Seja f a função dada pela equação f(x) = x2. Determine a equação da
reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f(1)).
Solução: Note que,
lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = limx→1(x+ 1) = 2.
Com isto, segue da Definição 3.1, que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
de f em x = 1 é m1 = 2. Ainda pela Definição 3.1, a equação da reta tangente ao
gráfico de f no ponto (1, f(1)) é dada por
y − f(1) = m1(x− 1),
que é equivalente a
y − 1 = 2(x− 1), ou ainda y = 2x− 1.
Exercício 3.2 Seja f a função dada pela equação f(x) = 3x2. Determine a equação
da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, f(2)).
Observação 3.1 Caro aluno, observe que a existência do coeficiente angular ma está
vinculada a existência do limite lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a , portanto, caso este limite não exista,
ou não seja finito, dizemos que não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto
(a, f(a)).
68
x
y
f(x)=|x|
0
Exemplo 3.2 Seja f a função modular dada por f(x) = |x|. Existe reta tangente ao
gráfico de f no ponto (0, f(0))?
Solução: Note que
f(x)− f(0)
x− 0 =
|x| − |0|
x− 0 =
|x|
x
.
Porém, como vimos no exemplo 2.22, não existe o limite
lim
x→0
|x|
x
.
Portanto, segue da observação 3.1 que não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto
(0, f(0)).
Exercício 3.3 Seja f a função modular dada por f(x) = |x− 1|. Existe reta tangente
ao gráfico de f no ponto (1, f(1))?
Na definição a seguir, suponha que f : I → R é uma função, onde I é um intervalo
contido em R, e a é um número real pertencente a I.
Definição 3.4 (Derivada de f em a)
Dizemos que f é derivável em a, se o limite
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
existe e é finito. No caso afirmativo, denominamos o limite de derivada de f em a, e
denotamos por f ′(a), isto é
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a . (3.2)
Exemplo 3.3 Seja f : R→ R a função definida por f(x) = 2x− 1. f é derivável em
3? Se f é derivável em 3, quem é f ′(3)?
69
Solução: Note que f(3) = 2.3− 1 = 5. Com isto,
f(x)− f(3)
x− 3 =
(2x− 1)− 5
x− 3 =
2x− 6
x− 3 =
2(x− 3)
x− 3 = 2, ∀ x 6= 3.
Daí, segue que
lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3 = limx→3 2 = 2.
Portanto, segue da Definição 3.4 que f é derivável em 3, e que f ′(3) = 2.
Exercício 3.5 Seja f : R→ R a função definida por f(x) = 3x− 1. f é derivável em
5? Se f é derivável em 5, quem é f ′(5)?
Exemplo 3.4 Seja f : R → R a função definida por f(x) = x2. Mostre que f é
derivável em qualquer número a ∈ R e determine f ′(a).
a
f(a)
x
y
Solução: Observe que,
f(x)− f(a)
x− a =
x2 − a2
x− a =
(x− a)(x+ a)
(x− a) = x+ a ∀x 6= a
Daí,
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→a(x+ a) = a+ a = 2a.
Portanto, segue da Definição 3.4 que f é derivável em a e, além disso, f ′(a) = 2a.
Exercício 3.6 Seja f : R → R a função definida por f(x) = 5x2. Mostre que f é
derivável em qualquer número a ∈ R e que f ′(a) = 10a.
70
Exemplo 3.5 Seja f : (0,+∞) → R, a função definida por f(x) = √x. Mostre que
f é derivável em todo número a > 0, e que f ′(a) =
1
2
√
a
.
Solução: Dado um número real a > 0, temos
f(x)− f(a)
x− a =
√
x−√a
x− a =
(
√
x−√a).(√x+√a)
(x− a)(√x+√a)
=
x− a
(x− a)(√x+√a) =
1√
x+
√
a
para todo 0 < x 6= a.
Deste modo, passando ao limite, obtemos
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→a
1√
x+
√
a=
1√
a+
√
a
=
1
2
√
a
.
Portanto, f é derivável em a, para todo a > 0 e, além disso, f ′(a) =
1
2
√
a
.
Observação 3.2 Se você considerar h = x− a, então x = a+ h. De onde segue que
x→ a⇔ h→ 0.
Com isto, na definição de f ′(a) podemos reescrever o limite, dado na igualdade (3.2),
da seguinte forma
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
. (3.3)
Exemplo 3.6 Seja f : R → R a função dada por f(x) = sen x. Mostre que f é
derivável em todo número a ∈ R e, além disso,
f ′(a) = cos a.
Solução: Usando a fórmula sen(a+ h) = sen a cosh+ senh cos a, obtemos
f(a+ h)− f(a)
h
=
sen(a+ h)− sen a
h
=
sen a cosh+ senh cos a− sen a
h
=
sen a(cosh− 1) + senh cos a
h
=
cosh− 1
h
sen a+
senh
h
cos a,
ou seja,
f(a+ h)− f(a)
h
=
cosh− 1
h
sen a+
senh
h
cos a. (3.4)
Por outro lado, pela Proposição 2.8 e pelo exemplo 2.9, temos que
71
lim
h→0
sen h
h
= 1 e lim
h→0
cosh− 1
h
= 0 (3.5)
Usando as igualdades (3.4) e (3.5), você obterá
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
[
cosh− 1
h
sen a+
senh
h
cos a
]
= 0 · sena+ 1 · cos a = cos a.
Portando, pela igualdade 3.3 da observação 3.2, concluímos que f é derivável em a e,
além disso, f ′(a) = cos a.
3.1.1 Retas Tangentes e Retas Normais a Gráficos de Funções
Caro aluno, note que segundo a Definição 3.1, o coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico de uma função f no ponto (a, f(a)) é
ma = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
Assim, o coeficiente angular ma é a derivada de f em a, isto é
ma = f
′(a).
Com isto, podemos substituir ma por f ′(a) na equação da reta tangente dada na
definição 3.1. De onde segue que
y − f(a) = f ′(a)(x− a) (3.6)
é a equação da reta tangente ao gráfico de função f no ponto (a, f(a)).
Observação 3.3 A equação (3.6) só faz sentido se a função f for derivável em a, pois
caso contrário o coeficiente angular f ′(a) não estará definido.
Exemplo 3.7 Seja f : R→ R a função dada por f(x) = sen x. Determine a equação
reta tangente ao gráfico de f no ponto (pi
4
, f(pi
4
)).
Solução: Note que, pelo Exemplo 3.6, temos que
f ′
(pi
4
)
= cos(
pi
4
) =
√
2
2
.
72
Temos ainda que, f(pi
4
) = senpi
4
=
√
2
2
. Por outro lado, pela igualdade (3.6), a equação
da reta tangente ao gráfico de f no ponto (pi
4
, f(pi
4
)) é dada por
y − f
(pi
4
)
= f ′
(pi
4
)(
x− pi
4
)
,
que é equivalente a
y −
√
2
2
=
√
2
2
(
x− pi
4
)
.
Exercício 3.7 Seja f : R → R a função dada por f(x) = x2. Determine a equação
da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3, f(3)).
Da geometria analítica elementar, temos que se uma reta r que passa por
um ponto P (x0, y0) tem coeficiente angular mr, então a reta s normal a r que passa
pelo ponto P (x0, y0) tem coeficiente angular ms = − 1
mr
. Deste modo, visto que o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto (a, f(a)) é
f ′(a), então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é
− 1
f ′(a)
. Com isto, a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é
dada por
y − f(a) = − 1
f ′(a)
(x− a). (3.7)
Observação 3.4 A equação dada em (3.7) só faz sentido se f ′(a) 6= 0. Perceba que,
se f ′(a) = 0 então a reta normal reduz-se a equação x = a.
Exemplo 3.8 Seja f : R→ R a função dada por f(x) = sen x. Determine a equação
da reta reta normal ao gráfico de f nos pontos (pi
4
, f(pi
4
)) e (pi
2
, f(pi
2
)).
Solução: Como você pode ver no Exemplo 3.6, temos que
f ′(a) = cos a
daí, f ′(
pi
4
) = cos
pi
4
=
√
2
2
. Assim, usando a igualdade dada em (3.7) a equação da reta
reta normal ao gráfico de f no ponto (pi
4
, f(pi
4
)) é
y −
√
2
2
= − 1√
2
2
(x− a), ou equivalentemente y = −
√
2(x− a) +
√
2
2
73
Por outro lado,
f ′
(pi
2
)
= cos
pi
2
= 0
assim, pela Observação 3.4, a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (pi
2
, f(pi
2
))
é
x =
pi
2
.
Exercício 3.8 Seja f a função dada por f(x) =
√
x. Determine a equação da reta
normal ao gráfico de f no ponto (1, f(1)).
3.1.2 Propriedades das Derivadas
No que segue, considere f e g funções deriváveis. Assim, vale as seguintes propriedades:
(P1) Regra da Cosntante
d
dx
K = 0,
para todo K ∈ R;
A propriedade (P1) diz que a derivada de qualquer constante K, em relação a
variável x, é zero.
Exemplo 3.9
d
dx
5 = 0,
d
dx
2
3
= 0,
d
dx
√
2 = 0,
d
dx
pi = 0,
d
dx
epi = 0.
Exercício 3.9
d
dx
10 =?
d
dx
1
5
=?
d
dx
√
3 =?
d
dx
1000pi =?
d
dx
e
√
2 =?
(P2) Regra da Potência
d
dx
xn = n · xn−1
em particular, fazendo n = 1, obtemos
d
dx
x = 1.
Exemplo 3.10 Da propriedade (P2), segue imediatamente que
d
dx
x3 = 3x3−1 = 3x2
74
d
dx
x7 = 7x7−1 = 7x6
d
dx
xpi = pixpi−1
d
dx
x
1
2 =
1
2
x
1
2
−1 =
1
2
x−
1
2 =
1
2
· 1
x
1
2
=
1
2x
1
2
, visto que
√
x = x
1
2 , segue que
d
dx
√
x =
1
2
√
x
.
Exercício 3.10 Usando a propriedade (P2), determine as derivadas a seguir
d
dx
x5 =?
d
dx
x1000 =?
d
dx
x
√
2 =?
d
dx
x
1
3 =?
(P3) Regra da Soma
d
dx
[f(x) + g(x)] = d
dx
f(x) + d
dx
g(x)
Exemplo 3.11 Se h(x) = x2+5, então aplicando a regra da soma para derivação você
obterá
d
dx
h(x) =
d
dx
(x2 + 5) =
d
dx
x2 +
d
dx
5 = 2x2−1 + 0 = 2x.
Exercício 3.11 Determine a derivada da função dada por f(x) = x5 + x
1
2 .
(P4) Regra da Diferença
d
dx
[f(x)− g(x)] = d
dx
f(x)− d
dx
g(x)
Exemplo 3.12 Se f(x) = x3−x2, então aplicando a regra da diferença para derivação,
você obterá
f ′(x) =
d
dx
(x3 − x2) = d
dx
x3 − d
dx
x2 = 3x2 − 2x.
Exercício 3.12 Determine a derivada da função dada por f(x) = x10 − x3.
(P5) Regra do Produto
d
dx
[f(x) · g(x)] = g(x) · d
dx
f(x) + f(x) · d
dx
g(x)
75
Exemplo 3.13 Se f(x) = (x9 − 1
2
)( 5
11
+ x12), então
f ′(x) =
d
dx
[(
x9 − 1
2
)(
5
11
+ x12
)]
=
(
5
11
+ x12
)
d
dx
(
x9 − 1
2
)
+
(
x9 − 1
2
)
d
dx
(
5
11
+ x12
)
=
(
5
11
+ x12
)
(9x8 − 0) +
(
x9 − 1
2
)
(0 + 12x11)
=
(
5
11
+ x12
)
9x8 +
(
x9 − 1
2
)
12x11
=
45x8
11
+ 9x20 + 12x20 − 6x11
= 21x20 − 6x11 + 45x
8
11
.
Exercício 3.13 Determine a derivada da função dada por f(x) = (x5 − 1
3
)(3
2
+ x11).
(P6) Regra da Quociente
d
dx
(
f(x)
g(x)
)
=
g(x)· d
dx
f(x)+f(x)· d
dx
g(x)
[g(x)]2
Exemplo 3.14 Se f(x) =
3
x5
, então
f ′(x) =
d
dx
(
3
x5
)
=
x5 · d
dx
3− 3 · d
dx
x5
(x5)2
=
x5 · 0− 3 · 5x4
x10
= −15x
4
x10
= −15
x6
.
Exercício 3.14 Determine a derivada da função dada por f(x) =
x2 − 1
x3
.
3.1.3 Derivada de Funções Trigonométricas
Nessa seção você irá aprender como calcular as derivadas das funções trigonométri-
cas. Usaremos a definição de derivada para demonstrar regras que simplificarão o
cálculo de tais derivadas. Faremos isto na proposição a seguir:
Proposição 3.1 (Regras para Derivação de Funções Trigonométricas)
Valem as seguintes regras de derivação para para funções trigonométricas
76
d
dx
sen x = cos x d
dx
cosx = −sen x
d
dx
tg x = sec2 x d
dx
cotg x = −cosec2x
d
dx
sec x = sec x · tg x d
dx
cosec x = −cosec x · cotg x
Exemplo 3.15 Seja f(x) = sen x+ cosx. Determine f ′(x).
Solução:
f ′(x) =
d
dx
(sen x+ cosx) =
d
dx
sen x+
d
dx
cos x = cos x− sen x.
Portanto, f ′(x) = cosx− sen x.