av2 estruturas algebricas

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1)
Considerando as características da estrutura de grupos, principalmente as propriedades que a definem, analise as seguintes definições:
Primeira definição: Um grupo é um conjunto S não vazio, a partir do qual está definida uma operação binária *, fechada em relação a S, e que satisfaz as propriedades apresentadas no que segue:
I. x*e = e*x = x para todo x pertencente a S e todo e pertencente a S;
II. Para quaisquer x e y pertencentes a S temos x*y = y*x.
III. Existem x e x-1 pertencentes a S tais que x*(x-1) = e;
Segunda definição: Um grupo é um conjunto C não vazio, a partir do qual está definida uma operação binária *, fechada em relação a C, e que satisfaz as seguintes propriedades:
I. Para quaisquer x, y e z pertencentes a C temos x*(y*z) = (x*y)*z.
II. Existe e pertencente a C tal que x*e = e*x = x para todo x pertencente a C;
III. Para cada x pertencente a C existe x-1 pertencente a C tal que x*(x-1) = (x-1)*x = e;
Terceira definição: Um grupo é um conjunto B não vazio, a partir do qual está definida uma operação binária *, fechada em relação a B, e que satisfaz as propriedades seguintes:
I. Existe x pertencente a B tal que x*e = e*x = x para todo e pertencente a B;
II. Existem x, y e z pertencentes a B tais que x*(y*z) = x*y*(x*z).
III. Para qualquer x pertencente a B existe y pertencente a B tal que x*y = y*x = e;
Considerando as informações que compõem as três definições apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas a primeira definição está coerente com a estrutura de grupo.
b)
Apenas a segunda definição está coerente com a estrutura de grupo.
Alternativa assinalada
c)
Apenas a terceira definição está coerente com a estrutura de grupo.
d)
Apenas a primeira e a segunda definição estão coerentes com a estrutura de grupo.
e)
Apenas a segunda e a terceira definição estão coerentes com a estrutura de grupo.
2)
Com base nas características dos anéis e das estruturas associadas, analise as afirmações apresentadas a seguir:
I. Considere o conjunto composto por todos os números inteiros múltiplos de dois (2Z), com as operações usuais de adição e multiplicação derivadas do conjunto dos números inteiros. A estrutura (2Z, +, . ) não pode ser classificada como um anel.
II. Considere o conjunto das matrizes quadradas de ordem dois com entradas reais (M2(R)), em conjunto com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de matrizes. A estrutura (M2(R), +, . ) pode ser classificada como um anel comutativo com unidade.
III. Considere o conjunto dos números racionais (Q) com as operações usuais de adição e multiplicação. A estrutura (Q, +, .) pode ser classificada como um domínio de integridade.
Em relação as afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas a afirmação II está correta.
b)
Apenas a afirmação III está correta.
Alternativa assinalada
c)
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
d)
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
e)
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
3)
Considerando as principais propriedades que caracterizam os grupos e os grupos abelianos, analise as afirmações apresentadas a seguir, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) O conjunto das matrizes quadradas de ordem três com entradas reais, considerando a operação usual de multiplicação de matrizes, pode ser classificado como um grupo abeliano.
(  ) O conjunto composto por todos os números naturais maiores ou iguais a 1 com a operação usual de adição pode ser classificado como um grupo.
(  ) O conjunto dos números inteiros, com a operação usual de adição, pode ser caracterizado como um grupo abeliano.
(  ) O conjunto dos pares ordenados (x,y) do plano (R2 = R x R), com a operação usual de adição definida por (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d), com a, b, c e d números reais, pode ser classificado como um grupo.
Considerando as informações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
V – V – F – F.
b)
V – V – F – V.
c)
V – F – V – F.
d)
F – F – V – V.
Alternativa assinalada
e)
F – F – F – V.
4)
Sejam os seguintes procedimentos, utilizados durante a resolução de um problema:
Na resolução deste problema foram utilizadas algumas propriedades das operações de adição e multiplicação. Em relação a esse tema, analise as seguintes afirmações:
I. Os procedimentos apresentados podem ser realizados se estivermos considerando um conjunto X que corresponda a um grupo abeliano, considerando a operação de adição, não sendo necessário que X seja um grupo com a operação de multiplicação.
II. Os procedimentos apresentados podem ser realizados se estivermos considerando um conjunto X que corresponda a um anel, considerando as operações de adição e multiplicação, e também se X for um grupo com a operação de multiplicação.
III. Os procedimentos apresentados podem ser realizados se estivermos considerando um conjunto X que corresponda a um grupo não abeliano, considerando a operação de adição, não sendo necessário que X seja um grupo com a operação de multiplicação.
IV. Os procedimentos apresentados podem ser realizados se estivermos considerando um conjunto X que corresponda a um anel, considerando as operações de adição e multiplicação, não sendo necessário que X seja um grupo com a operação de adição.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas a afirmação II está correta.
Alternativa assinalada
b)
Apenas a afirmação IV está correta.
c)
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
d)
Apenas as afirmações I, II e IV estão corretas.
e)
Apenas as afirmações II, III e IV estão corretas.
5)
Um dos principais objetivos do estudo das estruturas algébricas é compreender a estrutura de determinados conjuntos e as propriedades associadas às operações definidas sobre seus elementos.
Na Educação Básica, os produtos notáveis correspondem a um dos conteúdos de Álgebra abordados, os quais podem auxiliar na compreensão das operações algébricas, monômios, polinômios, entre outros. No estudo deste conteúdo, vários temas associados às estruturas algébricas são essenciais.
Com base nas operações usuais de adição, subtração e multiplicação definidas sobre o conjunto dos números reais, avalie o procedimento apresentado a seguir:
Assinale a alternativa que indica corretamente quais propriedades foram empregadas nas expressões 1, 2 e 3 que compõem o procedimento apresentado:
Alternativas:
a)
1 – Comutatividade; 2 – Existência de elemento simétrico em relação à subtração; 3 – Distributividade.
b)
1 – Comutatividade; 2 – Associatividade; 3 – Existência de elemento neutro em relação à multiplicação.
c)
1 – Existência de elemento neutro em relação à multiplicação; 2 – Comutatividade; 3 – Associatividade.
d)
1 – Distributividade; 2 – Associatividade; 3 – Existência de elemento simétrico em relação à adição.
Alternativa assinalada
e)
1 – Distributividade; 2 – Comutatividade; 3 – Associatividade.