Unidade I

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Responsável pelo Conteúdo: 
Profª. Ms. Adriana D. Freitas 
Profª. Drª. Jussara Maria Marins 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Operações entre Conjuntos 
 Teoria dos Conjuntos 
 Considerações Iniciais 
 Conjuntos 
A Teoria de Conjuntos e uma disciplina fundamental em toda a Matemática, 
Lógica e em Ciência da Computação. Mas não ficamos restritos a esses 
campos. Podemos dizer, sem sombra de dúvidas, que em todas as áreas do 
conhecimento humano aplicamos os conceitos de Teoria dos Conjuntos. 
Junto com as noções mais intuitivas e sedimentadas já conhecidas, você vai 
adquirir uma nova linguagem simbólica para descrever os mais diversos 
fatos, tanto matemáticos como de outros do dia a dia. A seguir, você 
aprenderá a expressar-se de forma mais objetiva, pois a linguagem 
matemática é muito rica, apesar de ser tão sintética. Lidar e operar com 
conjuntos é a grande atração dessa unidade. 
 Importância da Teoria dos Conjuntos 
 Intervalos Reais 
 Propriedades das Operações entre Conjuntos 
Atenção 
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar 
as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma. 
 
3 Teoria dos Conjuntos
1 Conjuntos
Esta unidade tratara´ de alguns conceitos ba´sicos de Teoria dos Conjuntos que podem
ser usados futuramente para Linguagens de Programac¸a˜o assim como Linguagens Formais,
Compiladores e de Teoria de Computac¸a˜o.
2 Considerac¸o˜es Iniciais
A Teoria de Conjuntos teve sua formalizac¸a˜o inicial com a publicac¸a˜o em 1874 de um traba-
lho de Georg Cantor (russo) que tratava sobre a comparac¸a˜o de colec¸o˜es infinitas. E´ claro
que se falava e usava a noc¸a˜o de conjuntos ha´ mais tempo. Quando bem mais tarde, pela
simplicidade das noc¸o˜es ba´sicas iniciais, passou-se a ensinar estes conceitos na escola prima´ria
esta Teoria passou a ser associada com a Matema´tica Moderna, termo que atualmente esta´
em desuso.
Vamos iniciar com os conceitos ba´sicos da Teoria dos Conjuntos por ser uma maneira mais
clara de fazermos as primeiras colocac¸o˜es e ao mesmo tempo que introduzimos a notac¸a˜o
ba´sica que permeara´ todo o trabalho, embora ela na˜o seja exaurida neste cap´ıtulo.
A notac¸a˜o de Teoria dos Conjuntos assim como em Lo´gica ou Computac¸a˜o possui nuances
(variac¸o˜es), apesar da relativa estabilidade das duas primeiras a´reas e por isso faremos esta
compilac¸a˜o, no sentido comum da palavra. A formalidade que sera´ usada esta´ diretamente
ligada ao conteu´do e adequada a`s finalidades do presente trabalho.
3 Teoria dos Conjuntos
Conjuntos e elementos sa˜o conceitos ba´sicos e embora sejam descritos de diversas maneiras
informais e possuem certos limites para evitarmos certos paradoxos como o de Russell 1.
Um conjunto, assim como os demais conceitos de Lo´gica e Matema´tica sa˜o abstrac¸o˜es, e
o conjunto e´ uma delas para expressar uma delimitac¸a˜o de objetos ou elementos. Um
conjunto pode ser uma colec¸a˜o de objetos, se na˜o andarmos em c´ırculos para dizer o que e´
uma colec¸a˜o.
Os conceitos ba´sicos ou noc¸o˜es primitivas sa˜o descritos, explicados, exemplificados en-
fim, entendidos mas na˜o sa˜o definidos formalmente, pois do contra´rio cair´ıamos em c´ırculos
viciosos.
Os conjuntos podem ter como elementos quaisquer objetos inclusive outros conjuntos. A
notac¸a˜o ba´sica para indicar um conjunto e´ um par de chaves ‘{’, ‘}’ indicadas, respectivamente,
para iniciar e terminar a delimitac¸a˜o dos seus elementos. Temos o conjunto das treˆs primeiras
letras do alfabeto latino: {a, b, c} ou ainda {A, B,C}, mas certamente o conjunto das letras
{α, β, γ} na˜o e´ o conjunto da letras latinas.
O conjunto dos d´ıgitos do sistema de numerac¸a˜o hexadecimal e´
1Considere-se o conjunto M como sendo “o conjunto de todos os conjuntos que na˜o se conteˆm a si pro´prios
como membros”. Formalmente temos um paradoxo: A e´ elemento de M se e so´ se A na˜o e´ elemento de A.
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Unidade: Conjuntos
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,C,D, E, F} ou {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f }, o conjunto
da base decimal e´ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, da base octal e´ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, da base bina´ria
e´ {0, 1} e finalmente da base una´ria e´ {0}.
O conjunto dos campi da Unicsul e´ {Sa˜o Miguel, Ana´lia Franco, Liberdade, Pinheiros}.
Relac¸a˜o de Pertineˆncia e´ a relac¸a˜o ba´sica entre um elemento e um conjunto. E´
indicada por uma variac¸a˜o da quinta letra do alfabeto grego: ∈ ou � (e´psilon). A negac¸a˜o
desta relac¸a˜o e´ indicada por <, e normalmente a barra sobre um s´ımbolo indicara´ a negac¸a˜o
deste s´ımbolo.
Como a matema´tica utiliza relac¸o˜es abstratas, sempre trataremos com representac¸o˜es ou
s´ımbolos. Por exemplo, a letra ‘a’ e´ um s´ımbolo para a primeira letra do alfabeto latino, o
s´ımbolo da primeira letra letra do alfabeto grego de nome alfa e´ α. Na realidade estamos
tratando de s´ımbolos gra´ficos para letras. Temos s´ımbolos sonoros. Na escala musical, re-
presentada pelo pentagrama temos que na clave de sol o s´ımbolo na segunda linha, de baixo
para cima, representa a nota sol. Uma palavra pode representar um objeto. A palavra ‘gata’
pode ser associada a Nala, o mamı´fero da ordem dos fel´ıneos que e´ a gata de minha filha.
Existe uma frase que diz sobre a diferenc¸a entre representac¸a˜o e a coisa representada. “ A
palavra ca˜o na˜o morde”.
Com conjuntos sempre estamos lidando com representac¸o˜es que com o tempo ficara˜o mais
gravadas na nossa memo´ria.
Exemplo 3.1. Conjuntos
O conjunto das treˆs u´ltimas letras minu´sculas do alfabeto latino e´ dado por ‘v,x,z’. O
conjunto dos nu´meros de um CEP e´ ‘0,1,2,4’ quando o CEP e´ 04121-040. Para deixar clara a
ide´ia de conjunto usamos as chaves e o nome do conjunto e´ indicado por uma letra maiu´scula,
em geral, latina. Deste modo a representac¸a˜o dos conjuntos citados e´:
A = {v, x, z}, B = {0, 1, 2, 4}
q
Os nomes, tanto dos elementos, como dos conjuntos sa˜o arbitra´rios, como quaisquer no-
mes, Alguns deles sa˜o muito usados e tornam-se especiais, como os s´ımbolos de Traˆnsito, de
propaganda, etc.
Exemplo 3.2. Os conjuntos nume´ricos mais usados em Matema´tica sa˜o:
N,Z,Q,R,C
q
O conjunto dos nu´meros naturais ou inteiros positivos e o zero e´ o conjunto ba´sico.
Outros sa˜o formados a partir dele.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}
Neste conjunto esta´ intrinsicamente firmada a noc¸a˜o de ordem, isto e´, 0 e´ menor que
qualquer nu´mero natural, 1 < 2, 2 < 3, 4 < 5, . . . , 45 < 67, etc.
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3 Teoria dos Conjuntos
Quando acrescentamos os nu´meros negativos temos o conjuntos dos inteiros:
Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}
Outros subconjuntos relacionados:
(∀x ∈ Z−)[x < 0]
(∀x ∈ Z+)[x > 0]
A relac¸a˜o de ordem e´ intuitivamente a mesma dos naturais, um nu´mero x e´ menor que
outro y se o primeiro vem antes do segundo. Como dizer formalmente que x ‘vem antes de’
y?
Podemos fazer isso, usando a definic¸a˜o de adic¸a˜o, 2 com a seguinte fo´rmula:
(∀x ∈ Z)[x < y⇔ (∃k ∈ Z+)|y = x + k]
Para formar o conceito de frac¸a˜o ou parte de algo inteiro, temos o conceito de nu´mero
racional, que vem de raza˜o ou divisa˜o. Os povos ingleses tem muita familiaridade com o uso
de frac¸o˜es, pois suas medidas ainda usam o sistema histo´rico a partir das medidas dos reis,
como a polegada. No´s ainda usamos raras vezes para dizer a bitola de parafusos, com o de3/4, isto e´ 3/4 de polegada. O conjunto de todas as frac¸o˜es pode ser descrito sinteticamente
como:
Q =
{a
b
|a ∈ Z, b ∈ Z, b , 0
}
Todos os conjuntos acima sa˜o infinitos, enumera´veis e equivalentes, isto e´ possuem o
mesmo nu´mero de elementos. Veremos mais detalhes depois.
Existem nu´meros como
√
2,
√
5, pi, e etc. que na˜o sa˜o racionais, isto e´, na˜o podemos
coloca´-los numa forma fraciona´ria. Eles possuem infinitos d´ıgitos e na˜o formam per´ıodos.
Os seguintes nu´meros possuem infinitos d´ıgitos, mas podem ser postos numa forma
fraciona´ria ou racional pois formam per´ıodos de repetic¸a˜o.
0.3333333 . . . =
1
3
, 0.44444444 . . . =
4
9
; 0.142857142857 . . . =
1
7
0.34135135135 . . . =
34135 − 34
99900
=
34101
99900
Pore´m os nu´meros irracionais na˜o podem ser postos na forma fraciona´ria.
O conjuntos de todos os nu´meros racionais e irracionais formam o conjunto dos nu´meros
reais:
R.
O conjunto dos complexos surgem quando precisamos expressar nu´meros que correspon-
dem a`s ra´ızes quadradas de nu´meros negativos.
2que sera´ vista mais tarde.
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Unidade: Conjuntos
C = {a + bi |a ∈ R, b ∈ R i = √−1}
Existem va´rios modos de indicar conjuntos, o primeiro e´ explicando quem sa˜o os seus
elementos, pela citac¸a˜o de cada um dos seus elementos e o segundo e´ pela citac¸a˜o de uma
propriedade comum a todos seus elementos. Podemos ter tambe´m o modo pela representac¸a˜o
por Diagramas.
Exemplo 3.3. Conjuntos: extensa˜o e compreensa˜o.
Consideremos que A e´ o conjunto dos nu´meros naturais pares entre 2 e 12, inclusive; B e´
o conjunto dos nu´meros naturais entre 4 e 13. Assim:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13},
onde os conjuntos esta˜o indicados por extensa˜o e a seguir eles sa˜o representados por compre-
ensa˜o.
A = {x ∈ N|2 ≤ x ≤ 12 e x e´ par}
B = {x ∈ N|4 ≤ x ≤ 13}
q
A relac¸a˜o ba´sica (portanto na˜o tem definic¸a˜o) que expressa a ligac¸a˜o entre elemento e
conjunto e´ a pertineˆncia.
Exemplo 3.4. Exemplos de Conjuntos e Pertineˆncia.
A = {x ∈ N|2 ≤ x ≤ 12 e x e´ par}; B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e
D = {4, {5, 6}, 3, {5}, 5}
2 ∈ A, 5 < A, 4 ∈ B, 2 < B
Observe que o conjunto D possui nu´meros e conjuntos. Podemos ter conjuntos de conjuntos.
O conjunto D possui 4 elementos, sendo que dois deles sa˜o nu´meros e outros conjuntos; seus
elementos sa˜o os nu´meros 4 e 3 e os conjuntos {5, 6} e {5}.
4 ∈ D, {5, 6} ∈ D, {4} < D, , 5 ∈ D e {5} ∈ D 6 < D.
Observemos que A = C, A , B e A , D.
q
A condic¸a˜o “x e´ par” e´ dita um predicado dado pelo verbo ser e o predicativo par ou
uma sentenc¸a que associa uma propriedade: par ao elemento x. As relac¸o˜es nume´ricas da
aritme´tica costumam ser usadas para indicar muitos dos predicados. As noc¸o˜es ba´sicas ou
conceitos primitivos que ja´ usamos foi conjunto, elemento e relac¸a˜o de pertineˆncia.
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3 Teoria dos Conjuntos
Muitos dos conceitos que voceˆ estudara´ aqui ja´ foram visto no ensino me´dio, pore´m
agora faremos, quando poss´ıvel e adequado uma formalizac¸a˜o maior com o objetivo de lhe
proporcionar uma maturidade cient´ıfica que sera´ necessa´ria ao longo do curso.
Os axiomas fazem parte desta formalizac¸a˜o! Um axioma, postulado ou dogma (sa˜o
sinoˆnimos) e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira que na˜o pode ser provada, pois ela e´ evidente ou
aceita como tal e serve de base para provar as demais afirmac¸o˜es como os teoremas que
devem ser provados. Do contra´rio tambe´m cair´ıamos em c´ırculos viciosos.
A questa˜o da evideˆncia em Matema´tica, F´ısica ou outra cieˆncia pode ser considerada por
alguns, como de natureza diferente da Religia˜o, ou Psicologia, por exemplo. Mas isto e´ um
assunto controverso.
3.1 Axiomas de Teoria de Conjuntos
Sa˜o as afirmac¸o˜es relativas a conjuntos que sa˜o consideradas para que possamos provar outras
afirmac¸o˜es que constituem a Teoria dos Conjuntos. Todas elas parecem o´bvias, o que e´ o
caracter principal de um axioma. Eles na˜o precisam ser provados, ao passo que os teoremas
e propriedades precisam ser provados na Matema´tica e na˜o apenas exemplificados.
Axioma 1: Extensa˜o ou Igualdade
Dois conjuntos sa˜o iguais se e somente se teˆm os mesmos elementos.
?
Embora seja intuitiva a noc¸a˜o de igualdade requer os mesmos cuidados que temos ao
construirmos conjuntos, para evitar ambiguidades ou paradoxos, como os de Russel. Alguns
livros colocam isto como uma definic¸a˜o mas e´ um axioma.
Exemplo 3.5. Conjuntos Iguais ou Diferentes
Considere os conjuntos:
A = {4, 6, 8}, B = {1, 3, 5},C = {x ∈ N|1 ≤ x ≤ 5 e x e´ ı´mpar} ou C = {5, 1, 3}
A , C, A , B, B = C
q
Num conjunto, na˜o importa a ordem ou a maneira que aparecem os seus elementos.
Axioma 2: Especificac¸a˜o
A todo conjunto A e a toda condic¸a˜o S (x) corresponde um conjunto B cujos elementos
sa˜o exatamente aqueles elementos x de A para os quais S (x) vale.
?
Este axioma permite criar conjuntos de outros conjuntos ou subconjuntos. Logo, podemos
escrever:
B = {x ∈ A|S (x)}
Exemplo 3.6. Especificac¸a˜o de Conjuntos
Considere os seguintes conjuntos:
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Unidade: Conjuntos
1. O conjunto dos nu´meros primos entre 6 e 20.
{x ∈ N|6 < x < 20 x e´ primo} = {11, 13, 17, 19}
2. O conjunto dos nu´meros perfeitos menores que 500.
{x ∈ N|x < 500 x e´ perfeito} = {6, 28, 496}
3. O conjunto das ra´ızes da equac¸a˜o x2 − 8x + 15 = 0.
{x ∈ R|x2 − 8x + 15 = 0} = {3, 5} q
q
Outra considerac¸a˜o que fazemos e´ a respeito do conjunto vazio. Intuitivamente, como
um conjunto e´ uma abstrac¸a˜o de coisas (abstratas ou na˜o), podemos ter conjuntos com um,
dois ou mais elementos. Quando o conjunto na˜o tem elementos ele e´ dito vazio. Mas como
especificar este conjunto? Uma maneira e´ dizer{x ∈ A|x , x}, ou qualquer outra especificac¸a˜o
que resulte numa impossibilidade. Vamos indica´-lo por ∅.
∅ = {x ∈ A|x , x}
Uma aplicac¸a˜o da relac¸a˜o de inclusa˜o e´ que o conjunto vazio e´ subconjunto de qualquer
conjunto.
(∀X)[∅ ⊂ X]
Para provar este fato, fazemos uso da Prova por Absurdo, que no caso de se provar
alguma a` respeito do conjunto vazio recebe o nome de prova por vacuidade. No caso, supomos
que ∅ 1 X. Logo todos elementos x tal que x ∈ ∅ e que x < X. Ora como ∅ na˜o tem elementos,
isto e´ um absurdo. Isto termina a prova, que e´ usualmente indicada nos livros de matema´tica
como q.e.d.3
Resta saber se:
(1) Ha´ conjuntos suficientes para garantir que todo conjunto e´ elemento de algum con-
junto?
(2) Dados dois conjuntos quaisquer existe um terceiro a qual ambos pertencem? E se
tivermos mais conjuntos? O seguinte axioma nos da´ um resposta para o item 2, na primeira
parte.
Axioma 3: Axioma do Par
Para dois conjuntos quaisquer existe um conjunto ao qual ambos pertencem.
?
Logo podemos escrever que se a e b sa˜o conjuntos e se A e´ um conjunto ao qual ambos
pertencem, enta˜o pelo axioma da especificac¸a˜o temos:
{x ∈ A|x = a ou x = b}
3quod erat demonstrandum, em latim
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3 Teoria dos Conjuntos
•
Pelo axioma da extensa˜o, so´ pode haver um conjunto com esta propriedade e da´ı a notac¸a˜o
usual para este conjunto e´
{a, b}
Se a e´ um conjunto, podemos formar um par com ele mesmo e da´ı temos um par na˜o
ordenado {a, a} que e´ indicado por so´ por { {a} } que e´ obviamente unita´rio. Um conjunto
com um elemento que e´ um outro conjunto. Analogamente temos ∅ , {∅}. Agora podemos
considerar a existeˆncia de muitos conjuntos diferentes, assim formados por exemplo:
∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, {{{{∅}}}} . . .
Tambe´m podemos formar os pares deles quaisquer.
Definic¸a˜o 3.1. Cardinalidade de Conjuntos
O nu´mero de elementos de um conjuntoA e´ a sua cardinalidade e e´ indicado por #A ou
n(A) ou ainda |A|.
•
Exemplo 3.7. Cardinalidade ou nu´mero de elementos de um conjunto
Considere os seguintes conjuntos do exemplo anterior:
1. O conjunto dos nu´meros primos entre 6 e 20.
#{11, 13, 17, 19} = 4
2. O conjunto dos nu´meros perfeitos menores que 500.
#{6, 28, 496} = 3
3. O conjunto das ra´ızes da equac¸a˜o x2 − 8x + 15 = 0.
#{3, 5} = 2
4. #∅ = 0 #{∅} = 1, #{∅, {∅}} = 2
5. #N = #Z = #Q = ∞
q
Se o conjunto tem um so´ elemento ele e´ chamado de unita´rio, se tem dois elementos e´
bina´rio, etc.
Se um conjunto e´ a refereˆncia para a formac¸a˜o dos demais ele e´ o conjunto Universo.
Axioma 4: Reunia˜o
Para toda colec¸a˜o de conjuntos,digamos C existe um conjunto U que conte´m todos os
elementos que pertencem a, pelo menos um conjunto da dada colec¸a˜o.
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Unidade: Conjuntos
?
Este axioma na˜o possui uma interpretac¸a˜o simples e e´ preciso construir esta unia˜o, diga-
mos, passo a` passo.
{x ∈ U |(∃X ∈ C) e x ∈ X}
Existe um subconjunto no Universo e existe uma colec¸a˜o C de x que forma o subconjunto
ou conjunto X.
U = {x|(∃X ∈ C) e x ∈ X}
Para deixar mais claro o fato de que temos uma reunia˜o de elementos em algum conjunto,
temos: ⋃
{X|X ∈ C)} ou
⋃
X∈CX
Para indicar que um conjunto A tambe´m e´ uma reunia˜o temos:⋃
{X|X ∈ {A}} =not A
Usaremos =not para indicar que o lado esquerdo e´ igual por notac¸a˜o ao lado direito. Para
fazer a reunia˜o ou simplesmente unia˜o de um par de conjuntos A e B temos:⋃
{X|X ∈ {A, B}} =not A ∪ B
Finalmente, podemos definir Unia˜o de conjuntos, uma vez que existe tal reunia˜o.
Definic¸a˜o 3.2. A Unia˜o de dois conjuntos A e B e´ dada por:
A ∪ B de f= {x|x ∈ A ou x ∈ B}
•
Usando a lo´gica e seu operador de disjunc¸a˜o ∨ no lugar do ‘ou’, para descrever a unia˜o
temos4
A ∪ B de f= {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Exemplo 3.8. Unia˜o de Conjuntos
Considere os conjuntos:
A = {10, 11, 13, 17, 19, 20} B = {11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23} C = {1, 2, 3, 4}
4A conjunc¸a˜o ou em portugueˆs tem duas formas: (1) ou simples, que subentende o sentido do e.(2) ou
exclusivo: ou ...ou, no sentido de ou isto ou aquilo excluindo o sentido de ‘e’. Se digo que desejo uma blusa
azul ou rosa, pode ser ou azul e na˜o rosa, azul e na˜o rosa, ou azul e rosa. Em geral na linguagem coloquial
na˜o fazemos diferenc¸a entre eles.
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3 Teoria dos Conjuntos
1. A ∪ B = {10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23}
2. A ∪C = {1, 2, 3, 4, 10, 11, 13, 17, 19, 20}
3. B ∪C = {1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23}
4. A ∪ ∅ = A
q
Axioma 5: Conjunto das Partes ou Poteˆncia
Para cada conjunto existe uma colec¸a˜o de conjuntos que conte´m entre seus elementos
todos os subconjuntos do conjunto dado.
?
Os subconjuntos, que como o nome indica sa˜o conjuntos dentro de outros conjuntos. Com
isto temos uma nova relac¸a˜o, agora na˜o mais entre elemento e conjunto, mas entre conjuntos, e´
chamada de Relac¸a˜o de Inclusa˜o: “estar contido”ou, dualmente contineˆncia: “conter” e ela
pode ser definida. Vamos usar notac¸o˜es da Lo´gica, para simplificar as notac¸o˜es e explicac¸o˜es.
Enquanto a relac¸a˜o bina´ria de pertineˆncia, que faz a ligac¸a˜o entre elementos e conjuntos seja
primitiva, a relac¸a˜o tambe´m bina´ria entre conjuntos de inclusa˜o, embora intuitiva, e´ definida
do seguinte modo:
Definic¸a˜o 3.3. Relac¸a˜o de Inclusa˜o
Um conjunto A esta´ contido um conjunto B quando todos os elementos de A tambe´m
pertencem a B.
A ⊆ B ≡de f (∀x)[x ∈ A→ x ∈ B]
dualmente:
B ⊇ A ≡de f A ⊆ B
dizemos que no primeiro caso A esta´ contido ou e´ igual a B e no segundo caso, B conte´m ou
e´ igual a A.
•
Usaremos o s´ımbolo ≡de f para indicar que estamos introduzindo uma notac¸a˜o simultane-
amente com uma definic¸a˜o. O s´ımbolo → significa “enta˜o” e e´ estudado em Lo´gica. Dizemos
que A ⊂ B, ou seja, A esta´ contido em B, se A ⊆ B mas A , B. Analogamente A ⊃ B se A
conte´m B, mas e´ diferente de B.
O conjunto das partes do conjunto A e´ indicado por P(A) e
P(A) de f= {X|X ⊆ A}
Podemos salientar que a relac¸a˜o de Inclusa˜o e´ bina´ria indicando:
⊆: P(A) × P(A)
O conjunto P(A) indica o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. q
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Exemplo 3.9. Inclusa˜o
Consideremos os conjuntos seguintes A = {a, b, c, d, e, f }, B = {b, c, d},C = {d, e, f , g, h} e
D = {a, b, f }. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras:
B ⊂ A,D ⊂ A,C 1 A, A 1 C,D 1 C, A 1 B
Observe que agora estamos comparando conjuntos com conjuntos e na˜o elementos
com conjuntos.
q
Exemplo 3.10. Conjunto das Partes
Sejam os conjuntos A = {x}, B = {x, y} e C = {x, y, z}, enta˜o:
P(∅) = {∅}
P(A) = {∅, {x}}
P(B) = {∅, {x}, {y}, {x, y}}
P(C) = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}
q
Usamos a palavra poteˆncia pois o nu´mero de subconjuntos de um conjunto finito A com
n elementos e´ dado por
#P(A) = 2n, ou |P(A)| = 2n
Usualmente chamamos de Conjunto Universo o conjunto das partes de um conjunto
ou um conjunto que se toma por refereˆncia.
Definic¸a˜o 3.4. Partic¸a˜o
Um conjunto de conjuntos e´ uma Partic¸a˜o de um conjunto A quando ocorre as seguintes
condic¸o˜es:
1. a unia˜o de todos os conjuntos gera o conjunto A;
2. a intersecc¸a˜o de dois conjuntos quaisquer e´ sempre vazia;
3. cada um dos conjuntos e´ diferente do vazio.
•
Exemplo 3.11. Partic¸o˜es
Considere o conjunto A = {♠,^,�, •}.
As seguintes famı´lias sa˜o partic¸o˜es de A.
1. {♠,^}, {�, •}}
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4 Operac¸o˜es entre Conjuntos
2. {{♠, {^}, {�}, {•}}
As seguintes famı´lias na˜o sa˜o partic¸o˜es de A.
1. {{♠}, {•,�}, {♠,^}}
Neste caso na˜o satisfaz a segunda condic¸a˜o.
2. {{♠}, {^, •}}
Neste caso na˜o satisfaz a primeira condic¸a˜o.
q
Ja´ estamos acostumados a fazer operac¸o˜es com nu´meros desde 4 ou 6 anos, mas de fato
fazemos operac¸o˜es com conjuntos muito antes, de modo natural e lu´dico.
4 Operac¸o˜es entre Conjuntos
Agora podemos definir as operac¸o˜es entre conjuntos e num estudo completo faz-se as demons-
trac¸o˜es de cada um dos teoremas que podem ser deduzidos.
4.1 Intersecc¸a˜o de Conjuntos
A unia˜o de conjuntos foi definida anteriormente e e´ bem intuitiva e muito comum.
Definic¸a˜o 4.1. Intersecc¸a˜o
A intersecc¸a˜o entre os conjuntos A e B e´ o novo conjunto dado pelos elementos que
existem concomitantemente nestes dois conjuntos, isto e´, que esta˜o nos dois conjuntos, ao
mesmo tempo.
A ∩ B de f= {x|x ∈ Ae x ∈ B}
A ∩ B de f= {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
•
Exemplo 4.1. Sejam os conjuntos:
A = {0, 2, 6, 8, 10, 12}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14},C = {0, 3, 6, 9, 15, 19, 20},
D = {1, 3}
A operac¸a˜o de Unia˜o entre eles e´:
A ∩ B = {2, 6, 8, 10, 12}, A ∩C = {0}, A ∩ D = ∅
Observe que os elementos comuns entre A e B esta˜o em vermelho, assim como na inter-
secc¸a˜o, enquanto que os comuns entre A e C esta˜o em azul, ao passo que na˜o ha´ elementos
comuns entre A e D, logo a intersecc¸a˜o e´ vazia.
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Unidade: Conjuntos
Figura 1: Possibilidades de Intersecc¸a˜o entre os conjuntos A e B
Figura 2: Possibilidades de Unia˜o entre os conjuntos A e B
B ∩C = {3, 6, 9}, B ∩ A = {2, 6, 8, 10, 12}, B ∩ D = D
C ∩ D = {3}, D ∩ A = {}
q
A representac¸a˜o de conjuntos tambe´m pode ser picto´rica. Existem va´rias maneiras de
representar conjuntos, pelos diagramas de Venn, ou tambe´m chamados de diagramas de
Euler, por intervalos na reta ou ainda regio˜es do plano cartesiano. Como exemplos vemos
3 casos na figura 1.As formas A e B representam conjuntos e esta˜o nas cores ocre e laranja,
respectivamente e a intersecc¸a˜o entre eles torna-se azul.Analogamente podemos representar a Unia˜o entre os conjuntos, atrave´s do mesmo tipo
de diagrama. A figura 2 mostra em rosa a unia˜o dos conjuntos A e B.
Ver relac¸a˜o entre tabela-verdade e diagramas em
http://www.pucsp.br/~logica/Conjuntos.htm
4.2 Diferenc¸a entre Conjuntos
Na Diferenc¸a entre conjuntos temos uma noc¸a˜o mais elaborada, pois envolve duas caracte-
r´ıstica e ainda uma negac¸a˜o.
Definic¸a˜o 4.2. Diferenc¸a
A diferenc¸a entre os conjuntos A e B e´ o novo conjunto dado pelos elementos que existem
no conjunto A mas na˜o esta˜o no conjunto B.
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4 Operac¸o˜es entre Conjuntos
Figura 3: Possibilidades da Diferenc¸a entre os conjuntos A e B
A − B de f= {x|x ∈ A e x < B}
•
Exemplo 4.2. Diferenc¸a entre Conjuntos
Considere os mesmos conjuntos do exemplo anterior.
A − B = {0}, A −C = {2, 8, 10, 12}, B − D = ∅, B − A = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14}
Observe que a diferenc¸a entre conjuntos na˜o e´ comutativa, isto e´, a refereˆncia e´ o primeiro
conjunto, logo
A − B , B − A, e A − B ⊂ A
q
Continuando com os mesmo desenhos dos diagramas anteriores, temos que agora A − B e´
indicado pela cor verde, conforme esta´ mostrado na fig 3.
4.3 Mais um Axioma e os Pares Ordenados
O seguinte axioma e´ tambe´m chamado de axioma da Escolha, foi enunciado em por Ernst
Zermelo.
Dada uma famı´lia qualquer de conjuntos na˜o-vazios, e´ poss´ıvel construir um conjunto
escolhendo exatamente um elemento de cada um dos membros dessa famı´lia. Esta escolha
pode ser descrita como uma func¸a˜o, a func¸a˜o de escolha, a qual pode ter um crite´rio ja´
conhecido ou razoa´vel, como tambe´m pode ser totalmente arbitra´ria. Se temos um conjunto
finito podemos fazer escolhas sistema´ticas de modo que cada“escolha”seja definida. Por outro
lado se o conjunto e´ infinito, uma maneira de fazer escolhas na˜o e´, objetivamente falando,
alvo de escolhas facilmente descritas. A partir da´ı, podemos definir Produto Cartesiano que
e´ feito entre conjuntos para diferencia´-lo de outros produtos.
Primeiro vamos definir par ordenado. A noc¸a˜o de ordenac¸a˜o na˜o esta´ intrisicamente
associada ao conjunto dos Naturais, conjunto essencialmente ordenado.
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Unidade: Conjuntos
Definic¸a˜o 4.3. Par Ordenado
Um par ordenado e´:
(a, b) =de f {{a}, {a, b}}
•
Observamos que esta definic¸a˜o na˜o e´ arbitra´ria, e esta´ relacionada com a inclusa˜o pois
{a} ⊂ {a, b}.
Definic¸a˜o 4.4. Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o Produto Cartesiano e´ formado por todos os pares ordenados
formados com um primeiro elemento de A e com o segundo elemento de B.
A × B de f= {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B}
•
Axioma 6: Axioma da Escolha ou de Zermelo
O produto cartesiano de uma colec¸a˜o na˜o vazia de conjuntos na˜o vazios e´ na˜o vazia.
?
Exemplo 4.3. Considere os seguintes conjuntos: X = {1, 2, 3} e {a, b}. O produto cartesiano
entre eles e´:
X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} e Y × X = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
X × ∅ = ∅ e X × Y , Y × X e X × X = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
q
Um desenho do exemplo anterior pode ser visto como na figura 4 usando um diagrama
comum. Tambe´m podemos usar os eixos do plano cartesiano, com os elementos do conjunto
A no eixo horizontal ou das abscissas e os elementos do conjunto B no eixo vertical ou das
ordenadas.
Figura 4: Produto Escalar entre os conjuntos A e B
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5 Propriedades das Operac¸o˜es entre Conjuntos
4.4 Conjunto Complementar
A noc¸a˜o seguinte e´ totalmente baseada no conceito intuitivo de partes complementares - as
que se completam.
Definic¸a˜o 4.5. Conjunto Complementar
Dado um conjunto Universo ou referencial U o complementar de uma parte ou subconjunto
de U dado por A e´ indicado por A′ ou A e´ definido como
A′ = A
de f
= U − A
ou seja, todos elementos que esta˜o no Universo mas na˜o esta˜o em A.
•
Exemplo 4.4. Seja U = {k, y,w, ß,æ}.
1. A = {k}, A′ = {y,w, ß,æ}; B = {k, y,w}, B′ = {ß,æ}, A = ∅, A′ = U
q
A partir daqui podemos construir os demais conceitos, definic¸o˜es e teoremas da teoria dos
conjuntos e posteriormente podemos outras teorias a partir dela, como por exemplo, a Teoria
dos Grupos, a Teoria das Probabilidades, etc.
5 Propriedades das Operac¸o˜es entre Conjuntos
Todas as propriedades da Teoria dos Conjuntos dadas a seguir podem ser provadas formal-
mente. Em alguns casos ja´ vimos exemplos, pore´m os exemplos, mesmo que numerosos, na˜o
constituem provas. Nos cursos de Matema´tica e em livros espec´ıficos existem estas provas.
Teorema 5.1. Propriedades das Operac¸a˜o de Unia˜o de conjuntos
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer.
1. A ∪ ∅ = A
2. Comutatividade
A ∪ B = B ∪ A
3. Idempoteˆncia
A ∪ A = A
4. Associatividade
(A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C)
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Unidade: Conjuntos
5. A ⊂ B se e somente se A ∪ B = B
?
Teorema 5.2. Propriedades das Operac¸a˜o de Intersecc¸a˜o de conjuntos
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer.
1. A ∩ ∅ = ∅
2. Comutatividade
A ∩ B = B ∩ A
3. Idempoteˆncia
A ∩ A = A
4. Associatividade
(A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C)
5. A ⊂ B se e somente se A ∩ B = A
?
Teorema 5.3. Propriedades Distributivas
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer.
1. Distributiva da Unia˜o perante a Intersecc¸a˜o
A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)
2. Distributiva da Intersecc¸a˜o perante a Unia˜o
A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)
?
Teorema 5.4. Propriedades do Produto Cartesiano
Sejam A, B, X e Y conjuntos quaisquer.
1. (A ∪ B) × X = (A × X) ∪ (B × X)
2. (A ∩ B) × (X ∩ Y) = (A × X) ∩ (B × Y)
3. (A − B) × X = (A × X) − (B × X)
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5 Propriedades das Operac¸o˜es entre Conjuntos
Figura 5: Conjuntos A, B e C
?
Teorema 5.5. Propriedades do Complementar
Seja U um conjunto Universo e A um subconjunto de U.
1. (A′)′ = A
O complementar do complementar de um conjunto e´ o pro´prio conjunto.
2. ∅′ = U
3. U′ = ∅
?
Todos teoremas anteriores sa˜o demonstra´veis a partir dos axiomas e das definic¸o˜es dadas
e da Lo´gica.
Num curso de Matema´tica estas provas sa˜o todas desenvolvidas, passo a` passo. Isto
constitui a Matema´tica uma cieˆncia, alia´s uma cieˆncia bel´ıssima.
5.1 Exemplos
Exemplo 5.1. Sejam dados os seguintes conjuntos e fac¸a a Unia˜o entre dois quaisquer
deles.
U = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70}e U ⊂ N
A = {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40}, B = {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35}, C = {10, 18, 20, 40, 45, 50, 60}
Veja o diagrama de Venn dos conjuntos na figura 5.
(a) A ∪ B = {5, 8, 10, 12, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40}
Veja o diagrama de Venn dos conjuntos e da Unia˜o na figura 6.
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Unidade: Conjuntos
Figura 6: Conjuntos A ∪ B em azul
Figura 7: Conjuntos B ∪C em Amarelo
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5 Propriedades das Operac¸o˜es entre Conjuntos
Figura 8: Conjuntos A ∩ B em Verde e B ∩C em Laranja.
(b) B ∪C = {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35, 40, 45, 50, 60}
Veja o diagrama de Venn dos conjuntos e da intersecc¸a˜o na figura 7.
(c) A ∪C = {5, 10, 18, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60}
(d) B ∪ A = {5, 8, 10, 12, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40}
enta˜o A ∪ B = B ∪ A , como e´ de esperar pela Propriedade Comutativa da Unia˜o.
(e) C ∪ A = {5, 10, 18, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60},
enta˜o A ∪C = C ∪ A , pela mesma propriedade.
(f) A ∪ A = {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40} = A
(g) B∪B = B C∪C = C Isto sera´ sempre verdade, pela propriedade da Idempoteˆncia.
(h) A ∪ ∅ = A B ∪ ∅ = B C ∪ ∅ = C
q
Exemplo 5.2. Sejam dados os mesmo conjuntos anteriores e fac¸a a Intersecc¸a˜o entre
eles, dois a dois.
A= {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40}, B = {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35}, C = {10, 18, 20, 40, 45, 50, 60}
(a) A ∩ B = {10, 20, 30, 35}
Veja o diagrama de Venn dos conjuntos na figura 8.
(b) A ∩C = {10, 20, 40}
(c) B ∩C = {10, 18, 20}
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Unidade: Conjuntos
Figura 9: Conjuntos A, B e C e Intersecc¸o˜es
(d) B ∩ A = {30, 35, 10, 20},
enta˜o A ∩ B = B ∩ A , como e´ de esperar pela Propriedade Comutativa da Intersec-
c¸a˜o.
(e) C ∩ A = {10, 20, 40},
enta˜o A ∩C = C ∩ A , pela mesma propriedade.
(f) A ∩ ∅ = ∅
(g) B ∩ ∅ = ∅
Observe que na figura 9 esta˜o em cores diferentes as intersecc¸o˜es entre os conjuntos dois
a dois. Em branco esta´ a intersecc¸a˜o entre os treˆs A ∩ B ∩ C. Logo, A ∩ B esta´ em verde e
branco, B ∩C esta´ em laranja e branco, enquanto A ∩C esta´ em roxo e branco.
q
A propriedade Comutativa permite comutar, isto e´,
TROCAR
a ordem dos operandos que o resultado sera´ igual, o mesmo.
Propriedade Comutativa vale tanto para a Unia˜o como para a Intersecc¸a˜o.
Exemplo 5.3. Sejam dados os mesmo conjuntos anteriores e fac¸a a Unia˜o entre os treˆs.
(a) (A ∪ B) ∪ C = ({5, 8, 10, 12, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40}) ∪ {10, 18, 20, 40, 45, 50, 60} = =
{5, 8, 10, 12, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60}
(b) Fazendo em primeiro lugar a unia˜o do segundo e terceiro temos:
A ∪ (B ∪ C) = {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40} ∪ {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35, 40, 45, 50, 60} =
{8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 5, 25}
que possui os mesmo elementos que o item anterior.
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5 Propriedades das Operac¸o˜es entre Conjuntos
Isto e´ verdadeiro sempre, e na˜o so´ neste exemplo, pela propriedade Associativa da
Unia˜o. Como as operac¸o˜es sa˜o bina´rias, entre dois conjuntos, devemos escolher quais sera˜o
feitas inicialmente.
q
Exemplo 5.4. Sejam dados os mesmo conjuntos anteriores e fac¸a a Intersecc¸a˜o entre
os treˆs.
(a) (A ∩ B) ∩C =
Fac¸amos primeiro o que esta´ dentro dos pareˆnteses:(A ∩ B) e depois com C.
({10, 20, 30, 35}) ∩{10, 18, 20, 40, 45, 50, 60} = {10, 20}
(b) A∩ (B ∩C) = {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40} ∩ {10, 18, 20} = {10, 20}
que possui os mesmo elementos que o item anterior.
q
Isto e´ verdadeiro sempre, e na˜o so´ neste exemplo, pela propriedade Associativa da
Intersecc¸a˜o.
A propriedade Associativa permite associar, isto e´,
JUNTAR
os operandos de modo diferente que o resultado sera´ igual, o mesmo.
Propriedade Associativa vale tanto para a Unia˜o como para a Intersecc¸a˜o.
Como nestas duas operac¸o˜es individualmente vale sempre a Associatividade, enta˜o na˜o e´
obrigato´rio o uso de Pareˆnteses.
Pore´m se tivermos operac¸o˜es diferentes precisamos estabelecer ou a prioridade ou os pa-
reˆnteses.
Exemplo 5.5. Unia˜o e Intersecc¸a˜o juntas.
Determinar o resultado de A ∪ B ∩C = . . .
Se fizermos em primeiro lugar a unia˜o:
(a) (A ∪ B) ∩C
(A ∪ B) ∩C = {5, 8, 10, 12, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40} ∩C = {10, 18, 20, 40}
ou em primeiro lugar a intersecc¸a˜o:
(b) A ∪ (B ∩C) = A ∪ {10, 18, 20} = {5, 10, 18, 20, 25, 30, 35, 40}
que possuem resultados diferentes e que podem ser vistos na figura 10.
Logo, neste caso (A ∪ B) ∩C , A ∪ (B ∩C).
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Unidade: Conjuntos
Figura 10: Conjuntos (A ∪ B) ∩C , A ∪ (B ∩C)
Figura 11: Conjuntos A − B e A −C
q
Exemplo 5.6. Diferenc¸a entre conjuntos, dois a dois.
Ainda com os mesmos conjuntos anteriores fac¸amos:
(a) A − B = {5, 25, 40}
Veja o diagrama na figura 11
(b) A −C = {5, 25, 30, 35}
(c) B −C = {8, 12, 22, 30, 35}
(d) B − A = {8, 12, 18, 22}
(e) C − A = {18, 45, 50, 60}
(f) C − B = {40, 45, 50, 60}
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5 Propriedades das Operac¸o˜es entre Conjuntos
(g) A − A = ∅
(h) A − ∅ = A
Agora, com a diferenc¸a entre conjuntos, se trocarmos a ordem dos conjuntos, teremos
resultados diferentes, A − B , B − A, logo a diferenc¸a na˜o e´ comutativa.
q
Exemplo 5.7. Diferenc¸a entre conjuntos, com treˆs conjuntos.
Ainda com os mesmos conjuntos anteriores fac¸amos:
(a) (A − B) −C = {5, 25, 40} − {10, 18, 20, 40, 45, 50, 60} = {5, 25}
(b) A − (B −C) = {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40} − {8, 12, 22, 30, 35} = {5, 10, 20, 25, 40}
Juntando de modo diferente pelos pareˆnteses, temos resultados diferentes.
(c) (B −C) − A = {8, 12, 22, 30, 35} − {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40} = {8, 12, 22}
(d) B − (C − A) = {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35} − {18, 45, 50, 60} = {8, 10, 12, 20, 22, 30, 35}
q
Agora, com a diferenc¸a entre conjuntos, se associarmos os conjuntos de modo diferente,
teremos resultados diferentes.
A diferenc¸a na˜o e´ Associativa.
Fac¸a o complementar dos conjuntos indicados:
Relembrando U = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70}
Exemplo 5.8. Complementar
Fac¸a o complementar dos conjuntos indicados.
Relembrando U = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70}
A = {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40}, B = {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35}, C = {10, 18, 20, 40, 45, 50, 60}
(a) A = U − A = U − {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40} = {1, 2, 4, 8, 12, 18, 22, 45, 50, 60, 70}
Veja o diagrama na figura 12.
(b) B = U − B = U − {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35} = {1, 2, 4, 5, 25, 40, 45, 50, 60, 70}
(c) C = U −C = U − {10, 18, 20, 40, 45, 50, 60} = {1, 2, 4, 5, 8, 12, 22, 25, 30, 35, 70}
(d) U = ∅
(e) ∅ = U
q
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Unidade: Conjuntos
Figura 12: Conjunto Complementar de A em Amarelo.
Figura 13: Produto cartesiano: D × E
Exemplo 5.9. Produto cartesiano
Sejam D = {1, 2, 4} e E = {5, 25}, ambos subconjuntos de U.
(a) D × E = {(1, 5), (1, 25), (2, 5), (2, 25), (4, 5), (4, 25)}
O diagrama do Produto Cartesiana e´ melhor visualizado num plano, tambe´m cha-
mado de cartesiano, onde o primeiro conjunto fica no eixo horizontal e o segundo no
vertical, conforme esta´ na figura 13
(b) E × D = {(5, 1), (5, 2), (5, 4), (25, 1), (25, 2), (25, 4)}
(c) E × E = {(5, 5), (5, 25), (25, 5), (25, 25), }
(d) E × ∅ = ∅
Observac¸a˜o: na˜o existem elementos no vazio.
Cruzeiro do Sul Educacional 24 Campus Virtual
5 Propriedades das Operac¸o˜es entre Conjuntos
q
Exemplo 5.10. Propriedades Distributivas
Com os conjuntos ja´ dados, fac¸a:
(a) E × (A ∩ B) = {5, 25} × {10, 20, 30, 35} =
{(5, 10), (5, 20), (5, 30), (5, 35), (25, 10), (25, 20), (25, 30), (25, 35)}
(b) E × A = {(5, 5), (5, 10), (5, 20), (5, 25), (5, 30), (5, 35), (5, 40), (25, 5), (25, 10),
(25, 20), (25, 25), (25, 30), (25, 35), (25, 40)}
(c) E × B = {(5, 8), (5, 12), (5, 18), (5, 20), (5, 22), (5, 10), (5, 30), (5, 35)
(25, 8), (25, 12), (5, 18), (25, 20), (25, 22), (25, 10), (25, 30), (25, 35)}
(d) (E × A) ∩ (E × B) = {(5, 10), (5, 20), (5, 30), (5, 35), (25, 10), (25, 20), (25, 30), (25, 35)}
Logo, E × (A ∩ B) = (E × A) ∩ (E × B), ou estabelecendo a prioridade do produto
cartesiano temos:
E × (A ∩ B) = E × A ∩ E × B.
Observe que os resultados (a) e (d) sa˜o iguais, o que sera´ sempre verdade, independen-
temente dos exemplos, pela Propriedade distributiva do produto cartesiano para a
intersecc¸a˜o.
O mesmo vale para a Propriedade distributiva do produto cartesiano para
a unia˜o.
q
Resumindo, vimos algumas propriedades das operac¸o˜es com conjuntos, que forma indi-
cadas na sec¸a˜o 2.2.3. Logo valem para quaisquer conjuntos A e B do conjunto Universo
(∀A, B ∈ U), exatamente como esta´ a seguir.
Unia˜o e Intersecc¸a˜o sa˜o comutativas.
(∀A, B ∈ U)[A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A],
Unia˜o e Intersecc¸a˜o sa˜o associativas.
(∀A, B,C ∈ U)[(A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C), (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C)],
O Produto Cartesiano se Distribui para a Unia˜o e Intersecc¸a˜o.
(∀A, B,C ∈ U)[(A × (B ∪C) = (A × B) ∪ (A ×C), A × (B ∩C) = (A × B) ∩ (A ×C)]
Diferenc¸a e Produto Cartesiano na˜o sa˜o nem comutativas nem associativas.Cruzeiro do Sul Educacional 25 Campus Virtual
Unidade: Conjuntos
Figura 14: Intervalo Fechado [a, b] e intervalo aberto (c, d)
6 Intervalos Reais
Conforme ja´ foi visto o conjunto dos reais R e´ cont´ınuo, isto e´, a reta real possui todos os
nu´meros naturais, inteiros, racionais e inclusive os irracionais.
Os subconjuntos dos reais formam intervalos, que podem ser fechados, abertos ou mistos.
Definic¸a˜o 6.1. Intervalo Fechado
O intervalo fechado [a, b] com extremidades a e b e´ aquele que possui todos os elementos
entre as extremidades e inclusive elas. E´ indicado pelos colchetes: [ para iniciar e ] para
fechar.
[a, b] = {x ∈ |R| a ≤ x ≤ b}
•
Definic¸a˜o 6.2. Intervalo Aberto
O intervalo aberto (a, b) com extremidades a e b e´ aquele que possui todos os elementos
entre as extremidades e exceto elas pro´prias. E´ indicado pelos pareˆnteses: ( para iniciar e )
para fechar.
(a, b) = {x ∈ |R| a < x < b}
•
Exemplo 6.1. Intervalos Abertos e Fechados Os intervalos reais conte´m todos os pontos
ou nu´meros reais que esta˜o delimitados. Nas figuras uma extremidade cheia indica uma
extremidade fechada, ao passo que a oca indica uma extremidade aberta. Na figura 14
Os intervalos podem ser mistos , isto e´, possui uma extremidade aberta e outra fechada
ou vice-versa.
q
Observac¸o˜es: As notac¸o˜es para intervalos variam entre duas formas mais comuns. A
primeira como descrevemos anteriormente e a pro´xima que tambe´m e´ usada.
1. Intervalo Aberto
Usamos os colchetes em vez de pareˆnteses.
]a, b[= {x ∈ |R| a < x < b}
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6 Intervalos Reais
2. Intervalos Mistos
[a, b[= {x ∈ |R| a ≤ x < b}
]a, b] = {x ∈ |R| a < x ≤ b}
Vejamos agora as operac¸o˜es com intervalos, como subconjuntos dos nu´meros reais R.
Exemplo 6.2. Sejam dados os seguintes intervalos reais, no Universo U = [−4, 7].
A = [−2, 2] = {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 2} B = (0, 5) = {x ∈ R|0 < x < 5}
C = [−3, 1) = {x ∈ R| − 3 ≤ x < 1}
Veja um diagrama dos intervalos na figura 15
Figura 15: Intervalos A = [−2, 2], B = (0, 5) C = [−3, 1)
(a) A ∪ B = [−2, 5)
Figura 16: A ∪ B = [−2, 5)
(b) A ∪C = [−3, 2]
(c) A ∪ B ∪C = [−3, 5)
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Unidade: Conjuntos
Figura 17: A ∩ B = (0, 2]
(d) A ∩ B = (0, 2]
Ver figura 17.
(e) A ∩C = [−2, 1)
(f) A ∩ B ∩C = (0, 1)
(g) A = [−4, 2) ∪ (2, 7]
(h) B = [−4, 0] ∪ (5, 7]
Observac¸a˜o: Pelo contexto, devemos diferenciar o par ordenado do produto cartesiano do
intervalo aberto.
q
7 Importaˆncia da Teoria dos Conjuntos
Ale´m da Aritme´tica, que pode ser vista como uma aplicac¸a˜o da Teoria dos Conjuntos ou dar
fundamentos para esta, os conceitos de conjuntos e de seus axiomas teˆm outras aplicac¸o˜es
em Computac¸a˜o.
7.1 Aplicac¸o˜es em Linguagens de Programac¸a˜o
Em Liguagens Formais sa˜o estudados os elementos ba´sicos para definirmos uma linguagem
formal ou artificial. Existem linguagens artificiais na˜o so´ na programac¸a˜o. Toda linguagem
envolve as definic¸o˜es de alfabeto, cadeia ou palavra, concatenac¸a˜o, fecho e grama´tica. As
linguagens artificiais podem ser vistas como um conjunto gerado por uma grama´tica ou por
certos tipos de Autoˆmatos Finitos.
Uma linguagem L e´ um conjunto de cadeias ou palavras sobre um alfabeto Σ. As lin-
guagens que sa˜o chamadas de naturais sa˜o aquelas que nos expressamos corriqueiramente
e sa˜o em geral, adquiridas na infaˆncia. Uma linguagem natural e´ um sistema complexo e
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7 Importaˆncia da Teoria dos Conjuntos
e´ estudada de diversas maneiras. As linguagens naturais sa˜o o Portugueˆs, o Ingleˆs, Russo,
Japoneˆs, etc.
As Linguagens Artificiais ou Formais sa˜o subconjuntos da linguagem natural e sa˜o descri-
tas finitamente atrave´s de fo´rmulas. Usamos linguagens formais para descrever va´rios fatos,
como uma mu´sica na pauta musical, uma sequeˆncia de pensamentos como na Lo´gica, um
teorema como na Matema´tica.
A Linguagem dos sinais de Traˆnsito, a LIBRAS, etc. assim como as linguagens de Pro-
gramac¸a˜o, como C,Java, Pearl, etc. sa˜o exemplos de linguagens artificiais.
A linguagem possui treˆs grandes partes: a sintaxe, a semaˆntica e a pragma´tica.
Sintaxe: E´ a maneira de construir cadeias, palavras ou frases de modo que sejam aceitas
pela linguagem. Por exemplo, em Portugueˆs a frase: “ Os livros azuis da prateleira sa˜o
encadernados” e´ aceita, mas a frase “Os gatos e´ felinos” na˜o e´ aceita formalmente pois verbo
na˜o esta´ flexionado de acordo com o sujeito. O va´lido e´ “Os gatos sa˜o felinos” A frase “3 ∈ N
e´ aceita, ao passo que “3 > Z” na˜o e´ aceita.
No caso da Lo´gica ou da Computac¸a˜o costumamos definir o que sa˜o as frases aceitas
atrave´s das fo´rmulas bem formadas: fbf. Em computac¸a˜o a frase “if (a > b) c = a;” e´
aceita na linguagem C, ao passo que “ if (a > b) then c := a;” na˜o e´ aceita em C mas e´ em
Pascal.
Semaˆntica: E´ a maneira de dar significado a`s expresso˜es aceitas da linguagem. No caso
do Portugueˆs as frases anteriores tem significado claro, mesmo que a segunda na˜o esteja
correta. Ja´ a frase “ O gato e´ 3.” na˜o tem significado imediato. A frase “if (a = b) c=a;” e´
aceita na linguagem C, mas provavelmente na˜o possui o significado desejado, o usual e´ “if (a
== b) c=a;”
Pragma´tica: E´ a maneira de dar utilidade a`s frases. Por exemplo: a frase “Esta´ fazendo
calor aqui.” pode ter a func¸a˜o de pedir indiretamente que o ar condicionado seja ligado.
Nas linguagens formais tanto a sintaxe como a semaˆntica sa˜o descritas formalmente. Na
sintaxe descrevemos quais s´ımbolos do alfabeto Σ sa˜o aceitos, quais s´ımbolos sa˜o aceitos para
sinais de pontuac¸a˜o, quais sa˜o os operadores que podem ser usados para formar novas frases
e as regras para formar estas novas frases ou sentenc¸as. Na sintaxe temos, enta˜o um jogo
formal ou um algoritmo para para combinar s´ımbolos de modo aceita´vel. Na semaˆntica das
linguagens formais, assim como na Lo´gica - que e´ expressa tambe´m por uma linguagem -
estamos interessados na veracidade ou validade das frases formadas, o que adve´m, e´ claro do
significado dos s´ımbolos e sentenc¸as. Nas linguagens de programac¸a˜o o objetivo e´ ver se o
programa gerado atingira´ os objetivos do algoritmo e do problema supostamente resolvido
por ele. Isto sera´ estuda em Linguagens Formais, Compiladores e Teoria da Computac¸a˜o.
7.2 Outras Aplicac¸o˜es em Computac¸a˜o
A Lo´gica tambe´m possui uma linguagem simbo´lica espec´ıfica. Na Lo´gica vemos se uma
sentenc¸a ou uma sequeˆncia delas resulta numa outra sentenc¸a conclusiva verdadeira ou va´-
lida, atrave´s do uso de regras de infereˆncia, que basicamente tem o objetivo de decidir se a
conclusa˜o tem de ser verdadeira caso as premissas - sentenc¸as iniciais - o sejam.
As aplicac¸o˜es de Teoria dos Conjuntos va˜o servir de base como em resoluc¸a˜o de problemas
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Unidade: Conjuntos
de Banco de Dados, por exemplo, ca´lculo da func¸a˜o injetora hash para criar chaves numa
tabela de dados; em Criptografia com o uso da congrueˆncia e da func¸a˜o que calcula o resto
da divisa˜o e muitas outras.
7.3 Aplicac¸o˜es em Teoria da Computac¸a˜o
De fato a Computac¸a˜o na˜o consiste numa teoria axioma´tica, tampouco a Teoria da Com-
putac¸a˜o, tal como a estudamos hoje, o e´. Vamos considerar como ba´sicas em computac¸a˜o as
noc¸o˜es de Teoria dos Conjuntos e da Lo´gica ale´m da noc¸a˜o central de algoritmo, que na˜o
possui uma definic¸a˜o, e sim apenas alguns conceitos mais ou menos descritivos.
A Teoria de Computac¸a˜o estuda os modelos formais de va´rios tipos de Autoˆmatos Finitos
e em especial a Ma´quina de Turing ou ainda a Ma´quina de Post que sa˜o tipos especiais
de estruturas matema´ticas que servem de modelo, e portanto, teo´rico tanto para a noc¸a˜o
intuitiva dealgoritmo como da ma´quina computador que temos atualmente. Esta e´ uma
grande diferenc¸a entre as demais ma´quinas f´ısicas como um ra´dio, motor mecaˆnico ou ele´trico,
carro, liquificador, televisa˜o, etc, e a ma´quina computador pois esta possui em si uma
algoritmo que permite uma generalidade na˜o alcanc¸ada em outras ma´quinas de tambe´m
processar outros algoritmos.
A Computac¸a˜o e´ uma cieˆncia de caracter teo´rico, pra´tico e tecnolo´gico que ainda e´ muito
nova e seguidamente surgem novas a´reas, aplicac¸o˜es ou melhorias.
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