2 Raciocínio Lógico (1)

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PROPOSIÇÃO 
 
É toda sentença declarativa que pode ser classificada, 
unicamente, como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ca-
bem ambos os julgamentos. 
Proposições simples podem ser denotadas por letras 
maiúsculas do alfabeto A, B, C, etc. Qualquer proposição 
pode ou não ser delimitada por parênteses. 
Ex.: Classifique as sentenças abaixo em proposições 
lógicas ou não: 
 Todos os homens são mortais. 
É uma sentença declarativa e assume valor lógico ver-
dadeiro, portanto é proposição. 
 Brasília não é a capital do Brasil. 
É uma sentença declarativa e assume valor lógico fal-
so, portanto é proposição. 
 João tem mais de 20 anos de idade. 
É uma sentença declarativa. Mas observe que falta da-
dos para julgamos a informação em verdadeira ou fal-
sa, mas é proposição pois se existir um João ele sem-
pre terá mais de 20 anos ou menos de 20 anos ou ain-
da terá 20 anos. Portanto pode ser julgada em verda-
deira ou falsa. 
 Pelé foi jogador da Seleção Brasileira de Futebol. 
É uma sentença declarativa e pode ser julgada como 
verdadeira portanto é proposição. 
 Artur jogou na Seleção Brasileira de Futebol. 
É uma sentença declarativa, mas não é proposição 
pois a característica de jogar na S.B.F. é uma caracte-
rística restrita e que o sujeito dessa característica não 
tem nome de domínio público como o de Pelé, portanto 
não pode ser julgada em verdadeira ou falsa. 
Obs.: esta sentença é classificada como sentença 
aberta. 
 O número inteiro x é positivo. 
É uma sentença declarativa, mas não podemos garan-
tir que seja verdadeira ou falsa por não conhecermos o 
valor de x, portanto é uma sentença aberta e não é 
uma proposição. 
 Não falte as aulas de Raciocínio Lógico. 
Não é uma sentença declarativa, portanto não é propo-
sição. 
 Qual o seu nome? 
Não é uma sentença declarativa, portanto não é uma 
proposição. 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES 
 
As proposições lógicas são classificadas em simples e 
compostas. 
 Proposições Simples: como o próprio nome indica, é 
uma proposição única, isolada, que nos dar uma única 
informação. 
 Proposições Compostas: quando formada por duas 
ou mais proposições, ligadas entre si por conectivos 
operacionais denominados conectivos lógicos. 
 
TABELA-VERDADE 
 
É o conjunto formado por todas as valorações lógicas 
possíveis de uma determinada proposição seja ela simples 
ou composta. 
 
Importante: O número de linhas de uma tabela-verdade é 
dado por 
n2
, onde “n” é o número de proposições simples. 
 
Ex. Construa a tabela verdade das proposições: 
 
 São Luís é a capital do Maranhão. 
Temos uma única proposição, portanto a tabela-
verdade para esta proposição terá duas linhas com va-
lorações lógicas, assim representada. 
 
A 
V 
F 
 
 Brasília é a capital do Brasil e Lima é a capital do Peru. 
Temos duas proposições simples ligadas por um co-
nectivo lógico denominado de conjunção. Logo a tabe-
la-verdade terá quatro linhas, assim representada. 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 2 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
A B Valorações  Linha de títulos 
V V V V 
V F V F 
F V F V 
F F F F 
 
 João é cantor, músico e pintor. 
Temos três proposições simples com isso a tabela-
verdade desta proposição terá oito linhas assim distri-
buídas. 
 
A B C Valorações 
V V V V V V 
V V F V V F 
V F V V F V 
V F F V F F 
F V V F V V 
F V F F V F 
F F V F F V 
F F F F F F 
 
 
 
 
 
CONJUNÇÃO: CONECTIVO “E”; 
(REPRESENTAÇÃO: A  B) 
 
A proposição composta resultante da operação de con-
junção de duas ou mais proposições só será verdadeira, se 
todas as proposições envolvidas na operação forem verda-
deiras, caso contrário a proposição composta representada 
por 
BA 
 será falsa. 
A definição dada pode ser resumida na seguinte tabela-
verdade: 
 
A B A  B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Exemplo: Considere as proposições: 
A: João vai ao cinema 
B: Maria não vai viajar. 
A  B: João vai ao cinema e Maria não vai viajar. 
 
Para classificar a proposição composta 
BA 
, vamos 
analisar a veracidade da afirmação 
A  B: João vai ao cinema e Maria não vai viajar. 
 Se A é verdadeira e B é verdadeira, significa que: João 
vai ao cinema e que Maria não vai viajar, portanto, a 
afirmação feita será verdadeira. 
 Se A é verdadeira e B é falsa, significa que: João vai 
ao cinema e que Maria vai viajar, portanto, a afirmação 
feita será falsa. 
 Se A é falsa e B é verdadeira, significa que: João não 
vai ao cinema e que Maria não vai viajar, portanto, a 
afirmação feita será falsa. 
 Se A é falsa e B é falsa, significa que: João não vai ao 
cinema, e que Maria vai viajar, portanto, a afirmação 
feita será falsa. 
 
OBS.: A expressão “mas” pode ser utilizada como co-
nectivo da Conjunção quando o conectivo “e” for usado 
com sentido adversativo. 
 
Exemplo: Na proposição: “Ana vai viajar e Bruno não 
vai ao cinema”. O conectivo “e” tem função adversativa 
logo pode também ser representado por: “Ana vai viajar, 
mas Bruno não vai ao cinema. 
 
DISJUNÇÃO INCLUSIVA: CONECTIVO “OU”; 
(REPRESENTAÇÃO: A  B) 
 
A proposição composta resultante da operação da dis-
junção de duas ou mais proposições só será falsa se todas 
as proposições envolvidas na operação forem falsas. Caso 
contrário a proposição composta representada por A  B 
será verdadeira. 
A definição dada pode ser resumida na seguinte tabela-
verdade: 
 
A B A  B 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Exemplo: 
Considere as proposições: 
A: João vai ao cinema 
B: Maria não vai viajar. 
A  B: João vai ao cinema ou Maria não vai viajar. 
 
Para classificar a proposição composta A  B, vamos 
analisar a veracidade da afirmação 
A  B: João vai ao cinema ou Maria não vai viajar. 
 Se A é verdadeira e B é verdadeira, significa que: João 
vai ao cinema e que Maria não vai viajar, portanto, a 
afirmação feita será verdadeira. 
Obs.: Na disjunção inclusiva se as duas caracterís-
ticas podem ser exercidas ao mesmo tempo admi-
timos então que é verdadeira a proposição com-
posta A  B. 
 Se A é verdadeira e B é falsa, significa que: João vai 
ao cinema e que Maria vai viajar, portanto, a afirmação 
feita será verdadeira. 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 3 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
 Da mesma forma, se A é falsa e B é verdadeira, signifi-
ca que: João não vai ao cinema e que Maria não vai 
viajar, portanto, a afirmação feita será verdadeira. 
 Se A é falsa e B é falsa, significa que: João não vai ao 
cinema, e que Maria vai viajar, portanto, a afirmação 
feita será falsa. 
 
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: CONECTIVO “OU A, OU B, 
MAS NÃO AMBOS”; (REPRESENTAÇÃO: A  B) 
 
A proposição composta resultante da operação da dis-
junção exclusiva de duas ou mais proposições só será ver-
dadeira se as proposições envolvidas na operação tiverem 
valores lógicos contrários, isto é, se uma for verdadeira e a 
outra, falsa. Se tiverem o mesmo valor lógico (ambas ver-
dadeiras ou ambas falsas), a proposição resultante da dis-
junção exclusiva será falsa. 
A definição dada pode ser resumida na seguinte tabela-
verdade: 
 
A B A  B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Ex.: Temos três casos a considerar sobre a disjun-
ção exclusiva. 
 Disjunção exclusiva com o uso de palavras antô-
nimas: 
 
João é alto ou baixo. 
 
Nesse caso temos um caso de disjunção do tipo exclu-
siva, pois não é possível que uma pessoa seja alta e 
baixa ao mesmo tempo. 
 
 Disjunção exclusiva com a indicação de nacionali-
dades ou naturalidades: 
 
Alberto é maranhense ou paulista. 
Júlio é português ou brasileiro. 
 
Observe que os dois exemplos acima são exemplos de 
disjunção exclusiva, pois não é possível que Alberto 
seja maranhense e paulistaao mesmo tempo, como 
também não é possível que Júlio seja brasileiro e tam-
bém português. 
 
 Disjunção exclusiva com o acréscimo da expressão 
“mas não ambos”: 
 
Jô Soares é gordo ou inteligente, mas não ambos. 
 
Temos aqui um exemplo característico de disjunção 
exclusiva, pois a proposição Jô Soares é gordo ou inte-
ligente seria um caso de disjunção inclusiva, mas com 
o acréscimo da expressão “mas não ambos” torna a 
disjunção inclusiva em disjunção exclusiva, garan-
tindo assim a exclusividade de um e somente um dos 
casos. 
 
CONDICIONAL: CONECTIVO “SE A, 
ENTÃO B”; (REPRESENTAÇÃO: A B) 
 
A primeira proposição (A) é chamada de antecedente, 
hipótese ou condição suficiente; a segunda (B), de conse-
qüente ou condição necessária. 
Um exemplo desse tipo proposição é: 
 
“Se João passou de ano, então João passou em matemática”. 
 
Essa mesma proposição pode também ser representa-
da por: 
 “João passará em matemática, se João passar de 
ano”. 
 “João passar de ano é condição suficiente para que 
João passe em matemática”. 
 “João passar em matemática é condição necessária 
para que João passe de ano”. 
 “João passará de ano somente se João passar em ma-
temática”. 
 
A proposição composta resultante da operação condi-
cional de uma proposição em outra só será falsa, se a pro-
posição antecedente for verdadeira e a conseqüente for fal-
sa. Em todos os outros casos, a proposição resultante da 
condicional será verdadeira. 
A definição dada pode ser resumida na seguinte tabe-
la-verdade: 
 
A B A  B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Exemplo: 
Considere as proposições: 
A: João passou de ano. 
B: João passou em matemática. 
A  B: Se João passou de ano, então João passou em 
matemática. 
 
Para classificar a proposição composta A  B, vamos ana-
lisar a veracidade da afirmação A  B: Se João passou de 
ano, então João passou em matemática. 
 Se A é verdadeira e B é verdadeira, significa que: João 
passou de ano e que João passou em matemática, 
portanto, a afirmação feita será verdadeira. 
 Se A é verdadeira e B é falsa, significa que: João pas-
sou de ano e que João não passou em matemática, 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 4 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
portanto, a afirmação feita será falsa, pois não será 
possível João ter passado de ano e ter sido reprovado 
em matemática. 
 Se A é falsa e B é verdadeira, significa que: João não 
passou de ano e que João passou em matemática, 
portanto, a afirmação feita será verdadeira, pois é pos-
sível que João mesmo não tendo passado de ano mas 
pode ter sido aprovado em matemática, por ser possí-
vel esta proposição recebe valor lógico verdadeiro. 
 Se A é falsa e B é falsa, significa que: João não passou 
de ano e que João não passou em matemática, portan-
to, a afirmação feita será verdadeira, observe que é 
possível que João não tenha passado de ano e tam-
bém não ter passado em matemática, por ser possível 
esta proposição será também verdadeira. 
 
BICONDICIONAL: CONECTIVO “A SE SOMENTE SE B”; 
(REPRESENTAÇÃO: A  B) 
 
A proposição composta resultante da operação da dupla 
implicação de proposição em outra só será verdadeira se 
ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o 
mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas). 
Se uma verdadeira e a outra falsa, a bicondicional será fal-
sa. 
 A proposição composta bicondicional é denominada 
condição suficiente e necessária ao mesmo tempo. Pois 
simbolicamente podemos representar a bicondicional a par-
tir de duas condicionais ligadas pelo conectivo “e”. 
 
A  B  (A  B)  (B  A) 
 
Tabela-verdade da bicondicional: 
A B A  B B  A (A  B)  (B  A) A  B 
V V V V V V 
V F F V F F 
F V V F F F 
F F V V V V 
  Equivalentes  
 
Ex.: João vai ao cinema, se somente se, Maria não viajar. 
 Maria não viajar é condição suficiente e necessária pa-
ra João ir ao cinema. 
 João ir ao cinema é condição suficiente e necessária 
para Maria não viajar. 
 
TABELA-VERDADE DOS CONECTIVOS LÓGICOS 
 
A B A  B A  B A  B A  B A  B 
V V V V F V V 
V F F V V F F 
F V F V V V F 
F F F F F V V 
 
 
 
 
Uma proposição é a negação de outra quando se uma 
for verdadeira, então a outra é obrigatoriamente falsa e, se 
uma for falsa, então a outra é obrigatoriamente verdadeira. 
Obs.: às vezes uma proposição contradiz outra, sem 
ser sua negação. 
Ex.: “O carro de João é preto” contradiz, mas não é 
negação da proposição “O carro de João é branco”, pois a 
negação desta (“O carro de João não é branco”) não obriga 
a que a cor do carro de João seja preta. Poderia ser de 
qualquer outra cor, diferente de branco. 
 
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: 
NÃO A; (REPRESENTAÇÃO: ~A; A) 
 
MODOS DE NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES 
 
 Negação formal: 
Ex.: 
(A)  Artur vai ao cinema. 
(A)  É falso dizer que, Artur vai ao cinema. 
 Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo. 
Ex.: 
(A)  Paulo é irmão de Pedro. 
(A)  Paulo não é irmão de Pedro. 
 Retirando-se a expressão “não” antes do verbo. 
Ex.: 
(A)  Maria não gosta de ir á praia. 
(A)  Maria gosta de ir á praia. 
 Substituindo-se um termo da proposição por um de 
seus antônimos. 
Ex.: 
(A)  João é alto 
(A)  João é baixo. 
 
NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO: (A  B) 
 
Observando a tabela-verdade abaixo podemos extrair 
a negação da conjunção. 
 
A B A B A  B (A  B) A  B 
V V F F V F F 
V F F V F V V 
F V V F F V V 
F F V V F V V 
  Equivalentes  
 
Observe que as proposições (A  B) e A  B são 
equivalentes, ou seja, apresenta mesma valoração lógica 
linha por linha da tabela-verdade. Logo, 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 5 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
(A  B)  A  B 
 
Ex.: A negação da proposição “João é alto e Maria não é ri-
ca” é dada por:: 
Se representarmos à proposição “João é alto e Maria não 
é rica” por (A  B), temos: 
 (A  B)  É falso dizer que: João é alto e Maria não 
é rica. (Negação formal) 
 (A  B)  João não é alto ou Maria é rica. (Nega-
ção equivalente a negação formal) 
 
NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO INCLUSIVA: (A  B) 
 
Já devemos concluir que se a negação da conjunção 
é feita com a disjunção inclusiva, então a negação dessa 
disjunção será feita com a conjunção. Observe a tabela, 
 
A B A B A  B (A  B) A  B 
V V F F V F F 
V F F V V F F 
F V V F V F F 
F F V V F V V 
  Equivalentes  
 
Da tabela-verdade apresentada acima temos: 
 
 (A  B)  (A  B) 
 
Ex.: A negação da proposição “Maria é rica ou Artur é 
feio” é dada por: 
Representando a proposição “Maria é rica ou Artur é 
feio” por (A  B), temos: 
  (A  B)  É falso dizer que “Maria é rica ou Artur é 
feio”. (Negação formal) 
 (A  B)  “Maria não é rica ou Artur não é feio 
 
NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO EXCLUSIVA:  (A  B) 
 
Observando a tabela-verdade abaixo vamos concluir 
que temos duas formas de negar a disjunção exclusiva. 
 
A B A  B (A  B) (A  B)  (B  A) A  B 
V V F V V V 
V F V F F F 
F V V F F F 
F F F V V V 
  Equivalentes  Equivalentes  
 
Da tabela-verdade acima podemos dizer que: 
 
(A  B)  A  B  (A  B)  (B  A) 
 
Ex.: A negação da proposição “Ou Maria é rica ou João 
é rico, mas não ambos” é dada por: 
Representando a proposição “Ou Maria é rica ou João é 
rico, mas não ambos” por (A  B), temos: 
 (A  B)  É falso dizer que, ou Maria é rica ou João 
é rico, mas não ambos. (Negação formal). 
 (A  B)  Maria é rica se somente se João é rico. 
 (A  B)  (B  A)  Se Maria é rica, então João é 
rico e se João é rico, então Maria é rica. 
 
NEGAÇÃODA CONDICIONAL: (A  B) 
 
A tabela-verdade da condicional apresenta três valores 
lógicos verdadeiros e um valor lógico falso, portanto a tabe-
la-verdade que representa a negação da condicional deve 
ter três valores lógicos falsos e um valor lógico verdadeiro 
assim distribuídos, 
 
A B B A  B (A  B) A  B 
V V F V F F 
V F V F V V 
F V F V F F 
F F V V F F 
  Equivalentes  
 
Vimos que a negação da condicional é feita com o co-
nectivo da conjunção assim representado, 
 
 (A  B)  A  B) 
 
Ex.: A negação da proposição “Se Maria viaja, então 
João não vai ao cinema”, é dada por: 
Representando a proposição “Se Maria viaja, então João 
não vai ao cinema” por (A  B) temos: 
 (A  B)  É falso dizer que se Maria viaja, então 
João não vai ao cinema. (Negação formal) 
 (A   B)  Maria viaja e João vai ao cinema. 
 
NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL: (A  B) 
 
Já vimos que a negação da disjunção exclusiva é fei-
ta com a bicondicional, portanto a negação da bicondicional 
será feita com a disjunção exclusiva, observe a tabela-
verdade abaixo, 
 
A B (A  B) A  B B   A 
(A  B)  
(B   A) 
A  B 
V V F F F F F 
V F V V F V V 
F V V F V V V 
F F F F F F F 
  Equivalentes  Equivalentes  
 
Representamos, portanto, a negação da bicondicional por: 
 
(A  B)  (A  B)  (B  A)  (A  B) 
 
Ex.: A negação da proposição “Maria viaja se somente 
se João não vai ao cinema”, é dada por: 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 6 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
Representando a proposição “Maria viaja se somente se 
João não vai ao cinema”, por (A  B), temos: 
 (A  B) É falso dizer que Maria viaja se somente 
se João não vai ao cinema. (Negação formal) 
 (A  B)  (B  A)  Maria viaja e João vai ao ci-
nema ou João não vai ao cinema e Maria não viaja. 
 (A  B)  Ou Maria viaja ou João não vai ao cinema, 
mas não ambos. 
 
Tabela de Negação dos conectivos lógicos 
 
Proposição Negação da Proposição 
A  B (A  B) 
A  B (A  B) 
A  B 
(A  B) 
(A  B)  (B  A) 
A  B (A  B) 
(A  B) 
(A  B)  (B  A) 
A  B 
 
 
 
 
 
Duas ou mais proposições são ditas logicamente 
equivalentes quando suas valorações são iguais linha por 
linha na tabela-verdade. 
 
EQUIVALÊNCIAS COMUTATIVAS 
 
Conjunção 
 
 Observando a tabela abaixo observamos que a con-
junção é comutativa pois, 
 
A  B  B  A 
A  B  B  A 
 
A B A B A  B B  A A  B B  A 
V V F F V V F F 
V F F V F F F F 
F V V F F F F F 
F F V V F F V V 
 Equivalentes  Equivalentes  
 
Ex.: São equivalentes as proposições: 
 (A  B)  Ana adora ir à praia e gosta de ir à piscina. 
 (B  A)  Ana gosta de ir à piscina e adora ir à praia. 
 
Disjunção 
 
 A proposição composta denominada de disjunção é 
comutativa pois: 
A  B  B  A 
Inclusiva 
 
A  B  B  A 
Exclusiva 
 
A B A  B B  A A  B B  A 
V V V V F F 
V F V V V V 
F V V V V V 
F F F F F F 
 Equivalentes Equivalentes 
 
Ex.: São equivalentes as proposições: 
 (A  B)  João é engenheiro ou eletricista. 
 (B  A)  João é eletricista ou engenheiro. 
 (A  B)  Ou João é engenheiro ou arquiteto, mas 
não ambos. 
 (B  A)  Ou João é arquiteto ou engenheiro, mas 
não ambos. 
 
Bicondicional 
 
 A equivalência da proposição composta bicondicional é 
dada pela propriedade comutativa ou com a separação em 
duas condicionais. 
 
A  B  B  A 
e 
A  B  (A  B)  (B  A) 
 
A B A  B B  A A  B B  A 
(A  B)  (B 
 A) 
V V V V V V V 
V F F F F V F 
F V F F V F F 
F F V V V V V 
 Equivalentes Equivalentes  
 
Ex.: São equivalentes as proposições: 
 (A  B)  João vai ao cinema se somente se Maria 
não viajar. 
 (A  A)  Maria não viaja se somente se João ir ao 
cinema. 
 (A  B)  (B  A)  Se João vai ao cinema então 
Maria não viaja. Se Maria não viaja então João vai ao 
cinema 
 
EQUIVALÊNCIAS NÃO-COMUTATIVA 
 
CONDICIONAL 
 
 A proposição condicional não é comutativa, pois, dadas 
as proposições “Se João passou de ano, então João pas-
sou em matemática” e a proposição “Se João passou em 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 7 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
matemática, então João passou de ano” estas não são 
equivalentes. 
 A equivalência lógica da condicional é dada por: 
 
A  B  (B  A), 
A  B  (B  A) 
e 
A  B  (B  A) 
 
 
 
 
 
ARGUMENTO 
 
Denomina-se argumento a relação que associa um 
conjunto de proposições p1, p2, p3,...,pn, chamadas proposi-
ções do argumento e uma proposição Q denominada con-
clusão do argumento. 
 
Argumento Válido 
 
Uma argumentação válida é uma seqüência finita de 
proposições, na qual a última proposição da seqüência, 
chamada conclusão, é obrigatoriamente V, supondo-se que 
todas as proposições que a antecedem sejam V. 
 
 Tautologia: É toda proposição que é sempre verdadei-
ra, independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. 
 
Ex.: Se João é ator, então João é ator ou Beto não é cantor. 
(A)  João é ator 
(B)  João não é cantor. 
 
 Conclusão 
A B (A  B) A  (A  B) 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F V 
 
 Contradição: É toda proposição que é sempre falsa, 
independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. 
 
Ex.: João é alto e Maria é magra e Maria é gorda e João 
não é alto. 
(A)  João é alto. 
(A)  João não é alto. 
(B)  Maria é magra. 
(B)  Maria é gorda. 
 
 
 Conclusão 
A B (A  B) B  A (A  B)  (B  A) 
V V V F F 
V F F F F 
F V F F F 
F F F V F 
 
Ex1.: Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada 
de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é 
cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo: 
a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol; 
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de 
Carmem; 
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol; 
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol; 
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem 
 
Resolução: 
Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de 
Carol. 
F → F = V 
 
Carmem não é cunhada de Carol. 
V 
 
Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga 
de Carol 
F → F = V 
 
Ex2.: Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, en-
tão Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é 
bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo: 
a) Jorge é juiz e Breno é bonito; 
b) Carlos é carioca ou Breno é bonito; 
c) Breno é bonito e Ana é artista; 
d) Ana não é artista e Carlos é carioca; 
e) Ana é artista e Carlos não é carioca 
 
Resolução: 
Ana é artista ou Carlos é carioca. 
V  F = V 
 
Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. 
V → V = V 
 
Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. 
F → F = V 
 
Ora, Jorge é juiz. 
V 
 
QUANTIFICADORES: (TODO, ALGUM, NENHUM) 
 
São termos que indicam a quantos elementos de uma 
determinada classe se aplica uma propriedade. 
Ex.: Todo múltiplo de 4 é um número par. 
 Algum múltiplo de 4 é divisível por 6. 
 Nenhum número par é primo. 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 8 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
Negação dos quantificadores 
 
 Negação do quantificador “todo” 
Ex.: 
( A )  Todas as mulheres são bonitas. 
( A )  Nenhuma mulher é feia. 
(A)  Pelo menos uma mulher não é bonita. 
(A)  Alguma mulher não é bonita. 
 Negação do quantificador “Algum (pelo menos um)” 
Ex.: 
( A )  Alguns escritores são professores. 
( A )  Pelo menos um escritor é professor. 
(A)  Todosos escritores não são professores. 
(A)  Nenhum escritor é professor. 
 Negação do quantificador “Nenhum” 
Ex.: 
( A )  Nenhum escritor é poeta. 
( A )  Todo escritor não é poeta. 
(A)  Algum escritor é poeta. 
(A)  Pelo menos um escrito é poeta. 
 
SILOGISMO, FALÁCIA E PARADOXO 
 
Silogismo 
 
É uma forma de argumentação válida em que, é for-
mada por duas premissas e uma conclusão. 
Ex1.: Todo maranhense é brasileiro. 
João é maranhense. 
Logo, João é brasileiro. 
Ex2.: Todas as misses são mulheres bonitas. 
Nenhuma mulher bonita fica solteira. 
Logo, nenhuma misse fica solteira. 
Ex3.: Todas as aranhas são verdes. 
O cachorro é uma aranha. 
Logo, o cachorro é verde. 
Ex4.: Todas as pessoas carecas são capazes. 
Existem professores que são carecas. 
 Logo, existem professores que são capazes. 
 
Falácia ou sofisma 
 
 É uma forma de argumentação não válida formada por 
premissas verdadeiras que, por representarem casos espe-
cíficos, não podem ser generalizadas. 
Ex1.: João é mortal; 
Artur é mortal; 
Logo, todos os homens são mortais. 
Ex2.: Nenhum brasileiro é africano; 
Nenhum africano é europeu; 
Logo, nenhum brasileiro é europeu. 
Ex3.: Todo caranguejo é crustáceo. 
Peixe não é caranguejo. 
Logo, peixe não é crustáceo. 
Ex4.: Todos os ludovicenses são maranhenses. 
Maria não é ludovicense. 
Logo, Maria não é maranhense. 
Paradoxo 
 
É uma forma de argumentação não válida em que par-
te de enunciados não contraditórios, mas as conclusões 
são contraditórias. 
Ex.: Todos os piauienses são mentirosos; 
Artur disse, “sou piauiense”; 
Logo, Artur é mentiroso. 
Ex2.: O número inteiro x não é par ou impar. 
x não é par. 
Logo, x é impar. 
 
 
 
 
 
O uso de diagramas para representar as proposições são 
de extrema importância, pois ajudam a visualizar todas as pro-
posições de um enunciado de forma conjunta. Os diagramas 
lógicos nada mais são do que a representação de proposições 
utilizando o diagrama de Venn-Euler, que são círculos utiliza-
dos para representar os conjuntos, no nosso caso, as proposi-
ções. Os diagramas lógicos são mais utilizados nas questões 
de lógica que envolvem as palavras todo, algum e nenhum. As 
proposições que envolvem tais termos são: 
 
TODO A É B 
 
As proposições do tipo Todo A é B afirmam que o con-
junto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: o conjun-
to A está contido em B. Sua representação na forma de di-
agrama lógico é: 
 
 
 
Atenção: Dizer que Todo A é B não significa necessaria-
mente o mesmo que Todo B é A. 
 
NENHUM A É B 
 
As proposições da forma Nenhum A é B querem dizer 
que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem ele-
mentos em comum, e as representamos da seguinte forma: 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 9 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
Atenção: Dizer que Nenhum A é B é logicamente equiva-
lente a dizer que Nenhum B é A. 
 
ALGUM A É B 
 
Na Lógica, proposições da forma Algum A é B estabe-
lecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em 
comum com o conjunto B. Contudo, devemos nos atentar 
para o seguinte: quando afirmamos que "alguns pássaros 
voam", está perfeitamente correto mesmo que todos 
eles voem. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalen-
te a dizer que Algum B é A. São também equivalentes a es-
ta, as seguintes proposições: 
 
Algum A é B = Pelo menos um A é B = 
Existe um A que é B 
 
Suas representações possíveis são: 
 
 
 
Qualquer uma das quatro representações está correta, 
porém a que deverá ser utilizada na resolução das ques-
tões que contém esta proposição (algum A é B), para que 
não haja confusão, será a primeira. 
 
ALGUM A NÃO É B 
 
Proposições da forma Algum A não é B estabelecem 
que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não 
pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: 
 
Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. 
 
Mas não é equivalente a Algum B não é A. Para esta 
proposição (algum A é B), teremos três representações 
possíveis: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Todos os alunos de matemática são, também, 
alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de 
história. Todos os alunos de português são também alunos 
de informática, e alguns alunos de informática são também 
alunos de história. Como nenhum aluno de informática é 
aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é alu-
no de história, então: 
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês. 
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história. 
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática. 
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática. 
e) todos os alunos de informática são alunos de português. 
 
Solução: O enunciado traz as seguintes proposições cate-
góricas: 
1) Todos os alunos de matemática são, também, alunos 
de inglês. 
2) Nenhum aluno de inglês é aluno de história. 
3) Todos os alunos de português são também alunos de 
informática. 
4) Alguns alunos de informática são também alunos de 
história. 
5) Nenhum aluno de informática é aluno de inglês. 
6) Nenhum aluno de português é aluno de história. 
 
Veja que há várias proposições categóricas, e deve-
mos fazer a representação gráfica de cada uma para en-
contrar a resposta correta. 
Por qual proposição categórica devemos iniciar os de-
senhos dos círculos? Não há uma ordem única na realiza-
ção dos desenhos, devemos ir rabiscando um a um, de 
forma que ao final dos desenhos, tenhamos atendido a to-
das as proposições categóricas. 
 
 
 
Teste das Alternativas: 
1°) Teste da alternativa “a” (pelo menos um aluno de portu-
guês é aluno de inglês). Pelo desenho, já descartamos es-
sa alternativa. 
2°) Teste da alternativa “b” (pelo menos um aluno de ma-
temática é aluno de história). Também pelo desenho, des-
cartamos essa alternativa. 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 10 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
3°) Teste da alternativa “c” (nenhum aluno de português é 
aluno de matemática). Observando o desenho, vemos cla-
ramente que este item é verdadeiro. 
4°) Teste da alternativa “d” (todos os alunos de informática 
são alunos de matemática). Pelo desenho, temos que esta 
alternativa está errada. 
5°) Teste da alternativa “e” (todos os alunos de informática 
são alunos de português). Pelo desenho, temos que esta 
alternativa também está errada. 
Resposta: alternativa C. 
 
Exemplo: Considerando “todo livro é instrutivo” como uma 
proposição verdadeira, é correto inferir que: 
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessa-
riamente verdadeira. 
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessari-
amente verdadeira. 
c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verda-
deira ou falsa. 
d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira 
ou falsa. 
e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição neces-
sariamente verdadeira. 
 
 
 
A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instruti-
vo” implica a total dissociação entre os diagramas. E esta-
mos com a situação inversa! 
 A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam como to-
dos os elementos do diagrama vermelho estão inseridos no 
diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que algum 
livro é instrutivo. 
Resposta: alternativa B. 
 
 
 
 
 
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto 
cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos 
numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéri-
cos fundamentais, a saber: 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
NOTA: É evidente que N  Z. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
Q = {x | x = p/q com p  Z, q  Z e q  0}. (o símbolo | 
lê-se como "tal que"). 
Temos entãoque número racional é aquele que pode 
ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são nú-
meros inteiros, com o denominador diferente de zero. 
Lembre-se que não existe divisão por zero! 
 
Notas: 
a) é evidente que N  Z  Q. 
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é 
sempre possível escrever uma dízima periódica na for-
ma de uma fração. 
 
Exemplo: 
9
4
...444,0 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
R = {x | x é racional ou x é irracional}. 
 
Importante: 
a) fica claro que N  Z  Q  R 
b) um número real é racional ou irracional; não podendo 
ser diferente! 
 
OPERAÇÕES EM IN 
 
Adição 
 
a + b = a mais b. 
 
Propriedades 
 
Dados os a, b, cIN, são válidas as seguintes proprie-
dades: 
1. Fechamento: a soma de dois números naturais é sem-
pre um número natural. Diz-se então que o conjunto N 
dos números naturais é fechado em relação à adição. 
2. Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c 
3. Comutativa: a + b = b + a 
4. Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a. Zero é o elemento 
neutro da adição. 
5. Unívoca: o resultado da adição de dois números natu-
rais é único. 
6. Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se so-
marmos um mesmo número natural a ambos os mem-
bros, ou seja, se a > b então a + c > b + c. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 11 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
Subtração 
 
Observa-se que a subtração (diferença) é uma opera-
ção inversa da adição. 
Se a + b = c então dizemos que a = c – b (c menos b). 
É óbvio que o conjunto IN não é fechado em relação à 
subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números 
naturais, nem sempre é um outro número natural. 
 
Multiplicação 
 
É um caso particular da adição (soma), pois somando-
se um número natural a si próprio n vezes, obteremos 
a + a + a + ... + a = a  n = a x n. 
Na igualdade a  n = b, dizemos que a e n são os fato-
res e b é o produto. 
 
Propriedades 
 
Dados a, b, c  IN, são válidas as seguintes propriedades: 
1. Fechamento: a multiplicação de dois números naturais 
é sempre outro número natural. Dizemos então que o 
conjunto N dos números naturais é fechado em relação 
à operação de multiplicação. 
2. Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou 
a  (b  c) = (a  b)  c 
3. Comutativa: 
abba 
 
4. Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o 
elemento neutro da multiplicação. 
5. Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números 
naturais é único. 
6. Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se multi-
plicarmos ambos os membros, por um mesmo número 
natural, ou seja, se a > b então 
cbca 
. 
7. Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c). 
 
Potenciação 
 
É um caso particular da multiplicação, onde os fatores 
são iguais. Assim é que multiplicando-se um número natu-
ral a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x 
a que será indicado pelo símbolo an, onde a será denomi-
nado base e n expoente. 
 
Divisão 
 
É um caso particular da subtração, senão vejamos: o 
que significa dividir 28 por 3? Significa descobrir, quantas 
vezes o número 3 cabe em 28, ou seja: 28 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 
- 3 -3 - 3 - 3 e resta 1. Podemos escrever a expressão ante-
rior como: 28 = 9  3 + 1. O número 28 é denominado divi-
dendo, o número 3 é denominado divisor, o número 7 é de-
nominado quociente e o número 1 é denominado resto. 
De uma maneira geral, dados os números naturais D, 
d, q e r, poderemos escrever a relação. 
 
D = d  q + r com 0 

 r < d. 
Se r = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, não 
deixa resto. A relação vista acima é conhecida como Teo-
rema de Euclides. 
 
OPERAÇÕES EM Z 
 
Propriedades Dos Números Inteiros 
 
1) Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado 
por s(n), dado por s(n) = n + 1. 
 
Exemplos: s(– 2) = – 2 + 1 = – 1; s(2) = 2 + 1 = 3. 
 
2) Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e 
somente uma das condições : 
 
m = n [m igual a n] (igualdade) 
m > n [m maior do que n] (desigualdade) 
m < n [m menor do que n] (desigualdade). 
 
Esta propriedade é conhecida como Tricotomia. 
Fica claro que o zero é maior do que qualquer número 
negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número 
negativo é menor do que zero. 
 
... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... 
 
Adição 
 
a + b = a mais b. 
 
A adição de dois números inteiros obedece às seguin-
tes regras: 
a) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e 
conserva-se o sinal comum. 
Exemplos: 
(– 3) + (– 5) + (– 2) = – 10 
(– 7) + (– 6) = – 13 
 
b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e 
conserva-se o sinal do maior em módulo. 
Exemplos: 
(– 3) + (+7) = + 4 
(– 12) + (+5) = – 7 
 
Propriedades: 
Dados a, b, c  Z, são válidas as seguintes propriedades: 
1. Fechamento: a soma de dois números inteiros é sem-
pre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z 
dos números inteiros é fechado em relação à adição. 
2. Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c 
3. Comutativa: a + b = b + a 
4. Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a. Zero é o elemento 
neutro da adição. 
5. Unívoca: o resultado da adição de dois números intei-
ros é único. 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 12 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
6. Monotônica: Uma desigualdade não se altera se so-
marmos um mesmo número inteiro a ambos os mem-
bros, ou seja, se a > b então a + c > b + c. 
 
Subtração 
 
Observa-se que a subtração (diferença) é uma opera-
ção inversa da adição. 
Se a + b = c então dizemos que a = c – b (c menos b). 
É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à subtra-
ção, pois a subtração (diferença) entre dois números intei-
ros, sempre será um outro número inteiro. Por exemplo, a 
operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos nú-
meros naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos 
números inteiros, ou seja – 7. 
A subtração de dois números inteiros será feita de 
acordo com a seguinte regra: 
 
a – b = a + (-b) 
 
Exemplos: 
 
10 – (– 3) = 10 + (+ 3) = 13 
(– 5) – (– 10) = (– 5) + (+ 10) = + 5 = 5 
(– 3) – (+ 7) = (– 3) + (– 7) = – 10 
 
Multiplicação 
 
É um caso particular da adição (soma), pois se soman-
do um número inteiro a si próprio n vezes, obteremos a + a 
+ a + ... + a = a  n = a x n 
Na igualdade a  n = b, dizemos que a e n são os fato-
res e b é o produto. 
 
A multiplicação de números inteiros, dar-se-á se-
gundo a seguinte regra de sinais: 
 
(+) x (+) = + 
 
(+) x (–) = – 
 
(–) x (+) = – 
 
(–) x (–) = + 
 
Exemplos: 
(– 3) x (– 4) = +12 = 12 
(– 4) x (+ 3) = –12 
 
Propriedades: 
Dados a, b, cZ, são válidas as seguintes propriedades: 
1. Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros 
é sempre outro número inteiro. Dizemos então que o 
conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação 
à operação de multiplicação. 
2. Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a  (b  c) = (a  
b)  c 
3. Comutativa: a x b = b x a 
4. Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o 
elemento neutro da multiplicação. 
5. Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números 
inteiros é único. 
6. Uma desigualdade não se altera se multiplicarmos am-
bos os membros por um mesmo número inteiro positi-
vo. Ou seja, se a > b então a  c > b  c 
7. Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos 
ambos os membros por um mesmo número inteiro ne-
gativo, ou seja: a > b então a  c < b  c 
Exemplo: 7 > 4. Se multiplicarmos ambos os membros 
por (-1) fica - 7 < - 4. Observe que o sentido da desi-
gualdade mudou. 
8. Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c). 
 
Potenciação 
 
É um caso particular da multiplicação, onde os fatores 
são iguais. Assim é que multiplicando-seum número inteiro 
a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a 
que será indicado pelo símbolo an, onde a será denominado 
base e n expoente. 
Exemplo: 53 = 5 x 5 x 5 = 125 
 
Divisão 
 
O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em 
relação à divisão, pois o quociente de dois números inteiros 
nem sempre é um inteiro. 
A divisão de números inteiros, no que concerne à regra 
de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a multipli-
cação, ou seja: 
 
(+) : (+) = + 
 
(+) : (–) = – 
 
(–) : (+) = – 
 
(–) : (–) = + 
 
 
 
 
 
MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, 
define-se o máximo divisor comum - MDC, como sendo o 
maior inteiro que divide a e b, simultaneamente. 
O M.D.C. de dois números será indicado por M.D.C. (a, b). 
 
Exemplo: 
Determinar o M.D.C. dos inteiros 6 e 10. 
D(6) = {1, 2, 3, 6}. 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 13 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
D(10) = {1, 2, 5, 10}. 
Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2. Ou seja 
D(6)  D(10) = {1, 2}. 
Logo, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indica-
mos: M.D.C. (6, 10) = 2. 
 
IMPORTANTE: 
1. Dizemos que um números inteiro positivo p  1 é pri-
mo, se e somente se os seus divisores positivos são 1 
e p. Consideremos alguns números primos indicados 
no conjunto abaixo. 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ... } 
Observa-se que 2 é o único número par que é primo. 
 
2. Todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, 
pode ser decomposto num produto único de fatores 
primos. Esta afirmação é conhecida como o Teorema 
Fundamental da Aritmética - TFA. 
Exemplos: 
12 = 4 x 3 
70 = 2 x 35 = 2 x 7 x 5 
 
A decomposição de um número em fatores primos é 
conhecida também como fatoração, uma vez que o número 
é decomposto em fatores de uma multiplicação. 
 
3. Se o mdc de dois números inteiros a e b for igual à 
unidade, ou seja, M.D.C. (a, b) = 1, dizemos que a e b 
são primos entre si, ou que a e b são co-primos ou 
primos entre si. 
Exemplo: M.D.C. (7, 5) = 1, pois 5 e 7 são primos en-
tre si. 
 
M.M.C. - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, 
define-se o mínimo múltiplo comum – M.M.C., indicado por 
M.M.C. (a,b) , como sendo o menor inteiro positivo, múltiplo 
comum de a e b. 
 
Exemplo:Determinar o M.M.C. dos inteiros 10 e 14. 
M(10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...} 
M(14) = {14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...} 
 
Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indica-
mos: M.M.C. (10,14) = 70. 
 
Importante: 
M.D.C. (a, b) x M.M.C (a, b) = a x b 
 
Pode-se provar que, dados dois números inteiros positivos a 
e b, teremos sempre que o produto desses números é igual 
ao produto do mdc pelo M.M.C. desses números, ou seja: 
 
O Mínimo Múltiplo Comum de dois números primos en-
tre si é igual ao produto deles. 
Exemplo: M.M.C. (7, 5, 3) = 7 x 5 x 3 = 105 
 
 
 
 Divisibilidade por 2: Quando terminado em 0 ou 2 ou 
4 ou 6 ou 8, isto é quando for par. 
Exemplo: 28 é divisível por 2, pois termina em 8, que é 
um número par 
 
 Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3, 
quando a soma dos valores absolutos de seus algaris-
mos for um número divisível por 3. 
Exemplo: 27, pois 2 + 7 = 9, e este é divisível por 3. 
 
 Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4, 
quando terminar em dois zeros, ou quando o número 
formado pelos dois últimos algarismos da direita for di-
visível por 4. 
Exemplo: 1300 é divisível por 4, pois termina em dois 
zeros. 
624 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
 
 Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 
quando terminar em 0 ou 5. 
Exemplo: 320 é divisível por 5, pois é terminado em 0. 
765, é divisível por 5, pois é terminado em 5. 
 
 Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6, 
quando for divisível por, 2 e 3, ao mesmo tempo. 
Exemplo: 642, pois é divisível por 2 e 3 ao mesmo 
tempo 
 
 Divisibilidade por 7: Um processo prático e fácil para 
a determinação da divisibilidade de um número qual-
quer por 7 é: 
Primeiro passo: Separa-se o algarismo das unidades 
simples, e dobra-se o valor absoluto do mesmo. Logo: 
 
1617  7  2 x 7 = 14 
 
Segundo passo: Subtrai-se o número assim obtido, do 
número que ficou a esquerda após a separação do al-
garismo das unidades simples. 
Logo: 
147
14
7.161
 
 
Terceiro passo: Procede-se analogamente como nos 
passos anteriormente analisados, até se obter um nú-
mero múltiplo de 7. 
Logo: 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 14 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
14727.
00
14
14 

 
Donde: 1617 é divisível por 7. 
 
 Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8, 
quando terminar em 3 zeros, ou quando o número for-
mado pelos três últimos algarismos, da direita, for divi-
sível por 8. 
Exemplo: 3000 é divisível por 8, pois é terminado em 
três zeros. 
1672 é divisível por 8, pois 672 é divisível por 8. 
 
 Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9, 
quando a soma dos valores absolutos dos seus alga-
rismos for um número divisível por 9. 
Exemplo: 648 é divisível por 9, pois 6 + 4 + 8 = 18 que 
é divisível por 9 
 
 Divisibilidade por 10, 100, 1000, ...: Um número divi-
sível por 10, 100, 1000, quando terminar em 0, 00, 
000, ... respectivamente. 
 
 Divisibilidade por 11: um número é divisível por 11, 
quando a soma dos valores absolutos dos algarismos 
de ordem ímpar e par forem iguais ou quando a dife-
rença entre a maior soma e a menor for um número di-
visível por 11. 
Exemplo: 1892 é divisível por 11, pois 2 + 8 = 10, e 9 
+ 1 = 10, e 10 – 10 = 0 
8371 é divisível por 11, pois 1 + 3 = 4, e 7 + 8 = 15, e 
15 – 4 = 11 
 
 Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12, 
quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 
Exemplo: 528 é divisível o 12, pois é divisível por 3 e 
por 4. 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Nem sempre, no cotidiano, trabalhamos com números 
inteiros; há o surgimento de uma nova classe de números, 
chamados fracionários. Eles são representados por a onde 
a é o numerador, e b é o denominador. 
O numerador indica a quantidade enquanto o denomi-
nador indica a qualidade, o tipo, a classe da fração. 
Exemplo: 
7
3
, onde 3 é o numerador, indica a quanti-
dade tomada, e 7 a quantidade de partes que o inteiro foi 
dividido. 
CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES 
 
As frações podem ser: 
 
a) Próprias: quando o numerador for menor que o deno-
minador. Indica que o número é menor que a unidade. 
Exemplo: 
7
4
 ;
3
2
 
 
b) Impróprias: quando o numerador for maior que o de-
nominador. Indica que o número é maior que a unidade. 
Exemplo: 
4
7
 ;
3
5
 
 
c) Aparentes: quando representam um número natural. 
 Exemplo: 
7
2
14
 ;3
2
6

. 
 
d) Ordinárias – quando o denominador é qualquer núme-
ro diferente de 10, 100, 1000, etc. 
Exemplo: 
99
4
 ;
4
20
 ;
4
7
 ;
3
4
 
 
e) Decimais – quando o denominador for 10, 100, 100, 
etc. 
Exemplo: 
10000
4765
 ;
1000
87
 ;
100
9
 ;
10
3
 
 
f) Mistas – quando formados por um número inteiro e um 
fracionário. 
Exemplo: 
3
4
3
 três inteiros e dois sétimos 
 
10
3
2
 dois inteiros e dois décimos 
 
TRANSFORMAÇÃO DE UM NÚMERO MISTO 
 
Seja o número 
7
5
4
. Podemos transformá-lo em uma 
fração imprópria: 
 
7
5
4
  
7
33
7
528
7
547




 
 
Note o denominador é o original. 
 
EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES 
 
Suponha que tenhamos as frações 
12
16
 e 
4
3
. Elas 
representam o mesmo número? Para saber é sómultiplicar 
o denominador de uma delas pelo numerador da outra e vi-
ce-versa. Se o resultado for o mesmo elas são iguais. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 15 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
)diferentes são ,
12
16
 e 
4
3
 frações as (logo
 2436 pois, ,64123 
12
16
 e 
4
3
 
 
Outro exemplo: 
 
iguais) são ,
21
15
 e 
7
5
 frações as (logo
 105051 pois, ,157215 
21
15
 e 
7
5
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Uma fração não se altera de dividirmos, ao mesmo 
tempo, numerador e denominador por um mesmo número. 
Seja: 
70
42
 Podemos dividir o denominador (70) e o 
numerador (42) por 14 ao mesmo tempo: 
 
5
3
 
70
42
14
14



 

 esta é uma fração irredutível 
 
REDUÇÃO AO MESMO DENOMINADOR 
 
Sejam as frações 
6
1
 e 
5
3
 ;
3
2
 
Vamos reduzi-las ao mesmo denominador: 
a) Determinamos o M.M.C. dos denominadores 
 
M.M.C. (3, 5, 6) = 30 
 
b) Dividimos o M.M.C. pelo antigo denominador e, a se-
guir, multiplicamos pelo numerador: 
 
6
1
;
5
2
;
3
2
 
30
5
;
30
18
;
30
20
 
 
Percebemos que: 
 
30
5
6
1
 e 
30
18
5
3
 ;
30
20
3
2

 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
1) ADIÇÃO: Devemos observar o denominador das frações 
que devem ser somadas. Temos dois casos: 
 
a) Denominadores iguais: conservamos os denominado-
res e adicionamos os numeradores. Ex: 
 
3
7
3
52
3
5
3
2



 
10
12
10
543
10
5
10
4
10
3



 
 
b) Denominadores diferentes: Devemos reduzi-los ao 
mesmo denominador e, após, adicionar os numerado-
res. Ex: 
 
3
2
4
1

 M.M.C. (4, 3) = 12 
 
Então temos: 
12
11
12
8
12
3

 
 
2) SUBTRAÇÃO: É análoga à adição com a subtração dos 
numeradores. Ex.: 
a) 
5
2
5
1
5
3

 
b) 
15
7
15
310
15
3
15
10
5
1
3
2



 
c) 
15
4
15
4
15
4
15
2016
15
20
15
16
3
4
5
2






 
 
Quando temos operações em que há um número mis-
to, devemos transformá-lo e só depois fazer a operação: 
Ex.: 
a) 
18
41
18
1556
6
5
9
28
6
5
9
1
3 


 
b) 
5
33
5
1320
5
13
1
4
5
3
24 


 
 
3) MULTIPLICAÇÃO: São multiplicados todos os numera-
dores, e também os denominadores. Ex.: 
a) 
12
2
43
12
4
1
3
2




 
b) 
45
14
59
27
5
2
9
7




 
 
Obs: Poderíamos simplificar as frações. 
a) Qual é a metade de um terço de cinco? 
6
5
132
511
1
5
3
1
2
1
5
3
1
2
1




 
b) Qual a Quarta parte dos dois terços de sete? 
6
7
12
14
134
721
1
7
3
2
4
1
7
3
2
4
1




 
4) DIVISÃO: Multiplica-se a primeira fração pela inversa da 
Segunda. Ex: 
a) 
15
14
35
72
3
7
5
2
7
3
5
2




 
b) 
4
15
12
45
26
95
2
9
6
5
9
2
6
5




 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 16 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
 
 
 
RAZÃO 
 
Denomina-se razão de dois números, dados numa cer-
ta ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quocien-
te do primeiro pelo segundo. 
Assim, a razão entre os números a e b pode ser dita 
“razão de a para b” e representada como: 
 
b
a
 ou a  b 
 
onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado 
consequente da razão dada. 
Ao representar uma razão frequentemente simplifica-
mos os seus termos procurando, sempre que possível, tor-
ná-los inteiros. 
 
Exemplos: 
1) A razão entre 0,25 e 2 é: 
 8 para 1
8
1
2
1
4
1
2
4
1
2
25,0

 
 
2) A razão entre 
6
1
 e 
12
5
 é: 
 5 para 2
5
2
5
12
6
1
12
5
6
1

 
 
RAZÃO INVERSA 
 
Dizemos que duas razões são inversas quando o ante-
cedente de uma é o conseqüente da outra e vice-versa. 
 
Exemplo: As razões 
7
5
 e 
5
7
 são inversas, pois o antece-
dente de uma é o conseqüente da outra e vice-versa. 
O produto de duas razões inversas é igual a 1. 
 
RAZÕES IGUAIS 
 
Duas razões são iguais quando as frações que as re-
presentam são equivalentes. 
Exemplo: As razões 
20
4
 e 
60
12
 são equivalentes, pois ve-
rifica-se 
5
1
20
4

 e 
5
1
60
12

, ou seja, as frações que as 
representam são equivalentes. 
 
PROPORÇÃO 
 
É a expressão que indica uma igualdade entre duas ou 
mais razões. 
A proporção 
d
c
b
a

 pode ser lida como “a está para b 
assim como c está para d” e representada como a  b = c  d.. 
Nesta proporção, os números a e d são os extremos e os nú-
meros b e c são os meios. 
Quarta proporcional de três números dados a, b e c 
nesta ordem, é o número x que completa com os outros 
três termos uma proporção tal que: 
 
x
c
b
a

 
 
Importante: 
Proporção Contínua: Denomina-se proporção contínua 
àquela que tem meios iguais. 
Numa proporção contínua temos: 
 O valor comum dos meios é chamado média proporci-
onal (ou média geométrica) dos extremos. Exemplo: 4 
é a média proporcional entre 2 e 8, pois 2 : 4 = 4 : 8. 
 O último termo de uma proporção contínua é chamado 
terceira proporcional. Exemplo: 5 é a terceira propor-
cional dos números 20 e 10 pois 20 : 10 = 10 : 5. 
 
ESCALA 
 
Chamamos de escala à razão constante entre qualquer 
medida de comprimento num desenho e a medida corres-
pondente no objeto real representado pelo desenho, ambas 
tomadas na mesma unidade. 
 
realobjetonoocomprimentdeMedida
desenhonoocomprimentdeMedida
Escala
 
 
PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO 
 
 Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios. (Propriedade Fundamental). 
 
cbba
d
c
b
a

 
 Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos 
está para o primeiro (ou para o segundo) assim como a 
soma dos dois últimos termos está para o terceiro (ou 
para o quarto). 
 
c
dc
a
ba
d
c
b
a 



 
 e 
d
dc
b
ba
d
c
b
a 



 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 17 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
 Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros ter-
mos está para o primeiro (ou para o segundo) assim 
como a diferença dos dois últimos está para o terceiro 
(ou quarto). 
 
c
dc
a
ba
d
c
b
a 



 
 e 
d
dc
b
ba
d
c
b
a 



 
 
 Em toda proporção, a soma dos antecedentes está pa-
ra o soma dos conseqüentes assim como cada ante-
cedente está para o seu conseqüente. 
 
b
a
db
ca
d
c
b
a




 
 e 
d
c
db
ca
d
c
b
a




 
 
 Em toda proporção, em que os conseqüentes são dife-
rentes entre si, a diferença dos antecedentes está para 
a diferença dos conseqüentes assim como cada ante-
cedente está para seu conseqüente. 
 
b
a
db
ca
d
c
b
a




 
 e 
d
c
db
ca
d
c
b
a




 
 
Números diretamente proporcionais 
 
Dada a sucessão, a, b, c, d, e,... são diretamente pro-
porcionais aos números da sucessão a’, b’, c’, d’, e’, ... 
quando as razões de cada termo da primeira sucessão pelo 
termo da correspondente segunda sucessão são todas 
iguais.k
'e
e
'd
d
'c
c
'b
b
'a
a

 (onde k é uma constante) 
 
Números inversamente proporcionais 
 
 Seja a sucessão a, b, c, d, e,... são inversamente pro-
porcionais aos números a’, b’, c’, d’, e’, ... quando os produ-
tos de cada termo da primeira sucessão pelo termo corres-
pondente da segunda são todos iguais. 
 
a . a’ = b . b’ = c . c’ = d . d’ = e . e’ = k 
(onde k é uma constante) 
 
 
 
Relação entre proporções inversa e proporção direta 
 
Sejam duas sucessões de números, todos diferentes 
de zero. Se os números de uma são inversamente propor-
cionais aos números da outra, então os números de uma 
delas serão diretamente proporcionais aos inversos dos 
números da outra. 
Esta relação nos permite trabalhar com sucessões de 
números inversamente proporcionais como se fossem dire-
tamente proporcionais. 
 
 
 
 
 
DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Dividir um número N em partes diretamente proporcio-
nais aos números a¸ b, c,..., significa encontrar os números 
A, B, C,..., tais que: 
 
...
c
C
b
B
a
A

 e A + B + C + ... = N 
 
Exemplo: Dividir o número 72 em partes diretamente pro-
porcionais aos números 3, 4 e 5. 
Resolução: Indicando por A, B e C as partes procuradas, 
temos que: 
 
A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72 
 
Portanto: 3p + 4p + 5p = 72  12p = 72  p = 6 
 
Valor de A  3p = 3  6 = 18 
Valor de B  4p = 4  6 = 24 
Valor de C  5p = 5 6 = 30 
 
Logo, as partes procuradas são 18, 24 e 30. 
 
DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Dividir um número N em partes inversamente proporci-
onais a números dados a, b, c,..., significa encontrar os 
números A, B, C, ..., tais que: 
a x A = b x B = c x C = ... e A + B + C + ... = N 
 
Exemplo: Dividir o número 720 em partes inversamente 
proporcionais aos números 3, 4 e 12. 
Resolução: 
 
p
3
1
A 
, 
p
4
1
B 
, 
p
12
1
C 
 e A + B + C = 720 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 18 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
Reduzindo as frações ao mesmo denominador, tere-
mos: 
12
1
,
12
3
,
12
4
 
 
Desprezando os denominadores temos: 4, 3, 1 
Então, poderemos dividir 720 em partes diretamente 
proporcionais a 4, 3 e 1. 
Indicando por A, B e C as partes procuradas, temos 
que: 
 
A = 4p, B = 3p, C = 1p e A + B + C = 720 
 
A + B + C = 720  4p + 4p + p = 720  8p = 720  p = 90 
 
Assim, concluímos que: 
 
Valor de A  4p = 4  90 = 360 
Valor de B  3p = 3  90 = 270 
Valor de C  1p = 1  90 = 90 
 
Portanto, as partes procuradas são 360, 270 e 90. 
 
DIVISÃO COMPOSTA DIRETA 
 
Chamamos de divisão composta direta à divisão de um 
número em partes que devem ser diretamente proporcionais 
a duas ou mais sucessões de números dados, cada uma. 
Para efetuarmos a divisão composta direta, devemos: 
 Encontrar uma nova sucessão onde cada valor será o 
produto dos valores correspondentes das sucessões 
dadas; 
 Efetuar a divisão do número em partes diretamente 
proporcionais aos valores da nova sucessão encontra-
da. 
 
Exemplo: Dividir o número 270 em três partes que devem 
ser diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e tam-
bém diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, res-
pectivamente. 
Resolução: Indicando por A, B e C as três partes procura-
das, devemos ter: 
A será proporcional a 2 e 4  2  4 = 8  A = 8p 
B será proporcional a 3 e 3  3  3 = 9  B = 9p 
C será proporcional a 5 e 2  5  2 = 10  C = 10p 
 
A + B + C = 270  8p + 9p + 10p = 270 
27p = 270  p = 10 
 
Valor de A  8p = 8  10 = 80 
Valor de B  9p = 9  10 = 90 
Valor de C  10p = 10  10 = 100 
 
Portanto, as três partes procuradas são 80, 90 e 100. 
 
 
DIVISÃO COMPOSTA MISTA 
 
Chamamos de divisão composta mista à divisão de um 
número em partes que devem ser diretamente proporcio-
nais aos valores de uma sucessão dada e inversamente 
proporcionais aos valores de uma outra sucessão dada. 
Para efetuarmos a divisão composta mista, devemos: 
 Inverter os valores da sucessão que indica proporção 
inversa, recaindo assim num caso de divisão composta 
direta; 
 Aplicar o procedimento explicado anteriormente para 
as divisões compostas diretas. 
 
Exemplo: Dividir o número 690 em três partes que de-
vem ser diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e 
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respecti-
vamente. 
Resolução: Invertendo os valores da sucessão que in-
dica proporção inversa, obtemos: 
 
4
1
 e 
3
1
 ,
2
1
 
 
Reduzindo as frações a um mesmo denominador, te-
remos: 
 
3 e 4 ,6
12
3
 e 
12
4
 ,
12
6

 
 
Então, indicando por A, B e C as três partes procura-
das, devemos ter: 
A será proporcional a 1 e 6  1  6 = 6  A = 6p 
B será proporcional a 2 e 4  2  4 = 8  B = 8p 
C será proporcional a 3 e 3  3  3 = 9  C = 9p 
 
A + B + C = 690  6p + 8p + 9p = 180 
23p = 690  p = 30 
 
Valor de A  6p = 6  30 = 180 
Valor de B  8p = 8  30 = 240 
Valor de C  9p = 9  30 = 270 
 
Portanto, as partes procuradas são 180, 240 e 270. 
 
 
 
 
 
Chamamos de regra de três ao processo de cálculo uti-
lizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais 
grandezas direta ou inversamente proporcional. 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 19 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
RELAÇÃO DE PROPORÇÃO DIRETA 
 
Duas grandezas variáveis mantêm relação de propor-
ção direta quando aumentando ou diminuindo uma delas 
duas, três, quatro, etc, vezes o seu valor, a outra também 
aumenta ou diminui respectivamente para duas, três, qua-
tro, etc, vezes o seu valor. 
Exemplo: Considere as duas grandezas variáveis: 
 
Comprimento de 
um tecido 
 Preço de 
venda da peça 
1 metro custa R$ 10,00 
2 metros custam R$ 20,00 
3 metros custam R$ 30,00 
4 metros custam R$ 40,00 
 
Observamos que, quando o comprimento do tecido 
tornou-se o dobro, o triplo etc., o preço de venda da peça 
também aumentou na mesma proporção. Portanto as 
grandezas “comprimento do tecido” e “preço de venda da 
peça” são diretamente proporcionais. 
 
RELAÇÃO DE PROPORÇÃO INVERSA 
 
Duas grandezas variáveis mantêm relação de proporção 
inversa quando aumentando uma delas para duas, três, 
quatro, etc, vezes o seu valor, a outra diminuir respectiva-
mente para metade, um terço, um quarto, etc., do seu valor. 
Exemplo: Considere as grandezas variáveis: 
 
Velocidade de 
um automóvel 
 Tempo de dura-
ção da viagem 
A 20 Km/h a viagem dura 6 horas 
A 40 Km/h a viagem dura 3 horas 
A 60 Km/h a viagem dura 2 horas 
 
Observamos que, quando a velocidade tornou-se o do-
bro, o triplo do que era, o tempo de duração da viagem tor-
nou-se correspondentemente a metade, a terça parte do 
que era. Portanto, as grandezas “velocidade” e “tempo de 
duração da viagem” são inversamente proporcionais. 
 
IMPORTANTE 
Não basta observar que o aumento de uma das gran-
dezas implique no aumento da outra. É preciso que exista 
proporção. 
Exemplo: Aumentando o lado de um quadrado, a área do 
mesmo também aumenta. Mas não há proporção, pois ao do-
brarmos o valor do lado, a área não dobra e sim quadruplica. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Denominamos regra de três simples quando o proble-
ma envolve somente duas grandezas. 
Exemplos: 
1. Camila foi ao Supermercado e comprou 5 kg de arroz 
por 10 reais. Quanto ela pagaria se fosse comprar 20 
kg desse mesmo arroz? 
Resolução: Esquematizando o problema, tem-se: 
 
Quantidade de Arroz (kg) Preço (Reais) 
5 10 
20 x 
 
Por outro lado, aumentando-se a quantidade de kg, fa-
talmente aumentará o preço que ela deverá pagar, ou seja, 
quantomaior a quantidade de kg maior o valor pago em re-
ais. Assim as duas grandezas em questão no problema são 
diretamente proporcionais. Usando a definição. 
 
x
10
20
5

 
 
Usando a propriedade fundamental das proporções temos: 
 
5  x = 20  10  x = 
5
200
  x = 40 
 
Ou seja, se ela for comprar 20 kg, pagará para isso 40 reais. 
 
2. Para pintar uma casa, Ribamar contrata 2 pintores que 
fazem esse serviço em 6 dias. Como ele quer pressa, 
pede para fazer o serviço 4 pintores. Quantos dias será 
feita a pintura? 
 
Mão de Obra (Pintores) Tempo (Dias) 
2 6 
4 x 
 
Observamos que aumentando-se a quantidade de pin-
tores o serviço será feito em menos dias, ou seja as duas 
grandezas mão de obra e tempo são inversamente propor-
cionais, pois aumentando-se uma diminui-se a outra. As-
sim usando a definição 
 
 2  6 = 4  x  4  x = 12  x = 3 
 
Ou seja aumentando-se o número de pedreiros para 4 
o número de dias diminui para 3. Logo com 4 pedreiros o 
serviço será feito em 3 dias. 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Denomina-se regra de três composta quando o pro-
blema envolver mais de duas grandezas. 
 
Exemplo: Numa tecelagem, 10 máquinas trabalhando 20 
dias produzem 2000 metros de um certo tecido. Quantas 
máquinas serão necessárias para produzir 1600 metros do 
mesmo tecido em 5 dias? 
Com estas informações postas em um quadro: 
 
N° de Máquinas N° de Dias Quant. de Metros 
10 20 2000 
x 5 1600 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 20 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
Fixando a grandeza número de máquinas, tem-se: 
 
 Máquinas  Dias 
 Máquinas  Metros de tecido 
 
De acordo com o esquema acima, as grandezas Nú-
mero de Máquinas e Número de Dias são inversamente 
proporcionais, enquanto as Grandezas Número de Máqui-
nas e Metros de Tecido são diretamente proporcionais. Es-
se fato pode ser constatado da seguinte forma. Quanto 
mais máquinas forem usadas, mais dias serão necessários 
para produzir o tecido? A resposta é não, logo as duas 
grandezas em questão são inversamente proporcionais. 
Por outro lado, quanto mais máquinas forem usadas, maior 
será a quantidade de metros de fios produzidos, logo estas 
serão diretamente proporcionais e as setas apontam no 
mesmo sentido. 
Para efetuar o cálculo de x na Regra de Três Compos-
ta acima a coluna onde figura a grandeza inversamente 
proporcional deverá ser invertida, como segue: 
 
N° de Máquinas N° de Dias Quant. de Metros 
10 5 2000 
x 20 1600 
 
Agora, efetuando o cálculo: 
 
1600
2000
20
5
x
10

 
 
logo: x = 32 
Ou seja, serão necessárias 32 máquinas para produzir 
1600 metros de tecido em 20 dias. 
 
 
 
 
 
RAZÃO CENTESIMAL 
 
Chamamos de razão centesimal (razão porcentual ou 
percentil) a toda razão cujo conseqüente (denominador) se-
ja igual a 100. 
Exemplo: 
100
2,5
;
100
43
;
100
6
 
 
TAXA PORCENTUAL 
 
Quando substituímos o conseqüente 100 pelo símbolo 
% (por cento) temos uma taxa porcentual ou taxa centesimal. 
Exemplo: 
%72
100
72

 (setenta e dois por cento) 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Dada uma razão qualquer 
v
p
, chamamos de porcenta-
gem do valor v a todo valor de p que estabeleça uma pro-
porção com alguma razão centesimal. 
 
%r
100
r
v
p

 
 
Na prática, pode-se determinar o valor p da porcenta-
gem de dois modos. 
 Multiplicando-se a razão centesimal pelo valor v. 
 
v
100
r
p 
 
 
A expressão acima justifica dizermos que “p é igual a 
r% de v”. 
 Resolvendo a regra de três que compara v a 100%. 
 
%100v
%rp
tax av alores 
 
AUMENTOS E REDUÇÕES PORCENTUAIS 
 
Quando aumentamos em p% um valor V, ficamos com 
(100 + p)% de V. 
Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de 
(100 + p)% para termos o resultado desejado. 
 
Exemplos: 
1. Aumentar o valor 230 em 30%. 
Solução: 
(100 + 30)% = 130% = 1,30 
230 x 1,30 = 299 
 
2. Aumentar o valor 400 em 3,4%. 
Solução: 
(100 + 3,4)% = 103,4% 
400 x 1,034 = 413,6 
 
Quando reduzimos em p% um valor V, ficamos com 
(100 - p)% de V. 
Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de 
(100 - p)% para termos o resultado desejado. 
 
Exemplos: 
1) Reduzir o valor 300 em 30%. 
Solução: 
(100 – 30)% = 70% = 0,7 
300 x 0,7 = 210 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 21 CONCURSO LEVADO A SÉRIO 
2) Reduzir o valor 400 em 2,5%. 
Solução: 
(100 – 2,5)% = 97,5% = 0,975 
400 x 0,975 = 390 
 
AUMENTOS E REDUÇÕES PORCENTUAIS SUCESSIVOS 
 
Para aumentarmos um valor V sucessivamente em, de 
tal forma que cada um dos aumentos, a partir do segundo, 
incida sobre o resultado do aumento anterior, basta multi-
plicar o valor V pelo produto das unitárias de: 
 
(100 + p1)%  (100 + p2)%  (100 + p3)%  ...  (100 + pn)% 
 
Exemplo: Aumentar o valor 2000 sucessivamente em 10%, 
20% e 30%. 
Solução: 2000 x 1,1 x 1,2 x 1,3 = 3.432 
 
Para reduzirmos um valor V sucessivamente em de tal 
forma que cada um das reduções, a partir da segunda, inci-
da sobre o resultado da anterior, basta multiplicar o valor V 
pelo produto das unitárias de: 
 
(100 – p1)%  (100 – p2)%  (100 – p3)%  ...  (100 – pn)% 
 
Exemplo: Reduzir o valor 2.000 sucessivamente em 10%, 
20% e 30%. 
Solução: 2.000 x 0,9 x 0,8 x 0,7 = 2.520