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CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
1
ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME
PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA 
1 – INTRODUÇÃO
O cálculo do fluxo de potência, fluxo de carga, ou em inglês, load flow, em um SEP consiste
essencialmente na determinação do estado de operação desta rede dada sua topologia e uma certa
condição de carga.
Este estado de operação consiste de:
! determinação das tensões e ângulos para todos os barramentos do sistema;
! determinação dos f luxos de potência ativa e reativa através dos ramos do sistema;
! determinação das potências ativas e reativas, geradas, consumidas e perdidas nos diversos
elementos do sistema.
Esta análise de f luxo de potência é um dos estudos mais frequentes realizados em SEP. Ele por si
só pode constituir um estudo próprio ou fazer parte de um outro estudo mais complexo, por exemplo:
! estudo próprio: planejamento da operação, expansão do sistema, etc;
! outros estudos: parte dos estudos de estabilidade, de otimização, de confiabilidade, etc.
Como exemplo de aplicação de simulações de f luxo de potência, pode-se citar:
! es tudos para planejamento do SEP, verif icando as providências a serem tomadas com o
crescimento do sistema;
! avaliação das condições operativas do SEP, ou seja, analisar as condições operativas da rede em
regime normal e de emergência;
! es tudos de avaliação e determinação de medidas corretivas para a operação do sistema em
condições de emergência, como, por exemplo, ajustes de taps de transformadores, condições de
chaveamento de bancos de capacitores, redespacho de geração das unidades do sistema,
sincronização de unidades fora de operação, etc;
! determinação dos limites de transmissão de potência do SEP;
! etc.
Até 1930 todos os cálculos de f luxo de potência eram feitos à mão, o que exigia inúmeras
s implif icações e impossibilitava a análise de grandes sistemas, devido a quantidade de cálculos
matemáticos necessários para a obtenção de resposta, mesmo para pequenos sistemas. Entre 1930
e 1956 foram usados analisadores de rede para resolver problemas de f luxo de potência. Os
analisadores de rede (Netw ork Calculators - Westinghouse ou Netw ork Analysers - GE) são modelos
em miniatura da rede em estudo, onde o comportamento do sistema era determinado pela medida
de grandezas elétricas no modelo. O problema básico da imprecisão e lentidão de cálculo continuou
 
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e só pode ser sanado mais modernamemente com a utilização de computadores digitais. As
pr imeiras tentativas tiveram sucesso limitado, visto que os programas apenas automatizavam os
cálculos dos métodos manuais, usando equações de laços e de malhas, e não explorando
adequadamente a capacidade do computador. 
Em 1954, L.A. Dunstan no artigo Digital Load Flow Studies, apresentou uma primeira análise de
redes utilizando computadores digitais. Em 1956, Ward e Hale apresentaram o primeiro programa
de computador, realmente bem sucedido, para solução de f luxo de potência, no artigo Digital
Computer Solution of Power-Flow Problems. O programa apresentado por Ward e Hale utilizava a
formulação nodal do problema e resolvia as equações não lineares que descreviam a rede, por um
método iterativo de New ton modif icado. Os programas que imediatamente se seguiram, utilizaram
o método de Gauss-Seidel. Com o sucesso do método de Ward e Hale um grande número de artigos
de Glimm e Stagg, de Brow n e Tinney foram publicados sugerindo modif icações nos algoritmos e
incorporando características adicionais aos programas computacionais. Na década de 60, com o
crescimento dos SEP e com a tendência de interligação dos mesmos, através de ligações em alta
tensão, foi aumentado rapidamente o número de ligações e de barramentos representativos do
sistema. As características do método de Gauss-Seidel fazem com que ele não se adapte bem a
s is tema representados por um grande número de barras, de forma que se tornou necessário a
pesquisa de um outro método de solução de problemas de f luxo de potência. 
Após vários anos de pesquisa realizados pela Bonneville Pow er Administration (BPA) foi desenvolvido
um método extremamente bem sucedido de solução das equações de f luxo de potência através do
algoritmo de New ton-Raphson. O método se adaptou muito bem a grandes sistemas, como também
obtinha solução de problemas em que o método de Gauss-Seidel havia falhado.
Atualmente, o método de New ton-Raphson é o mais utilizado para a solução de problemas de f luxo
de potência. Desde sua primeira formulação ele vem sofrendo diversas complementações no sentido
de torná-lo cada vez mais poderoso. Novos métodos, utilizando algoritmos semelhantes ao de
New ton-Raphson também vem sendo desenvolvidos a f im de obter maior rapidez e menor memória
computacional, como por exemplo, os métodos desacoplados. 
Apesar de todos estes métodos, a solução do problema do f luxo de potência continua sendo objeto
de muita pesquisa e estudo, visando o desenvolvimento de métodos de solução cada vez mais
poderosos, rápidos e confiáveis.
De uma maneira geral, o problema do f luxo de potência caracteriza-se por ser não linear e portanto
são necessários, conforme já comentado e se verá adiante, processos iterativos de cálculo numérico
para resolução do problema (por isso os métodos diretos de análise nodal ou de malhas, usados na
teoria de circuitos não podem ser utilizados). A não linearidade das equações decorre de certas
características da modelagem de alguns componentes do sistema. 
Na análise de f luxo de potência interessa-se em obter uma solução do sistema operando em regime
permanente senoidal, por isso a modelagem do sistema é estática, o que signif ica que as equações
e inequações representativas da rede são algébricas e não diferenciais. 
 
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2 – SUPOSIÇÕES E APROXIMAÇÕES
Nos cálculos de f luxo de potência comumente são feitas as seguintes simplif icações:
! As cargas ativas e reativas nos barramentos do sistema são supostas constantes.
As cargas embora possam variar signif icativamente dentro de períodos longos de tempo, o fazem
de maneira lenta e gradual, quase imperceptível dentro de pequenos intervalos de tempo. Logo,
o resultado é obtido em um estudo é válido dentro de um intervalo de tempo razoável. Quando
ocorre variações de cargas muito elevadas basta alterar seu valor e efetuar uma nova simulação.
Em algumas situações especiais pode ser necessário modelar algumas características dinâmicas
das cargas. Isto pode acarretar a necessidade de modelos mais elaborados da mesma, de outros
componentes do sistema e também de modif icações no algoritmo de resolução das equações do
sistema. Por exemplo:
! carga de retif icação (fábrica de alumínio, etc);
! carga de metrô, trem, etc;
! outros (efeito corona em linhas de transmissão, etc).
Uma outra modelagem de cargas pode ser feita através de representação por corrente constante
ou impedância constante.
! Admite-se que a rede opere de maneira equilibrada em suas três fases e, portanto, uma
representação unif ilar é suficiente
Esta simplif icação não afeta de forma signif icativa a precisão dos resultados.
Caso ocorra situações de desequilíbrio na rede, tais como:
! linhas não transpostas, ou não totalmente transpostas;
! cargas monofásicas ou bifásicas de elevada potência, tais como, fornos elétricos, ferrovias, etc,
em corrente alternada;
! faltas assimétricas de um modo geral, tais como defeitos fase-terra, dupla fase, dupla fase-
terra, bem como abertura de condutores;
! estudos mais sofisticados de estabilidade e proteção;
! etc;
será necessário a análise através de um fluxo de potência trifásico, onde são representados todas
as três fases do sistema.
! Os elementos passivos do sistema são representados com parâmetros concentradosCom isso é evitado a necessidade de equações diferenciais para representação dos elementos.
No presente curso, a atenção será focalizada no f luxo de potência convencional, onde as três
hipóteses acima são consideradas aceitáveis.
P k
G
Q k
G
( k )
(k)
P k Q k
C C
C
(k)
Y k
 
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3 – REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES
3-1 – Geradores
São representados pelas potências ativa e reativa (indutiva ou capacitiva) que devem entregar ao
barramento que estão conectados, como mostra a f igura 1.
Figura 1 – Representação do gerador para estudos de f luxo de potência
Estas potências podem ser conhecidas (especif icadas) ou então serem obtidas como resultado do
fluxo de potência.
3-2 – Cargas
São representadas pelas potências ativa e reativa consumidas, supostas constantes, como ilustrado
na f igura 2.
Figura 2 – Representação da carga, como potência constante, para estudos de f luxo de potência
Como exemplo de cargas de potência constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos motores
síncronos e de indução (com restrições) e as parcela reativa dos motores síncronos (sem grande
precisão).
A lgumas cargas podem ser representadas como uma impedância constante, ou seja, por uma
admitância ligada do barramento à referência, como mostra a f igura 3.
Figura 3 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos
 de f luxo de potência
0Y
C
k ' ( P
C
k & jQ
C
k )
V
2
B
V
2
k × SB
(k)
C
kI
0I
C
k ' (P
C
k & j Q
C
k )
VB
VE SB
0S
C
k
' P
C
k % j Q
C
k '
0V
k
( 0I C
k
)( ' V
k
I
C
k e
j Nk
Nk ' 2k & (k
0Y
C
k
P
C
k Vk
Q
C
k Vk
SB
V
B
0I
C
k
Nk
2k (k
 
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5
Logo:
onde:
 - admitância ligada do barramento a referência (pu);
 - potência ativa em MW absorvida pela carga a tensão em kV;
 - potência reativa em MVAr absorvida pela carga a tensão em kV;
 - potência de base em MVA;
 - tensão de base em kV.
Como exemplo de cargas de impedância constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos aquecedores
e das lâmpadas incandescentes (aproximadamente), sendo a parcela reativa nula.
Também outras cargas podem ser representadas como cargas que absorvem corrente constante,
como mostra a f igura 4.
Figura 4 – Representação da carga, como corrente constante, para estudos
 de f luxo de potência
Logo:
Neste tipo de carga as grandezas consideradas f ixas são o módulo da corrente que f lui pela
mesma e o defasamento angular dessa corrente em relação a tensão do barramento de
alimentação:
sendo:
onde e são, respectivamente, os ângulos de fase da tensão e da corrente, ambos expressos
em relação à mesma referência.
Como exemplo de carga de corrente constante, pode-se citar, as parcelas ativa das lâmpadas
fluorescentes e de certos tipos de cargas de retif icação em escala industrial.
Y
i0
= j
b ik
2
= r + jxZ ik ik ik
Y
k0
= j
b ik
2
(i) (k)
Y
i0
Y
k0
Z
ik
= B
B
A - 1
=
B
A - 1
=
(i) (k)
0A ' cosh (0( R)
0B ' 0Z
c
senh (0( R)
0Zc '
r ik % jx ik
j bik
0( ' (r ik % jx ik) jbik
B
.
B
B
0A 0B 0C 0D
0Zc
γ˙
 
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6
3-3 – Linhas de Transmissão
São representadas pelo seu circuito equivalente, conforme ilustrado na f igura 5.
Figura 5 – Representação da linha de transmissão para estudos de f luxo de potência
No caso de linhas de transmissão curtas ( até 40 km), é comum desprezar as susceptâncias
capacitivas no circuito equivalente.
As linhas médias e longas devem ser representadas pelo circuito equivalente completo. 
No caso das linhas longas os parâmetros devem ser corrigidos (teoria da linha longa) e podem ser
obtidos através dos parâmetros , , e da linha considerada como um quadripolo como pode
ser visto na f igura 6.
Figura 6 – Representação da linha de transmissão por um quadripolo
onde:
sendo:
 - impedância característica da linha de transmissão (pu);
 - constante de propagação da linha de transmissão (rad).
Se a linha possuir reatores, é comum representá-los nos barramentos terminais da mesma, como se
fossem reatores de barra, como mostra a f igura 7.
Q k
R
iQ
R
(i) (k)
Z ik
(i) (k)
(i) (k)
Z ik
p : pi k
(i) (k)
i0Y Yk0
Yik
B
0Zik
 
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7
Figura 7 – Representação da linha de transmissão com reatores em seus extremos
Este procedimento evita tornar assimétrico o circuito equivalente da linha, o que iria ocorrer caso
os reatores forem diferentes nas duas extremidades da linha (ou só existissem em uma delas) e
fossem incorporados à susceptância shunt da linha, e facilita a obtenção do f luxo reativo consumido
pelos reatores (o que não ocorre caso os reatores sejam incorporados à linha).
3-4 – Transformadores de 2 enrolamentos
Normalmente, são representados pela sua impedância de dispersão.
Se o transformador não apresenta taps, coloca-se simplesmente a impedância de dispersão entre
os barramentos terminais do transformador, como mostrado na f igura 8, onde é sua impedância
de dispersão em pu referida à potência de base.
Figura 8 – Representação do transformador para estudos de f luxo de potência
Se o transformador apresenta somente taps variáveis em fase, a representação do mesmo está
apresentado na f igura 9, sendo seu modelo mostrado na f igura 10.
Figura 9 – Representação do transformador com taps para estudos de f luxo de potência
Figura 10 – Modelo do transformador com taps em fase
0Yik '
1
pi pk
0Zik
0Yi0 '
0Yik
pk & pi
pi
0Y
k0
' 0Y
ik
p
i
& p
k
pk
pi '
Vtap i
VB
i
pk '
Vtap k
VBk
1: p + jq Z ik
(i) (k)
0Ii
0Ik
'
1
0Z ik
&
p & j q
p 2 % q 2
1
0Z ik
&
p % j q
p 2 % q 2
1
0Z ik
1
p 2 % q 2
1
0Z ik
0Vi
0Vk
0Zik
Vtap i
V
tap k
VBi
VBk
B
 
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sendo:
onde:
 - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
 - tensão de base do barramento (i);
 - tensão de base do barramento (k).
Pode-se observar no modelo acima que ao se elevar o tap do transformador do lado k (p > 1), pork
exemplo, para aumentar a tensão deste barramento, acarretará que a susceptância do barramento
(k) para a terra resulta em um valor positivo (capacitivo) e do barramento (i) para a terra um valor
negativo (indutivo), tendendo a aumentar a tensão do barramento (k) e a diminuir a do barramento
(i), o que está de acordo com o esperado.
A figura 11 mostra o transformador com taps variáveis em fase e quadratura (ou só em quadratura).
Figura 11 – Representação do transformador com taps em fase e quadratura,
para estudos de f luxo de potência
Neste caso não é possível a determinação de um circuito equivalente, sendo o transformador
representado na forma matricial:
(i) (k)
(j)
( fic )Z
Z
Zi-fic k-fic
j-fic
0Zi&fic '
1
2
( 0zik % 0zji & 0zkj)
0Zj&fic '
1
2
( 0zji % 0zkj & 0zik)
0Zk&fic '
1
2
( 0zkj % 0zik & 0zji)
0Zik
0zik
0zkj
0z
ji
0z
ik
0z
kj
0z
ji
 
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9
onde:
 - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
 p - tap em fase do transformador do enrolamento do lado k;
 q - tap em quadratura do transformador do enrolamento do lado k.
3-5 – Transformador de 3 enrolamentos
Os transformadores de 3 enrolamentos podem ser representados porseu equivalente em triângulo
ou em estrela. 
A representação pelo equivalente em estrela acarreta o aparecimento de um nó f ictício entre os
barramentos terminais do transformador, como pode ser visto na f igura 12.
Figura 12 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em estrela, 
para estudos de f luxo de potência
sendo:
onde:
 - impedância i-k do transformador referida à potência de base (pu);
 - impedância k-j do transformador referida à potência de base (pu);
 - impedância j-i do transformador referida à potência de base (pu).
As impedâncias , e são obtidas de ensaios de curto-circuito realizados nos três
enrolamentos do transformador. Todas a impedâncias devem estar em pu ou então referidas ao
mesmo lado do transformador.
Nesta representação o transformador de três enrolamentos é representado por três transformadores
de dois enrolamentos e se o mesmo apresentar taps variáveis eles podem ser representados da
maneira vista na seção precedente.
Uma outra maneira de representar o transformador de três enrolamentos é através de um circuito
Z ik
jiZ Z kj
(j)
(i) (k)
0Zik '
0Zi&fic.
0Zk&fic %
0Zi&fic.
0Zj& fic %
0Zj& fic.
0Zk&fic
0Z j&fic
0Zkj '
0Zi&fic. 0Zk& fic % 0Zi&fic. 0Zj&fic % 0Zj&fic. 0Zk&fic
0Zi&fic
0Zji '
0Zi&fic.
0Zk& fic %
0Zi&fic.
0Zj& fic %
0Zj& fic.
0Zk&fic
0Zk&fic
(i) (k)
Yk0
ikY
YkjYji
1
2
Yi0
1Yi0
3
2j0
Yj0Y 3
Yk0
(j)
 
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ligado em triângulo. Nesta representação não é necessário a criação do barramento f ictício, como
pode ser observado na f igura 13.
Figura 13 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, 
para estudos de f luxo de potência
As impedâncias entre os barramentos terminais do transformador podem ser obtidas dos valores da
representação em estrela:
deve-se observar que estas admitâncias são diferentes das obtidas no ensaio do transformador.
Se o transformador apresentar taps variáveis em fase, tem-se o equivalente mostrado na f igura 14.
Figura 14 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, 
com taps variáveis em fase
0Yik '
1
pi . pk .
0Zik
0Yi01
' 0Yik
pk & pi
pi
0Yk01
' & 0Yi01
pi
pk
0Ykj '
1
pk . pj . 0Zkj
0Yk0
2
' 0Ykj
pj & pk
pk
0Yj02
' & 0Yk02
pk
pj
0Yji '
1
pj .pi .
0Zji
0Yj03
' 0Yji
pi & pj
p
j
0Y
i03
' & 0Y
i03
p
j
pi
pi '
Vtap i
VB
i
pj '
Vtap j
VBj
p
k
'
Vtap k
VBk
V
tap i
Vtap k
Vtap j
VBi
V
Bk
VBj
 
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sendo:
onde:
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado j;
 - tensão de base do barramento (i);
 - tensão de base do barramento (k);
 - tensão de base do barramento (j);
3-6 – Compensadores Síncronos
São representados como geradores síncronos com a potência ativa zerada, como indicado na f igura
15.
Q k
S
0.0
(k)
S
0S
S
k ' j Q
S
k
(k)
MAX
MIN
I
MAXMIN
Q
I MIN
B
BMAX
LIMITE DE
CORREN TE
V
V
MIN
V
I MAX
Q
 FAIXA DE
CONTROLE
VR EF
S
S
k
Q
S
k
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
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Figura 15 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos
 de f luxo de potência
Tem-se:
onde:
 - potência complexa em MVA (ou pu) gerada;
 - potência reativa em MVAr (ou pu) gerada.
3-7 – Compensadores Estáticos
Existem vários tipos de compensadores estáticos, como por exemplo:
! capacitores e reatores chaveáveis mecanicamente;
! reatores saturáveis;
! capacitores e reatores controlados (tiristores);
! etc. 
Um modelo básico simplif icado de um compensador estático e de sua característica estão
apresentados na f igura 16.
Figura 16 – Representação do compensador estático para estudos de f luxo de potência
Quando o compensador estático está funcionando dentro de sua faixa de controle ele é representado
por uma reatância (X ) alocada entre o barramento do sistema no qual o compensador está
CE
conectado e um barramento auxiliar com tensão f ixa no valor a ser controlado. A reatância X variaCE
tipicamente entre 0 e 5% e pode ser obtida das características dos componentes e da faixa de ajuste.
 
CEjX
CE
V
(k)
REF
 
MAX
MINjB
V
I= jB SE >I MAX
= jB SE < V MIN
(k)
ICE > IMAX Y B ' BMIN '
QMAX
V
2
MAX
VCE < VMIN Y B ' BMAX '
QMIN
V
2
MIN
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
13
S e X f or igual a zero o compensador é representado como um síncrono, f ixando a tensão do
C E
barramento no qual está conectado. Este modelo está apresentado na f igura 17.
Figura 17 – Representação do compensador estático, dentro de sua faixa de controle,
para estudos de f luxo de potência
Quando o ponto de operação está fora da região de controle o compensador estático é representado
como um elemento shunt com uma susceptância (B), que depende do ponto de operação (item 9),
como mostrado na f igura 18.
Figura 18 – Representação do compensador estático, fora de sua faixa de controle,
para estudos de f luxo de potência
Para:
 
Dependendo do tipo de estudo a ser feito o compensador pode ser representado da mesma maneira
que os compensadores síncronos.
3-8 – Capacitores Série
São representados como uma reatância negativa, como pode ser visto na f igura 19.
Eventualmente os capacitores série também podem ser representados englobando sua reatância à
reatância do circuito B equivalente da linha de transmissão. Esta representação além de não ser
muito correta, tem o inconveniente de não possibilitar obter a tensão nos terminais do capacitor.
-jX C(i) (k)
(k)(k)
REATOR CAPACITOR ( )( )
Q k
R Q k
C
Q
k
SB
' b
k
.
V
k
VB
2
Y b
k
'
Q
k(pu )
V
2
k(pu)
bk ' Qk(pu )n
Q
k(pu )
Vk(pu )
bk
V
k( pu)
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
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Figura 19 – Representação do capacitor série para estudos de f luxo de potência
3-9 – Capacitores e Reatores de Barra
São representados pela potência reativa fornecida por eles, sob tensão nominal, no barramento no
qual estão conectados, como mostra a f igura 20.
Figura 20 – Representação do reator e capacitor de barra para estudos
 de f luxo de potência
No caso de capacitores a potência reativa fornecida é considerada positiva e no caso de reatores é
considerada negativa.
Apesar dos capacitores e reatores apresentarem uma perda de potência ativa, que é traduzido pelo
seu fator de qualidade, ela é desprezada nos estudos de f luxo de potência.
Como a potência fornecida por tais elementos é função do quadrado da tensão (impedância
constante) ela não f ica constante durante a operação do sistema. Por esta razão, quando se fornece
a potência nominal do elemento se fornece também a tensão para o qual esta potência está referida,
possibilitando obter a susceptância do elemento, valor este constante. Para uma condição qualquer
de tensão, tem-se:
onde:
 - potência reativa fornecida pelo elemento ao barramento no qual está conectado (pu);
 - módulo da tensão no barramento (pu);
 - susceptância do elemento (pu);
Na condição nominal de operação do elemento, tem-se que a tensão é igual a 1.0 pu, logo:
jb k
(k)
(k)
C
Vk
.
..
.S k
kp
kq
ki
S
S
S
G
S k
T
S k}
0S
G
K &
0S
C
k &
0S
T
k ' 0
bk
j bk [
0YN ]
0S
G
k
0S
C
k
0S
T
k
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
15
A susceptância será conectada entre o barramento (k) e a terra, comomostra a f igura 21.
Figura 21 – Modelo do reator e capacitor de barra
O valor de é adicionado apenas ao elemento da matriz relativo ao barramento (k).
4 – FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA
Teoricamente existem uma infinidade de maneiras de descrição analítica das redes elétricas, a partir
das leis de Kirchhoff para os nós e malhas, e das relações entre a tensão e corrente na resolução
de fluxo de potência. Mas, na prática, todos os métodos atuais de solução de f luxo de potência usam
a análise nodal na sua formulação, com a diferença que são consideradas as potências injetadas nos
nós (barras) do sistema, ao invés das correntes.
Seja um barramento qualquer de um SEP mostrado na f igura 22.
Figura 22 – Barramento de um SEP
onde:
 - potência complexa gerada no nó (k);
 - potência complexa consumida no nó (k);
 - potência complexa transferida do nó (k) para os demais nós da rede (incluindo a terra) através
 do sistema de transmissão.
 
O equilíbrio de potências (Primeira Lei de Kirchhoff) no nó (k) do sistema pode ser dado por:
[ 0YN ] [
0VN ] ' [
0IN ]
0S
I
k
' 0S
G
k
& 0S
C
k
0S
I
k '
0S
T
k
0S
I
k
' 0V
k
0I
(
k
Y 0I
k
'
( 0S I
k
)(
0V
(
k
[ 0I
N
] '
0S
I
N
0VN
(
'
0S
G
N
& 0S
C
N
0VN
(
0S
G
N &
0S
C
N
0VN
(
' [ 0YN ] [
0VN ]
[ 0Y
N
]
[ 0VN ]
[ 0IN ]
[ 0VN ] [
0IN ]
[ 0YN ]
&1 [ 0IN ]
0S
I
k
0S
G
k
0S
C
k
0Vk
[ 0IN ]
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
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Como já visto, a equação nodal de uma rede de n nós, em termos da matriz é dado por: 
onde:
 - matriz de admitância nodal do sistema, de ordem n x n; 
 - vetor das tensões nodais do sistema, contendo n elementos;
 - vetor das correntes injetadas nos nós do sistema, contendo n elementos.
Como já comentado o objetivo fundamental do cálculo de um fluxo de potência é a determinação das
tensões nodais (dos barramentos) do sistema, ou seja, o vetor . Se o vetor fosse conhecido,
o problema estaria resolvido (bastaria multiplicar por ). Ocorre, no entanto, que não é
conhecido, uma vez que as gerações e cargas são representadas através de potências. A potência
complexa injetada em um barramento (k) de um sistema, denominada , é dada pela diferença
entre a potência complexa gerada no barramento (k), , e a potência complexa consumida neste
barramento , valores estes constantes. 
Logo:
Tem-se que esta potência complexa injetada é exatamente a potência disponível para ser transmitida
aos demais barramentos do sistema:
A potência injetada relaciona-se com a corrente complexa injetada no nó (k), por:
onde é a tensão do nó (k).
Usando a equação acima para cada barramento do sistema pode-se obter o vetor em função
das potências injetadas e das tensões nos barramentos:
Embora as equações anteriores sejam lineares, a introdução da equação acima leva a um modelo
não linear. 
Finalmente:
( 0S
G
k &
0S
C
k )
(
0V
(
k
' j
n
j ' 1
0Ykj
0Vj
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( 0S
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G
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C
k
Vk
2k
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
17
Para um barramento qualquer:
Pode-se notar que a cada barramento do sistema corresponde uma equação complexa. Estas
equações podem ser separadas em suas partes real e imaginária, cada uma delas dando origem a
duas equações resultantes reais. Assim para o nó (k) resulta:
Logo, um sistema com n barramentos será modelado por 2n equações reais, não lineares.
Pode-se observar que cada barramento do sistema fica caracterizado por seis grandezas:
! a potência ativa gerada, ;
! a potência reativa gerada, ;
! a potência ativa consumida, ;
! a potência reativa consumida, ;
! o módulo da tensão, ;
! o ângulo de fase da tensão, .
Como no f luxo de potência convencional as cargas ativas e reativas (potência consumidas) são
supostas conhecidas, restam em cada barramento (nó), 4 variáveis a serem determinadas: as
potências ativa e reativa geradas e o módulo e ângulo de fase da tensão. Logo, o número total de
variáveis do problema é, então 4n.
Então para tornar possível uma solução das equações acima, e conseqüentemente do f luxo de
potência, tem-se que especif icar a priori, para cada barramento (nó) do sistema, duas das quatro
variáveis, a f im de reduzir o número de incógnitas ao número de equações.
À primeira vista, pode parecer que o mais lógico seria especif icar os valores das potências ativas e
reativas geradas em cada barramento, deixando como incógnitas o módulo e o ângulo de fase da
tensão, já que o objetivo básico do f luxo de potência é a determinação das tensões dos barramentos
do sistema. Isto, no entanto, não é possível de ser feito porque em todo sistema elétrico operando
em es tado permanente (situação do f luxo de potência) deve existir equilíbrio entre a geração, o
0S
G
T &
0S
C
T &
0S
P
T ' 0
0S
G
k Y conhecida
0Vk Y a ser determinada
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G
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0S
P
T
P
G
k Q
G
k
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
18
consumo e as perdas de energia. Este equilíbrio é dado por:
onde:
 - potência complexa total gerada;
 - potência complexa total consumida;
 - potência complexa total perdida.
Embora as cargas ativas e reativas sejam conhecidas a priori, as perdas ativas e reativas do sistema
só ficam conhecidas se forem conhecidas as tensões de todos os barramentos do sistema, o que só
ocorre após a solução do f luxo de potência. Conseqüentemente não se pode especif icar os valores
de todas as potências ativas e reativas geradas no sistema, pelo menos uma potência ativa e reativa
devem ficar sem especif icação para que as perdas do sistema possam ser supridas.
Dependendo de quais variáveis são especif icadas e quais são consideradas como incógnitas, pode-
se definir três tipos de barramentos (nós):
! Barramentos (Nós) de Carga ou Tipo PQ
São barramentos (nós) onde as potências ativa e reativas geradas são especif icadas e o módulo
e o ângulo da tensão são as variáveis a serem determinadas na solução do f luxo de potência:
Normalmente são considerados como nós deste tipo:
S barramentos de suprimento a consumidores;
S barramentos de chaveamento;
S barramentos f ictícios criados para representar certos pontos de interesse no f luxo de carga,
embora f isicamente não sejam barramentos propriamente ditos, como, por exemplo, pontos
intermediár ios entre as barras terminais da linha de transmissão, nós criados por circuitos
equivalentes de transformadores, etc.
No caso de haver geradores conectados a este tipo de barramento, f ixa-se também as potências
ativas e reativas geradas, e . Este tipo de procedimento é usado, normalmente, para
pequenos geradores do sistema.
! Barramentos (Nós) de Geração ou Tipo PV ou de Tensão Controlada
São barramentos (nós) onde a potência ativa e o módulo da tensão são especif icados, f icando
como incógnitas a potência reativa gerada e o ângulo de fase da tensão:
P Gk e * 0Vk* Y conhecidos
Q
G
k e 2k Y a serem determinados
0Vk Y conhecida
0S
G
k Y a ser determinada
P
C
k % j Q
C
k
(P Gk % P
C
k )
Q
C
k
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
19
Normalmente são considerados como nós deste tipo:
S barramentos do sistema onde estão conectados geradores;
S barramentos do sistema onde estão conectados compensadores síncronos e compensadores
estáticos.
Na realidade, um barramento no qual esteja conectado uma máquina síncrona tanto pode ser
considerado como barramento tipo PVcomo tipo PQ, dependendo de se especif icar o módulo da
tensão ou a potência reativa gerada, respectivamente. Prefere-se especif icar o módulo da tensão
(tipo PV) por que a faixa de valores aceitáveis para o módulo da tensão de um barramento é muito
mais restrita do que a dos valores de potência reativa gerada pelos geradores e síncronos.
Caso ex is ta uma carga neste barramento, utiliza-se o valor durante a
solução e o valor somente é utilizado após a obtenção do f luxo de potência, pois a potência
reativa total injetada é uma das incógnitas a serem obtidas.
! Barramento (Nó) de Referência ou Oscilante ou Compensador ou de Balanço ou "Swing"
ou "Slack" ou de Folga
É um bar ramento (nó) onde o módulo e o ângulo de fase da tensão são especif icados e as
potências ativas e reativas geradas são as variáveis a serem determinadas:
Este barramento tem duas funções principais:
S permitir que pelo menos uma potência gerada, ativa e reativa, não sejam especif icadas, de tal
modo que as perdas ativas e reativas do sistema que também são incógnitas e só serão
conhecidas no f inal da solução, possam ser incluídas no balanço de potência do sistema, após
a solução do f luxo de potência;
S f ornecer uma referência para os ângulos de fase das tensões dos demais barramentos do
sistema. Normalmente, as equações usadas nos métodos de solução são escritas em função
das diferenças de ângulo de fase das tensões em barramentos adjacentes, por isso, torna-se
necessário f ixar um desses ângulos para que os demais possam ser determinados (pois uma
mesma distribuição de f luxos no sistema pode ser obtida ao adicionar uma constante qualquer
a todos os ângulos de fase dos barramentos do sistema, o que mostra a indeterminação nas
variáveis angulares, tornando necessária a adoção de uma referência angular). Usualmente,
fixa-se o valor zero para o ângulo de fase da tensão do barramento oscilante, embora não seja
[ 0YN ]
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
20
obrigatório.
O barramento oscilante não é (a não ser em casos especiais) a referência para os módulos das
tensões. Como visto na formação da matriz , esta referência é, geralmente, a terra.
Em um sistema totalmente conexo, ou seja, que não apresenta subsistemas desconexos, apenas
um barramento oscilante é especif icado, mas se o sistema for constituído por vários subsistemas
desconexos ou interligados apenas em corrente contínua, haverá necessidade de tantos
barramentos oscilantes quantos forem os subsistemas.
A escolha da barra oscilante deve ser feita entre os nós de geração do sistema, e deve ser
escolhido, se possível, um nó com potência suficiente para atender os requisitos de potência
necessários. Também, a f im de evitar grandes diferenças entre os valores dos ângulos de fase
de barramentos situados nos extremos do sistema deve escolher um barramento, do ponto de
vista elétrico, o mais central possível.
Os três t ipos de barras acima são as mais freqüentes e mais importantes que aparecem na
formulação do f luxo de potência. Existem algumas situações particulares, como:
! controle de intercâmbio entre áreas;
! controle de tensão de uma barra de carga através do módulo da tensão de uma barra remota ou
de taps de transformadores (LTC);
! barra de tensão controlada com limites de geração reativa especif icada, ou barra de carga com
controle de tensão;
! etc;
nos quais são feitos formulações especiais ou mudanças de um tipo de barramento em outro durante
o processo de resolução do f luxo de potência.
Do que foi analisado até o presente momento, pode-se concluir que o cálculo do f luxo de potência
exige a solução de um sistema de equações algébricas não lineares. Os recursos matemáticos para
resolução de equações não lineares são poucos e além disso tem-se o fato de geralmente não ser
possível dizer se um sistema de equações não lineares tem ou não solução, se a solução obtida é
única ou se existem várias outras soluções matematicamente válidas, se um determinado método
de solução é capaz de obter alguma ou todas as soluções possíveis ou ainda qual solução será
obtida.
Todos os problemas acima ficam atenuados pelo fato de que as faixas de valores que podem assumir
as variáveis envolvidas no f luxo de potência, praticamente são as mesmas para a grande maioria dos
Sistemas de Potência, o que permite uma análise dos resultados obtidos e procurando-se corrigir as
distorções que aparecem.
Antes de analisar os métodos iterativos mais importantes para a resolução do f luxo de potência serão
vistas as expressões que, utilizando os valores de tensão obtidos, permitem o cálculo dos f luxos de
potência ativa e reativa em todos os ramos do sistema, das perdas ativas e reativas em cada ramo
e no sistema como um todo, das potências ativa e reativa geradas no barramento oscilante e das
potências reativas geradas nos barramentos PV. Vale enfatizar que estes cálculos são todos diretos
(não iterativos), uma vez conhecidas as tensões nodais do sistema.
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Vki
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V
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0Ise
0Ish
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
21
! Cálculo dos Fluxos de Potência Ativa e Reativa dos Ramos
Seja a f igura 23 que ilustra um ramo representado por uma l inha de transmissão ligando dois
barramentos (i) e (k) de um sistema.
Figura 23 – Ramo representativo da linha de transmissão 
onde:
 - tensão complexa do barramento (i);
 - tensão complexa do barramento (k);
 - resistência série total da linha, em módulo;
 - reatância série total da linha, em módulo;
 - susceptância shunt total da linha, em módulo.
Tem-se:
onde e são a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (i), f luem pelo
ramo i-k em direção ao barramento (k). Da mesma forma pode-se escrever:
onde e são, agora, a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (k), f luem
pelo ramo i-k em direção ao barramento (i).
Da f igura observa-se que a corrente desmembra-se em duas componentes, uma que f lui
pelo elemento série do ramo i-k, denominado de e outra que f lui pelo elemento shunt que
está do lado do barramento (i) em direção a terra, denominada por . Logo:
As componentes acima são dadas por:
0Iik ' ( 0Vi & 0Vk)(& 0Yik ) % j
0Vibik
2
0Sik '
0Vi ( 0Vi & 0Vk )(& 0Yik ) % j
0Vibik
2
(
' ( 0Vi 0V
(
i &
0Vi
0V
(
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(
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0Vi
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bik
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Pki Qk i
[ 0Y
N
]
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
22
onde é o elemento ik da matriz . Daí, tem-se
Portanto:
As potências ativa e reativa que compõe a potência complexa acima, são dadas por:
Desenvolvendo a expressão acima da potência complexa e tomando suas partes real
 e imaginária obtém-se:
onde e são os módulos das tensões dos barramentos (i) e (k) e é a diferença
entre os ângulos de fase das tensões nas barras (i) e (k).
Para obtenção de e , basta trocar os índices i e k dos módulos e ângulos de fase das
tensões nas expressões acima. Daí:
No caso de haver várias linhas de transmissão, em paralelo, ligando os barramentos (i) e (k) do
s is tema, como ilustra a f igura 24, tem-se que a matriz conterá,nas posições i-k e k-i, a
admitância equivalente (com sinal trocado) de todos os ramos série em paralelo, o que signif ica
a perda das características próprias de cada uma das linhas de transmissão do sistema.
Normalmente, nos cálculos de f luxo de potência, deseja-se determinar os f luxos de potência ativa
e reativa em cada um dos circuitos em paralelo, o que acarreta a não possibilidade de utilização
direta das expressões acima. Nesse caso deve-se calcular os f luxos de potência utilizando os
parâmetros físicos das linhas (resistência, reatância e susceptância).
( k )
iV
( i )
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1
j
b ik
2
1
j
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jxik
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j
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2
n
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2
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j
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2
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
23
Figura 24 – Linhas de transmissão em paralelo
Tem-se que:
Substituindo nas expressões anteriores, obtém-se as seguintes expressões:
P
ik
' V
i
V
k
( G
ik
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ik
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) & G
ik
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CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
24
No caso do ramo que liga os barramentos (i) e (k) ser um transformador, sem taps ou com taps
nos seus valores nominais, as expressões para cálculo dos f luxos de potência ativa e reativa
podem ser obtidas de maneira idêntica às obtidas para as linhas de transmissão (inclusive podem
ser usadas as mesmas expressões, só que zerando o termo ).
Para transformadores com tap na posição nominal tem-se:
Como normalmente desprezam-se as perdas nos transformadores:
onde x é a reatância de dispersão do transformador .
t
Para transformadores com taps fora do nominal (em fase ou quadratura), tem-se:
Desprezando as perdas no transformador:
P
i k
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V
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% q cos2
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i
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p
i
p
k
x
t
cos2
k i
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
25
Se o transformador só apresenta taps em fase, ou seja, q = 0, tem-se:
A expressão geral para um transformador sem perdas e com taps nos enrolamentos do lado i (p)
i
e k (p ) é a seguinte:k
Se o elemento que liga os barramentos (i) e (k) for um capacitor série, tem-se:
P
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k i
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C
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)Q
i k
)P
i k
)Q
i k
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
26
onde a reatância entra em módulo.
Finalmente para capacitores e reatores de barra (shunt) ligados no barramento (i), tem-se:
! Cálculo das Perdas Ativas e Reativas no Sistema
As perdas ativas e reativas em um ramo i-k de um sistema são dadas pelas diferenças entre as
potências ativas e reativas que saem do barramento (i) e as que chegam ao barramento (k). Como
as potências que chegam ao barramento (k) vindas do barramento (i) são dadas pelo negativo das
potências que saem do barramento (k) em direção ao barramento (i), tem-se
:
onde:
 - perda de potência ativa no ramo i-k;
 - perda de potência reativa no ramo i-k.
O valor de é sempre positivo indicando que para a potência ativa sempre ocorre uma
dissipação no ramo, a menos que a resistência entre os barramentos (i) e (k) seja nula quando,
então a perda ativa é zero. Para o caso de , pode-se encontrar valores negativos, indicando
que na realidade ocorreu um ganho de potência reativa no ramo i-k (o que ocorre com os bancos
de capacitores série e com as linhas de transmissão com um carregamento abaixo de sua
potência característica).
As perdas totais do sistema são dadas pela soma das perdas em todos os ramos. No caso da
potência ativa, a perda total obtida por esta soma é igual (a menos de uma certa tolerância
compatível com a tolerância de convergência do processo iterativo) à soma das potências ativas
injetadas nos barramentos, ou seja, à diferença entre a geração ativa total do sistema e o
)P
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j
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n
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P
j k
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G
j
' Q
C
j
% j
n
k ' 0
Q
j k
Q
s h
j
P
T
j
Q
T
j
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
27
consumo total de potência ativa (cargas). Então:
No caso da potência reativa, a presença de eventuais capacitores ou reatores de barra deve ser
levada em conta no cálculo da perda total.
ondeé a potência reativa gerada pelo capacitor ou reator shunt porventura existente no
barramento (j).
! Cálculo das Potências Ativas e Reativas Geradas
As potências ativa e reativas geradas nos barramentos do sistema podem ser obtidas diretamente
das equações de equilíbrio de potência nos nós (barramentos). Tem-se:
Separando as expressões acima em suas componentes real e imaginária, obtém-se:
como e são dados pelas somas de todos os f luxos ativos e reativos, respectivamente, que
saem do barramento (j) em direção a todos os barramentos ligados a ele (incluindo a terra através
dos elementos shunt, no caso da potência reativa), tem-se ainda:
(k)
Vk
( a )
(k)
Vk
( b ) ( c )
(k) Vk
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
28
onde a terra é denotada como barramento (0).
Es tas expressões devem ser utilizadas para obter as potências ativa e reativa geradas pelo
barramento oscilante e a potência reativa geradas pelas barras PV. 
Deve-se lembrar que as expressões acima foram obtidas considerando-se a seguinte convenção de
sinais:
(a)as injeções de potência são positivas quando entram nos barramentos e negativa quando saem
dos barramentos;
(b)os f luxos de potência são positivos quando saem do barramento e negativos quando entram;
(c)os f luxos nos elementos shunt dos barramentos são positivos quando entram no barramento e
negativo quando saem.
A figura 25 ilustra esta convenção de sinais.
Figura 25 – Convenção de sinais para o f luxo de potência nos elementos do SEP
5 – MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA
Como visto no item anterior as equações do f luxo de potência são não lineares, o que exige um
processo iterativo para resolve-las. A literatura técnica registra um sem número de métodos
computac ionais para o cálculo iterativo das tensões nodais, a partir das equações já descritas.
Apenas alguns poucos, no entanto, chegaram a ter qualquer uso prático em programas de uso geral.
Qualquer que seja o método escolhido, cinco propriedades principais são requeridas para sua
utilização:
! Alta velocidade computacional. Isto é especialmente importante quando se trabalha com grandes
sistemas, com aplicações em tempo real (on-line), com múltiplos casos de f luxo de potência, em
análise de contingências, etc;
! Baixos requisitos de memória computacional. Isto é importante para grandes sistemas e para uso
de pequenos computadores que apresentam uma pequena capacidade de memória como, por
exemplo, nos computadores para aplicações on-line.
! Confiabilidade e segurança da solução obtida. O resultado obtido deve inspirar confiança.
a)
Quanto as
equações
da rede
Equações
nodais
Matriz Admitância [ 0Y
N
]
Matriz Impedância [ 0Z
N
]
Equações
de malha
Matriz Admitância [ 0Y
M
]
Matriz Impedância [ 0Z
M
]
b)
Quanto ao
método de
solução
Método de Gauss
Método de Gauss&Seidel
Método da Relaxação
Método das Secantes
Método de Newton&Raphson
Método Misto (Gauss&Seidel e Newton&Raphson)
[ 0Y
N
] [ 0Z
N
]
[ 0Y
N
]
[ 0Z
N
]
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
29
! Versatilidade. É importante que o método seja versátil para representar e resolver além dos
problemas convencionais, diferentes ajustes nos sistema, diferentes representações dos
componentes e ser susceptível a incorporar processos mais complicados.
! Simplicidade. O algoritmo de resolução deve ser de fácil codif icação computacional.
Os métodos para resolução das equações do f luxo de potência podem ser divididos quanto as
equações da rede utilizada e quanto ao tipo de solução iterativa para a determinação das grandezas
da rede. Pode-se citar:
Em geral, pela facilidade de aplicação e construção são utilizadas as equações nodais com a
matriz (mais comum) e a matriz .
Em cada um dos métodos acima existem algumas variantes e opções visando melhorar a
convergência, minimizar o número de cálculos e memória computacional utilizada.
Inicialmente chegou a ser bastante usado o Método de Gauss-Seidel (versão melhorada do
Método de Gauss) que, na sua versão que trabalha com a matriz , apresenta as vantagens
de ser de implementação computacional muito fácil e ocupar muito pouca memória de
computador. No entanto, este método tem as desvantagens de gastar muito tempo para chegar
à solução e, mais grave, apresentar baixa confiabilidade de convergência.
Na tentativa de melhorar a confiabilidade, foi desenvolvida uma versão do método que trabalha
com a matriz . Em parte, o objetivo foi conseguido (maior confiabilidade de convergência),
porém as custas de uma maior dif iculdade de implementação e gastos computacionais de tempo
e memória bem maiores.
Com a evolução da tecnologia dos computadores principalmente no que conserne ao aumento de
capacidade de memória, o Método de Newton-Raphson surgiu com uma boa opção e começou
ser bastante investigado. Nos dias de hoje, praticamente todos os programas de uso geral para
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
30
a solução de f luxos de potência utilizam diferentes variações do Método de New ton-Raphson.
Esse método foi desenvolvido em sua formulação clássica no f im da década de sessenta. Apesar
de ser de implementação não muito simples, ele apresenta gastos computacionais de tempo e
memória bastantes razoáveis. Mais importante, porém, e a sua grande confiabilidade de
convergência que veio permitir o seu uso generalizado, mesmo em sistemas antes considerados
dif íceis , embora reconheça-se que em alguns tipos de aplicações o método de Gauss-Seidel
possa ser mais eficiente. Mais modernamente, surgiram formulações alternativas, baseadas no
método de New ton-Raphson que, sem perda signif icativa da confiabilidade, proporcionam uma
maior eficiência computacional e são indicadas em situações onde o aspecto de tempo de solução
torna-se predominantemente importante. 
O Método da Relaxação pode-se dizer que é uma variante do método de Gauss-Seidel. Já o
Método da Secante deriva-se do método de New ton-Raphson. O Método Misto apresenta
combinações dos métodos anteriores, como por exemplo, iniciar o processo iterativo com o
método de Gauss-Seidel passando posteriormente para o método de New ton-Raphson. 
Deve-se ter em mente que apesar do grande desenvolvimento dos computadores digitais no que se
ref ere aos aumentos de velocidade de processamento e de capacidade de memória é ainda de
grande importância se ter um método eficiente para a resolução do problema do f luxo de potências
no que tange à redução do tempo de processamento e da memória requerida.
Es ta importância decorre tanto do fato de que cada vez mais os Sistemas de Potência estão
c rescendo vertiginosamente, apresentando um grande aumento no número de barramentos
representados e no número de ligações entre estes barramentos exigindo computadores com
maiores capacidades de memória como também do fato de se ter necessidade do controle mais
direto do sistema, necessitando daí um método mais rápido.
Também a convergência do processo iterativo que existe na solução do f luxo de potência pode f icar
comprometida nas redes modernas pois além de complexas estas redes às vezes possuem
capacitores série (reatâncias negativas), cargas bastante pesadas, transformadores de três
enrolamentos, além de, mais recentemente, também a representação de elos de corrente contínua,
compensadores estáticos variáveis, cargas variando com a tensão, representação de motores de
indução, etc, situações que normalmente prejudicam a convergência. 
5-1 – Método de Newton-Raphson
O método de New ton-Raphson ou simplesmente método de New ton é um método numérico para a
determinação de raízes reais de equações não lineares mais sofisticado. Não só, na maioria dos
casos, ele não oferece riscos de divergência, como também, como regrageral, a convergência por
ele proporcionada é muito mais rápida do que nos métodos visto anteriormente. O método de New ton
é um método de interpolação e a idéia da resolução de equações não lineares por este método veio
de I.New ton, sendo posteriormente alterada por J.Raphson.
f
1
(x
1
, x
2
, ... , x
k
, ... , x
n
) ' 0
f
2
(x
1
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k
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.
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.
.
f
n
(x1, x2, ... , xk , ... , xn ) ' 0
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i
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i
2, ... , x
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i
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1, x
i
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i
2, ... , x
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k
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i
k
, ... , x i
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n
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i
2, ... , )x
i
k
, ... , ∆x
i
n,
x
i
1, x
i
2, ... , x
i
k
, ... , x i
n
(x
1
, x
2
, ... , x
k
, ... , x
n
)
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
31
Seja resolver o sistema de equações a seguir:
Seja um vetor das variáveis que constituem uma aproximação a uma
das raízes do sistema acima. Assumindo que sejam as correções
necessárias para que , correspondam a solução deste sistema, tem-se que:
O teorema de Taylor para uma função de duas ou mais variáveis em torno de um ponto
 , diz que:
R
m
x1, x2, ... , xk, ... , xn '
1
(m% 1)!
)x1
M
M x
1
% )x2
M
M x
2
% ...%)x
k
M
M x
k
% ...%)x
n
M
M x
n
(m % 1)
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1
% 2)x
1
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2
% 2)x
2
, ... , x
k
% 2)x
k
, ... , x
n
% 2)x
n
), (0 < 2 < 1)
f1 (x
i
1, x
i
2, ... , x
i
k
, ... , x i
n
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M x
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M f1
M x
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M f1
M x
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M x2
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2
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(x1, x2, ... , xk, ... , xn )
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2, ... , x
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, ... , x i
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x
i
1
f
k
(x i1 , x
i
2 , ... , x
i
k
, ... , x i
n
)
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
32
onde a função f deve ter derivadas parciais contínuas até ordem (m + 1) inclusive e que todas as
derivadas de f que aparecem são calculadas no ponto . R é o erro quem
depende da mais alta derivada considerada:
Dependendo da aproximação desejada para a função f é que se escolhe o valor de m a partir do qual
as derivadas de ordem superior a m da função serão desprezadas. 
Expandindo a série de equações anteriores pela fórmula de Taylor e se os valores de
 estão perto da solução, tem-se que são
relativamente pequenos e todos os termos de potência acima de 2 podem ser desprezados. A série
de equações resulta em:
onde as derivadas parciais são calculadas no ponto .
O processo acima "linearizou" o sistema de equações que originalmente era não linear. A
interpretação geométrica deste processo para somente uma equação é equivalente a substituir um
pequeno arco da curva f(x ) = 0 por uma reta tangente, traçada a partir do ponto . Para o sistema1
de equações consiste em traçar um "plano tangente" à superfície . 
 
f1 (x1, x2, ... , xk, ... , xn )
f
2
(x
1
, x
2
, ... , x
k
, ... , x
n
)
.
f
k
(x1, x2, ... , xk, ... , xn )
.
.
f
n
(x1, x2, ... , xk, ... , xn)
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M x
1
M f1
M x
2
...
M f1
M x
k
......
M f1
M x
n
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M x
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M f2
M x
2
...
M f2
M x
k
......
M f2
M x
n
. . ... . ...... .
Mf
k
M x1
M f
k
M x2
...
M f
k
M x
k
......
M f
k
M x
n
. . ... . ...... .
. . ... . ...... .
M f
n
M x1
M f
n
M x2
...
M f
n
M x
k
......
M f
n
M x
n
×
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k
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J i
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k
f
i
k
J i
)x i
k
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
33
Colocando as equações acima em uma forma matricial, pode-se escrever:
ou seja
onde:
 - vetor que contem os valores numéricos das equações f(x);
 - matriz quadrada de ordem n que contem valores numéricos das derivadas parciais de
primeira ordem de todas as equações f(x), com relação a todas as incógnitas x, calculadas
na iteração i. Esta matriz é denominada matriz jacobiana das funções f(x), e seus
elementos são definidos por:
 - vetor das variações de todas incógnitas x na iteração i.
Logo:
onde os elementos das matrizes e são obtidos pela substituição dos valores atuais (iteração
i) das incógnitas x. 
A solução para cada pode ser obtida pela aplicação de qualquer método para solução de
s is temas de equações lineares (Gauss, Gauss-Jordan, inversão de matrizes, triangularização e
substituição de trás para frente, etc).
Os novos valores das variáveis x são então calculadas.
a
0
1
b
x x
1
x
b
f(x)
0x
a x x
f(x)
0x
b
x1a bx
1
0x
a
0x x2=
x
f(x)
1x 3x=
0x x1
x2 3x
f(x)
x
x
(i %1)
k ' x
i
k % "k )x
i
k
)x
i
k
"
k
J i
[J ]
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
34
O processo é repetido até que entre duas iterações sucessivas a diferença para as funções f sejam
menores que uma tolerância especif icada. A este tipo de convergência diz-se absoluta. Pode-se
adotar uma convergência que verif ique a variação dos valores de x , ou seja, os valores de .k
Neste caso os valores das funções f dependerão dos parâmetros das funções f , f , ... , f . 1 2 k
Pode-se notar que o número de iterações até a convergência, como também a possibilidade de
ocorrer a convergência dependerá dos valor inicial adotado. A f igura 26 ilustra esta situação.
Figura 26 – Situações de dif iculdade de convergência do método de New ton-Raphson
Observa-se desta f igura que o método de New ton-Raphson não é muito indicado para resolver
equações cuja curva, próxima do ponto de interseção com os eixos das variáveis, é quase horizontal,
pois nes te caso a derivada da função poderá dar um número muito grande levando a erros.
Normalmente, o método de New ton-Raphson funciona bem com funções contínuas convexas.
Também, se a obtenção da derivada das funções f for muito complicadaou sujeita a erros, é
desaconselhável a utilização deste método (pode usar, por exemplo, o método da secante, próximo
ao de New ton). Finalmente, existem situações no qual o método de New ton-Raphson não traz bons
resultados, como mostra a f igura 27.
Figura 27 – Situações não aconselhadas para a utilização do método de New ton-Raphson
No método de New ton-Raphson pode-se usar fatores de aceleração, ou seja:
sendo o fator de aceleração, que inclusive pode ser variável para cada equação k. Existem outros
métodos para acelerar o processo, mas o mais simples e mais utilizado é o da extrapolação linear.
Como af irmado a matriz deve ser atualizada a cada iteração. Uma variante do método de
Newton é obtida considerando-se a matriz constante durante algumas iterações. Nesta variante,
f(x)
x
f(x )
01x x
0
f(x )1
f(x)
x
f(x )
01x x
0
f(x )1
x (i % 1)
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' x i
k
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f
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(x i1, x
i
2, ... , x
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, ... , x i
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k
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k
0V
k
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' j
n
j ' 1
0Y
k j
0V
j
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
35
o número de iterações para uma dada tolerância de convergência, em geral, é maior que no método
original, mas cada uma das iterações se torna mais rápida pois a matriz jacobiana não precisa ser
recalculado a cada passo. A f igura 28 ilustra algumas situações para uma função x qualquer.
Figura 28 – Manutenção da matriz jacobiana durante alguns passos
Um outra variante do método de New ton, consiste em considerar em cada equação somente uma
variável, mantendo as demais f ixas, ou seja, cada equação é função de cada uma das variáveis. Com
isto é eliminado a matriz jacobiana, e a equação genérica para uma função f qualquer f ica:k
O método de solução de f luxos de potência com a utilização do método de New ton-Raphson foi
desc r ito pela primeira vez em 1959, em um artigo de J.E.Van Ness publicado no AIEE. Embora o
método se revelasse promissor, já que conseguia resolver problemas impossíveis de serem
resolvidos pelo método de Gauss-Seidel, com um pequeno número de iterações, a solução era lenta
e exigia uma grande memória para o armazenamento da matriz jacobiana e solução do sistema de
equações lineares. Até 1967, o método f icou em dúvida se era vantajoso com relação ao método de
Gauss-Seidel. A partir deste ano, após a publicação de uma série de artigos da BPA (Boneville Pow er
Administration) relatando os progressos feitos na aplicação do método de New ton-Raphson ele tomou
o devido impulso e hoje se constitui praticamente a base de todos os programas de f luxo de potência.
A aplicação do método de New ton-Raphson a solução de f luxos de carga consiste em definir um
s istema de equações a ser resolvido, que é definido a partir das potências injetadas nos nós do
sistema.
A equação que expressa o equilíbrio de potências em uma barra (k) qualquer da rede, é dada por:
S I
k
(
' 0V(
k j
n
j ' 1
0Y
k j
0V
j
P
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k
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I
k
' 0V
(
k j
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j ' 1
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.
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n
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1 ) & f1 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk, ... , 0Vn ) ' 0
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I
2 ) & f2 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk, ... , 0Vn ) ' 0
.
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k
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I
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k
( 0V1, 0V2, ... , 0Vk, ... , 0Vn ) ' 0
.
.
(P I
n
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n
) & f
n
( 0V1, 0V2, ... , 0Vk , ... , 0Vn ) ' 0
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
36
Para todas as barras do sistema, tem-se:
ou seja:
ou ainda:
) 0V
i
k
' & J i &1 (P I
k
& jQ I
k
) & f I
k
) 0V
i
k
' & J i &1 )P
I
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k
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k
* < >
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i
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0V
k
J i
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k
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I
k
)
(P Ik & P
i
k
calc
) & j(Q Ik & Q
i
k
calc
)
P
i
kcalc
Q i
kcalc
)P
k
)Q
k
ξ
P
ξ
Q
ξ ' ξ
P
' ξ
Q
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
37
Aplicando o método de New ton-Raphson, obtém-se:
onde:
 - vetor das variações das tensões na iteração i;
 - jacobiano do sistema;
 - vetor constituído por termos do tipo:
 
 sendo:
 - potência ativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão 
 disponíveis da iteração anterior;
 - potência reativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão 
 disponíveis da iteração anterior.
Daí:
O sistema acima é constituído de equações complexas, que devem ser desmembradas em equações
reais, para que seja possível sua resolução. Este desmembramento pode ser feito em coordenadas
polares ou cartesianas.
O desmembramento em coordenadas polares dá origem aos métodos desacoplados, e apresenta
a vantagem de trabalhar com módulo e ângulo das tensões, que são variáveis que possuem
signif icado físico nos sistemas de potência. Já o desmembramento em coordenadas cartesianas, de
acordo com a literatura a respeito, tem se mostrado mais eficiente ao se aplicar o método de New ton-
Raphson. Também, como se verá adiante, o desmembramento das equações em coordenadas
polares possibilita a eliminação das equações dos módulos das tensões das barras tipo PV. No
desmembramento por coordenadas cartesianas perde-se a vantagem desta simplif icação. 
O critério normal para convergência no f luxo de potência é que os erros de potência e/ou 
(dependendo do tipo da barra (k)) sejam menores que um erro (ou tolerância) máximo especif icado,
ou seja:
onde e são valores empíricos, e normalmente . Os valores do erro máximo
usados na prática variam de sistema para sistema e de problema para problema. Em grandes
sistemas, um erro de 1 MW/MVAr oferece precisão suficiente para a maioria dos estudos práticos
(neste caso em pu, basta fornecer como tolerância o inverso da potência de base do sistema em
estudo). Precisão mais elevada, da ordem de 0.1 MW/Mvar são necessários para estudos especiais,
j
n
j ' 1
)P
2
j
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n
j ' 1
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P Q
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P
I
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2 ' j
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j ' 1
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0V
j
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j (2j & 22)(G2 j % jB2 j)
.
P
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j ' 1
* 0V
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.
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P I
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n
j ' 1
* 0V
n
* * 0V
j
*e j (2j & 2n)(G
n j
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n j
)
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
38
como por exemplo, em estudos de estabilidade. Em pequenos sistemas, o valor do erro pode ser
reduzido. Face a estas incertezas, há uma tendência de se usar pequenos valores de tolerância,
menores que os realmente necessários. 
O critério acima é o mais comumente usado. Uma variante utilizada para se testar a convergência
é a seguinte:
Os programas para cálculo de f luxo de potência também podem incluir outros tipos de testes para
ver if icar se o método de solução está conduzindo o sistema para a divergência ou para alguma
solução es tranha. Um teste razoável é checarapós cada iteração se o valor das tensões nos
bar ramentos estão dentro de uma faixa arbitrária (por exemplo, 0.8 a 1.2 pu), cancelando o
processamento em caso contrário. Com isto pode evitar gastos desnecessários em tempo de
computação e também problemas de overflow ou underf low nas operações matemáticas.
O Método de New ton-Raphson em coordenadas polares consiste em expressar as tensões das
barras em forma polar e as admitâncias do sistema em forma cartesiana, as expressões de equilíbrio
de potência tornam-se:
Separando as partes real e imaginária das equações acima, tem-se:
P I1 ' j
n
j ' 1
V1 Vj(G1 jcos21 j % B1 j sen21 j)
Q I1 ' j
n
j ' 1
V1 Vj(G1 jsen21 j & B1 j cos21 j)
P
I
2 ' j
n
j ' 1
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Q
I
2 ' j
n
j ' 1
V2 Vj(G2 jsen22 j & B2 j cos22 j)
.
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j ' 1
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k
V
j
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k j
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V
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& 2
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V
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*
V
j
' * 0V
j
*
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
39
onde para uma barra qualquer:
Rearranjando e agrupando adequadamente as equações acima, obtém-se:
P
I
1 & V1 j
n
j ' 1
V
j
(G1 jcos21 j % B1 j sen21 j) ' 0
P
I
2 & V2 j
n
j ' 1
V
j
(G2 jcos22 j % B2 j sen22 j) ' 0
.
P I
k
& V
k j
n
j ' 1
V
j
(G
k j
cos2
k j
% B
k j
sen2
k j
) ' 0
.
.
P I
n
& V
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n
j ' 1
V
j
(G
n j
cos2
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% B
nj
sen2
nj
) ' 0
Q I1 & V1 j
n
j ' 1
V
j
(G1 jsen21 j & B1 jcos21 j) ' 0
Q
I
2 & V2 j
n
j ' 1
V
j
(G2 jsen22 j & B2 jcos22 j) ' 0
.
Q
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k & Vk j
n
j ' 1
V
j
(G
k j
sen2
k j
& B
k j
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k j
) ' 0
.
.
Q I
n
& V1 j
n
j ' 1
V
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n j
sen2
n j
& B
n j
cos2
nj
) ' 0
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
40
ou
f1 (21, 22, ... , 2k , ... ,2n, V1, V2, ... , Vk , ... , Vn) ' 0
f2 (21, 22, ... , 2k , ... ,2n, V1, V2, ... , Vk , ... , Vn) ' 0
.
f
k
(21, 22, ... , 2k, ... ,2n, V1, V2, ... , Vk , ... , Vn) ' 0
.
.
f
n
(21, 22, ... , 2k , ... ,2n, V1, V2, ... , Vk, ... , Vn ) ' 0
g1 (21, 22, ... , 2k, ... ,2n, V1, V2, ... , Vk , ... , Vn) ' 0
g2 (21, 22, ... , 2k, ... ,2n, V1, V2, ... , Vk , ... , Vn) ' 0
.
g
k
(2
1
, 2
2
, ... , 2
k
, ... ,2
n
, V
1
, V
2
, ... , V
k
, ... , V
n
) ' 0
.
.
g
n
(21, 22, ... , 2k , ... ,2n, V1, V2, ... , Vk, ... , Vn ) ' 0
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
41
Aplicando o método de New ton-Raphson a este conjunto de equações, tem-se:
)2
i
1
)2
i
2
.
)2
i
k
.
.
)2
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n
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.
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k
.
.
)V
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.
.
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.
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k
.
.
g
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)2
i
k
)V i
k
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)P
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)Q i
k
2
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k
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k
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r
M2
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N)
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'
M f
r
MV
s
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
42
ou seja:
Dai:
A matriz jacobiana, neste caso, constará de 4 submatrizes, da forma:
sendo os elementos que formam cada submatriz::
! submatriz [H]
! submatriz [N']
M
r s
'
Mg
r
M2
s
L)
r s
'
Mg
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MV
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)2
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k
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H
r s
L
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r s
M
r s
N )
r s
θ
 
CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
43
! submatriz [M]
! submatriz [L']
Os índices r e s adotados acima referem-se aos nós do sistema e não propriamente aos eixos da
matriz jacobiana.
Com a f inalidade de tornar iguais numericamente os termos e , e simétricos os termos 
e da matriz jacobiana, redefine-se o vetor das variações das incógnitas V e , como:
com isso as submatrizes N' e L' passam a ser denominadas N e L e seus elementos redefinidos
como:
! submatriz [N]
! submatriz [L]
Logo:
As equações de definição dos elementos das submatrizes [H], [N], [M] e [L], resultam em:
! submatriz [H]:
H
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M f
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V
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CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
44
 - elementos de fora da diagonal (r … s):
 - elementos da diagonal (r = s):
! submatriz [N]:
 - elementos de fora da diagonal (r … s):
 - elementos da diagonal (r = s):
! submatriz [M]:
M
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Mg
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M2
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B
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)P
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CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
45
 - elementos de fora da diagonal (r … s):
 - elementos da diagonal (r = s):
! submatriz [L]:
 - elementos de fora da diagonal (r … s):
 - elementos da diagonal (r = s):
Os valores e correspondem aos erros (desvios ou"mismatches") de potência ativa e
reativa na barra (r), e são obtidos com as fórmulas já descritas. Cabe lembrar que não se pode obter
o "mismatch" de potência