4a Listão de Exercícios Análise de Tensões e Círculo de Mohr

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
Disciplina: CET104 – Mecânica dos Sólidos II Professor: Carlos Cortês 
 
4º Listão de Exercícios – Análise de Tensões e Círculo de Mohr 
 
NOTA: para os problemas de 1 a 8 apresentados, comprove os resultados através da análise no 
círculo de Mohr e mostre as tensões em um esboço de um elemento orientado ao ângulo θ solicitado. 
Determine também as tensões principais e as tensões de cisalhamento máxima. 
1. Um elemento em estado plano de tensões está 
submetido às tensões σx = 50 MPa, σy = 30 MPa e 
τxy = 20 MPa, conforme ilustrado abaixo. Determine as 
tensões agindo em um elemento orientado a um ângulo 
θ = 50º a partir do eixo x, em que o ângulo θ é positivo 
quando está no sentido anti-horário. 
R.: σx1 = 56,2 MPa, σy1 = 23,8 MPa e τx1y1 = -
13,3 MPa; 1 = 62,36 MPa e p1 = 31,72º. 
 
2. Semelhante o exercício 1 e supondo as 
tensões σx = 100 MPa, σy = 80 MPa e 
τxy = 28 MPa, determine as tensões agindo em 
um elemento orientado a um ângulo θ = 30º. 
R.: σx1 = 119,2 MPa e τx1y1 = 5,3 MPa; 
1 = 120 MPa e p1 = -35,17º. 
3. Semelhante o exercício 1 e supondo as tensões 
σx = -76,5 MPa, σy = -32 MPa e τxy = 25 MPa, 
determine as tensões agindo em um elemento 
orientado a um ângulo θ = 50º. 
R.: σx1 = -25,8 MPa, σy1 = -82,7 MPa e 
τx1y1 = 17,6 MPa; 1 = 68,97 MPa e p1 = -8,57º. 
 
4. As tensões agindo em um elemento A no 
corpo de um trilho de trem são de 40 MPa em 
tração na direção horizontal e 160 MPa em 
compressão na direção vertical. As tensões de 
cisalhamento de intensidade de 54 MPa agem 
nas direções ilustradas na figura. Determine as 
tensões agindo em um elemento orientado 
segundo um ângulo de 52º no sentido anti-
horário a partir da horizontal. 
R.: σx1 = -31,8 MPa e τx1y1 = -110,1 MPa; 
1 = 54 MPa e p1 = -14,18º. 
 
5. Resolva o problema 4, supondo as tensões 
normal e de cisalhamento no elemento A igual a, 
respectivamente, 57 MPa, 136 MPa e 33 MPa (nas 
direções ilustradas na figura). Determine as tensões 
agindo em um elemento orientado segundo um 
ângulo de 30º no sentido anti-horário a partir da 
horizontal. 
R.: σx1 = -19,8 MPa, σy1 = 59,3 MPa e τx1y1 = -
100,1 MPa; τmax = 102 MPa e s1 = -54,46º. 
 
 
6. Um elemento em estado plano de tensões da fuselagem 
de um avião está submetido a tensões de compressão de 
intensidade de 27 MPa na direção horizontal e tensões de 
tração de intensidade de 5,5 MPa na direção vertical. As 
tensões de cisalhamento de intensidade 10,5 MPa agem nas 
direções ilustradas na figura. Determine as tensões agindo 
em um elemento orientado a um ângulo de 35º no sentido 
horário a partir da horizontal. 
R.: σx1 = -6,4 MPa e τx1y1 = -18,9 MPa; τmax = 19,3 MPa 
e s1 = 61,43º. 
7. As tensões agindo no elemento B no corpo 
de uma viga de flange largo são de 62 MPa em 
compressão na direção horizontal e 6,9 MPa em 
compressão na direção vertical. Tensões de 
cisalhamento de intensidade de 28,9 MPa agem 
nas direções ilustradas na figura. Determine as 
tensões agindo em um elemento orientado a um 
ângulo de 41º no sentido anti-horário a partir da 
horizontal. 
R.: σx1 = -19,8 MPa, σy1 = 59,3 MPa e τx1y1 = -
100,1 MPa; τmax = 39,96 MPa e s1 = 68,20º. 
 
 
8. Resolva o problema anterior se as tensões normal 
e de cisalhamento agindo no elemento B forem de, 
respectivamente, 46 MPa, 13 MPa e 21 MPa e o 
ângulo for de 42,5º, no sentido horário. 
R.: σx1 = -51,9 MPa e τx1y1 = -14,6 MPa; 
τmax = 26,7 MPa e s1 = 19,08º. 
9. O revestimento de polietileno de um reservatório 
de recalque está submetido às tensões σx = 6 MPa, 
σy = 3 MPa e τxy = -1,5 MPa, determine as tensões 
normal e de cisalhamento agindo em uma costura 
orientada a um ângulo θ = 30º em relação ao 
elemento, conforme ilustrado na figura. Mostre essas 
tensões em um esboço de um elemento de tensões 
tendo seus lados paralelos e perpendiculares à fenda. 
R.: σx1 = 4 MPa, σy1 = 5 MPa e τx1y1 = -2 MPa. 
 
 
10. Resolva o problema anterior se a tensão 
normal e a tensão de cisalhamento agindo no 
elemento forem σx = 2100 kPa, σy = 300 kPa e 
τxy = -560 kPa, e a costura estiver orientada a 
um ângulo θ = 22,5º em relação ao elemento. 
R.: σx1 = 1440 kPa e τx1y1 = -1030 kPa. 
11. Uma placa retangular de dimensões 75 mm x 200 mm 
é formada soldando-se duas placas retangulares. A placa 
está submetida a uma tensão de tração de 3 MPa na direção 
maior e a uma tensão de compressão de 10 MPa na direção 
menor. Determine a tensão normal agindo 
perpendicularmente à linha de solda e tensão de 
cisalhamento agindo paralelamente à solta (assuma que a 
tensão normal é positiva quando ela age tracionando a solda 
e a tensão de cisalhamento é positiva quando age no sentido 
anti-horário contra a solda). 
R.: σw = 8,4 MPa e τw = -
4,27 MPa. 
 
 
12. Resolva o problema anterior para uma 
placa com as dimensões e tensões vistas na 
figura a seguir. 
R.: σw = 100 MPa e τw = -5 MPa. 
13. A superfície da asa de um avião está submetida 
ao estado plano de tensões com tensões normais x e 
y e tensão de cisalhamento τxy, como ilustrado na 
figura. Para um ângulo anti-horário  = 32º a partir 
do eixo x, a tensão normal é de 37 MPa de tração, e 
para um ângulo  = 48º, a tensão normal é de 12 MPa 
de compressão. Se a tensão x equivale a 110 MPa 
de tração, qual o valor das tensões y e τxy? 
R.: σy = -60,7 MPa e τxy = -27,9 MPa. 
 
14. No ponto de uma estrutura submetida ao 
estado plano de tensões, as tensões são σx = -
40 MPa, σy = 25 MPa e τxy = 28 MPa. Um 
elemento de tensão localizado no mesmo ponto 
na estrutura, mas orientado a um ângulo anti-
horário 1 em relação ao eixo x, está submetido 
às tensões ilustradas na figura (b, τb e 20 MPa). 
Assumindo que o ângulo 1 está entre zero e 
90º, calcule a tensão normal b, a tensão de 
cisalhamento τb e o ângulo 1. 
R.: σb = -35 MPa, τb = 32,9 MPa e b = 44,56º. 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
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BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
15. Uma parede em uma construção de 
concreto armado está submetida a uma carga 
vertical uniforme de intensidade q e a uma força 
horizontal H, como ilustrado na figura à 
esquerda (onde a força H representa os efeitos 
de carregamento de ventos e sismos). Como 
consequência destas cargas, as tensões no ponto 
A na superfície da parede têm os valores 
mostrados na segunda parte da figura (tensão de 
compressão igual a 10 MPa e tensão de 
cisalhamento igual a 2 MPa). Determine: (a) as 
tensões principais e mostre-as em um esboço de 
um elemento orientado adequadamente; (b) as 
tensões de cisalhamento máximas e as tensões 
normais associadas, mostrando-as em um 
esboço de um elemento orientado 
adequadamente. 
R.: (a) σ1 = 62,36 MPa e p1 = 31,72º; (b) 
τmáx = 5,4 MPa e b = -55,9º.