Introdução à Teoria de Conjuntos

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RACIOCÍNIO LÓGICO
Aula 1 - Introdução a Teoria de Conjuntos
Tema da Apresentação
TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conteúdo Programático desta aula
Conjuntos e Elementos
Representações
Subconjuntos
Pertinência e Inclusão
Tipos de Conjunto
Conjuntos Numéricos
Conjunto das Partes
D ASS
Tema da Apresentação
TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Teoria de Conjuntos
Conceitos Primitivos (não-definidos):
A idéia de conjunto é a mesma de coleção.
 
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Elementos e Conjuntos
Uma coleção de revistas é um conjunto. 
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Elementos e Conjuntos
Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto.
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Elementos e Conjuntos
Um time de futebol é um conjunto; 
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Elementos e Conjuntos
Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto.
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Representação de um Conjunto
forma de tabela
entre chaves { } e separados por vírgula.
 
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... .
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Representação de um Conjunto
Elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples.
A
B
• 1
• 2
• 3
• 4
• a
• e
• i
• o
• u
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Representação de um Conjunto
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por:
 
A = {x | x tem a propriedade p}.
 
Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.
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Representação através de uma propriedade
A = {x | x é país da Europa} 
 
o conjunto A é formado por todos os países da Europa
 
 
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(b) B = {x | x é número natural par} 
 
o conjunto B é formado por todos os números naturais pares
 
Representação através de uma propriedade
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Relação de Pertinência
 A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
 
u é elemento do conjunto A e 
não é elemento do conjunto B. 
u  A (lê-se “u pertence a A”) e 
u  B (lê-se “u não pertence a B”)
 
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Relação de Pertinencia
 De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos:
  (pertence) e  (não pertence)
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Tipos de Conjuntos
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
 
Exemplos:
C = {5} 
(b) B = { x | x é estrela do sistema solar}
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Tipos de Conjuntos
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por  ou { }.
 
Exemplos:
D = {x | x é número e x . 0 = 5} = 
E = {x | x é computador sem memória} = { }
 
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Tipos de Conjuntos
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus elementos.
 
Exemplos: 
B = {1, 2, 3, 4}
D = {x | x é brasileiro}
H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
 
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Tipos de Conjuntos
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem.
 
Exemplos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
A = { x  N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
 
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Conjuntos Iguais
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. 
temos A = B. 
os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. 
Se A não é igual a B, escrevemos A  B (lê-se “A é diferente de B”).
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Conjunto Universo
Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
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Conjunto Universo
Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado.
 
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais: conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares: conjunto solução S = {0, 2, 4}.
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Subconjunto
Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.
 
Notação: A  B (lê-se “A está contido em B”), ou ainda, por B  A (lê-se “B contém A”).
 
A  B  x(x  A → x  B)
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Subconjuntos
Conjunto B, formado por todos os brasileiros. 
 
Com os elementos de B 
podemos formar 
o conjunto A, dos homens brasileiros, 
e 
o conjunto C, das mulheres brasileiras. 
Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.
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Subconjuntos
{2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 6, 5}  {9, 6}
{2, 8}  {2, 8}
 
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Pertinência e Inclusão
Tema da Apresentação
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Pertinência e Inclusão
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Conjuntos e Subconjuntos
A
B
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De um dado conjunto cujos elementos classificamos como sons, podemos criar ao menos dois subconjuntos: o conjunto dos sons agradáveis e o conjunto dos sons desagradáveis. 
Conjuntos e Subconjuntos
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Brasil: conjunto de 26 estados e o distrito federal; 
Cada estado é um conjunto de municípios; cada município é um conjunto de distritos; e cada distrito é um conjunto de bairros.
Brasil
Estado
Município
Distritos
Bairro
Conjuntos e Subconjuntos
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Na classificação zoológica, usam-se de 10 a 20 conjuntos representando níveis hierárquicos. 
No caso dos mamíferos a que pertence o homem, a classificação adota 16 conjuntos.
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Química: o conjunto dos elementos é separado em subconjuntos, metais, semimetais, não metais e gases nobres. 
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Conjuntos Numéricos
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Reta Real
Os números reais podem ser associados biunivocamente com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que nós chamaremos de reta real ou eixo real.
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*Intervalos Reais: Subconjuntos
Podemos estabelecer subconjuntos de números reais de extrema importância e que serão chamados de intervalos reais
ALVO
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Exercício
Identifique as afirmativas verdadeiras e as falsas
(a) 3 (3,) 
(b) 3 [3, ) 
(c) 3 (4, ) 
(d) 3 (-,3) 
(e) 3 (-,3] 
(f ) 3 (-,2) 
(g) 3 (-,4) 
(h) 3 (-,)
 
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Propriedades
1 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:   A,  A
Exemplos:
  {1, 2, 3}
  
2 – Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si mesmo: 
A  A,  A
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Não é Subconjunto
Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:
 
A  B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B  A ( lê-se “B não contém A”)
 
Exemplo:
(a) {a, b, c}  {a, b, d}
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Conjuntos cujos elementos são conjuntos
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos:
P = {, {a}, {b}, {a, b}}
 Nesse caso,  é elemento de P e, portanto, escrevemos 
  P e não   P. 
{a}  P, 
{b}  P, 
{a, b}  P. 
Alguns subconjuntos de P:
 {}  P; {{a}}  P; {{a, b}}  P; {{a}, {b}}  P.
 
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Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A:
 
com nenhum elemento: 
com um elemento: {1}, {2}
com dois elementos: {1,2}
 
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. 
P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.
 
 
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Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
 
P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
Tema da Apresentação
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Número de Elementos de P(A)
A = {1, 2}. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.
P(A) tem 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos. 
B = {m, n, p}, P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
P(B) tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos. 
Se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n.
ALVO
Tema da Apresentação
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Verdadeiro ou Falso?
Tema da Apresentação
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Exercícios
Quais os enunciados verdadeiros?
(a) 1{1} 
(b) {1}{1} 
(c) {{1}}{{1}} 
(d) 1{1,{1}} 
(e) {1}{1,{1}} 
(f ) {{1}}{1,{1}}
RES
Tema da Apresentação
Seleção Brasileira de 1982: em pé, da esquerda para a direita: Waldir Perez, Leandro, Oscar, Falcão, Luzinho e Júnior. Agachados: Nocaute Jack, Sócrates, Toninho Cerezzo, Serginho, Zic e Éder.
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Seleção Brasileira de 1982: em pé, da esquerda para a direita: Waldir Perez, Leandro, Oscar, Falcão, Luzinho e Júnior. Agachados: Nocaute Jack, Sócrates, Toninho Cerezzo, Serginho, Zic e Éder.
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Podemos “explicar” o aparecimento dos conjuntos numéricos através da necessidade que a Matemática manifestava em apresentar resultados que os conjuntos numéricos existentes até então não forneciam. A partir dos conjuntos dos números naturais, operações como, por exemplo, a subtração 5 – 8 só puderam apresentar um resultado com o aparecimento do conjunto dos números inteiros. A divisão de número 8 por 3 só pode apresentar resultado dentro do conjunto dos números 
Com relação aos números racionais, eles podem ser encontrados de três maneiras: número inteiro ou número decimal exato ou número decimal periódico (dízimas periódicas). Os números que não podem ser colocados na forma de fração com numerador inteiro e denominador inteiro não-nulo são chamados de números irracionais.
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